平面向量共线的坐标表示
第二章 平面向量共线的坐标表示
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规 律 归 纳 涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为 主， 另外还会与解析几何知识相结合， 以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2， －1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】 向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA， 即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0， 整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
平面向量共线的坐标表示解析
由平面几何知A识G得 2：AD
B
3
2(x1 x3 2x1 , y1 y3 2y1)
3
2
2
OGOA AG
D
A
G
(x1,
y1)
(
x2
x3 3
2x1
,
y2
y3 3
2y1
)
C
(x2 x3 x1 , y2 y3 y1 )
O
X
3
3
G (x1x2x3,y1y2y3)
3
3
rr a 2b
1.已知a (2,4),b (1,2),则a与b的关系是（.D...）.
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
法二：设Px, y
y P2
x P1 Px1,y 12 Py P1 2,1 2x2x,y2y
P1
P
有
x y
x1 y1
1 2 1 2
x2 y2
x y
O
解P 有 点坐 2x1标 x2,2y1y2
A.30...............B.60............C.45..............D.75
4.设向量a32、b不13平行s，in求证co：s向量a b和向量a b不平行。
4.向量a，b不平行，求证：向量 a – b 与a + b不平行。
证明：设向量 a – b 与a + b平行。
rr rr
设 ab r( ab )r r
( 1 ) a ( 1 ) b 0
1 1
0 0
显然，上述方程没有实数解。
∴ 向量 a – b 与a + b平行。
平面向量共线的坐标表示
解：∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由两向量平行得 3(k－2)－7×(－1)＝0. 1 ∴k＝－3.
7 此时，ka－b＝－ ，－1 3
1 1 ＝－3(7,3)＝－3(a＋3b)． ∴它们是反向的．
• 2．3.4 平面向量共线的坐标表示
• 1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量，以及两直 线平行和两向量共线的判定的区别．(易混点) • 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ，并能会应 用．(重点) • 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(难点)
• 两向量平行的条件
•
如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ • 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当 两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向． • 例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； • 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
→ → → 【典例】 已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2， → → －3)，当BC∥DA时，求实数 x，y 应满足的关系．
→ → → → → 【错误解答】DA＝－AD＝－(AB＋BC＋CD) ＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)． → → → BC＝(x，y)，当BC∥DA时，x(－x－4)－y(－y＋2)＝0 即 x2－y2＋4x＋2y＝0.
→ BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． → → 而AB、BC共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2，∴当 m＝－2 时， A、B、C 三点共线．
平面向量共线的坐标表示
向量共线的应用
向量共线可以用于解决一些实际问题，例如物理 学中的力合成、物理学中的速度合成等。
向量共线也可以用于解析几何中的图形变换、线 性变换等。
在向量研究中，向量共线还可以用于证明一些定 理和推导一些公式。
向量共线的坐标表示
向量共线定理
如果两个向量$\overrightarrow{AB}$和 $\overrightarrow{CD}$共线，那么存在实数 $\lambda$使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$。
坐标表示
设$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$， $\overrightarrow{CD}=(x_2,y_2)$，如果 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$，则有$\left\{\begin{matrix} x_1=\lambda x_2 \\ y_1=\lambda y_2 \end{matrix}\right.$。
向量共线的代数表示
总结词
如果两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$共线，那么存在一个 非零实数$\lambda$，使得 $\overset{\longrightarrow}{b} = \lambda\overset{\longrightarrow}{a}$。
向量共线的性质
要点一
向量共线的性质包括
交换律、结合律、分配律等。这些性质可以用来简化向 量的运算，并用于解决实际问题。
2.3.4平面向量共线的坐标表示
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：课本P101习题2.3.4：6、7 B组1~4
《聚焦课堂》
再见!
聚焦作业手册P80: 8T
已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB＋λAC (λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内? 解:设P(x,y). AP =(x－2,y－3), AB =(3, 1), x－2=3＋5λ y－3=1＋7λ AC =(5, 7), (x－2, y－3) =(3, 1)＋λ(5, 7) =(3＋5λ, 1＋7λ) x=5＋5λ <0 y=4＋7λ <0
∴只能有:
(1)k 1 : ke1 e2 e 1 ke2 ,同向共线. (2)k 1 : ke1 e2 (e 1 ke2 ) ,反向共线.
