培优专题：二次根式

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培优专题10二次根式化简求值的五种方法-2022-2023学年八年级(五四制)下册初三数学学练测(鲁

培优专题10二次根式化简求值的五种方法一、引言在初三数学学习中，二次根式是一个重要的概念，也是化简和求值的常见题型。

本文介绍了五种方法来化简和求值二次根式，帮助学生更好地掌握这一知识点。

二、方法一：分解质因数法当二次根式中含有平方数时，分解质因数法是一种很有效的化简方法。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{100}$解析：由于100可以分解为 $2^2 \\times 5^2$，所以 $\\sqrt{100}$ 可以化简为 $2 \\times 5 = 10$。

三、方法二：直接运算法当二次根式中没有平方数时，可以直接进行运算来化简。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{8}$解析：可以发现8可以分解为23，所以 $\\sqrt{8}$ 可以化简为$\\sqrt{2^3} = 2\\sqrt{2}$。

四、方法三：有理化方法有时候，二次根式的分子或分母中含有根号，这时可以使用有理化方法来化简。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}$解析：可以使用有理化的方法，将分母的两个根式的乘积展开，得到$\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}} = \\frac{1}{(\\sqrt{3} +\\sqrt{2})(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})} = \\frac{1}{3 - 2} = 1$。

五、方法四：配方法当二次根式中含有两个以上的项时，可以使用配方法来化简。

我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{18} + \\sqrt{8}$解析：首先，对于 $\\sqrt{18}$，可以将其分解为 $3\\sqrt{2}$。

对于$\\sqrt{8}$，可以将其分解为 $2\\sqrt{2}$。

所以， $\\sqrt{18} +\\sqrt{8}$ 可以化简为 $3\\sqrt{2} + 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$。

(完整版)培优专题：二次根式

二次根式培优一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0-a 0。

根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0，由此我们判断下列式子有意义的条件：____ ____ ____ 1/ x 1(1 八 x 1 \1 x ; (2)、 -- 2；2V x(3) <1—T J—2； (4) —-; (5) V3—r(x竺x 1Vx 2(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------⑥ 计算：J (4研&妬5)2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a a(a 0)，在此我们可将其拓展为:2、也2的化简 a(a 0) a(a 0)②化简求值:1其中a= 5③已知,3,化简2m4m 2 m 1 .m 2 6m 912am J 2m m2 1,求m的取值范围①若②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值；④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。

.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x应满足( ).J2x 11 11 1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 32 2 2 2例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ .(2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C. —2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。

二次根式培优试卷

第一章二次根式好题精选一．选择题1．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7 D．＝2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确3．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a5．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥36．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．7．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x8．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间9．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠010．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．二．填空题（共10小题） 11．已知：x ＝，计算x 2﹣x +1的值是．12．化简：()()23352325-+-+的结果为____________________13．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，如果这个正方形的面积为m ，△ABE 的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE 的长用含m 的代数式表示为． 14．化简：2＜x ＜4时，﹣＝．15．已知a ，b 均为正整数，如果0＜﹣b ＜1，我们称b 是的“主要值”，那么的主要值是．三．解答题（共15小题） 16．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）217．．18．先化简，再求值（1）（﹣），其中a ＝17﹣12，b ＝3+2（2）（a +）（a ﹣）﹣（﹣a ）2，其中a ＝2﹣1．（3）+，其中x＝19．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）20．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．21．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．22．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值23．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列计算正确的是（）A．＝±4 B．2×32＝62＝36C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10【分析】根据实数与二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．＝4，此选项错误；B．2×32＝2×9＝18，此选项错误；C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝×（﹣）＝﹣，此选项错误；D．﹣2×+2×（3+）+4＝﹣2+6+2+4＝10，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．【解答】解：甲的解法：＝＝﹣，利用平方差公式进行分母有理化，正确；乙的解法：＝＝﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确；故选：C．【点评】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去．3．下列计算正确的是（）A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝D．＝【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝15，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝，故此选项错误；D、＝，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式﹣a3≥0，再根据公式＝|a|及有理数的乘法法则得出a、b的取值范围，然后化简即可．【解答】解：由题意，得﹣a3≥0，又∵＝b2≥0，b为任意数，∴﹣a3≥0，∴a≤0，∴＝＝•＝．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的化简．用到的知识点有：①二次根式的被开方数是非负数；②两个公式：＝（a≥0，b≥0），＝|a|．5．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7D．＝【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；B．＝2a（a＞0），此选项错误；C．＝＝5，此选项错误；D．＝，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3【分析】等式左边为算术平方根，其结果3﹣a应该为非负数．【解答】解：∵＝3﹣a∴3﹣a≥0∴a≤3故选：B．【点评】注意：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．9．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得，a＝3，b＝2，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．10．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．11．的整数部分是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于＝﹣1，＝﹣，…，＝﹣+，于是可得原式＝﹣1+﹣+…﹣+，计算即可．【解答】解：∵＝﹣1，＝﹣…＝﹣+，∴原式＝﹣1+﹣+…﹣+＝﹣1+10＝9．【点评】本题考查了二次根式的加减法．解题的关键是对每一个分式分母有理化．12．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．【解答】解：+＝+＝2＝，∵2＜＜3，∴代数式+的运算结果在2到3之间，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数大小的应用，主要考查学生的计算能力．13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0【分析】先判断结果的情况，再判断ab积的情况．【解答】解：∵＝≥0又∵＝﹣，∴﹣≥0∴ab≤0且b≠0故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题需着眼于整体．本题易忽略b≠0而出错．15．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．【分析】求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质求出每一部分的值，再求出最后结果即可．【解答】解：∵S1＝1，S2＝1+3＝4，S3＝1+3+5＝9，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），∴S＝++••+，＝+++…+＝1+2+3+…+n＝，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：1+2+3+…n＝．二．填空题（共10小题）16．计算（）＝．【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可得．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝×＝，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．17．如果（a，b为有理数），则a＝6，b＝4．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，∴a＝6、b＝4．故答案为：6、4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．18．计算：（3+1）（3﹣1）＝17．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（3）2﹣12＝18﹣1＝17故答案为：17．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是+4．【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝+4．故答案为：+4．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝2030．【分析】将x的值代入x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027，根据二次根式的运算法则计算可得．【解答】解：当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027＝（1﹣﹣1）2+2027＝（﹣）2+2027，＝3+2027＝2030，故答案为：2030．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及完全平方公式．21．若x＝﹣1，则＝2．【分析】将x的值代入原式＝，计算可得．【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝±．【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，∴（）2＝＝＝＝，∴＝±．故答案是：．【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为．【分析】首先根据正方形的面积，表示出△ABE的面积，然后利用三角形的面积的公式表示出线段BE的长即可．【解答】解：∵正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，∴正方形的边长AB＝，△ABE的面积为，∵S△ABE＝AB•BE＝BE＝，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是表示出正方形的边长及直角三角形的面积．24．化简：2＜x＜4时，﹣＝2x﹣6．【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式＝﹣＝|x﹣2|﹣|x﹣4|＝x﹣2﹣（4﹣x）＝x﹣2﹣4+x＝2x﹣6．故答案为：2x﹣6．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是4．【分析】根据a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，可以求得的主要值．【解答】解：∵0＜﹣4＜1，∴的主要值是4，故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，可以估算出处于哪两个整数之间．三．解答题（共15小题）26．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝﹣2+10＝；（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+）＝﹣4﹣＝﹣4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．27．当t＝2时，求二次根式的值．【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．【解答】解：当t＝2时，＝＝|3﹣t|＝|3﹣2|＝3﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定a﹣b﹣c以及绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解∵a，b，c为△ABC三边，∴原式＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．29．．【分析】根据二次根式的定义得出x﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x，代入求出y，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y＝++9有意义，必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x＝8，把x＝8代入得：y＝0+0+9＝9，∴＝，＝+，＝+，＝．【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x、y的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．30．计算：（1）﹣+（2）（﹣）（+）+（﹣1）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．【解答】解：当x＝＝＝，y＝＝＝时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝×+3×（+）+9＝+3×+9＝+3+9＝+3．【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝，∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，∴原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a＝2a﹣8．∵a＝2﹣1，∴原式＝2×（2﹣1）﹣8＝4﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质．34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．【解答】解：∵x＝＝3﹣2，∴x﹣2＝1﹣2＜0，则原式＝x﹣1+＝x﹣1﹣1＝x﹣2＝1﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．35．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；（2）根据规律，写出等式；（3）根据（2）的规律，即可解答．【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．【解答】解：∵a＝，b＝，∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab＝（2）2﹣（﹣2）+1＝13+2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．【分析】根据两边之和大于第三边可将各二次根式求出，从而可得出化简后的答案．【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．【点评】本题考查二次根式的化简及三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是关键．40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；（3）首先求出1，﹣1，，﹣，，﹣六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，∴50÷6＝8…2，∴第50个数是﹣1．（2）∵2017÷6＝336…1，且1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1＝1．（3）∵12+（﹣1）2+（）2+（﹣）2+（）2+（﹣）2＝12，520÷12＝43…4，而且12+（﹣1）2+（）2＝4，∴43×6+3＝261，即共有261个数的平方相加．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，而且每个循环的6个数的和是0．。

