高二下理科数学知识点整理(教师版)
广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习 解析几何(教师版)
高二理科数学 汕头统考复习――解析几何基础过关题一、直线和圆1、直线方程的五种形式及相互转化：(1)、点斜式：设直线l 过定点)(00y x P ，，斜率为k ，则直线l 的方程为__________________； (2)、斜截式：设直线l 斜率为k ，在y 轴截距为b ，则直线l 的方程为___________________； (3)、两点式：(4)、截距式：(5)、一般式：直线l 的一般式方程为_______________________； 2、两直线平行Û两直线的倾斜角相等Û两直线的斜率相等或两直线的斜率均不存在； 两直线垂直Û两直线的斜率互为负倒数或一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0； 3、两点)( )(2211y x y x ，， ，间的距离：___________________；点)(00y x P ，到直线l ：0=++C By Ax 的距离：_______________________；4、圆的定义：平面上到定点距离等于定长的动点的轨迹；圆的标准方程：___________________，圆的一般方程：_____________________________________； 练习题1．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ A ）A ．072=+-y xB ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x 2、如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点(2,0)C 。
（1）直线CD 的方程为 240x y --= ；（2）AB 边上的高CE 所在直线的方程为 220x y +-= 3 、已知点(a,2)（a>0）到直线l ：x-y+3=0的距离为1，则a 等于 (C ) (A).2 (B). 22- (C).12- (D). 1+24、 经过圆()()421:22=-+y x C ＋的圆心且斜率为1的直线方程为（ A ）A 、03=+-y xB 、03=--y xC 、01=-+y xD 、03=++y x 5、过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线032=--y x 上的圆的方程为 （x ＋1)2＋(y ＋2)2=10二、圆锥曲线1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+；⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-；⑶抛物线：略2、标准方程。
2024年人教版高二数学复习知识点总结范文(2篇)
2024年人教版高二数学复习知识点总结范文数学是一门既抽象又实用的学科，对培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力起着重要的作用。
高中数学作为数学学科的重要环节，不仅是学习高等数学、几何和代数等学科的基础，也是提升学生数学思维的重要阶段。
为了帮助同学们更好地复习数学知识，我将对____年人教版高二数学课本的知识点进行总结，希望能够对大家的复习有所帮助。
一、函数函数是数学中的一种重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在____年人教版高二数学课本中，函数是重中之重的知识点之一。
函数的定义和性质：函数的定义和函数的性质是我们学习函数的基础。
函数的定义通常是指对于任意的自变量，函数都能够确定唯一的因变量，记作y=f(x)。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
函数的图像与变量的关系：函数的图像是函数的一种图形表达形式，通过图像可以直观地看出函数的性质。
在这一部分，我们需要掌握函数图像的绘制方法以及函数图像与变量之间的关系。
常用函数及其性质：在高中数学中，我们需要掌握的常用函数有常数函数、线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对于这些函数，我们需要了解它们的定义、性质以及图像。
复合函数与反函数：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到的结果仍然是一个函数。
而反函数是指将一个函数的输入和输出对调，得到的结果仍然是一个函数。
在学习这两个概念时，我们需要熟悉复合函数和反函数的定义以及求解方法。
利用函数解决实际问题：函数在实际问题中的应用非常广泛，包括经济学、物理学、生物学等各个领域。
在学习函数的过程中，我们需要理解函数在实际问题中的应用，并能够灵活运用函数解决实际问题。
二、数列与数列的极限数列是指按照一定的规律排列的一串数，而数列的极限是指数列中的数随着项数的增加而趋向于某个确定的值。
数列与数列的极限是高二数学中重要的知识点之一。
数列的概念和性质：数列的概念指的是按照一定的规律排列的一串数。
广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习 函数与导数(教师版)
2、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式） ： 3、定积分的应用：①求曲边梯形的面积： ②求变速直线运动的路程： S =
ò
b
a
f ( x)dx = F ( x) |b a = F (b) - F ( a )
b
ò
b
a
v(t )dt ；③求变力做功： W = ò F ( x)dx 。
a
练习题
1、已知曲线 y = x + 1 ，则在点 P (1, 2) 处的切线方程为
g ( x) 的最大值是 g (1) = 1 ，于是 p 取值范围是 [1, +¥) .
第5页
{x | 0 < x < 2} 。
B ）
æ1ö 9、 （07 山东卷）设函数 y = x 与 y = ç ÷ è2ø
3
x-2
的图象的交点为 ( x0，y0 ) ，则 x0 所在的区间是（ D． (3， 4)
第1页
A． (0， 1)
B． (1， 2)
C． (2， 3)
二、
导数；
1 常见 函数的 导 数 公式 : ① C ' = 0 ； ② ( x n ) ' = nx n -1 ； ③ (sin x) ' = cos x ； ④ (cos x) ' = - sin x ； ⑤ (a x ) ' = a x ln a ；⑥ (e x ) ' = e x ；⑦ (log a x) ' = 1 1 ' ；⑧ (ln x) = 。 x ln a x
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综上所述，实数 a 的取值范围是[0，+ ¥) .