{ k 1 0
k 0
λ 1 k 1.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ).
B( x 2 , y 2 )
x1=x2,且y1=y2
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
探究：
向量平行的坐标表示
向量平行的向量表示
设a=(x1,y1), b=(x2,y2), 其中a≠0, b // a b = λa (x2,y2) =λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
(x , y ) λa 3.两个结论 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) a b x1=x2,且y1=y2 4.共线向量的充要条件:(a≠0) x1y2-x2y1=0 向量a与b共线 b=λa
a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ), a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ),
平面向量共线的坐标表示29371
复习 平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复习
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解；
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
3. 向量共线有哪两种形式?
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
特别地, i (1, 0),
j (0, 1), (0, 0).
a
j
Oi
x
平面向量的坐标运算
a a
a
b
(
x1
x2，y1
b ( x1 x2，y1
(x,y)
y2 y2
) )
两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
高一数学平面向量共线的坐标表示(中学课件201911)
例题讲解
例1、已知a (4, 2),b (6, y),且a // b,求y.
例2、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)， 试判断A、B、C三点是否共线？
问题探究
设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标 分别为(x1, y1),(x2 , y2 ).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标. (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点 P的坐标.
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.
a (x1, y1)
(3)当P1P= PP2时，求点P的坐标.
例题讲解
《学海》习题讲解
布置作业
作业： 1、P101习题A组：6、7. B组：2； 2、学海第7课时
4.任意一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点坐标减去始点坐 标.
复习巩固
5.a (x1, y1),b (x2 , y2 ),(b 制作 武汉做网站 武汉网站制作 武汉做网站
；
贫守道 子肃之 论所谓’逗极无二’者 "潜也何敢望贤？何谓其同？欲举为秀才 示形神于天壤 亲老家贫 武帝北伐 濮阳鄄城人也 彦之诫曰 素琴 以供祭祀 景翳翳其将入 临沧洲矣 "既没不须沐浴 征辟一无所就 应感之法 "吴差山中有贤士 别有风猷 服寒食散 老全其生 宋国初建 凝之曰 昔有鸿 飞天首 时往游焉 "仆著已败 命为谘议参军 若夫陶潜之徒 人不能测 辄当申譬 身处卿佐 &
平面向量共线的坐标表示
2．3.4平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点 平面向量共线的坐标表示1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb . 2．如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线．注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( × )提示 当y 1y 2＝0时不成立．2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ )4．向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线．(√)题型一向量共线的判定例1(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案 D解析A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D.(2)在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7)表示出来的是() A．e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)B．e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)C．e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)D．e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定 答案 C解析 平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A ，B ，D 都是两个共线向量，而C 不共线，故C 可以把向量a ＝(－3,7)表示出来．反思感悟 向量共线的判定题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪训练1 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 B解析 A 选项，∵e 1＝0，e 1∥e 2，∴不可以作为基底；B 选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e 1与e 2不共线，故可以作为基底；C 选项，3×10－5×6＝0，e 1∥e 2，故不可以作为基底；D 选项，2×⎝⎛⎭⎫－34－(－3)×12＝0， ∴e 1∥e 2，不可以作为基底． 故选B.题型二 三点共线问题例2 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 三点共线的判定与证明 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练2 已知OA →＝(k ,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 －14解析 AB →＝OB →－OA →＝(1－k,2k －2)， AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)， 由题意可知AB →∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0， 解得k ＝－14(k ＝1不合题意舍去)．由向量共线求参数的值典例 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.引申探究1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由本例知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k ,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k＝－13.[素养评析](1)由向量共线求参数的值的方法(2)本题利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)，再解得参数的值，这正是数学核心素养数学运算的体现．1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为()A．2 B．－2 C．3 D．－3考点向量共线的坐标表示的应用题点利用向量共线求参数答案 D解析因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.2．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫1213，－513 B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513 D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求向量的坐标 答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎨⎧x ＝－1213，y ＝－513.3．