第一节二次根式的相关概念-学而思培优

第一节二次根式的相关概念-学而思培优第一节二次根式的相关概念二、核心纲要1.二次根式是形如a（a≥0）的式子，称为二次根式或二次根号。

注：（1）在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。

2）a≥0为二次根式a的前提条件。

3）形如mn（m，n≥0）的式子也是二次根式，它表示m 与n的乘积。

2.二次根式的性质1）a（a≥0）具有双重非负性。

2）（a）²=a（a≥0）。

3）a²=|a|，即a²的值为a的绝对值，当a≥0时，a²=a；当a<0时，a²=|a|= -a。

注：（1）化简a²时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简。

2）*a²和（a）²的区别和联系。

区别：a²中的a可以取任意实数，而（a）²中的a必须是非负数，当a<0时，（a）²无意义。

联系：当a≥0时，（a）²=a²=a。

3.非负数的三种常见形式1）绝对值：|a|≥0.2）偶次幂：a²n（n为正整数）。

3）二次根式：a（a≥0）。

若|a|+b²+c=0，则a=b=c=0.4.积、商的算术平方根的性质1）积的算术平方根的性质：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。

2）商的算术平方根的性质：√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。

5.确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可。

即当a≥0时，a有意义。

6.最简二次根式1）被开方数中不含分母。

即根号内无分母，分母内无根号。

2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

即开方开得尽。

我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。

注：（1）前提条件：二次根式是最简二次根式。

中考培优专题之二次根式

备战中考之二次根式习题一、单选题（共15题；）1.对于任意的正数m 、n 定义运算※为：m ※n={√m −√n (m ≥n )√m +√n (m <n )),计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A. 2﹣4√6B. 2C. 2√5D. 20 2.要使二次根式√3−2x 有意义，则x 的取值范围是（）A. x ⩾32 B. x ⩽32 C. x ⩾23 D. x ⩽23 3.下列各实数中最大的一个是（） A. 5× √0.039 B.3.141πC.√14+√7D. √0.3 + √0.24.已知x 为实数，化简√−x 3−x√−1x的结果为（）A. (x −1)√−xB. (−1−x )√−xC. (1−x )√−xD. (1+x )√−x 5.若√x −1+√x +y =0 ，则x 2005+y 2005 的值为：（）A. 0B. 1C. -1D. 26.等式√xx−3=√x√x−3成立的条件是（） A. x≠3 B. x≥0 C. x≥0且x≠3 D. x>3 7.下列二次根式中，最简二次根式是( ).A. B.C.D.8.已知是正整数，则实数n 的最大值为（）A. 12B. 11C. 8D. 39.如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式,那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（） A. x≤10 B. x≥10 C. x ＜10 D. x ＞10 10.已知 y =√4−x +√x −4+3 ，则 yx 的值为（）A. 43 B. −43 C. 34 D. −34 11.若x +y ＝3+2 √2 ，x ﹣y ＝3﹣2 √2 ，则 √x 2−y 2 的值为（） A. 4 √2 B. 1 C. 6 D. 3﹣2 √2 12.函数 y =1x+1−√2−3x 中，自变量 x 的取值范围是（）A. x ≤23 B. x ≥23 C. x <23 且 x ≠−1 D. x ≤23 且 x ≠−113.利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A. 2.5B. 2.6C. 2.8D. 2.914.把代数式(a－1) √11−a的a－1移到根号内，那么这个代数式等于（）A. －√1−aB. √a−1C. √1−aD. －√a−115.一个三角形的三边长分别为1，k，4，化简|2k－5|－√k2−12k+36的结果是( )A. 3k－11B. k＋1C. 1D. 11－3k二、填空题（共15题；）16.若|1001−a|+√a−1002=a，则a−10012=________．17.观察下列运算过程：1+√2=√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2(√2)2−12=√2−1√2+√3=√3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3√2(√3)2−(√2)2=√3−√2……请运用上面的运算方法计算：1+√3+√3+√5√5+√7⋯+√2015+√2017√2017+√2019=________．18.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+√a2−4a+4=________19.√12与最简二次根式5 √a+1是同类二次根式，则a=________．20.读取表格中的信息，解决问题．满足n n n√3+√2≥2014×(√3−√2+1)的n可以取得的最小整数是________．21.已知|6﹣3m|+（n﹣5）2=3m﹣6﹣√(m−3)n2，则m﹣n=________22.若m=√2012−1，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是________．23.若√20n是整数，则正整数n的最小值为________．24.已知√a（a﹣√3）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是________．25.如果（x﹣√x2−2008）（y﹣√y2−2008）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=________．26.已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=________.27.若实数x，y，m满足等式√3x+5y−3−m+(2x+3y−m)2=√x+y−2−√2−x−y，则m+4的算术平方根为________．28.若x、y都为实数，且y=2008√x−5+2007√5−x+1，则x2+y=________。