…………………… 14 分
练习题 1（07 东莞二模）已知函数 f ( x) = ax + cx + d (a ¹ 0) 是 R 上的奇函数，当 x = 1 时 f ( x) 取得极
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14---导数的概念及其意义+导数的运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14 导数的概念及其意义+导数的运算一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 变化率与导数 知识点2 导数几何意义 知识点3 导数的四则运算 知识点4 复合函数求导 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 变化率与导数例1．（2021·江苏·高二专题练习）函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）．A ．4B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x 【答案】B 【详解】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆.故选：B练习1-1．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆=∆（ ） A ．4B ．4x ∆C ．42x +∆D ．()242x +∆ 【答案】C 【详解】解：∵()()()()()22112142424y f x f x x x ∆=+∆-=+∆---=∆+∆，∴24yx x∆=∆+∆， 故选：C ．名师点评：平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率是2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 例2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '，则()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-∆等于（ ）A ．0()mf x 'B ．0()mf x '-C ．0(1)f m x -'D ．01()f x m' 【答案】B 【详解】因为函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '， 所以()()0000im)l (x f x m x f f x x x m ∆→-∆-'=-∆，所以()()()()0000000liml ()imx x f x m x f x f x m x f x m xxf m x m ∆→∆→-∆--∆-=-=-∆-'∆，故选：B.练习2-1．（2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2- 【答案】D 【详解】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D.名师点评：瞬时变化率函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()lim lim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 在实际解题时要注意00()()f x x f x +∆-中两（）中的量做差得到的结果才是分母中的x ∆.如在例2()()0000lim()x f x m x f x f x x∆→-∆-'≠∆，在该式中，分子两（）中的量作差后得到的()()00x m x x m x -∆-=-∆，所以()()0000lim ()x f xm x f x f x m x∆→-∆-'=-∆，所以在题目中的分母要凑配常数，即：()()()()()000000lim()lim()x x m m f x m x f x f x m x f x f x xxm ∆→∆→---∆--∆-'=∆-=∆.知识点2 导数几何意义例1．（2021·全国·高二单元测试）如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．1 【答案】D 【详解】解：由题图可得函数()y f x =的图象在点P 处的切线与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则切线:4l x y +=，(2)2f ∴=，(2)1f '=-，(2)(2)211f f '+=-=，故选：D.练习1-1．（2021·全国·高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（ ） A ．()()A B f x f x ''> B ．()()A B f x f x ''= C ．()()A B f x f x ''<D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定 【答案】A 【详解】根据题意，由图象可得f （x ）在x ＝x A 处切线的斜率大于在x ＝x B 处切线的斜率， 则有()()A B f x f x ''>； 故选：A名师点评：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点00(,)P x y 处的切线的斜率（0()k f x '=）.例2．（2021·陕西汉中·一模（理））已知函数3C :()ln f x x x =+，则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为___________． 【答案】430x y --= 【详解】解：因为21()3f x x x'=+， 所以(1)4k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为14(1)y x -=-， 整理为430x y --=， 故答案为：430x y --=练习2-1．（2021·四川成都·一模（文））曲线()3f x x x =-在点(2,6)处的切线方程为_______．【答案】11160x y --= 【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --= 故答案为：11160x y --=名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时需另设切点求解.如本例2，求函数3C :()ln f x x x =+，在点(1,(1))f 处的切线方程，此时切点为(1,(1))f ，只需求出斜率(1)k f '=.例3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程为________．【答案】20x y -+= 【详解】设切点坐标为()00,ln 3x x +，()1f x x'=，()001f x x '∴=，∴切线方程为()0001ln 3y x x x x --=-， 切线过点()1,1-，()00011ln 31x x x ∴--=--， 化简得：0011ln x x +=，解得：01x =， ∴切线方程为2y x =+，即20x y -+=．故答案为：20x y -+=.练习3-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()32698f x x x x =-+-+，则过点()0,0可作曲线()y f x =的切线的条数为___________.【答案】2 【详解】∵点()0,0不在函数()y f x =的图象上，∴点()0,0不是切点，设切点为()320000,698P x x x x -+-+（00x ≠），由()32698f x x x x =-+-+，可得()23129'=-+-f x x x ，则切线的斜率()20003129k f x x x '==-+-，∴3220000006983129x x x x x x -+-+-+-=，解得01x =-或02x =，故切线有2条. 故答案为：2名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时无论00(,)P x y 是否在曲线上，都需另设切点求解.如本例3，求曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程，此时应设切点00(,)P x y ，在利用导数0()k f x '=，求出切线方程，再利用()1,1-在切线上，求出切点00(,)P x y ，从而求出切线方程.注意和例题2做对比.知识点3 导数的四则运算例1．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）22log xy x =+（3）31sin x y x-=（4）sin sin cos x y x x =+【答案】（1）266y x x '=- （2）12ln 2ln 2x y x '=+（3）()2323sin cos 1sin x x x x y x--'=（4）11sin 2y x'=+（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-； （2）解：因为22log xy x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+； （3）解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （4） 解：因为sin sin cos xy x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，而且()()232ln f x x xf x '=++，求()2f '. 【答案】94-【详解】()()1232f x x f x ''=++，()()124322f f ''∴=++，解得：()924f '=-.名师点评：导数的运算法则： (1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ (3)2()()()()()[](()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x ''⋅-⋅'=≠ 知识点4 复合函数求导例1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-.【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2xx -⋅（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数， 由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x xy y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数： （1）7(35)y x =+；（2）57e x y -=；（3）ln(4)y x =-+；（4）213x y -=；（5）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（6）34(35)y x =-.【答案】（1）621(35)y x '=+（2）57e 5x y -'=（3）14y x '=- （4）212ln 33x y -'=⨯（5）2cos 26y x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭（6）149(35)4x y --'= （1）667(35)(35)21(35)y x x x ''=+⨯+=+；（2）5757e e (57)5x x x y --'⨯'=-=；（3） 11(4)44y x x x ''=⨯-+=-+- （4）1212ln 3(21)2ln 333x x x y --'⨯-=⨯'=；（5）cos 2(2)2cos 2666y x x x πππ⎛⎫⎛⎫''=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）314149(33(35)45)(35)4x y x x --'=---'=⨯．