第十一章第五节质点系相对于质心的动量矩定理

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13.5相对于质心的动量矩(重庆大学土木理论力学课件)解析

当他离开跳板时，他的四肢伸直，其转动惯量较大。
当他在空中时，把身体卷缩起来，使转动惯量变小，于是得到较大的角速度，可以在空中多翻几个跟斗。
这种增大角速度的办法，常应用在花样滑冰、芭蕾舞，
体操表演和杂技表演中。
§13.6
刚体的平面运动动微分方程
对于一般运动的质点系，各质点的运动可分解为随同
其质心一起的牵连运动和相对于固连在质心的平动坐标系
第二式投影到过质心C且与图平面垂直的z′轴上，得
d 2 xC m 2 Fx (e) dt d 2 yC m 2 Fy (e) dt d 2 J C 2 J C M C (F (e) ) dt
设刚体绕z′轴转动的角速度为w，与计算定轴转动刚体对转动轴的动量矩相似，可以得到刚体对z′轴的动量矩等于 Lz′ =Jz′w 其中Jz′是刚体对zC轴的转动惯量。于是，式（13.24）最后
dLxc M xc ( Fi e ) dt dLyc M yc ( Fi e ) dt dLzc M zc ( Fi e ) dt
dLC／dt= MC （13.22）
（13.23）
其中 LxC、LyC、LzC是质点系对于轴xC、yC、zC的动量矩这几个方程表明：质点系对于随同质心平动的任一轴的动量矩对于时间的变化率，等于作用于质点系上所有外力对同一轴的矩的代数和。
其中：
m mi
为整个质点系的质量。
L0 rc mvc ( mi ri) vc rc mi vri ri mi vri
由质心运动定理可知
∑miri′=mrC′ ，Σmivri=mvrC
因为质心是动坐标系原点，所以rC′=0，vrC=0，从而
L0 rc mvc ri mi vri

11)动量矩定理

动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r

第十一章动量矩定理

§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A

e
r
P
第十一章动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt

【精品】理论力学11动量矩定理分析解析幻灯片

0 Fox m2l amgFOy
FOymgm2lam 4g
§11-4 刚体对轴的转动惯量
一．定义： Jz miri2
z
i
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分
形式
Jz r2 dm
由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；
ri
vi
mi
在国际单位制中，转动惯量的单位
是: kg·m2。同一刚体对不同轴的转
Jz mz2
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。
3、平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，
zC
z1
m
C
Jz1 JzC md2
dLO dt
MO(Fi(e))
若 Mz(F(e))0，则 Lz 常量。
dLz dt
Mz (Fi (e) )
例高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。
设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
O u
A
mg
mg
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。
设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
va uv
v
LOmarvmv0 r
FOy
O
FOx
u
A mg mg
L Om (uv)rm v0r

理论力学：第11章动量矩定理

·1·第11章动量矩定理11.1 主要内容11.1.1 质点系动量矩计算质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即∑∑==⨯==n i n i i i i i O O m m 11)(iv r v M L质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为∑==n i i i z z m M L 1)(v刚体对转动轴z 轴的动量矩为z z I L =质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即i i ni i C m v r L ⨯'=∑=1i r '为第i 个质点对质心的矢径。

质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。

C v r L L m C C O ⨯+=当刚体作平面运动时，又可表示为d mv L L C ±=C O其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理（1）对固定点的动量矩定理质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即)(e O O dt d M L =在直角坐标系上的投影式为·2·⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F（2）质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。

即(e)C C M L =dt d 或 (e)C Cr M L =dt d式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。

(3) 动量矩守恒定律在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即()0=e OM ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如0)()(=∑e x M F ，L x =常数11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为z z M tI =22d d ϕ 或z z M I =ε在工程中，常将转动惯量表示为2z z m I ρ=z ρ称为回转半径。

理论力学第十一章动量矩定理

JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解：令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC

质点和质点系的动量矩和动量矩定理

质点和质点系的动量矩和动量矩定理今天我们进入第十一章的学习这篇文章先学习《11-1 质点和质点系的动量矩》《11-2 动量矩定理》一、质点和质点系的动量矩1、质点的动量矩M O(mv)=r×mv 质点的动量对点O的矩[M O(mv)]z=M z(mv) 质点对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。

2、质点系的动量矩L O=∑M O(m i v i) 质点系的动量对点O的矩L z=∑M z(m i v i) 质点系的动量对z轴的矩[L O]z=L z 质点系对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩刚体平移时：可将质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。

定轴转动刚体：L z=∑M z(m i v i)=∑m i v i r i=∑m i(ωr i)r i=ω∑m i r i2令：J z=∑m i r i2——刚体对z轴的转动惯量，则：L z=J zω二、动量矩定理1、质点的动量矩定理设O为定点,有称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.投影式:2、质点系的动量矩定理——质点系动量矩定理，即：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。

投影式:内力不能改变质点系的动量矩.例高炉运送矿石用的卷扬机如图，已知鼓轮半径为R，质量为m1，鼓轮对转轴的转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩为M。