专题01 二次根式的混合运算(专项培优训练)(教师版)

专题01 二次根式的混合运算（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.53一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2023•原平市模拟）计算的结果为　7　．解：＝＝＝7，故答案为：7．2．（2分）（2023春•嘉定区期末）计算：＝．解：原式＝2﹣+3＝．故答案为：．3．（2分）（2023春•莱州市期中）计算：×＝　3﹣2　．解：原式＝[（3+2）（3﹣2）]2012•（3﹣2）＝（9﹣8）2012•（3﹣2）＝3﹣2．故答案为：3﹣2．4．（2分）（2023春•西塞山区期中）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为　a+1　．解：由实数a在数轴上的位置可得0＜a＜1，所以＝a+1．故答案为：a+1．5．（2分）（2022•市南区三模）（温州）计算：+﹣（2+）0＝　3　解：+﹣（2+）0＝2+2+﹣1＝3+1．6．（2分）（2022春•钦北区校级期中）已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于　﹣9　．解：由m＝1+，得（m﹣1）2＝2，即m2﹣2m＝1，故7m2﹣14m＝7，同理，得3n2﹣6n＝3，代入已知等式，得（7+a）（3﹣7）＝8，解得a＝﹣9．7．（2分）（2023•封丘县校级开学）计算：＝．解：原式＝3﹣＝3﹣＝2．故答案为：2．8．（2分）（2023春•威县校级期末）嘉淇想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整．（1）具体运算，发现规律．式子1：；式子2：；式子3：；式子4：　＝4（写＝＝＝4也可）　；（2）观察、归纳，得出猜想．若n为正整数，则式子n为：　＝n　．解：（1）根据规律可得，＝4．故答案为：＝4（写＝＝＝4也可）；（2）运算规律为：＝n．故答案为：＝n．9．（2分）（2023春•邗江区期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则；．则＝　2023﹣　．解：＝2023×（+++•••+）＝2023×（+++•••+）＝2023×（1﹣+﹣+﹣+﹣）＝2023×（1﹣）＝2023﹣．故答案为：2023﹣．10．（2分）（2023春•铁岭县期中）计算：（+1）2022（﹣1）2023＝　﹣1　．解：原式＝[（+1）（﹣1）]2022×（﹣1）＝（2﹣1）2022×（﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．11．（2分）（2023春•高邮市期末）若，则bc的值为　﹣3　．解：∵a﹣6＝（b+c）2＝b2+2bc+2c2＝b2+2c2+2bc，∴2bc＝﹣6，∴bc＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（2分）（2023春•东丽区期末）计算：（+2）（﹣2）＝　3　．解：原式＝（）2﹣22＝7﹣4＝3，故答案为：3．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2023春•通河县期末）下列计算中，结果错误的是（）A．B．C．D．解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；B、5﹣2＝3，故B不符合题意；C、÷＝，故C不符合题意；D、（﹣）2＝2，故D不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•昌图县期末）下列运算中，正确的是（）A．＝B．＝4C．2＝2D．＝解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、＝＝2，错误，故B不符合题意；C、2﹣＝，错误，故C不符合题意；D、，故C符合题意．故选：D．15．（2分）（2022秋•安化县期末）下列各式不成立的是（）A．B．＝C．D．解：A、﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；B、＝÷，B选项成立，不符合题意；C、＝＝，C选项不成立，符合题意；D、＝＝﹣，D选项成立，不符合题意；故选：C．16．（2分）（2022秋•绥中县校级期末）下列运算正确的是（）①，②＝3，③，④＝2，⑤＝﹣3，⑥＝3．A．1个B．2个C．3个D．4个解：①不是同类二次根式，不能加减，故①运算错误；②＝＝3，故②运算正确；③＝，故③运算正确；④÷＝＝＝2，故④运算正确；⑤＝|﹣3|＝3，故⑤运算错误；⑥＝3，故⑥运算错误．故选：C．17．（2分）（2022秋•方城县期中）下列计算正确的是（）A．2+3＝5B．2×3＝6C．＝﹣6D．÷（+）＝+解：A．2和3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；B．2×3＝（2×3）＝6，故本选项符合题意；C．＝6，故本选项不符合题意；D．÷（+）＝＝＝＝，故本选项不符合题意；故选：B．18．（2分）（2022秋•长安区期中）下列计算正确的是（）A．2+3＝5B．2×3＝6C．5﹣2＝3D．÷（+）＝+解：A．2和3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；B．2＝（2×3）＝6，故本选项符合题意；C．5和﹣2不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；D．÷（+）＝＝，故本选项不符合题意；故选：B．三．简答题（共6小题，满分24分）19．（4分）（2023•江北区开学）计算下列各式：（1）；（2）．解：（1）原式＝3++3﹣＝3+；（2）原式＝3﹣4+4+2﹣+＝7﹣2﹣+．20．（4分）（2022秋•宝山区期末）计算：．解：原式＝（4）2﹣72++＝48﹣49++＝﹣1++．21．（4分）（2023春•永顺县期末）计算：（1）；（2）．解：（1）原式＝4﹣2+＝4﹣2+＝4﹣2+4＝2+4；（2）原式＝2+5﹣＝6．22．（4分）（2023春•龙华区校级月考）（1）计算：．（2）解不等式组：．解：（1），＝，＝3+1﹣2，＝2；（2）解不等式2+x＜6﹣3x，得x＜1，解不等式，得x≤4，∴不等式组的解集为：x＜1．23．（4分）（2023•和平区校级开学）计算：（1）；（2）．解：（1）＝（3﹣2）×＝×＝3；（2）＝3+﹣5＝﹣．24．（4分）（2023春•新宾县期末）计算：（1）；（2）．解：（1）原式＝﹣1+3﹣1+＝﹣1+3﹣1+2＝3；（2）原式＝3﹣（2﹣）+3﹣1＝3﹣2++3﹣1＝4．四．解答题（共6小题，满分40分）25．（6分）（2023春•雄县期中）嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．解：．（1）在以上解题步骤中用到了　BD　（从下面选项中选出两个）．A．等式的基本性质B．二次根式的化简C．二次根式的乘法法则D．通分（2）算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．解：（1）观察可知把变为用到了二次根式的化简，然后把变为用到了通分，故答案为：BD；（2）＝＝＝．26．（6分）（2023春•禹州市期中）阅读下列材料，然后解决问题．在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们可以将其进一步化简：，＝，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．（1）化简＝，＝，＝　﹣　．（2）化简：．解：（1）＝＝，＝＝，＝＝＝﹣，故答案为：；；﹣；（2）＝+++＝+++＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）＝．27．（6分）（2023春•铁西区期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝；＝＝＝．像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简：（1）（2）（n为正整数）；（3）求的值．解：（1）＝＝﹣．（2）＝＝﹣；（3）＝+++...+＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣＝﹣1．＝2﹣1．28．（6分）（2023春•绥棱县期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．，①，②，③参照③式方法化简：．解：＝＝＝＝．29．（8分）（2023春•清江浦区期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，和、与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）计算：①＝，②＝；（2）计算：．解：（1）①，故答案为：；②，故答案为：；（2）＝＝＝2+﹣﹣1＝1．30．（8分）（2022春•开州区期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a即m+n＝a，且使＝即m•n＝b，那么＝|±|，双重二次根式得以化简；例如化简：；∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2×∴＝1+由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n ＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：＝　﹣　；＝　+　；（2）化简：①②（3）计算：+．解：（1）填空：＝﹣；＝+；（2）①＝＝+；②＝＝﹣；（3）+＝+＝+＝+＝．故答案为﹣；+。