名师点评：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f μ=,()g x μ=的导数间的关系为x x y y μμ'''=⋅,即y 对x 的导数等于y 对μ的导数与μ对x 的导数的乘积.二、题型归类练专练一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）函数()2f x x =在1x =附近(即从1到1x +∆之间)的平均变化率是（ ）A ．2x +∆B ．2x -∆C ．2D ．22()x +∆ 【答案】C 【详解】Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－2＝2Δx . 所以2 2.y x x x∆∆==∆∆ 故选：C2．（2021·全国·高一课时练习）函数2()1f x x =+，当自变量x 由1变到1.1时，函数()f x 的平均变化率为（ ） A ．2.1B ．1.1C ．2D ．1 【答案】A 【详解】由题意，函数的平均变化率为：()()221.11 1.112.11.110.1f f --==-. 故选：A.3．（2021·江苏·高二专题练习）函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2B ．12C ．14D ．18- 【答案】D 【详解】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.4．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()f x 在0x x =附近有定义，且有()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，其中a ，b 为常数，则（ ） A ．()f x a '=B ．()f x b '=C ．()0f x a '=D ．()0f x b '=【答案】C【详解】因为()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，所以()()00f x x f x a b x x+∆-=+∆∆，则()()()0000lim lim x x f x x f x a b x a x∆→∆→+∆-=+∆=∆，即()0f x a '=. 故选：C.5．（2021·全国·高二课时练习）已知曲线y ＝13x 3上一点P 82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该曲线在P 点处切线的斜率为（ ）A ．4B ．2C ．－4D ．8【答案】A【详解】3322200011()133lim lim lim 33()3x x x x x x y y x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆'⎡⎤===+⋅∆+∆=⎣⎦∆∆ 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.故选：A6．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数2()ln 2f x x m x x =-+的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线20x y +=垂直，则m =（ ） A ．54B ．54-C ．12D ．12- 【答案】C【详解】函数2()ln 2f x x m x x =-+的导数为()22m f x x x'=-+， 可得在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1322f m ⎛⎫=⎪⎭'- ⎝， 又切线与直线20x y +=垂直，所以()13212m -⋅-=-，解得12m =. 故选：C ．7．（2021·四川·树德中学高三期中（文））设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．4y x =B ．48=-y xC ．22y x =+D ．21y x =+【答案】A【详解】因为曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，所以(1)3(1)2g g =⎧⎨='⎩， 因为()()ln =++f x g x x x ，则1()()1f x g x x''=++，所以1(1)(1)141f g ''=++=， 且(1)(1)1ln14f g =++=，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()441y x -=-，即4y x =，故选：A.8．（2021·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知()()220x f x e xf '=-，则()1f '=（ ）A ．243e -B ．2423e -C ．ln 2e +D ．221e - 【答案】B【详解】()()2e 20x f x xf '=-，则()()22e 20x f x f ''=-，()()0220f f ''=-，()203f '=.()242e 3x f x '=-，()2412e 3f '=-.故选：B二、填空题9．（2021·河南·高二期末（文））已知函数()2e sin x f x x m x =⋅-的图象在0x =处的切线与直线310x y ++=垂直，则实数m =___________.【答案】-1【详解】()2sin x f x x e m x =⋅-的定义域为R ，则()22cos x x f x e x e m x '=+⋅-，则函数在0x =处的切线斜率为1(0)2k f m '==-，又直线310x y ++=的斜率213k =-， 由切线和直线垂直，则121k k ，即1(2)()13m -⨯-=-， 解得1m =-.故答案为：1-10．（2021·山东·高三阶段练习）曲线2()ln(2)f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为________.【答案】3ln 22y x =+-【详解】()11()2222f x x x x x x ''=⋅+=+， (1)3k f '∴==，又(1)1ln 2f =+，∴切线方程为(1ln 2)3(1)y x -+=-，即3ln 22y x =+-故答案为：3ln 22y x =+-11．（2021·陕西蒲城·高三期中（理））已知函数()sin cos f x x x x =+，则()f π'-＝_____．【答案】π【详解】由()sin cos f x x x x =+求导得：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，于是得()cos()f ππππ'-=--=，所以()f ππ'-=.故答案为：π12．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））已知函数cos2()1x f x x =+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为____________．【答案】+10x y -=【详解】解：由题，得()()()22sin 21cos 21x x x f x x -⋅+-=+'，则(0)1f '=-，而(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=-，即10x y +-=.故答案为：+10x y -=.三、解答题13．（2021·山西·芮城中学高二阶段练习）已知曲线3S 2y x x =-：（1）求曲线S 在点(2,4)A 处的切线方程；（2）求过点(1,1)B -并与曲线S 相切的直线方程.【答案】（1）10160x y --=（2）20x y --=或5410x y +-=（1）∵32y x x =-，则232y x '=-，∴当2x =时，10y '=，∴点A 处的切线方程为：()4102y x -=-，即10160x y --=.（2）设()3000,2P x x x -为切点，则切线的斜率为()20032f x x '=-，故切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--， 又知切线过点()1,1-，代入上述方程()()()32000012321x x x x ---=--，解得01x =或012x =-， 故所求的切线方程为20x y --=或5410x y +-=.14．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）已知函数321()33f x x x x =--，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程. 【答案】143y x =-+ 因为321()33f x x x x =--，所以111(1)1333f =--=-，2()23f x x x '=-- 所以(1)1234f '=--=-所以曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为()11413y x +=--，即143y x =-+。
第15讲 抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程 的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B
(高二)高二数学知识点及公式总结5篇
高二数学知识点及公式总结5篇相信有很多同学到了高中会认为数学是理科，所以没必要死记硬背。
其实这是错误的想法，高中数学知识点众多，光靠一个脑袋是记不全的，好记性不如烂笔头，要想学好数学，同学们还是要多做知识点的总结。
以下是我精心收集整理的高二数学知识点及公式总结，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。