小车和矿石总质量为m2，轨道倾角为θ。

设绳的质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。

守恒定律质点动量矩守恒定律若M O(F)≡0 ，则M O(mv)=恒量；若M z(F)≡0，则M z(mv)=恒量例小球A、B 以细绳相联，质量均为m ，其余构件质量不计。

忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统角速度为ω0，当细绳拉断后，各杆与铅垂线成θ角，求这时的角速度ω。

解：1、取整体研究，受力分析知，系统受重力和约束力作用，外力对转轴的矩都等于0，因此系统对转轴的动量矩守恒2、列方程L z1=L z2L z1=2maω0a=2ma2ω0，L z2=2m(a+l sinθ)2ω今天的知识点你都掌握了吗？。

理论力学第十一章动量矩定理

当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量；而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量；两种特殊情况：（2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ，轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。求轴Ⅰ的角加速度。
例图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x

理论力学动量矩定律

例11-3
已知：两小球质量皆为 m,初始角速度。 0
求：剪断绳后, 角时的 .
第十二页，共四十三页。
解： 0 时,
L z12 m0 a a2 m2a 0
0时,
L z2 2 m (a lsi)n 2
Lz1 Lz2
(aal2sin0)2
第十三页，共四十三页。
§11-3 刚体(gāngtǐ)绕定轴的转动微分方程
证明
： (zhèngmíng)
JzCm i(x1 2y1 2)
Jz m ir2 m i(x2y2) m i[x 1 2 (y 1 d )2]
0 m i( x 1 2 y 1 2 ) 2 d m iy 1 d 2 m i
Jz JzC md2
第二十二页，共四十三页。
4．组合法
已知：杆长为 l质量为 m，1 圆盘半径为，d质量为 . m 2
（1）刚体(gāngtǐ)平移LOM O(m vC) LzM z(m vC)
（2）
LJ 刚体(gāngtǐ)绕定轴转动z
z
L z M z ( m iv i) m iv ir i
m i r ir i m ir i2
Jz miri2 －－转动惯量
第三页，共四十三页。
§11-2 动量矩定理(dìnglǐ)
主动力: 约束力:
F 1,F 2,
FN1,FN2
,F n
d
d t(Jz ) M z(F i) M z(F N i)
Mz(Fi)
即: Jz ddt Mz(Fi)
或 Jz M z(F)
转动微分(wēi fēn)
方程
或
Jz
d2
dt2
Mz
(F)

《理论力学》第十一章动量矩定理

第十一章动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
n
LO MO (mivi ) i 1
对轴的动量矩
n
Lz M z (mivi ) i 1
即 LO Lxi Ly j Lzk
二者关系
[LO ]z Lz
（1）刚体平移 LO MO (mvC ) Lz Mz (mvC )
（2）刚体绕定轴转动 Lz J z
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得

d
dt

(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
Jz JzC md 2 式中 zC 轴为过质心且与 z轴平行的轴，d 为 z
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量
与两轴间距离平方的乘积.
证明：
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]

第11章动量矩定理

2．质点的动量矩守恒
三．质点系的动量矩定理及守恒 1．质点系的动量矩定理
dLO dLz (e) (e) (e) M O (F ) M O 或 M z (F (e) ) M z dt dt
2．质点系的动量矩守恒四．质点系相对质心的动量矩定理
dLC (e) MC dt
或
dLC z (e) MC z dt
五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程 1．刚体定轴转动微分方程
J z M z ( F ) 或 J z M z ( F )
2．刚体平面运动微分方程
maCx Fx
maCy Fy
或
mC Fx x
mC Fy y
JC M C (F )
内力不能改变质点系的动量矩。
注意
１、质点系动量矩定理，适合惯性坐标系，故矩心Ｏ点是固定点。２、内力不能使整个系统的动量矩发生变化。只有外
力才使其发生变化，但内力可使每一个质点的动量矩
发生变化。 3、质点系对点之动量矩是说明在某一瞬时质点系运动的一个量度。
3．动量矩守恒定理
(e) 若 M O ( F ) 0 , 则 LO 常矢量； (e) 若 M z ( F ) 0 , 则 Lz 常量。
R
2. 回转半径定义：
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，
其回转半径是相同的。
3．平行轴定理
J z J zC md
2
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
x
§11-2 动量矩定理

11 动量矩定理讲解

mO r
m2 m1
第十一章动量矩定理
3、动量矩守恒定理
d dt
M
O
mv

M
O

F

0
ห้องสมุดไป่ตู้
d dt
M
z

mv

M
z

F

0
MO mv 恒矢量 Mz mv 恒量
质点系动量矩守恒定理
当外力对于某点（轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（轴）的动量矩保持不变
第十一章动量矩定理
第十一章动量矩定理
例题11-3 圆盘半径R、质量m1，一质量为 m2的人在盘
上由点B按规律 s at2 2 沿半径r的圆周行走，初始
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
Or v
R
B