第十六章二次根式(培优卷)(原卷版)

第十六章二次根式（培优卷）一、单选题1．（2021·山东河东·七年级期末）2021=0的值为（）A．0B．2021C．-1D．12．（2021·福建南安·九年级期中）若x=y=222x xy y++的值为（）．A．2B．2021C．－D．8 3．（2021·=.=关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错4．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“=中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷5．（2021·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1﹣2，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（）A B C D．20216．（2021·山东青州·八年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法：①当输出值y x为5或25；②当输入值为64时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个．7．（2021·山东河东·八年级期末）我们把形如b（a，b型无理数，如12属于无理数的类型为（）．A型B C型D8．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m，正确的结果是（）A B．C．D9．（2021·全国·九年级专题练习）=x、y、z为有理数．则xyz＝（）A．34B．56C．712D．131810．（2021·广西钦州·七年级期末）如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C圆，正方形纸片的周长为C正，则C圆＜C正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题11．（2021·山东青州·八年级期末）已知2x=，则代数式24x++的值等于___．12．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）_______13．（2021·山东商河·八年级期中）计算：）20142）2015＝______．14．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）==a b =______．15．（2021·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：--2-=※________．16．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为________2cm ．17．（2020·全国·八年级课时练习）已知x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且+．18．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．三、解答题19．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1（2）（3（41)20．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）2）2）＝1a （a≥0）、＋1）﹣1）＝b ﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有22(+2(22+2´22+2＋1﹣1，次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：（3的大小，并说明理由．21．（2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．22．（2021·江西）1=-；==2==．试求：（1（2n为正整数）的值．（3）计算：)1L．23．（2021·四川大邑·八年级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+ba，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+（1）若a+，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝，b＝．（2）若a，当a，m，n均为正整数时，求a的值．（3．24．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．2(1=222(22m m n=+=++2(m=+2(m=+细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：)2＋1＝2，S 1)2＋1＝3，S 2；）２＋1＝4，S 3；…．（1）请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长；（2）求出的值．25．（2021·北京·八年级单元测试），3，…按下面的方式进行排列：，，那么（1所在的位置应记为；（2）在的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为．222123210S S S S +++¼+ 3,M(1,5)(2,3)(4,1)。

(完整版)《二次根式》培优试题及答案

《二次根式》提高测试〔一〕判断题：〔每题1分，共5分〕1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………〔〕【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．〔〕【提示】231-＝4323-+＝－〔3＋2〕．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…〔〕【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1〔x ≥1〕．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…〔〕【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．〔〕29x +是最简二次根式．【答案】×．〔二〕填空题：〔每题2分，共20分〕6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法那么和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】〔a －12-a 〕〔________〕＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝〔〕2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2〔x －1〕＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab 〔ab ＞0〕，∴ ab －c 2d 2＝〔cd ab +〕〔cd ab -〕．12．比拟大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比拟28，48的大小，再比拟281，481的大小，最后比拟－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·〔_________〕[－7－52．] 〔7－52〕·〔－7－52〕＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法那么和平方差公式． 14．假设1+x ＋3-y ＝0，那么(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40．【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数局部和小数局部，那么2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，那么其整数局部x ＝？小数局部y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数局部和小数局部时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数局部和小数局部就不难确定了．〔三〕选择题：〔每题3分，共15分〕16．233x x +＝－x 3+x ，那么………………〔〕〔A 〕x ≤0 〔B 〕x ≤－3 〔C 〕x ≥－3 〔D 〕－3≤x ≤0【答案】D ．【点评】此题考查积的算术平方根性质成立的条件，〔A 〕、〔C 〕不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17．假设x ＜y ＜0，那么222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………〔〕〔A 〕2x 〔B 〕2y 〔C 〕－2x 〔D 〕－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．【点评】此题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．假设0＜x ＜1，那么4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………〔〕〔A 〕x 2 〔B 〕－x 2〔C 〕－2x 〔D 〕2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】此题考查完全平方公式和二次根式的性质．〔A 〕不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………〔〕〔A 〕a - 〔B 〕－a 〔C 〕－a - 〔D 〕a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………〔〕〔A 〕2)(b a + 〔 B 〕－2)(b a -〔C 〕2)(b a -+-〔D 〕2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】此题考查逆向运用公式2)(a ＝a 〔a ≥0〕和完全平方公式．注意〔A 〕、〔B 〕不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．〔四〕在实数范围内因式分解：〔每题3分，共6分〕21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】〔3x ＋5y 〕〔3x －5y 〕． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．〔五〕计算题：〔每题6分，共24分〕23．〔235+-〕〔235--〕；【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．〔a 2m n －m ab mn ＋m n n m 〕÷a 2b 2mn；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝〔a 2m n－mab mn ＋mn n m 〕·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．〔a ＋ba abb +-〕÷〔b ab a +＋a ab b -－ab b a +〕〔a ≠b 〕．【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】此题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．〔六〕求值：〔每题7分，共14分〕27．x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．【提示】先将条件化简，再将分式化简最后将条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652．【点评】此题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y 〞、“x －y 〞、“xy 〞．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +〔22a x +－x 〕，x 2－x22a x +＝－x 〔22a x +－x 〕．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】此题如果将前两个“分式〞分拆成两个“分式〞之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．七、解答题：〔每题8分，共16分〕29．计算〔25＋1〕〔211+＋321+＋431+＋…＋100991+〕．【提示】先将每个局部分母有理化后，再计算．【解】原式＝〔25＋1〕〔1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--〕＝〔25＋1〕[〔12-〕＋〔23-〕＋〔34-〕＋…＋〔99100-〕] ＝〔25＋1〕〔1100-〕＝9〔25＋1〕．【点评】此题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．假设x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解此题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。