高二数学知识点及公式总结11、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(1)标准方程，圆心(a,b)，半径为r;(2)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，b，r;假设利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，那么有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，那么过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2练习题：2.假设圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点，那么()A.a2-b2=0B.a2+b2=r2C.a2+b2+r2=0D.a=0，b=0【解析】选B.因为圆过原点，所以(0，0)满足方程，即(0-a)2+(0-b)2=r2，所以a2+b2=r2.高二数学知识点及公式总结2空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解2---用空间向量研究直线(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解02用空间向量研究直线、平面的位置关系+用空间向量研究距离、夹角问题一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 求法向量知识点2 用向量证平行知识点3 用向量证垂直知识点4 线线角知识点5 线面角知识点6 二面角知识点7 点到平面的距离二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 求法向量例1．（2021·北京·高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB AC AB AC AA ⊥===．以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）分别写出向量11,A B AC 的坐标；（2）求平面1A BC 的法向量n ；【答案】（1）()()111,0,2,0,1,2A B AC =-=-（2）()(2,2,),0k k k k n R k →=∈≠ （1）1(0,0,2),(1,0,0),(0,1,0)A B C ∴()()111,0,2,0,1,2A B AC =-=-， （2）设平面1A BC 的法向量为111(,,)n x y z →=， ()()111,0,2,0,1,2A B AC ∴=-=-， ∴11111120,20.n A B x z n A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取12x =，则111,2,(2,2,1)n z y →∴===(2,2,1)n →=∴为平面1A BC 的一个法向量,∴平面1A BC 的法向量可写为()(2,2,),0k k k k n R k →=∈≠； 练习1-1．（2021·北京通州·高二期中）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知向量()1,0,0AB =，()0,2,0AC =，(0,0,3)AD =．（1）求向量AB 在向量CB 上的投影向量a ；（2）求平面BCD 的法向量；【答案】（1）12(,,0)55a =-；（2）(6,3,2)n =； （1）因向量()1,0,0AB =，()0,2,0AC =，则(1,2,0)CB AB AC =-=-， 于是得2112||cos ,(1,2,0)(,,0)555||||CB AB CB AB AB CB CB CB CB ⋅〈〉⋅=⋅=-=-， 所以向量AB 在向量CB 上的投影向量12(,,0)55a =-. （2）因向量(02,0)AC =，，(0,0,3)AD =，则(0,2,3)CD AD AC =-=-，由(1)知(1,2,0)CB =-， 设平面BCD 的一个法向量(,,)n x y z =，则20230n CB x y n CD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩，令3y =，得(6,3,2)n =， 所以平面BCD 的法向量(6,3,2)n =.名师点评：(1)求法向量时，常常需要对法向量(,,)n x y z =中的一个分量赋值，赋值不能赋0；由于对分量赋值的不同，法向量也就不唯一，所有的法向量都是共线向量；(2)平面xOy 的法向量为z 轴的方向向量，可取(0,0,1)n =；平面xOz 的法向量为y 轴的方向向量，可取(0,1,0)n =；平面yOz 的法向量为x 轴的方向向量，可取(1,0,0)n =.知识点2 用向量证平行例1．（2021·江苏·海安市曲塘中学高三期末）如图，ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ，22DE AF ==．（1）证明：AC 平面BEF ；【答案】（1）证明见解析（1）因为DE ⊥平面ABCD ，DA 、DC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥DA ，DE ⊥DC ，因为ABCD 是正方形，所以DA ⊥DC .以D 为坐标原点，,,DA DC DE →→→所在方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，E (0，0，2)，F (2，0，1)，所以()2,2,2BE →=--，()0,2,1BF →=-，设平面BEF 的法向量(),,n x y z →=，因为0,0n BE n BF →→→→⋅=⋅=，所以－2x －2y ＋2z ＝0，－2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n →＝(1，1，2)，又因为AC →＝(－2，2，0)，所以()1212200n AC →→=⨯-+⨯+⨯=⋅，即AC n →⊥，而AC ⊄平面BEF ，所以AC ∥平面BEF . 名师点评：设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，则：l v n α⇔⊥.例2．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，0k ≠，0m ≠．（1）求证：A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：平面//ABCD 平面EFCH ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）因为AC AD mAB =+，0m ≠，所以AC ，AD ，AB 共面，即A ，B ，C ，D 四点共面．因为EG EH mEF =+，0m ≠，所以EG ，EH ，EF 共面，即E ，F ，G ，H 四点共面．（2）连接HF ，BD ，()()()EG EH mEF OH OE m OF OE k OD OA km OB OA =+=-+-=-+-()k AD kmAB k AD mAB k AC =+=+=，所以//AC EG ， 又因为EG ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以//EG 平面ABCD ．因为()FH OH OF k OD OB k BD =-=-=，所以//FH BD ，又FH ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以//FH 平面ABCD ，因为EG 与FH 相交，所以平面//ABCD 平面EFGH ．练习2-1．（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点，证明:平面BMN /平面PCD .【答案】证明见解析【详解】证明 连接BD ，PM ，∵AB =AD ，∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BM ⊥AD ，又PA =PD ，M 为AD 的中点，∴PM ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴PM ⊥平面ABCD ，∴以M 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA =PD a ，CD =b ，则B ，0，0)，C (b ，2a ，0)，D (0，2a ，0)，P (0，0，2a )，M (0，0，0)，N (0，-a ，a )，∴MN =(0，-a ，a )， MB，0，0)，PC =(b ，2a ，-2a )，PD =(0，2a ，-2a )，设()1111,,x n y z =是平面BMN 的法向量，()2222,,n x y z =是平面PCD 的法向量，则由10M n N ⋅=，10MB n ⋅=，得111-00ay az +=⎧⎪⎨=⎪⎩，，令y 1=1，则x 1=0，z 1=1， ∴()10,1,1n =是平面BMN 的一个法向量，同理，由20n PC ⋅=，20PD n ⋅=，得222222-2a 02-2a 0bx ay z ay z +=⎧⎨=⎩，，令y 2=1，可得x 2=0，z 2=1，∴()20,1,1n =是平面PCD 的一个法向量，∵12n n =，∴平面BMN //平面PCD ．名师点评：利用向量证明平面α与平面β平行的思路可以分为：①利用向量法证明平面α内两条相交直线1l ，2l 都有1l β，2l β；②设平面α与平面β的法向量分别为n ，m ，证明n m .知识点3 用向量证垂直例1．（2021·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点.11BF A B ⊥.（1）证明：BF DE ⊥；【答案】（1）证明见解析（1）证明：连接AF ， E ，F 分别为直三棱柱111ABC A B C -的棱AC 和1CC 的中点，且2AB BC ==，1CF ∴=，BF =11BF A B ⊥，11//AB A B ，BF AB ∴⊥3AF ∴，AC222AC AB BC ∴=+，即BA BC ⊥，故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2A ，0，0)，(0B ，0，0)，(0C ，2，0)，(1E ，1，0)，(0F ，2，1)，设1B D m =，则(D m ，0，2)，∴(0BF =，2，1)，(1DE m =-，1，2)-，∴0BF DE ⋅=，即BF DE ⊥．例2．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DA =，点E 是PA 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）求证：PB ⊥平面EFD ；【答案】（1）证明见解析（1）设1PD DA ==，()0AB λλ=>，如图，以D 为坐标原点，,,DA DC DP →→→所在方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，(0,0,1)P ，(1,,0)B λ，(1,0,0)A ，因为点E 是PA 的中点，所以11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (1,,1)PB λ→=-，11,0,22DE →⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是0PB DE →→⋅=，即PB DE ⊥，又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF .例3．（2021·全国·高二课时练习）如图，ABC ∆内接于O ，AB 为O 的直径，10AB =，6BC =，8CD =，且CD ⊥平面ABC ，E 为AD 的中点．（1）求证：平面BCE ⊥平面ABD ；【答案】（1）证明见解析；（1）依题意AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，由于CD ⊥平面ABC ，∴CD AC CD BC ⊥⊥，，以C 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：()()()()800060008404A B D E ，，，，，，，，，，，， 设()1111n x y z ＝，，是平面BCE 的法向量，则1111144060n CE x z n CB y ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩＝＋＝＝＝，故可取()1101n -＝，，． ()()860808AB AD --＝，，，＝，，，设()2222n x y z ＝，，是平面ABD 的法向量，则222222860880n AB x y n AD x z ⎧⋅-⎪⎨⋅-⎪⎩＝＋＝＝＋＝，故可取()2343n ＝，，， 120n n ⋅＝，∴平面BCE ⊥平面ABD ．名师点评：用向量证明空间中的垂直关系：(1)线线垂直：设12,l l 的方向向量分别是：1v ，2v ，则1212120l l v v v v ⊥⇔⊥⇔⋅=.(2)线面垂直：设l 的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，则l v n α⊥⇔.