若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝______. 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求参数 答案 π3解析 ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3， 又α为锐角，故α＝π3.4．已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 6解析 AB →＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)． AC →＝(3，m )－(1,2)＝(2，m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴1×(m －2)－2×2＝0，∴m ＝6.5．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数 答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.一、选择题1．下列向量中，与向量c ＝(2,3)不共线的一个向量p 等于( ) A ．(5,4) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 A解析 因为向量c ＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线． 2．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(2,2)，e 2＝(1,1) B ．e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8) C ．e 1＝(1,0)，e 2＝(0，－1) D ．e 1＝(1，－2)，e 2＝⎝⎛⎭⎫－12，1 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 C解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底．3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 D4．(2018·云南昆明联考)如果向量a ＝(k ,1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于( )A ．±2B ．－2C ．2D ．0 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 ∵a 与b 共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b ＝λa ，即(4，k )＝λ(k ,1)＝(λk ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝4，k ＝λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，λ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λ＝2(舍去)． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 C解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C. 6．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( )①存在实数x ，使a ∥b ；②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ；③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ；④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .A ．0B ．1C ．2D ．3考点 平面向量共线的坐标表示题点 向量共线的判定与证明答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 C解析 因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1.8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 由题意，得m ＋4＝0，所以m ＝－4.所以a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．二、填空题9．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝______.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 －6解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.10．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A ，C ，D 三点共线，则k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 4解析 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)．又A ，C ，D 三点共线，所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.11．已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 (3,3)解析 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34， 所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m ,3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形，∴AB →，AC →不共线．又∵AB →＝(1,1)，AC →＝(m －2,4)，∴1×4－1×(m －2)≠0.解得m ≠6.∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}．三、解答题13．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，求点E 的坐标． 解 ∵AC →＝12BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →， 设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)，∴x C ＝3，y C ＝－6，∴C 点的坐标为(3，－6)，又|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE →＝－14ED →，设E (x ，y )， 则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )， 得⎩⎨⎧ x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7. 故点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫83，－7.14.如图所示，已知在△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求点的坐标解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C ⎝⎛⎭⎫0，54. ∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① 又∵CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74，CM →∥CB →， ∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。
平面向量平面向量共线的坐标表示
03
CATALOGUE
平面向量共线的坐标变换
坐标轴的旋转
绕原点逆时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$，$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$。
绕原点顺时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta + y\sin\theta$，$y' = -x\sin\theta + y\cos\theta$。
平面向量平面向量 共线的坐标表示
目 录
• 平面向量共线的坐标表示 • 平面向量共线的坐标运算 • 平面向量共线的坐标变换 • 平面向量共线的坐标应用
01
CATALOGUE
平面向量共线的坐标表示
定义及坐标表示
平面向量共线定义