第十一章动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： Lz J z
Lz Mz mvC
第十一章动量矩定理
2、定轴转动刚体
z
Lz Mz mivi miviri miiriri miri2
O1 ri mi
O
mivi 令： miri2 Jz ，称为刚体对于z轴的转动惯量
Lz Jz
绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积
M
O

mv

M
O

F

动量矩定理质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩

理论力学第11章(动量矩定理)

线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r

《理论力学》第十一章动量矩定理

LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为mi，速度为vi。质系对任意固定点O的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的动量矩。解：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面

第十一章第五节质点系相对于质心的动量矩定理

当sm常矢量刚体的一般运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的转动刚体随质心的平动可用质心运动定理分析而相对于质心的转动则可用质点系相对于质心的动量矩定理来分析
第五节质点系相对于质心的动量矩定理
一、质点系相对于质心的动量矩 z z'
vi rC
O C x'
y'
LC= Srir×mivi
LCr = Srir×mivir
C S
y'
Fn
j
x'
F2
O
Fi
x
LO= LC+ rC☓ mvC
质点系对任意一固定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩LC ，与集中于质心的质点系动量对于O点动量矩的矢量和。
二、质点系相对于质心的动量矩定理
dLC e) = S M ( F C dt
质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上的所有外力对质心之矩的矢量和 (外力系对质心的主矩)。质点系于相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。当 SMC(F e)=0时，LC=常矢量刚体的一般运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的转动，刚体随质心的平动可用质心运动定理分析，而相对于质心的转动则可用质点系相对于质心的动量矩定理来分析。
riC
ri
mi
vir
y
x 1. 质点系相对于质心的动量矩：质点系中各质点绝对运动的动量对质心C之矩的矢量和(绝对运动动量对C点的主矩) 2. 质点系相对运动对质心的动量矩(相对运动动量对C点的主矩) 3. 两者关系
LC=LCr
4．质点系相对于固定点的动量矩与相对于质心的动量矩之间的关系
y
F1

11-5质点系相对于质心的动量矩定理

质点系相对于瞬心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对瞬心的主矩。
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质点系相对于瞬心的动量矩定理
dLC dt
=
∑
M
C
(
Fi
(
e)
)
对于瞬心P:
dLP dt
=
∑
M
P
(
Fi(e)
)
适用条件：质心到瞬心距离不变。
质点系相对于瞬心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对瞬心的主矩。
)
=
ΣFi ( e )
dLC dt
=
∑ rMi′×CF(Fi(ei()e) )
质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。
质点系相对于瞬心的动量矩定理
dLC dt
=
∑
M
C
(
Fi
(e)
)
对于瞬心P:
dLP dt
=
∑
M
P
(
Fi
(e)
)
适用条件：质心到瞬心距离不变。
LC
=
∑ M C (mivir )
=∑
ri′×
mi
vir
z
z'
O
rC
x'
C
ri
ri′
vir
y'
mi
vi
y
x
LO
=
∑
M
O
(mi
vi
)
=∑
ri
×
mi
vi
r=i
rC
+
ri′

12.5推导--质点系相对质心的动量矩定理

12.5 质点系相对于质心的动量矩定理1．引言前述的动量矩定理的适用条件：惯性参考系中的固定点或固定轴。

问：1）对一般的动点和动轴，动量矩定理的形式如何？ 2）对质心的形式又如何？2．质点系相对于任意动点A 的动量矩设在固定参考系oxyz 中有一动点A ，其速度为A v r，现以动点A 为原点建立平移参考系′′′A x y z ，设质点系中任意一质点相对于动点A 的矢径为i r ′r ，相对于动参考系的速度为ir v ′r，如图1所示。

现做如下定义：质点的绝对动量：各质点的质量与其在惯性参考系中的绝对速度的乘积，即i i m v r；质点系相对于任意点A 的绝对动量矩：质点系中各质点的绝对动量i i m v r对动点A 的矩的矢量和，即A L r，表达式如下：y图1.()()11N N A A i i i i i i i L L m v r m v ==′==×∑∑r r r r r（1）质点的相对动量：各质点的质量与其在动参考系′′′A x y z 中的相对速度的乘积，即i ir m v r；质点系相对于任意点A 的相对动量矩：质点系中各质点的相对动量i ir m v r对动点A 的矩的矢量和，即rA L r ，表达式如下：()()11N N r rA A i i i i ir i i L L m v r m v ==′==×∑∑r r r r r （2）质点i m 的绝对速度为i ir A v v v =+r r r（3）将（3）式代入式（1）中，()()()()11111N N N A A i i i i i i i ir i A i i i NNi i ir i i Ai i r A c A L L m v r m v r m v m v r m v r m v L r mv =====′′==×=×+′′=×+×′=+×∑∑∑∑∑r r r r r r r r r r r r r r r（4）其中，1Ni i i c m r r m=′′=∑r r。

第十一章第五节质点系相对于质心的动量矩定理

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