(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为：n ，m ，则0n m αβ⊥⇔⋅=.知识点4 线线角例1．（2022·上海·高三专题练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -的棱长2AB =，2BC =，13AA =，求：异面直线1BC 与1CD 所成角的余弦值；【答案】（1）913； 【详解】 （1）因为11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，即1AD C ∠是异面直线1BC 和1CD 所成的角，因为2AB =，2BC =，13AA =，所以在1AD C 中，1AD 1CD =AC = 则1cos 913AD C ∠==， 即异面直线1BC 和1CD 所成的角的余弦值为913； 名师点评：几何法：通过平移将异面直线转化为相交直线，然后在三角形中借助正（余）弦定理求解.注意异面直线所成角的范围02πθ<≤.(记忆口诀：平移使相交)例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，==2AB AC AB AC ⊥，，1AA ,E F 分别是棱1111B C AC ，的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B【详解】由题意以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0)B ，(0,2,0)C ．1A ，E ，F ，(BE =-，(0,CF =-，0cos ,3BE CF BE CF BE CF ⋅-<>===⨯ 所以,45BE CF <>=︒，即异面直线BE 与CF 所成角是45︒．故选：B ．名师点评：向量法：设异面直线12,l l 的方向向量分别为,a b ，且异面直线12,l l 所成角为θ则：①求cos ,||||a b a b a b ⋅<>=；②cos |cos ,|a b θ=<>. 练习．（2021·天津实验中学高二期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，//PD QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（1）求证：//QB 平面PDC ；（2）求平面CPB 与平面QPB 所成夹角的正切值；（3）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB ，求线段DH 的长.【答案】（1）证明见解析；（23）32 （1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ∩平面ABCD =AD.而PD ⊂平面ADPQ ，PD ⊥AD ，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系.则可得：()()()()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0.0,2,0,1,0,0,2D B C A Q P .显然::()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量.又()0,2,1QB =-，所以·0QB AD =. 又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴//QB 平面PDC .（2）()(),2,2,20,2,2PB PC =-=-.设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则1111111·2220·220n PB x y z n PC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩，不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的一个法向量，同理可求()21,1,2n =.所以1212120cos ,2n n nn n n ===⨯⨯所以平面CPB 与平面QPB 所成夹角为6π.而tan 6πCPB 与平面QPB （3）设()0,0,02,()H h h ≤≤则()2,0,AH h =-， ()2,2,2PB =-. 又cos ,2PB AHPB AH PB AH ==⨯ ∴2625240h h -+=，解得32h = (83h =舍去)， 故所求线段DH 的长为32. 知识点5 线面角例1．（2021·北京通州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，1160A ABA AD BAD ︒∠=∠=∠=，则11A B 与平面11BBD D 所成角的正弦值等于（ ）A．12B D 【答案】C【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连,AC BD 交于点O ，连1111,AC B D 交于点1O ，连接111,,A B A D AO ，如图，因1AB AD AA ==，1160A AB A AD BAD ︒∠=∠=∠=，则1A ABD 为正四面体，1,BD AC BD AO ⊥⊥， 而1AO AC O ⋂=，1,AO AC ⊂平面11ACC A，于是得BD ⊥平面11ACC A ，又BD ⊂平面11BDD B ， 因此，平面11ACC A ⊥平面11BDD B ，令2AB =，在正1A BD 与正111A B D 中，1,O O 分别为11,BD B D 中点，则111AO AO =1OO 中点M ，连1A M ，则有11A M OO ⊥，又12OO =，则1A M 而平面11ACC A 平面111BDD B OO =，1A M ⊂平面11ACC A ，从而有1A M ⊥平面11BDD B ，所以11A B 与平面11BB D D所成角的正弦值等于111A M A B =. 故选：C名师点评：几何法通过直线在平面上的射影求解，步骤：一作，二证，三算.几何法最难的就是找到垂线.例2．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）如图，正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OC =，则直线CD 与平面PAC 的夹角是（ ）A ．45°B ．90°C ．30°D ．60°【详解】如图，以O 为坐标原点，以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以OS 为z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ．设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A （0，﹣a ，0），C （0，a ，0），D （﹣a ，0，0），S （0， 0，a ） ，P （2a -，0，2a），则CA =（0，﹣2a ， 0），AP =（2a -，a ， 2a），CD =（﹣a ，﹣a ，0），设平面PAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n CA ⋅=，0n AP ⋅=， ∴2022ay aa x ay z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，可取n =（1，0，1），设直线CD 与平面PAC 的夹角为θ， 则1sin cos ,22CD n CD n CD n a θ⋅====，由090θ<≤，30θ∴=，名师点评：向量法设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成角θ，则：①计算cos ,||||v n v n v n ⋅<>=；②sin |cos ,|v n θ=<>. 注意：线面角根据公式求出的答案是sin θ，注意是sin θ，sin θ，sin θ，容易混淆的说三遍. 练习．（2021·浙江金华第一中学高一期末）如图，在四棱P ABCD -锥中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，,E F 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2（1） PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD PD ∴⊥；四边形ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥；,AD PD ⊂平面PAD ，AD PD D =，CD平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥； ,E F 分别为,AB PB 的中点，//EF PA ∴，EF CD ∴⊥.以D 为坐标原点，,,DA DC DP 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设2PD CD ==，则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()2,1,0E ，()1,1,1F ，()2,2,0DB ∴=，()2,1,0DE =，()1,1,1DF =，设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，200DE n x y DF n x y z ⎧⋅=+=∴⎨⋅=++=⎩，令1x =，解得：2y =-，1z =，()1,2,1n ∴=-，cos ,22DB nDB n DB n ⋅∴<>===⋅∴DB 与平面DEF 知识点6 二面角1．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）如下图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =1AD =，点E 是棱PB 的中点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B EC D --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）（1）证明：由PA ⊥平面ABCD ，,AB BC ⊂平面ABCD 可得PA AB ⊥，PA BC ⊥. 又PA AB =，故PAB △为等腰直角三角形， 而E 为棱PB 的中点，所以AE PB ⊥，由题意BC AB ⊥，而PA AB A =，故BC ⊥平面PAB ， 而AE ⊂平面PAB ，故AE BC ⊥，而PB BC B ⋂=， 故AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面ADE ， 故平面ADE ⊥平面PBC .（2）解：由第1问知BC ⊥平面PAB ，又//AD BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD AE ⊥，在Rt PAB 中，PA AB =112AE PB ===，从而在Rt DAE 中，DE =在Rt CBE △中，CE CD =所以CED 为等边三角形．取CE 的中点F ，连接DF ，则DF CE ⊥，因1BE BC ==，且BC BE ⊥，则EBC 为等腰直角三角形，连接BF ，则BF CE ⊥，所以BFD ∠为所求的二面角的平面角，连接BD ，在BFD △中，sin 3DF CD π=⋅=，12BF CE ==BD所以222cos 2DF BF BD BFD DF BF +-∠==⋅⋅故二面角B EC D --的平面角的余弦值为名师点评：二面角传统法：（1）定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在二面角的棱上任取一点（通常操作时都是取特殊点，比如中点，端点，其它题目中出现的特殊点），过该点，分别在两个半平面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