若存在实数λ，使得向量a=λb，则向量a与向量b共线。
平面向量的坐标表示
详细描述
设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a+b=(x1+x2,y1+y2)。向量坐标的加法 运算满足平行四边形法则，即对角线上的两个向量之和等于0。
坐标的数乘运算
总结词
数乘向量坐标运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb ，(k+l)a=ka+la。
详细描述
设向量a=(x,y)，k为实数，则向量ka=kx,ly)。数乘向量坐标 运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。
平面向量共线的坐标表示学案
必修42．3．4 平面向量共线的坐标表示【学习目标】1.能自己推导出平面向量共线的坐标表示，能对该结论熟练运用、解决实际问题；2.知道利用向量推导定比分点公式的推导方法，并运用此方法求解一些问题；3.培养同学们在解决问题过程中见“数”思“形”、以“形”助“数”的思维习惯.【学习重点】平面向量共线的坐标表示及运用 【难点提示】定比分点公式的推导与理解.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材98102P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.平面向量的坐标运算公式，若),(11y x a =，),(22y x b = ，则________a b +=；_________a b -=；______()a R λλ=∈；2.向量共线定理：向量）（0≠a a 与b 共线 有 一个实数λ，使_______； ３.若点),(11y x A ，),(22y x B ，则________________________=AB４.令),(11y x a = ，),(22y x b = ,则⇔=⇔=),(),(2211y x y x b a___________二、学习探究 1.向量共线的坐标表示在“学习准备中”我们已经回顾了向量共线定理和平面向量坐标表示及运算，那么，我们自然要想这两者有怎样的联系呢？向量共线定理能否用坐标来表示呢？请同学们运用前面所学知识，亲自动手推导一下看！自己独立思考后，请阅读教材，在归纳总结.归纳概括 向量共线的坐标表示： 设),(11y x a =，),(22y x b = ，且）（0 ≠b ，则由向量共线定理可知，a//⇔≠)0( b b _________________________.快乐体验 （1）若向量a=(4，2)、b =(6，y)且a b ，求实数y 的值．解：（2）教材P100页练习第4题，可以作在书上. 解：同学们通过探究、归纳、体验，对向量共线的坐标表示有哪些感悟，能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展 （1）（2 （3）向量共线有几种表现形式与判定方法？（链接1） 2.定比分点公式联想思考 现有这样一个问题：如图2.3.4-1已知点 111222(,)(,)P x y P x y 、，有一个人在直线12PP 上从1P 点开始走，当走到P 点时，他测得 12PP PP λ= (其中λ为给 定的常数),现在他想知道所在P 点的坐标，你能帮助他完 成这个心愿吗？温馨提示 （1）这时点P 的坐标能确定吗？若能确定，现在那些是已知，需要求什么？ （2）如何利用三个条件12PP PP λ=、111222(,)(,)Px y P x y 、，是否需要设点P 的坐标 (,)x y ，在看运用那些知识可将三个点的坐标与已知式联系起来，从而用12P P 、的坐标及λ表示出,x y .推导过程归纳结论 若111222(,)(,)P x y P x y 、、(,)P x y ，当12PP PP λ=(其中λ为常数)，则： _________,__________,x y ==这时我们把点P 叫做有向线段12PP 的定比分点，常数λ叫做点P 分有向线段12PP 的定比分值.快乐体验 教材P101页练习的5、6、7. 解：同学们通过探究、推导、归纳、体验，对定比分点坐标公式及相关内容有哪些感悟，你能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展 （1）在关系式12PP PP λ=中，λ可以取那些实数？λ的取值与点P 的位置有何关系？（链接2）（2）该公式有何特征？有几个量？如何记忆？如何使用？使用范围是什么？ （3）当1λ=时，点P 是线段12PP 的 点，此时，_____,_____,x y ==（链接3） （4）若点G 是ABC ∆的重心，),(11y x A 、),(22y x B 、33(,)C x y 、(,)G x y ，请用A 、B 、C 三点的坐标表示x y 、，有_________,__________x y ==（链接4）.三、典例赏析例1.教材P98页例7，请同学们先独立完成后在对比教材的解答. 解:解后反思 （1）该题的题型怎样？你的求解与教材一致吗？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？还有方法吗？（2）向量平行、向量共线、三点共线、直线平行有什么区别与联系？变式练习 已知a =(1,0),b =(2,1),当实数k 为何值时，向量k a －b 与a +3b 平行？ 并确定此时它们是同向还是反向.解：例２.设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标． 解：解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？若点P 为线段P 1P 2的一个四分点，如何求解呢？变式练习 如图2.3.4-2，已知ABC ∆中，A(0,5)，O （0,0），B （4,3），14OC O A =,12OD OB =，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法， 你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量共线的坐标表示、有向线段定比分点公式等都理解与掌握了吗？并能灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价１. 若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x 的值为（ ） Ａ－３ Ｂ－１ Ｃ１ Ｄ３２. 若j i 2+=, j y i x )4(3-+-=）（ (其中j i,的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量) AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）Ａ１，２ Ｂ２，２ Ｃ３，２ Ｄ２，４３. 已知(x,1)b ,)1,2(==a ,若b a b a -+22与平行,则ｘ的值为４. 已知，平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A （2，1），B （－1，3），C （3，4），则第四个顶点D 的坐标是_____________５. 已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD 是梯形证：6.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，,31=31=, 求证：EF ∥证：7.已知三点A (0，8)，B (－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分AB 的比为１∶３，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标. 解：8.教材P101习题2.3B 组第3、4题.◆承前启后 现在我们学习了向量的线性运算与坐标运算等知识，那么我们自然是否应想到向量还有其它的运算方式呢？如：向量有乘法与除法吗？【学习链接】链接1.向量共线从“形”上有平行与在同一直线上，从“式”上有线性关系与坐标表示. 判定方法三种：几何法、线性法、坐标法.链接2. P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有四种情况：0λ=时，点P 与1P 重合；λ>0(内分) (外分) (λ<-1) ( 外分) (-1<λ<0)链接3. 当1λ=时，P 为线段12PP 的中点，121222x x y y x ++==、y 叫中点坐标公式；链接4.若G 是ABC ∆的重心，),(11y x A 、),(22y x B 、33(,)C x y 、(,)G x y ，则： 1233x x x x ++=，1233y y y y ++=叫三角形的重心坐标公式.。
平面向量共线的坐标表示 课件
(1)
uuur AB
2,1
2①,3
4, 4
,
uuur CD
7,
4
1,①4
……8,…8… …, …………2分
∵4×(-8)-4×(-8)=0②,
∴
uuur AB
P
CuuDur，即AuuBur与CuuD…ur共…线…. ……………4分
(2)∵a∥b,∴6(x2-2x)-3m×2=0②, ……………………6分
由向量共线求参数的值
【技法点拨】
由向量共线求参数的值的方法
求
根据题意求出有关向量的坐标.
