数值分析3-插值方法

床加工等方面）
泰勒插值
pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0 )n
条件： pn(k ) (x0 ) f (k ) (x0 ),
k 0,1,, n
泰勒插值余项
定理 1 假设 f（x）在含有点 x0的区间［a，b］内有直 到 n +1阶导数，则当 x∈［a，b］时，对于由式（1） 给出的 pn（x），成立
1 v
x1
x12
x1n
1i
(
j
x
j
xi )
1 xn xn2 xnn
多项式插值定理
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插值
多项式是唯一存在的。
运用基函数法求拉格朗日问题
基函数的一般形式
pn (x) l0(x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn
算插值公式。 2 埃特金算法虽具有承袭性，但算法是递推
型的，不便于进行理论上的分析 3 牛顿公式具有承袭性并且理论推导严密
pn pm g( x )
插商（均差）及其性质
可建立关于系数 a0，a1，…，an的线性方程组
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 a0 a1 x1 a2 x12 an x1n y1 a0 a1 xn a2 xn2 an xnn yn
插值问题的可解性
克莱姆法则
xi
Di D
范德蒙行列式
1 x0 x02 x0n
第一章 插值方法
插值方法的意义
插值方法的应用
对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已 知函数，比如对数函数，指数函数，三角 函数等，并且已经有了这些函数值列表， 插值法可以用来计算那些不在表中的点处 的函数值。对于这一类问题来说，现在已 经不需要用插值方法来计算。
插值方法的应用
对于现在的许多实际问题来说，我们并不 知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可 能是由测量仪器或其他物理设备中直接读 出来的，f(x)只是一个数学概念意义下的 函数。 （比如：图像的方法处理，天气预报，机
要使得 则要求
pn (x0 ) y0
l0 (x0 ) 1 l1(x0 ) 0 ln (x0 ) 0
依此类推要满足初始条件，所有基函数必须满足下列条件。
基函数表
x
x0 x1 xn
l0 (x) 1 0 0
l1(x) 0 1 0
ln (x) 0 0 1
构造基函数
由已知条件，假设
l0 (x) c(x x1)(x x2 )(x xn )
特殊情况
误差的事后估计
基本假设与依据是 假设 f″（x）在［a，b］内改变不大
事后估计法
y
x x2 x1 x2
y1
x x1 x2 x1
y2
y
y1
x x1 x2 x1
( y2
y1 )
埃特金算法的迭代原理
x 0 x1x 2
f (x)
x x2 x1 x2
x0x1
f1 ( x1 )
x0x2
x x1 x2 x1
f1( x2 )
x0x1 x k-1xi
x 0x1 x k2x k-1
x0x1 xk-2xi
fk ( xi )
x xi xk xi
fk1( xk1 )
x xk1 xi xk1
fk1பைடு நூலகம் xi )
埃特金算法
1.5 牛顿插值公式
提出的原因： 1 拉格朗日插值每增加一个新点都要重新计
f
(
x
)
pn (
x
)
f n1( ) (
( n 1 )!
x
x0
)n1
式中 ξ界于 x0与 x之间，因而 ξ∈［a，b］.
拉格朗日插值
问题2 求作 n 次多项式 pn（x），使满足条件
pn（xi）= yi，i = 0，1，…，n
（2）
这就是所谓拉格朗日（ Lagrange）插值.
线性插值
f(x) (x1 ,y1) P1(x)
0 jn j 1
x xj x1 x j
ln (x)
(x x1)(x x2 )(x xn1) (xn x1)(xn x2 )(xn xn1)
1 jn1
x xj xn x j
基函数插值的一般表达式
lk ( x )
n j 0
x xj xk - x j
jk
n
pn ( x ) lk ( x ) yk k 0
插值余项
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x ) f ( x ) pn( x )
罗尔定理 : 若 (x) 在［x0 , x1 ］连续，在 (x0, x1)充分光滑，
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
(x0 ,y0)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
抛物线插值
p2(x) f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
插值问题的可解性
设所求的插值多项式为 pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 待定系数法
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0
0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1 , x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
如何推导插值余项
pn ( x )
pn ( x )
插值余项
插值误差举例
插值误差举例
拉格朗日插值的几点问题
又因为
l0 (x0 ) 1
则
c
( x0
x1)( x0
1 x2 )(x0
xn )
基函数的一般形式
即
l0 (x)
(x x1)(x x2 )(x xn ) (x0 x1)(x0 x2 )(x0 xn )
1 jn
x xj x0 x j
l1 ( x)
(x x0 )(x x2 )(x xn ) (x1 x0 )(x1 x2 )(x1 xn )
问题： •对于相同的插值公式，内插与外推哪一个的精度高。 •插值点越多得到插值公式的精度越高？ •拉格朗日插值对于不同的初始函数，在相同点上的插 值公式也不同。 •多项式插值是唯一的插值方式？ •基函数的形式只和插值点的x坐标相关，和y值无关。 •由n个点插值得到的基函数的次数必定是n-1次的多项 式