最新高二数学公式知识点汇总
最新高二数学公式知识点汇总高二数学公式知识点一集合1、子集的定义与重要性质：任何一个集合是它本身的一个子集，即AA。
规定空集是任何集合的子集，即A，。
如果AB，且BA，则A=B。
如果AB且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作A(B。
空集是任何非空集合的真子集。
含n个元素的集合A的子集有2个，非空子集有2-1个，非空真子集有2-2个。
2、余集(或补集)的定义与重要性质：，3、交集、并集的性质：A∩B=AAB，A∪B=A BA，4、常用数集符号：整数集Z，自然数集N，正整数集，有理数Q，实数集R。
高二数学公式知识点二基本的初等函数1、函数的定义：在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
2、常用函数的作图与单调性1)、反比例函数：，图象为双曲线，1) 当k>0时，f(x)在(-∞，0)与(0，+∞)上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在(-∞,0)与(0，+∞)上都是增函数但要注意在(-∞，0)∪(0，+∞)上f(x)没有单调性。
2)一次函数y=kx+b(k≠0) ，图象为直线，可过两点作直线，1)当k>0时，f(x)在R上是增函数。
2)当k<0时，f(x)在R上是减函数。
3)、二次函数y=ax+bx+c 1)当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在(-∞，-)，+∞)上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在(-∞，-)，+∞)是减函数。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。
高二下册数学(沪教版)知识点归纳
高二数学下册知识点梳理第11章坐标平面上的直线1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。
点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。
2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。
熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。
3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
根据两个独立条件求出直线方程。
熟练运用待定系数法。
（1）图形与方程图形方程直线laxbyc(,a b 不同时为零) ①（2）直线的几何特征与二元一次方程的代数特征几何特征代数特征点A 在直线上点A 的坐标（x,y ）是方程①的解。
直线l 的方向法向量(,)n a b 直线l 平行的向量方向向量d（u,v ）倾斜角斜率k=a b（3）直线的已知条件与所选直线方程的形式直线的已知条件所选择直线方程的形式已知直线l 经过点),(00y x A 且与向量d =（u,v ）平行点方向式方程vy y ux x 0已知直线l 经过点),(00y x A 且与向量n =（a,b ）垂直点法向式方程0)()(00y yb x xa 已知直线l 经过点),(11y x A 和点),(22y x B 一般式方程0c by ax已知直线l 的斜率为k,且经过点),(00y x A 点斜式方程)(00x xk y y（4）两直线的位置关系：).2,1(:i b x k yl i i i 位置关系系数关系21l l 与相交21k k 21l l 与平行21k k 且21b b 21l l 与重合21k k 且21b b 21l l 与垂直121k k （5）点到直线的距离公式22bacby ax d（6）两直线的夹角公式222221212121cosb a b a b b a a （7）直线的倾斜角的范围是0<,当直线l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为.2第12章圆锥曲线1、内容要目：直角坐标系中，曲线C 是方程F （x,y ）=0的曲线及方程F （x,y ）=0是曲线C 的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。
高中高二数学必背重点知识点总结(8篇)
高中高二数学必背重点知识点总结（8篇）高中高二数学必背重点知识点总结（8篇）还在为没有系统的数学必背重点知识点而发愁吗在我们上学期间，大家最熟悉的就是知识点吧知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
下面是小编给大家整理的高中高二数学必背重点知识点总结，仅供参考希望能帮助到大家。
高中高二数学必背重点知识点总结篇11、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α 180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线经过点且斜率为2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点2、直线的截距式方程：已知直线3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x、y的二元一次方程(A，B不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。
高二数学(理科)选修2-1知识点总结
● 高二数学（选修2－1）知识点归纳资料第一部分 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p qp q ∧ p q ∨ p ⌝ 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二部分 圆锥曲线1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
2020年高二下学期数学人教旧版选修2-2(全)：数学归纳法-《讲义教师版》
数学归纳法知识集结知识元数学归纳法知识讲解1．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．例题精讲数学归纳法例1.（2020春∙安徽期末）已知f（n）=1++++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）>n时，有f（k+1）-f（k）=___．【答案】【解析】题干解析:∵假设n=k时，f（k）=1+，∴当n=k+1时，f（k+1）=1，∴f（k+1）-f（k）=．例2.（2020春∙慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+”由n=k（k∈N*，k>1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为____．【答案】2k【解析】题干解析:当n=k时，不等式左侧为1+++…+，当n=k+1时，不等式左侧为1+++…++++…+不等式左边增加的项数是（2k+1-1）-（2k-1）=2k．例3.（2020春∙徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是______．【答案】4k+2【解析】题干解析:用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．用数学归纳法证明不等式知识讲解1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n只观察前3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．例题精讲用数学归纳法证明不等式例1.证明：x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）．【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：当n=1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x-x=0易得此时x n-na n-1x+（n-1）a n 能被（x-a）2整除成立；设n=k时，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除成立，即x k-ka k-1x+（k-1）a k能被（x-a）2整除成立，则n=k+1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1=x k-ka k-1x+（k-1）a k+ka k─1（x─a）2即x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1也能被（x-a）2整除综合，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）。
高二数学选修2-1知识点总结(完整版)
高二数学选修2-1知识点总结(完整版)算术平均数算术平均数是统计学中的一个重要概念，它是指把一组数字的和除以它们的个数，反映在一千个人中有多少人在某一条件方面的平度或中点，用数学公式表示就是：平均数= ∑（x1，x2，...Xn）/n其中，n表示给定的一组数字的个数，Xi表示具体的数字（i= 1，2，3，...n ）。
中位数中位数也叫中点数，是统计学中常用的一种量化指标，它表示一组数字中，从小到大排列顺序时，处于中间位置的那个数，或者从大到小排列时，处于中间位置的数字。
当数据由奇数个时，中位数就是处于中间位置的那个数字；而若是数据由偶数个时，中位数就是这组数据所有数字加总后除以2所得的值（例如：1，2，3，3，中位数为2）。
标准差标准差是统计学中的一个重要概念，它可以反映出一组数据的离散程度，是用来衡量一组数据的变异情况的，又称为离散度。
数学公式表达形式为：标准差= ∑（ xi-平均数）²/（n-1）其中，n表示样本数，Xi表示具体的数值，平均数表示数据的算术平均数。
众数众数=∑xi /n模数模数是数学中的一项概念，通常可以从1到最大数字取若干个数，这些数中，剩下不能用其他数表示的最大数，就叫做模数。
形式上可以用数学公式表示为：模数=M= GCD （a，b，c，…）其中，GCD表示最大公约数，a，b，c…表示一组数。
伯努利实验伯努利实验是统计学中的基本概念，它是指通过实验中多次试验，对两个或两个以上的事件的发生概率的分析，以估算出某个事件诞生的可能性，数学公式表示形式如下：P（A）= nA/nnA表示事件A成功的实验次数，n表示实验的总次数。
线性相关线性相关是统计学中常用的一种分析方式，它指的是通过查看两组数据间的关系，来判断两个或两个以上的变量之间是否存在直接关系，如果存在，就称之为线性相关。
数学表达式如下：其中，X1、X2、X3…Xn表示两组数据，n表示数据的个数。
上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第二讲复数的方根与实系数一元二次方程
沪教版数学高二下春季班第二讲课题 复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章 学科数学年级十一学习 目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 教学安排版块 时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 图1图2三、常见几何图形的复数表达式 复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭． 例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值． 【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ． 【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤． 当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞； 当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。