利用向量共线的坐标表示得到有 列
关参数的方程（组）.
解
解得参数的值.
【典例训练】
1.(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，
c＝(3,4)．若λ为实数，(a+λb)∥c，则λ＝( )
(A)
【典例训练】 1.(2012·汕头高一检测)若A(-1，-2)，B(4，8)，C(5,x) 且A,B,C三点共线，则x=________. 2.若三点A(-2，-2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则 1 ＋1 的值为__________．
mn
3.已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，求证: A，B，C三点 共线．
所以e1=(0,0)与e2=(1,-2)不能作为平面内所有向量的基底.
对于B，因为(-1)×7-5×2=-17≠0，所以e1与e2不共线，
所以e1=(-1,2)与e2=(5,7)能作为平面内所有向量的基底.
对于C，因为3×10-6×5=0，所以e1∥e2,
所以e1=(3,5)与e2=(6,10)不能作为平面内所有向量的基底.
第二章23234平面向量共线的坐标表示
[活学活用] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥(a－ 3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)， ∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)． 由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
A．3
B．－3
1 C.3 解析：选 C
D．－13 ∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.
返回
2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与 AB平行且方向相反的向量 a
是
()
A．(2,1) C．(－1,2)
B．(－6，－3) D．(－4，－8)
解析：选 D AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2) 与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
返回
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 λa＋μb 与 a＋b 共线，则 λ 与 μ 的关系是________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa＋μb)∥(a＋b)， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ
返回
∴yx＝＝－2＋11＋231＋×＋2323×23－31，，
即xy＝＝3545.，
故 P 点坐标为54，35.
(2)当 P1P 与 PP2 反向时，则有 P1P ＝－23 PP2 ，设 P 点坐
_平面向量共线的坐标表示
k 1 3
这两个向量是反向.
4. 若三点P(1, 1)，A(2, －4)，B(x, －9)共线，
则 （B）
A．x =－1
B．x=3
C．x = 9
2
D．x=51
5.设a=( 3 , sinα)，b=(cosα, 1 )，且a// b，则
2 锐角α为 ( C )
3
A．30o
B．60o
C．45o
uuuur 设 P1( x1, y1 ) ，P2 ( x2 , y2 )，P分P1P2 所成的
比为 ，如何求P点的坐标呢？
分析：Q
uuur P1P
(
x
x1,
y
y1)
uuur
uuur uuur
PP2 (x2 x, y2 y) P1P PP2
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
uuur OP1
1 3
uuuur P1P2
P P1
uuur OP1
1 3
uuur (OP2
uuur OP1 )
2 3
uuur OP1
1 uuur 3 OP2
O
x
2x1 3
x2
,
2
y1 3
y2
即点P的坐标是（2x1 x2 ，2 y1 y2 ）
3
3
直线l上两点 P1 、 P2，在l上取不同于P1 、P 2
又2 6 3 4 0，
AB // AC. 直线AB、直线AC有公共点 A， A、B、C三点共线.
