培优专题：二次根式

二次根式培优

一、 知识的拓广延伸

1、 挖掘二次根式中的隐含条件

一般地，我们把形如 a a ()≥0的式子叫做二次根式，其中0a ≥。

根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a 的取值范围是 0a ≥ ，由此我们判断下列式子有意义的条件：

2、

教科书中给出：(0)a a =≥，在此我们可将其拓展为：a a a a a a 2

00==≥-<⎧⎨⎩||()() （1）、根据二次根式的这个性质进行化简：

①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a

②化简求值：1a a=15

③已知，132m -<<，化简2m

④______=；

⑤若为a,b,c ________=;

___________=.

（2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。

①若

1m =,求m 的取值范围。

4x =-，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

③若a =

④3,2xy 已知求的值。

二．二次根式a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即0≥a

②二次根式a 是非负数，即0≥a

例1. 要使1

213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）．

A ．21≤x ≤3

B ．x ≤3且x ≠21

C ．21＜x ＜3

D ．2

1＜x ≤3

例2（1）化简x x -+-11 ＝_______．

(2)

x ＋y )2，则x －y 的值为( )

(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．

例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( )

A ．2

B ．0

C ．－2

D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。

三，如何把根号外的式子移入根号内

我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。

（1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：

①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。

四，拓展性问题

1、 整数部分与小数部分

要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。

例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。

（2）若x 、y 分别为 82xy —y 2的值。

（3

a ，小数部分为

b ，求a 2+b 2的值。

（4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。

2、巧变已知，求多项式的值。

3、用归纳法化简求值

五．其他

例11.观察分析下列数据，寻找规律：0，3，,32,3,6

……那么第10个数据应是 。

例12.（1）已知n 是一个正整数，n 135是整数，则n 的最小值是（ ）。

A ．3

B ．5

C ．15

D ．25

（2）．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3

26．有这样一类题目：将2a b ±化简，如果你能找到两个数m 、n ，使22m n a +=并且mn b =,则将2a b ±变成()2

222m n mn m n +±=±开方，从而使得2a b ±化简。 例如：化简322± 仿照上例化简下列各式：（6分）

（1）423+ （2）526- （二）勾股定理提高题

一、选择题

1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长（ ）

A 、4 cm

B 、8 cm

C 、10 cm

D 、12 cm

2、如图①小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )

A 、 25

B 、 12.5

C 、 9

D 、 8.5

3、△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如

果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）.

A 、50a 元

B 、600a 元

C 、1200a 元

D 、1500a 元

4、如图②是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94

5、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A 、25

B 、14

C 、7

D 、7或25

6、等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64

7、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，

那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A 、5

B 、25

C 、7

D 、15

E A

B C D

图④ C A 图①

图② 图③ 5

20 15

10 C

A B