2024年高二数学知识点整理总结（三篇）
2024年高二数学知识点整理总结在高中数学的学习过程中，高二是一个关键的年级，学生需要打好数学基础，为高三的学习做好准备。
以下是____年高二数学知识点的整理总结。
一、函数1.1 函数的定义与性质函数概念，函数的图像与映射，函数的定义域、值域和象集，函数的奇偶性，周期性，单调性等。
1.2 初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数等。
1.3 函数的运算函数的四则运算，函数的复合，函数的反函数，函数的平移与伸缩等。
1.4 函数的图像函数值表，函数的性质，函数的增减性，函数的差值表等。
1.5 函数的应用函数的最值，函数的模型应用等。
二、数列与数列的极限2.1 数列的概念与性质等差数列，等比数列，等差中项，等比中项，递推公式，通项公式等。
2.2 数列的极限数列极限的定义，数列极限的性质，数列极限存在准则，数列极限运算等。
2.3 数列极限的应用数列极限与函数极限的关系，等差数列求和，等比数列求和等。
三、三角函数与三角恒等式3.1 三角函数的概念弧度制度，三角函数的定义，三角函数的周期性等。
3.2 三角函数的图像与性质正弦函数，余弦函数，正切函数等三角函数的图像，三角函数的性质，三角函数的幅角等。
3.3 三角函数的运算三角函数的四则运算，三角函数的复合，三角函数的反函数等。
3.4 三角恒等式三角函数的基本恒等式，三角函数的和差化积，倍角公式等。
四、向量与平面解析几何4.1 向量的概念与性质向量的表示，向量的加减法，向量的数量积，向量的夹角等。
4.2 平面解析几何的基本定理平面上的点的坐标，平面上的直线的方程，平面上的圆的方程等。
4.3 平面向量的应用向量的共线定理，向量的垂直定理，向量的平行定理等。
4.4 平面解析几何的应用直线与圆的位置关系，直线与曲线的位置关系，曲线与曲线的位置关系等。
五、导数与导数应用5.1 导数的概念与性质导数的定义，导数的四则运算，导数的几何意义等。
5.2 初等函数的导数幂函数的导数，指数函数的导数，对数函数的导数，三角函数的导数等。
高二数学知识点总结（人教版）
高二数学知识点总结(人教版）高考数学可是一个拉分科目，因为有些数学是真的挺差的，今天小编在这给大家整理了高二数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高二数学知识点总结(一)一、集合、简易逻辑(14课时，8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。
二、函数(30课时，12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。
三、数列(12课时，5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。
四、三角函数(46课时，17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。
五、平面向量(12课时，8个)1.向量;2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移。
六、不等式(22课时，5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。
七、直线和圆的方程(22课时，12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。
2024年人教版高二数学复习知识点总结样本(三篇)
2024年人教版高二数学复习知识点总结样本一、函数与方程组1. 函数的概念及性质- 函数的定义和标志- 函数的自变量、因变量和值域- 奇函数和偶函数的定义与性质- 单调性与函数的单调区间- 周期函数的概念与性质2. 一次函数的性质与图像- 一次函数的定义与表达式- 一次函数的斜率和截距- 一次函数的图像及其性质- 利用函数图像求解问题3. 二次函数的性质与图像- 二次函数的定义与表达式- 二次函数的顶点、轴和对称性- 二次函数的图像及其性质- 求解二次函数方程- 利用函数图像求解问题4. 绝对值函数的性质与图像- 绝对值函数的定义与表达式- 绝对值函数的图像及其性质- 求解绝对值函数方程- 利用函数图像求解问题5. 方程组的解法与应用- 二元一次方程组的解法（代入法、消元法）- 三元一次方程组的解法（消元法、代入法）- 利用方程组解决实际问题6. 不等式的解法与图像- 一元一次不等式的解法- 一元二次不等式的解法- 绝对值不等式的解法- 不等式组的解法- 不等式的图像表示二、数列与数学归纳法1. 数列的概念及性质- 数列的定义与表示- 数列的前n项与通项公式- 数列的等差性与等比性- 数列的递推公式与递推关系- 数列的前n项和与求和公式- 数列的极限概念与性质2. 等差数列的性质与应用- 等差数列的通项公式与性质- 等差数列的前n项和与求和公式- 等差数列的应用问题（如等差中数、等差求和等）3. 等比数列的性质与应用- 等比数列的通项公式与性质- 等比数列的前n项和与求和公式- 等比数列的应用问题（如等比中数、等比求和等）4. 递推数列的性质与应用- 递推数列的递推公式与性质- 递推数列的前n项和与递推公式的应用5. 数学归纳法及其应用- 数学归纳法的基本思想与步骤- 利用数学归纳法证明数学命题- 利用数学归纳法求证数列的性质三、三角函数1. 角度与弧度的换算- 角度的定义、表示与换算- 弧度的定义、表示与换算2. 正弦函数、余弦函数与正切函数- 正弦函数的图像及其性质- 余弦函数的图像及其性质- 正切函数的图像及其性质3. 三角函数的基本关系式- 正弦函数、余弦函数与正切函数之间的关系- 余弦函数与正切函数之间的关系- 正弦函数与余弦函数之间的关系4. 三角函数的性质与变换- 三角函数的奇偶性与周期性- 三角函数的图像变换（平移、伸缩、翻转）- 三角函数的最值与性质5. 三角函数的应用- 三角函数的应用问题（如物体抛射运动、测量问题等）- 三角函数与图像的应用问题四、平面向量1. 平面向量的概念与性质- 平面向量的几何表示与坐标表示- 平面向量的模与方向角- 平面向量的加法、减法和数乘- 平面向量的数量积与向量积2. 平面向量的运算与应用- 平面向量的分解与合成- 平面向量的共线与垂直- 平面向量的平行与夹角- 平面向量的应用问题（如力的合成与分解、平面几何问题等）五、立体几何1. 空间几何体的表示与性质- 点、直线、平面的定义与表示- 空间几何体的二面角与三面角2. 空间中的位置关系- 点与直线的位置关系- 点与平面的位置关系- 直线与平面的位置关系3. 空间几何体的投影与旋转- 点在直线上的投影- 点在平面上的投影- 点关于直线的镜像与旋转- 点关于平面的镜像与旋转4. 空间几何体的证明- 空间几何体的证明与判定- 使用向量证明空间几何体之间的关系六、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的定义与表示- 随机事件的基本运算（并、交、差）- 概率的定义与性质- 概率的运算法则（加法公式、乘法公式）2. 条件概率与事件编排- 条件概率的定义与性质- 事件编排与乘法公式的应用- 全概率公式与贝叶斯公式的应用3. 随机变量与概率分布- 随机变量的定义与分类- 离散型随机变量的概率分布列- 连续型随机变量的概率密度函数4. 随机变量的数学期望与方差- 随机变量的数学期望与性质- 随机变量的方差与性质5. 正态分布与正态分布的应用- 正态分布的性质与标准正态分布- 正态分布的计算与应用问题以上就是____年人教版高二数学复习的知识点总结，希望对你有所帮助!2024年人教版高二数学复习知识点总结样本（二）一、函数与导数1. 函数的概念及表示方法：- 函数的定义：函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。
(最新)高二必修二数学知识点整理
〔最新〕高二必修二数学知识点整理在学习新知识的同时还要复习以前的旧知识，肯定会累，所以要注意劳逸结合。
只有充分的精力才能迎接新的挑战，才会有事半功倍的学习。
下面小编为大家带来高二必修二数学知识点整理，希望大家喜欢!高二必修二数学知识点等腰直角三角形面积公式：S=a2/2，S=ch/2=c2/4(其中a为直角边，c为斜边，h为斜边上的高)。
面积公式假设假设等腰直角三角形两腰分别为a,b，底为c，那么可得其面积：S=ab/2。
且由等腰直角三角形性质可知：底边c上的高h=c/2，那么三角面积可表示为：S=ch/2=c2/4。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一。
反正弦函数的导数：正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。
反函数求导方法假设F(X),G(X)互为反函数，那么：F (X)_ (X)=1E.G.:y=arcsin_sinyy _ =1(arcsinx) _siny) =1y =1/(siny) =1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)其余依此类推高二必修二数学知识点整理一、根底知识(1)空间几何体：典型多面体(棱柱、棱锥、棱台)与典型旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)的结构特征以及外表积体积公式、球面距离、点面距离、中心投影与平行投影、三视图、直观图;(2)点、线、面的位置关系：平面的三个公理、平行的传递性、等角定理、异面直线的概念、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面平行的概念、判定定理、性质定理;面面平行的概念、判定定理、性质定理;线面垂直的概念、判定定理、性质定理;面面垂直的概念、判定定理与性质定理;异面垂直、异面直线所成角、线面角与二面角的概念(不同版本出现时间略有不同).(3)直线与圆：直线的倾斜角与斜率、斜率公式、直线的方程(点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式)、直线与直线的位置关系(平行、垂直)、平面直角坐标系中的一些公式(两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式);圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.常用的拓展知识与结论有：截距坐标公式、面积坐标公式、圆上一点的切线方程;圆外一点的切点弦方程;直线系与圆系的相关知识等.想不起来，或者不太清楚这些概念与定理的，赶快翻翻教材和笔记吧. 二、重难点与易错点重难点与易错点局部配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错局部局部有更深入的理解.(1)多面体的体积转化及点面距离的求法;(2)较复杂的三视图;(3)球与其它几何体的组合;(4)平行与垂直的证明;(5)立体几何中的动态问题.(6)直线方程的选择与求解，特别要注意斜率不存在的直线;(7)直线与圆的位置关系问题;(8)直线系相关的问题.高二必修二数学知识点总结一、根底知识(1)常用逻辑用语：四种命题(原、逆、否、逆否)及其相互关系;充分条件与必要条件;简单的逻辑联结词(或、且、非);全称量词与存在性量词，全称命题与特称命题的否认.(2)圆锥曲线：曲线与方程;求轨迹的常用步骤;椭圆的定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质(注意离心率与形状的关系);双曲线的定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质(注意双曲线的渐近线)、等轴双曲线与共轭双曲线;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的简单几何性质;直线与圆锥曲线的常用公式(弦长公式、两根差公式).圆锥曲线的几何性质的常用拓展还有：焦半径公式、椭圆与双曲线的焦准定义、椭圆与双曲线的“垂径定理〞、焦点三角形面积公式、圆锥曲线的光学性质等等.(3)空间向量与立体几何：空间向量的概念、表示与运算(加法、减法、数乘、数量积);空间向量根本定理、空间向量运算的坐标表示;平面的法向量、用空间向量计算空间的角与距离的方法.二、重难点与易错点重难点与易错点局部配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错局部局部有更深入的理解.(1)区分逆命题与命题的否认;(2)理解充分条件与必要条件;(3)椭圆、双曲线与抛物线的定义;(4)椭圆与双曲线的几何性质，特别是离心率问题;(5)直线与圆锥曲线的位置关系问题;(6)直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题;(7)直线与圆锥曲线问题中的参数求解与性质证明;(8)轨迹与轨迹求法;(9)运用空间向量求空间中的角度与距离;(10)立体几何中的动态问题探究.〔最新〕高二必修二数学知识点整理。