(完整版)二次根式培优

二次根式专题一二次根式(0)a a ≥非负性的综合应用1。

已知实数,a b 满足120a b -+-=，则a b +=_______。

2。

若3245423y x x =-+-+，求(5)x y 的值。

3。

已知220xy y x +--=，求x 与y 的值。

专题二利用二次根式的性质将代数式化简4。

把()1a b a b---化成最简二次根式正确的结果是（） A 。

a b - B.b a - C.b a --D 。

a b --5.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(3)(5)a a -+-化简后为（）A 。

2B 。

-8 C.82a - D.22a --6.化简:222(2)(1)(2)x x x +--+-.7.已知2()1a <，化简：22(1)a a -。

二次根式的乘除运算专题一二次根式的分母有理化1. 阅读下列运算过程：2323333⨯==⨯2525555⨯==⨯. 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简6的结果是（） A ．2 B ．6 C 66 2.化简65+，甲、乙两位同学的解法如下：6565(65)(65)-=++-=6—5；乙：5-6565-656565-6561=++=+=+））（（.下列说法正确的是( )A ．甲、乙的解法都正确B ．甲正确，乙不正确C ．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确 3.观察下列各式，通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2—1， 132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3—2，同理可得：143+=4-3,… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++…+120132012+）（20131+）的值．专题二二次根式乘除中的规律与方法4. 计算：（1)(21)(21)+-=______；(2）(32)(32)+-=______；（3）(23)(23)+-=______；(4)552)=______；根据以上规律,请写出用n （n 为正整数）表示上述规律的式子：___________。

专题一(数形结合-在二次根式的运用)

初三培优（专题一）二次根式的运算1.热身运动（1（22.二次根式的定义（1）已知222,_______x y +=则(2) 1a <当_______. 3.双重二次根式的化简（1 （24.同类二次根式（1）已知整数x,y =那么整数对（x,y ）的个数（）（2）已知x,y a b =+=求（） 5.综合运用已知15,2a b c +-=-求a+b+c 的值数形结合-在二次根式的运用一．最值问题1.已知a,b均为正数，且a+b=2,求。

2.已知整数x,y。

C为线段BD上的一动点，分别过B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？(3)根据（2的最小值二、面积问题背景引入：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 51013道题时，先建立一个正方形网格（每个正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示。

这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积。

（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上。

____________思维拓展（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 5a 、22a 、17a （a ＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积。

探索创新（3）若△ABC 2216m n +2294m n +222m n +（m ＞0，n ＞0，且m n ≠），试运用构图法求出这个三角形的面积。

2.已知a,b 222222,4,4a b a b a b +++是三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。

3.设a,b,c,d 为正实数，a<b,c<d,bc>ad,222222,,()()a c b d b a d c ++-+-，求此三角形的面积。

二次根式培优专题

二次根式培优专题一、选择题1．下列各式中，不是二次根式的是（）A ．45 B ．3π- C ．14 D ．122、现有边长AB ＝10，BC ＝5的矩形纸片ABCD ，对角线BD 。

在AB 上取一点G ，以DG 为折痕，使DA 落在DB 上，则AG 的长是：（） A 、555+ B 、5510+ C 、555- D 、5510-3．下列说法正确的是（）A ．若a a -=2，则a<0 B ．0,2>=a a a 则若 C ．4284b a b a = D ．5的平方根是54．下列式子一定是二次根式的是（） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x5．下列各式中，一定能成立的是（）A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = C ．1-x 122=+-x x D ．3392+⋅-=-x x x6．下列说法错误的是 ( ） A ．962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式C ．22b a +是一个非负数 D.162+x 的最小值是47．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=38．二次根式132(3)mm ++的值是（） A ．23 B ．32 C ．22 D ．09．化简2||(0)x x y x y --<<的结果是（） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -10.已知2218102x xx x ++=，则x 等于（） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 11．若32+=a ，32-=b ，则a 与b 的关系是（） A ．互为相反数；B ．互为倒数；C ．互为负倒数；D ．以上均不对。

12．已知：a=，b=，则a 与b 的关系是（） A ．ab=1 B ．a+b=0 C ．a ﹣b=0 D ．a 2=b 213．若1≤x ＜2，则的值为（） A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2xD ．214．已知，ab ＞0，化简二次根式a 的正确结果是（） A ． B ． C ．﹣ D ．﹣15．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（） A ．B ．C ．D ．16．化简二次根式22aa a+-的结果是﹙ ﹚A ．2--a B ．2---a C ．2-a D ．2--a 17．若x<0，则xx x 2-的结果是（） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．218．已知a<02a 2a │可化简为（） A ．－a B ．a C ．－3a D ．3a19．若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．320．已知：1080n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为（） A ．2 B ．3 C ．30 D ．120．二、填空1．实数在数轴上的位置如图1所示，化简————。

