平面向量共线的坐标表示

课时跟踪检测（二十一） 平面向量共线的坐标表示

层级一 学业水平达标

1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )

A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)

B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)

C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)

D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12

，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12

e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.

2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( )

A ．－23

B.32

C.23 D ．－32

解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)，

∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23

，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( )

A ．(2,1)

B ．(－6，－3)

C ．(－1,2)

D ．(－4，－8)

解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)

与(1,2)平行且方向相反．

4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )

A ．－3

B ．2

C ．4

D ．－6

解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.

5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝

⎛⎭⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45°

B ．30°

C ．60°

D ．15°

解析：选A 由a ∥b ，得－2×⎝⎛⎭⎫－14－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0，即12

＝1－cos 2θ＝sin 2θ，得sin θ＝±22，又θ为锐角，∴sin θ＝22

，θ＝45°，故选A. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．

解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，

∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.

答案：1

7．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.

解析：AB ―→＝(x ＋1，－6)，AC ―→＝(4，－1)，

∵AB ―→∥AC ―→，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.

答案：23

8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________． 解析：由题意知，a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)．因为(a ＋λb )∥c ，所以4(1＋λ)－2×3＝

0，解得λ＝12

. 答案：12

9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0,0)，B (3,1)，C (4,3)，

D (1,2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM ―→，CN ―→的坐标，并判

断AM ―→，CN ―→是否共线．

解：由中点坐标公式可得M (2.5,2.5)，N (1.5,0.5)，

∴AM ―→＝(2.5,2.5)，CN ―→＝(－2.5，－2.5)，

又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，∴AM ―→，CN ―→共线．

10．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ―→＝13AC ―→，BF ―→＝13

BC ―→，求证：EF ―→∥AB ―→.

证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，

依题意有AC ―→＝(2,2)，BC ―→＝(－2,3)，AB ―→＝(4，－1)．

∵AE ―→＝13AC ―→，∴(x 1＋1，y 1)＝13

(2,2)．

∴点E 的坐标为⎝⎛⎭

⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫83

，－23. 又83

×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ―→∥AB ―→. 层级二 应试能力达标

1．已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( )

A ．2

B ．－2

C ．－3

D ．3

解析：选C 因为a ＋b ＝(2，m ＋1)，

所以－(m ＋1)＝2，

解得m ＝－3.

2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )

A ．13

B ．－13

C ．9

D ．－9

解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，

∴AB ―→∥AC ―→，而AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)，

∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.

3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )

A ．k ＝1且c 与d 同向

B ．k ＝1且c 与d 反向

C ．k ＝－1且c 与d 同向

D ．k ＝－1且c 与d 反向

解析：选D 若c ∥d ，则c ＝λd ，

∴(k,1)＝λ(1，－1)

∴k ＝λ＝－1，

∴k ＝－1，且c 与d 反向．

4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )

A ．(1,5)或(5,5)