高中数学必修一函数的概念及其表示

函数的概念和函数的表示法

考点一：由函数的概念判断是否构成函数

函数概念：设 A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合

B 中都有唯一确定的数 f （x ）和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，能确定 y 是 x 的函数的是（ ）

x

① A={x x ∈Z}，B={y y ∈ Z} ，对应法则 f ：x →y= ;

3

② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ，对应法则 f ：x → y 2 =3x;

A=R,B=R, 对应法则 f ：x →y= x 2;

A ．①②③④

B ．①②③

C ．②③

D ．②

考点二：同一函数的判定

函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同（ ）

变式 1. 列图像中，是函数图像的是（

② 变式 2. 已知函数 y=f （ x ），则对于直线 x=a （a 为常数）

A. y=f （ x ）图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y ＝f （x ） ，以下说法正确的有⋯

（ ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ，y 的值也不同 ③f （a ） 表示当 x ＝ a 时函数 f （x ） 的值，是一个常量 A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D 变式 5．设集合 M ＝{x|0 ≤x ≤ 2} ，N ＝ {y|0 ≤y ≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函

，以下说法正确的是（ B.y=f （ x ）图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f （x ） 一定可以用一个具体的式子表示出来 ． 4 个

y 2x 1，x ∈ Z 与 y 2x 1， x ∈Z

①. y=x② . y x2③ . y x④ .y=t⑤.y3x3；⑥ . y x 变式 1. 下列各组函数表示相等函数的是（）

A. y x 9与y x 3

B.y x21与y x 1

x3

C. y x0（x≠0）与y 1 （x≠0）

D.

变式 2. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

1)y1 (x 3)(x 5)

x3

y2 x 5 2) y1 x 1 x 1 y2 (x 1)(x 1)

3) f1(x) ( 2x 5)2f2 (x) 2x 5

考点三：求函数的定义域

（1）当 f （x）是整式时，定义域为R；

（2）当 f （x）是分式时，定义域是使分母不为0 的x 取值集合；

（3）当 f （x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；

（4）当 f （x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0 的x取值集合；（5）当 f （x）是对数式时，定义域是使真数大于0 且底数为不等于 1 的正数的x 取值集合；

例 3. ①函数y 1 x x2 1 的定义域是（）

A. 1,1

B. ( -1 , 1 )

C. [ -1 , 1 ]

D. (

1

②函数y＝x＋1＋的定义域是( 用区间表示) _______

2－x

∞ ,-1 ) ∪ ( 1 ,+ ∞ )

变式 1. 求下列函数的定义域

(1) f(x) 1；(2)

x2 f (x) 3x 2 ；(3) f(x) x 1 1 2x

(4) y (5)

1

y＝| x|－2；

求复合函数的定义域

例 5. 已知函数 f （2x 1）定义域为1,3 , 求 f （x）的定义域

变式 1. 已知函数f（x 1 ）的定义域为[ 0 ，3 ] ，求 f （x）的定义域0

变式 2. 已经函数 f （x）定义域为[ 0 , 4], 求 f x2的定义域

考点四：求函数的值域

例6．求下列函数的值域

① y 3x 1 ，x ∈{1，2 ,3 ，4，5 } （观察法）

22

②y x 4x 6 ，x∈1,5 （配方法：形如y ax bx c ）

变式 1. 求下列函数的值域

① y 2x24x 3 ② f（x） 2x23x 4 （ 1 x 2）考点五：求函数的解析式

2

例7 . 已知f（x）= x22x，求f（x 1）的解析式（代入法/ 拼凑法/换元法）

变式 1. 已知 f （x）= 2x 1，求 f （x2）的解析式

变式 2. 已知 f （x+1）= x23x 3，求 f （x）的解析式

变式 3. 已知f（ x 1）x 2 x ，试求f（x）的解析式.

例8. 若 f [ f （x）] = 4x+3 ，求一次函数 f （x ）的解析式（待定系数法）

变式 1.一次函数f（x）满足f[ f（x）] 4x 5 ，求该函数的解析式.

变式2．已知f（x）是二次函数，且f（0）=2 ，f（x+1）－f（x）=x －1，求f（x）的解析式.

变式 3．已知二次函数 f （x ）＝x 2－bx ＋c 满足 f （1＋x ）＝f （1－x ）， 且f （0）＝3，求 f （x ）解析式 .

变式 4.已知函数 f （x ）是一次函数，且满足 3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求 f （x ）

1

= 3x ，求函数 f （ x ）的解析式 x

x1

考点六：

函数的求值

例 11. 已经函数 f （ x ）

=

3 2x 3

x ，求 f （2）和 f （a ）+f （ a ）的值 变式 1. 1

2

x

的值

已知 f （2x ）=

x

，求 f （ 2）

x

例

12. 已知函数 f x 5x 1 x 0

3x 2 x 0

例 9. 已知 f （ x ） 2 f （ x ） = x ，求函数 f （ x ）的解析式 消去法 / 方程组法 ）

变式 1. 已知 2 f （x ）

x ）= x+1 ，求函数 f （ x ）的解析式

变式 2. 已知 2 f （x ）

，求 f （ 1）+f （ 1）的值

变式 1. 已知函数 f x f x 2 x 1

2x 2 1 x 1

，求 f [f （ 4）]的值