二次根式培优专题讲座

2 .代数式2x3 . 4x 13的最小值是（）（A ）0 （ B ） 3 （ C ） 3.5 （ D ）13 .若m 适合关系式.3x 5y 2 m 2x 3y m 、x 199 y . 199 x y ，求 m 的值.6.已知：y E 贡〒扌，求弟；22的值.5. 化简：23 610 4 3 2 26. 化简：\ 13 2 5 2 7 2 35二、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方第16章二次根式培优专题1.化简所得的结果为（拓展）计算一、二次根式的非负性 1.若|2004 a Ja 2005 a ,则 a 20042= ______________________ :111I “ 22 32 I 1 32 4212003212200424 .已知x 、y 为实数，且y x 9 . 9 y 4，求x y 的值.3.化简:.23 6 6 4 23 <25 .已知y ■ x 88 x 18，求代数式一x —y — V x <'y 2xy x 、y y . x 的值.4.化简：2 T 2 3 .2 .2 32.化简；612 -24 .（二）分母有理化 1•计算J”5、3 3.57.55.74.化简:L L 的值.49.4747\ 49,35 .5 .. 73 2 5,7°5.化简:3 .3、62=2「6 .2.分母有理化: 2 6 2 .35 .6.化简:.10 . 14 .15 .21 '3.计算：：2 31 I 37.化简:、6 4 3 3 2 18 . 12 2 .6（三）因式分解（约分） V2 V5 v 32、30 6 2 4.3 ° 1 .化简:8.化简:2.化简: ,6显,6 .3 2 13.化简: 6 43 3 2；6 、3 .32三、二次根式的应用（一）无理数的分割 1.设a ,为3535的小数部分，b 为6 3 3. 6 3 3的小数部分，则——的值为（）b a（A ） 6 2 1 （B ） -（C ） — 1（D ） 2、3 —4282 .设，5 1的整数部分为x，小数部分为y，试求x2 3丄xy y2的值.45 1 23 .设.19 8 3的整数部分为a ,小数部分为b，试求a b -的值b 为___________ .4 .若x . 2^1 x 『2x—1 .2 成立，贝U( )1 1 3(A) x - (B) - x 1 (C) x 1 (D) x -2 2 25. 已知3 1.732 , . 30 5.477，求2.7 的值.(二)最值问题1. 设a、b、c均为不小于3的实数，贝a 2 .. b 1 |2 . c 1 |的最小值是_______ .2 .代数式vx2 4 v(12 x)29的最小值是______________ .3 .若x，y为正实数，且x y 4那么x2 1 y2 4的最小值是4.实数a，b满足a2 2a 12. 设x 2 2 2 ，y(A) x y (B) x y (C)3 .已知-15 x2、19 x2.36 12a a210 |b 3| |b 2|，则a b的最大值为________________ .(三)性质的应用1 .设m、x、y均为正整数，且6. 已知x，y都为正整数，且x . y 1998，求x y的值.7. 是否存在正整数x、y(x y)，使其满足x ... y 1476 ?若存在, 请求出x、y的值；若不存在，请说明理由.(四)因式分解I'm 28 x y，则x y m2 2 2 ，则( )x y (D) 不能确定2 ，贝U 15 x219 x2的值(1) x44 (2) 4x252(3) 16x49(五)有二次根式的代数式化简1. 已知2“)yy(6Jx 5“)，求一x——的值.2x 5 xy 3y2.已知扳仮j y 4j y 仮2五，求空_华E —到的值。

专题42 二次根式初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷

专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0，解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为．二、二次根式分母有理化【典例】已知x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，则x y +y x = ．【解答】解：把x 、y 进行分母有理化可得：x =√3+√2√3−√2=√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6， y =√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6， ∴x y +y x =x 2+y 2xy =√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．32√3+2√2−√3−2√2）A．√2B．−√2C．2D．﹣23．如果实数x，y满足（√x2+1+x）（√y2+1+y）＝1，那么x+y值为（）A．0B．﹣1C．1D．24．小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5√8−x=3，将√24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a2−√10−a2=3√2，则√22−a2+√10−a2的值为．（2）解方程√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x，得方程的解为．5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且x√y+y√x−√2009x−√2009y+√2009xy=2009则：√x+y+10=．6．已知x=b−√b2−4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．10．若m满足关系√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−199+y⋅√199−x−y，试求m的值．11．已知x =√n+1−√n√n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0，解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为．【解答】解：∵√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|+|b +4|+|b ﹣2|＝10，∵|a ﹣1|+|a ﹣5|≥4，|b +4|+|b ﹣2|≥6，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝4，|b +4|+|b ﹣2|＝6，∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，∴a2+b2的最大值为：52+（﹣4）2＝41．故答案为：41．二、二次根式分母有理化【典例】已知x=√3+√2√3−√2，y=√3−√2√3+√2，则xy+yx=．【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=√3+√2√3−√2=(√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6，y=√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6，∴xy +yx=x2+y2xy=√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020【解答】解：∵x=√2020−√2019=√2020+√2019，∴x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020＝x5（x﹣2√2019）﹣x4+x2（x﹣2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020+√2019−2√2019）﹣x4+x2（√2020+√2019−2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020−√2019）﹣x4+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝x4[x（√2020−√2019）﹣1]+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝0+x（√2020+√2019）（√2019−√2020）+2x−√2020＝﹣x+2x−√2020＝x−√2020=√2019．故选：C．三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．【解答】解：∵√3+√5−√3−√5=√6+2√52−√6−2√52=√5+1√2√5−1√2=√2，∴a的小数部分=√2−1；∵√6+3√3−√6−3√3=√12+6√32−√12−6√32=√3+3√23−√3√2=√6，∴b的小数部分=√6−2，∴2b −1a=√6−2−√2−1=√6+2−√2−1=√6−√2+1．故答案为：√6−√2+1．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由两个已知等式可得，√a=35(c+3)，|b|=25(2−c)，而|b|≥0，所以c≤2．当c ＝2时，可得a ＝9，b ＝0，满足已知等式．所以c 可能取的最大值为2．故选：C ．2．化简√3+2√2√17+12√2−√3−2√2√17−12√2的结果是（） A ．√2 B ．−√2C ．2D ．﹣2 【解答】解：3+2√2=(√2+1)2，3−2√2=(√2−1)2；17+12√2=(3+2√2)2，17−12√2=(3−2√2)2，因此，原式=√3+2√2√3−2√2=√2+1√2−1=−2．故选：D ．3．如果实数x ，y 满足（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，那么x +y 值为（）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2 【解答】解：∵（√x 2+1+x ）（√x 2+1−x ）＝x 2+1﹣x 2＝1，（√y 2+1+y ）（√y 2+1−y ）＝y 2+1﹣y 2＝1又∵（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，∴{√x 2+1−x =√y 2+1+y①√y 2+1−y =√x 2+1+x②， ①+②得：﹣x ﹣y ＝x +y ，∴2（x +y ）＝0，∴x +y ＝0．故选：A ．4．小明在解方程√24−x −√8−x =2时采用了下面的方法：由(√24−x −√8−x)(√24−x +√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x ）﹣（8﹣x ）＝16，又有√24−x −√8−x =2，可得√24−x +√8−x =8，将这两式相加可得{√24−x =5√8−x =3，将√24−x =5两边平方可解得x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a 2−√10−a 2=3√2，则√22−a 2+√10−a 2的值为．（2）解方程√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，得方程的解为．【解答】解：（1）（√22−a 2+√10−a 2）（√22−a 2−√10−a 2）＝22﹣a 2﹣（10﹣a 2）＝12，∵√22−a 2−√10−a 2=3√2，∴√22−a 2+√10−a 2=2√2，故答案为：2√2；（2）（√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5）（√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5）＝（4x 2+6x ﹣5）﹣（4x 2﹣2x ﹣5）＝8x ，∵√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，∴√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5=2，将这两式相加可得√4x 2+6x −5=2x +1，解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解．∴原方程的解为：x ＝3，故答案为：x ＝3．5．已知整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 则：√x +y +10= ．【解答】解：∵x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 ∴√xy （√x +√y ）−√2009（√x +√y ）+√2009xy −√20092=0 （√x +√y +√2009）（√xy −√2009）＝0∵1＜x ＜y ＜100∴√xy −√2009=0∴xy ＝2009＝7×7×41＝49×41∵整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100∴x ＝41，y ＝49∴√x +y +10=√41+49+10=√100=10．故本题答案为：10．6．已知x =b−√b 2−4122（b ＞21），则x 2﹣bx +103＝．【解答】解：将x =b−√b 2−4122代入x 2﹣bx +103， x 2﹣bx +103＝（b−√b 2−4122）2﹣b •b−√b 2−4122+103 =b 2−2b √b 2−412+b 2−4124−b 2−2b √b 2−412+b 2−4124＝0，故答案为0．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5＝（x+1x）2+6（x+1x）+5＝（x+1x+1）（x+1x+5），∵x＝3+2√2，∴1x =3+2√2=3﹣2√2，∴x+1x=3+2√2+3﹣2√2=6．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式＝2√5（8√5−9√5+2√5）＝2√5×√5＝10；（2）原式=√3+1+3√3−1+1 9＝4√3+1 9；（3）∵a=√5+1，b=√5−1，∴a+b＝2√5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2√5＝8√5；（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．∴√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．【解答】解：∵x ﹣y ＝6，∴(√x +√y)(√x −√y)=6，∴√x +√y =√x−√y ， ∵√x 2−xy +√xy −y 2=√x •√x −y +√y •√x −y=√x −y （√x +√y ）＝9， ∴√6√x−√y =9，即√x −√y =6√69， ∴√x 2−xy −√xy −y 2=√x −y （√x −√y ）=√6×6√69 ＝4．10．若m 满足关系√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =√x −199+y ⋅√199−x −y ，试求m 的值．【解答】解：根据题意得：{x −199+y ≥0199−x −y ≥0，则x +y ﹣199＝0，即√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =0，则{x +y −199=03x +5y −2−m =02x +3y −m =0，解得{x =396y =−197m =201．故m ＝201．11．已知x =√n+1−√n √n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．【解答】解：不存在．∵x +y =√n+1−√n√n+1+√n √n+1+√n√n+1−√n =(√n +1−√n)2+(√n +1+√n)2＝n +1﹣2√n(n +1)+n +n +1+n +2√n(n +1)=4n +2．xy =√n+1−√n√n+1+√n •√n+1+√n=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2＝1998．19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=1962 19．（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=√200019=20√9519．由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=20√9519不为整数．∴不存在这样的自然数n．。

二次根式复习专题讲义(补课用)详解

二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.a ≥0）是一个非负数。

③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算（1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习：一、选择题1中，与是同类二次根式的是（）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习：一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算（1））（3-）（2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习：一、选择题1．）．AC2（）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。

八年级数学二次根式培优专题

第 1 页共 2 页《二次根式》培优习题训练【知识要点】 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 2. ()()a aa 20=≥． 3. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系. （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 4、性质：（1）非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）.()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()2（3） a a a aa a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 5、（1）最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．（2）同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a =来确定，如：，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a +与a，（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式 7、二次根式的运算：（1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式专题(含答案详解)

数学专题第六讲：二次根式【基础知识回顾】一、二次根式式子a （）叫做二次根式提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式二、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）③= （a ≥0 ,b ≥0）④= (a ≥0, b ≥0)提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是，因式是整式2、被开方数不含的因数或因式四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算再算最后算提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成重点考点例析考点一：二次根式有意义的条件A ．x ≠3B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3（a ≥o ）（a ＜o ）思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可．解：要使代数式43x -有意义，必须x-3＞0，解得：x ＞3．故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0．对应训练 1．使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（） A ．x≥0 B ．x≠12C ．x≥0且x≠12 D ．一切实数解：由题意得：2x-1≠0，x≥0，解得：x≥0，且x≠12，故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ．故选C ．点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．对应训练2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2()a b a ++的化简结果为．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|， ∴2()a b a ++=|a+b|+a =-a-b+a=-b ，故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3．二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，将各式进行化简是解题关键．对应训练=4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0， 1+， (1)11)44x x x+=考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．80分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可．解：2221146450-- =2(11464)(11464)50+-- =1785050⨯- =50(17850)⨯- =50128⨯=222582⨯⨯⨯=2×5×8，=80，故选D ．考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算【聚焦中考】1．下列运算正确的是（）B ．A 2(5)5-=- B ．21()164--= C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 52.计算：182= ．0 3．计算：0(3)123-+⨯= ．7【备考真题过关】一、选择题1．要使式子2x -有意义，则x 的取值范围是（ D ）A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2 D．x≤2 2．计算102÷=（ A ）A 5B ．5C ．52D ．1023.计算：322-=（）4．已知3()(221)3m =-⨯-，则有（） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5 解：3()(221)3m =-⨯- 23213=⨯ 2373=⨯ 2728==，∵252836<<，∴5286<<，即5＜m ＜6，故选A ．5．下列计算正确的是（ D ） A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3223-=D ．14772⨯=6．下列等式一定成立的是（ B ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=7．使式子有意义的x 的取值范围是（） A ． x≥﹣1 B ． ﹣1≤x≤2C ． x≤2D ． ﹣1＜x ＜2解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2；故选B ．8．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A ．B ．C ．D ．解：∵×=a ﹣b ，∴二次根式的有理化因式是：．故选：C ．主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键． 9．下列计算错误的是（）A．B．C．D．分析：根据二次根式的乘法对A、B进行判断；根据二次根式的除法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．解：A、=，所以A选项的计算正确；B、与不是同类二次根式，不能合并，所以B选项的计算错误；C、÷===2，所以C选项的计算正确；D、==×=2，所以D选项的计算正确．故选B．10．下列计算正确的是（）A．B．C．D．分析：根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D 进行判断．解：A、与不能合并，所以A选项不正确；B、×=，所以B选项不正确；C、﹣=2=，所以C选项正确；D、÷=2÷=2，所以D选项不正确．故选C．11．下列计算或化简正确的是（）A．a2+a3=a5B．C．D．分析：A、根据合并同类项的法则计算；B、化简成最简二次根式即可；C、计算的是算术平方根，不是平方根；D、利用分式的性质计算．解：A、a2+a3=a2+a3，此选项错误；B、+3=+，此选项错误；C、=3，此选项错误；D、=，此选项正确．故选D．考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是灵活掌握有关运算法则，并注意区分算术平方根、平方根．12．下列计算正确的是（）A．B．C．D．分析：根据二次根式的乘除法则，及二次根式的化简结合选项即可得出答案．解：A、•=1，故本选项正确；B、﹣≠1，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、=2，故本选项错误；故选A．二、填空题解：∵20n=22×5n． ∴整数n 的最小值为5．故答案是：5．∴222a <-<，即22b <<．故答案为：22b <<．1205的结果是22的结果是2)222+⨯⨯1。