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高二理科数学一、导数1、导数定义：f （x ）在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度；3、常见函数的导数公式:①'C 0=；②1')(-=n n nxx ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 。
⑨211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛；⑩()x x 21='4、导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vv u v u vuv u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 5、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'='6、导数的应用：（1）利用导数求切线：根据导数的几何意义，求得该点的切线斜率为该处的导数（)(0x f k '=）；利用点斜式（)(00x x k y y -=-）求得切线方程。
注意ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？ （2）利用导数判断函数单调性：①)(0)(x f x f ⇒>'是增函数； ②)(0)(x f x f ⇒<'为减函数；③)(0)(x f x f ⇒≡'为常数； 反之，)(x f 是增函数⇒0)(≥'x f ，)(x f 是减函数⇒0)(≤'x f（3）利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。
（4）利用导数最大值与最小值：ⅰ）求得极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
（5）求解实际优化问题：①根据所求假设未知数x 和y ，并由题意找出两者的函数关系式，同时给出x 的范围；②求导，令其为0，解得x 值，舍去不符合要求的值；③根据该值两侧的单调性，判断出最值情况（最大还是最小？）； ④求最值（题目需要时）；回归题意，给出结论；7、定积分（1）定积分的定义：)(lim )(1i ni ban f nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=（注意整体思想） （2）定积分的性质：①⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （k 常数）；②⎰⎰⎰±=±baba badx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121；③⎰⎰⎰+=bcbacadx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。
（分步累加）（3）微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⎰-==bab a a F b F x F dx x f )()(|)()(（熟记'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11n x x n n （1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a xx ln ，()'=x x e e ） （4）定积分的应用： ①求曲边梯形的面积：dx x g x f S ba))()((⎰-=（两曲线所围面积）；注意：若是单曲线)(x f y =与x 轴所围面积，位于x 轴下方的需在定积分式子前加“—”②求变速直线运动的路程：⎰=badt t v S )(；③求变力做功：⎰=bads s F W )(。
二、复数 1．概念：（1）z=a+bi ∈R ⇔b=0 （a ，b ∈R ）⇔z=z ⇔ z 2≥0； （2）z=a+bi 是虚数⇔b ≠0（a ，b ∈R ）；（3）z=a+bi 是纯虚数⇔a=0且b ≠0（a ，b ∈R ）⇔z ＋z ＝0（z ≠0）⇔z 2<0； （4）a+bi=c+di ⇔a=c 且c=d （a ，b ，c ，d ∈R ）；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi ， z 2 = c + di （a ，b ，c ，d ∈R ），则： （1）z 1± z 2 = （a + b ） ± （c + d ）i ；（2） z 1.z 2 = （a+bi ）·（c+di ）＝（ac －bd ）+ （ad+bc ）i ；（3）z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++ （z 2≠0） （分母实数化）；3．几个重要的结论：（1）i i 2)1(2±=±；)2(;11;11i ii i i i -=+-=-+（3）i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1； （4）i 2321±-=ω 以3为周期，且1,,1320===ωωωω；21ωω++=0； （5）zz z z z 111=⇔=⇔=。
4．复数的几何意义 （1）复平面、实轴、虚轴（2）复数bi a z +=),(,Z b a OZ b a =⇔⇔向量）（点 三、推理与证明 （一）．推理：（1）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
（2）演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般结论；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结 论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
（二）证明 ⒈直接证明 （1）综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫顺推法或由因导果法。
（2）分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。
分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
（三）数学归纳法一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行： （1）证明当n 取第一个值0n 是命题成立；（2）假设当),(0*∈≥=N k n k k n 命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
那么由（1）（2）就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ②0n 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
四、排列、组合和二项式定理（1）排列数公式:mn A =n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）=)!(!m n n -（m ≤n ，m 、n∈N*），当m=n 时为全排列n n A =n （n －1）（n －2）…3.2.1=n!，10=n A ；（2）组合数公式：123)2()1()1()1(⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅--⋅⋅⋅-⋅==m m m m n n n A A C m mm n mn（m ≤n ），10==n n n C C ；（3）组合数性质：m n m n m n m n n mnC C C C C 11;+--=+=；12122-•=+⋯++n n n n n n nC C C ；（4）二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n①通项：);,...,2,1,0(1n r b a C T rr n r n r ==-+②注意二项式系数与系数的区别；（5）二项式系数的性质：①与首末两端等距离的二项式系数相等（mn n m n C C -=）；②若n 为偶数，中间一项（第2n＋1项）二项式系数（2nn C ）最大；若n 为奇数，中间两项（第21-n +1和21+n +1项）二项式系数（21-n n C ，21+n n C ）最大；③;2;213120210-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C（6）求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用代入法（取1,0,1-=x ）。
五. 概率与统计（1）随机变量的分布列：（求解过程：直接假设随机变量，找其可能取值，求对应概率，列表） ①随机变量分布列的性质：10≤≤i p ，i=1，2，...； p 1+p 2+ (1)期望：EX ＝x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n +… ；方差：DX ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ；注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+；22)(EX EX DX -=③两点分布（0期望：EX ＝p ；方差：DX ＝p （1－p ） ④超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m kC C k X P nkn MN k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。
称分布列为超几何分布列， 称X 服从超几何分布。
⑤二项分布（n 次独立重复试验）：若X ～B （n ，p ），则EX ＝np ， DX ＝np （1－ p ）；注：k n k k n p p C k X P --==)1()( 。
（2）条件概率：)()()()()|(A P AB P A n AB n A B P ==，称为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。