练习：
1.已知av=
4,
2，bv
6,
y
,
且av
/
v /b,
求y的值.
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.
6.2平面向量共线定理的坐标表示
授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。
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课时跟踪检测（二十一） 平面向量共线的坐标表示
层级一 学业水平达标
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)
B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)
C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12
，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12
e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.
2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( )
A ．－23
B.32
C.23 D ．－32
解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)，
∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23
，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( )
A ．(2,1)
B ．(－6，－3)
C ．(－1,2)
D ．(－4，－8)
解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)
与(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )
A ．－3
B ．2
C ．4
D ．－6
解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.
5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝
⎛⎭⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．15°
解析：选A 由a ∥b ，得－2×⎝⎛⎭⎫－14－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0，即12
＝1－cos 2θ＝sin 2θ，得sin θ＝±22，又θ为锐角，∴sin θ＝22
，θ＝45°，故选A. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．
解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，
∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.
答案：1
7．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.
解析：AB ―→＝(x ＋1，－6)，AC ―→＝(4，－1)，
∵AB ―→∥AC ―→，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.
答案：23
8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________． 解析：由题意知，a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)．因为(a ＋λb )∥c ，所以4(1＋λ)－2×3＝
0，解得λ＝12
. 答案：12
9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0,0)，B (3,1)，C (4,3)，
D (1,2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM ―→，CN ―→的坐标，并判
断AM ―→，CN ―→是否共线．
解：由中点坐标公式可得M (2.5,2.5)，N (1.5,0.5)，
∴AM ―→＝(2.5,2.5)，CN ―→＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，∴AM ―→，CN ―→共线．
10．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ―→＝13AC ―→，BF ―→＝13
BC ―→，求证：EF ―→∥AB ―→.
证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
依题意有AC ―→＝(2,2)，BC ―→＝(－2,3)，AB ―→＝(4，－1)．
∵AE ―→＝13AC ―→，∴(x 1＋1，y 1)＝13
(2,2)．
∴点E 的坐标为⎝⎛⎭
⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫83
，－23. 又83
×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ―→∥AB ―→. 层级二 应试能力达标
1．已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( )
A ．2
B ．－2
C ．－3
D ．3
解析：选C 因为a ＋b ＝(2，m ＋1)，
所以－(m ＋1)＝2，
解得m ＝－3.
2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )
A ．13
B ．－13
C ．9
D ．－9
解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，
∴AB ―→∥AC ―→，而AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)，
∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.
3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
解析：选D 若c ∥d ，则c ＝λd ，
∴(k,1)＝λ(1，－1)
∴k ＝λ＝－1，
∴k ＝－1，且c 与d 反向．
4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )
A ．(1,5)或(5,5)
B ．(1,5)或(－3，－5)
C ．(5，－5)或(－3，－5)
D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：选D 设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ，
①若这个平行四边形为▱ABCD ，
则AB ―→＝DC ―→，∴D (－3，－5)；
②若这个平行四边形为▱ACDB ，
则AC ―→＝BD ―→，∴D (5，－5)；
③若这个平行四边形为▱ACBD ，
则AC ―→＝DB ―→，∴D (1,5)．
综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 解析：a －2b ＝(3，3)，根据a －2b 与c 共线，得3k ＝3×3，解得k ＝1.
答案：1
6．已知AB ―→＝(6,1)，BC ―→＝(4，k )，CD ―→＝(2,1)．若A ，C ，D 三点共线，则k ＝________.
解析：因为AB ―→＝(6,1)，BC ―→＝(4，k )，CD ―→＝(2,1)，
所以AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(10，k ＋1)．又A ，C ，D 三点共线，
所以AC ―→∥CD ―→，所以10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.
答案：4
7．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．
(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；
(2)若AC ―→＝2AB ―→，求点C 的坐标．
解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB ―→与AC ―→共线．
AB ―→＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ―→＝(a －1，b －1)，
∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.
(2)若AC ―→＝2AB ―→，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－3，
∴点C 的坐标为(5，－3)．
8．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值；
(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值．
解：(1)因为a ＝mb ＋nc ， 所以(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.
(2)因为(a ＋kc )∥(2b －a )，
又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
所以2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613
.。