《二次根式》培优专题一

二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。

3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。

届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。

双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。

【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值(含答案)(难)

二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】（1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4. 若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的值为1985？B 级1. 已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2. 已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4. a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（）A . 2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6．已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（）A . 1B . 2C . 3D . 4（陕西省竞赛试题）9．把(1)a - ）A .B C. D . （武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0．例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5．(3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582．例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0．例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217．例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y + (2)原式＝32625++-＝()()22325+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999. 5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。

(完整word版)二次根式拓展专题培优

二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=,求x+y 的值4、已知实数a,b ，c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。

练习：1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ,则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是2、把a b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习: 1、化简（1)a a 1- （2）22xx x --2、已知a ，b ，c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x =三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+,1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+，1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+，猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412、计算2201612018201720162015-+⨯⨯⨯的结果为练习：1、设n,k 为正整数，,, ,已知，则 2、小明做数学题时，发现,，,,按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数四、分母有理化例题:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子"如:，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：,像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化．解决问题：①的有理化因式是 ,121分母有理化得 ②计算：③计算：． ④已知，,则⑤已知:,,,试比较a 、b 、c 的大小。

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二次根式培优一、知识的拓广延伸1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 a a ()≥0的式子叫做二次根式，其中0a ≥。

根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a 的取值范围是 0a ≥ ，由此我们判断下列式子有意义的条件：2、教科书中给出：(0)a a =≥，在此我们可将其拓展为：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() （1）、根据二次根式的这个性质进行化简：①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a②化简求值：1a a=15③已知，132m -<<，化简2m④______=；⑤若为a,b,c ________=;___________=.（2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。

①若1m =,求m 的取值范围。

4x =-，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．③若a =④3,2xy 已知求的值。

二．二次根式a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即0≥a②二次根式a 是非负数，即0≥a例1. 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（）．A ．21≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠21C ．21＜x ＜3D ．21＜x ≤3例2（1）化简x x -+-11 ＝_______．(2)x ＋y )2，则x －y 的值为( )(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。

三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。

在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。

如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。

（1）、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。

四，拓展性问题1、整数部分与小数部分要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。

例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。

（2）若x 、y 分别为 82xy —y 2的值。

（3a ，小数部分为b ，求a 2+b 2的值。

（4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。

2、巧变已知，求多项式的值。

3、用归纳法化简求值五．其他例11.观察分析下列数据，寻找规律：0，3，,32,3,6……那么第10个数据应是。

例12.（1）已知n 是一个正整数，n 135是整数，则n 的最小值是（）。

A ．3B ．5C ．15D ．25（2）．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（） A ．12 B ．11 C ．8 D ．326．有这样一类题目：将2a b ±化简，如果你能找到两个数m 、n ，使22m n a +=并且mn b =,则将2a b ±变成()2222m n mn m n +±=±开方，从而使得2a b ±化简。

例如：化简322± 仿照上例化简下列各式：（6分）（1）423+ （2）526- （二）勾股定理提高题一、选择题1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长（）A 、4 cmB 、8 cmC 、10 cmD 、12 cm2、如图①小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )A 、 25B 、 12.5C 、 9D 、 8.53、△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）.A 、50a 元B 、600a 元C 、1200a 元D 、1500a 元4、如图②是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（） A 、13 B 、26 C 、47 D 、945、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A 、25B 、14C 、7D 、7或256、等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、647、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A 、5B 、25C 、7D 、15E AB C D图④ C A 图①图② 图③ 520 1510 CA B8、△ABC 中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长是( )A.42B.32C.42或32D.37或339、如图③，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )A 、、25 C 、、3510、如图④，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.A 、12B 、7C 、5D 、13二、填空题1、在Rt ∆ABC 中，∠C=900，∠A,∠B,∠C 所对应的边分别是a,b,c.(1)若a=3cm,b=4cm,则c= ；(2)若a=8cm,c=17cm,则b= ；(3)若b=24cm,c=25cm,则a= ；(4)若a:b=3:4,c=10cm,则a= ,b= .2、在Rt ∆ABC 中，∠A=900，a=13cm,b=5cm,则第三边c= .3、已知直角三角形的两边长为5,12，则第三边的长为 .4、在RtABC 中，斜边AB=2，则AB 2+AC 2+BC 2=______.5、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .6、直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为 cm.7、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑的高度是 m.8、在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC ∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________.9、在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边的比为13:5，则这个三角形的斜边长是 .10、已知∆ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高，DC=2，则BD= .11、在∆ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为 .12、直角三角形有一条直角边长为11，另外两边长是两个连续的正整数，那么它的周长是 .13、直角三角形有一条直角边长为11，另外两边的长也是正整数，那么它的周长是 .14、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.15、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为 .16、如图⑤，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A,C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形C A BD 图⑧CAB S 1 S 2 A 1B A B 的边长是 .图⑤ 图⑦17、若正方形的面积为18cm ²，则正方形对角线长为 cm 。

18、如图⑦，长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在F 处，BF 交AD 于点E,AD=8，AB=4，则DE 的长为 . 19、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为；20、如图⑧，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．三、解答题1、如图，在△ABC 中∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.求BD 和AD 的长.2、如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？3、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少?4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•5、在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，AC= 3.点D 为BC 边上一点，且BD=AD, ∠ADC=60°.求∆ABC的周长。

（结果保留根号）6、如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在CH 上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D,E 是AD 上任一点. 求证:2222AB AC EB EC -=-. EB MD CHCFA B CE。