2015-2016(2)期中考试试卷(高等数学)

武汉轻工大学2015 –2016学年第2学期
高等数学2期中考试试卷
一、填空题(每小题2分, 共16分) 1. 设(2,1,1)(1,2,3)a b =--= 在上的投影为___________。

2.
00
)x y xy →→=___________ 。

3. 设22(,)f x y xy x y xy +=+-,f 可微，则
(,)f x y x
∂=∂___________。

4. 224z x y =--在点P 处的切平面与平面221x y z ++=平行，
则点P 的坐标为___________。

5. 曲线2211
x y x z ⎧+=⎨+=⎩在xoy 面上的投影曲线是___________。

6.
将1
100x dx f dy -⎰⎰化为极坐标系二次积分为___________。

7. 设D ：1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩，则32(25)D
x y dxdy +⎰⎰ =___________。

8. (,)(,)(,),D
f x y f x y f x y dxdy =-⎰⎰设连续，且
22:1,D x y +≤其中，则
221(,)x y f x y dxdy +≤=⎰⎰___________。

二、解答下列各题(每小题7分,，总计70分)
1. 求过点(0,2,4)A 与两平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程。

2. 求过点(0,1,3)，且与直线
11211x y z +-==--平行又与平面21x y z +-=-垂直的平面方程。

3. 求直线24:0
x y L x z -=⎧⎨+=⎩在平面22x y z -+=上的投影直线方程。

4. 设ln()y z x u x y z =，(1)求函数u 在点(,,)e e e 处沿点(1,1,1)到点(2,3,4)的方向的方向导数
(2)求u 在点(,,)e e e 处方向导数的最大值，并指出取得该最大值的方向。

5. 设函数f 具有二阶偏导， 2
(,cos ,)x z f e y x y =，求2,z z x x y
∂∂∂∂∂。

6. 设函数z z x y =(,)由方程(2)sin 1xz f z y y x +++=所确定，求y z x z ∂∂∂∂,及dz 。

7. 求曲线22221010
x z y z ⎧+=⎨+=⎩在点()1,1,3的切线及法平面方程。

8. 计算二重积分⎰⎰D
ydxdy ，其中D 是由直线y x =,2y x =,1y =所围成的区域。

9.
计算二次积分1
0cos y x dy dx x
⎰⎰ 10. 利用极坐标计算二重积分
⎰⎰+D dxdy y x 22，其中D ：x y x 222≤+
三、应用题 (7分) 选择合适的长、宽、高，使球面2222(0)x y z a a ++=>的内接长方体体积最大。

四、证明题(本题7分)
设)(x f 在],[b a 连续，且0)(>x f ，则2(())()()()b b a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰。