二次函数专项训练“对称性27课件
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（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。
（3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。
（4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
变式训练：（1）若将对称轴改为直线x=1，其
余条 件不变， 则 a-b+c= 0____ （ （2x）2 ,y0=）a则x2+当5 x与=xX1轴+x两2时交，点y分值别为为__5（__x1 ,0），
二次函数专项训练“对称性27
致胜宝典： 巧用“对称性” 化线为 点（1）求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。
y
1
M
A O1N
Bx
C
D
▲ 若点N（n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC的值最小时，求n的值. ▲在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△ACQ周长最小？
▲在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？
二次函数专项训练“对称性27
感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形，充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想. 2、在求线段和最小或者差最大问题时，先将问题转 化为基本的几何模型，再利用轴对称性的知识来解 决问题.
y
B
A1
x
变式训练： 抛物线y=ax²+bx+c经过点A(2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8
的另一点坐标是_(1_,__8) 二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
2、求方程的根
已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点
坐标为（-1，-3.2）及部分图象如图，由图
最短路径：“将军饮马” 问 题唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：
“ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”
二次函数专项训练“对称性27
妙手回春：巧用“对称性” 求距离和差最
值
如图,抛物线y＝0.5x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C点，顶点为D,且A(－1，0).若点 M（m,0)是x轴 上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
y
4 3 2
化繁为
抛物线y=a(x+1)2+2的一 部分如图所示,该抛物线 在y轴右侧部分与x轴交
点的坐标是 _1__,_0__
1
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1
-2
-3
-4
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为
1简、求点的坐标
尝试:如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点， B的坐标为（ ，0），则点A的坐标是_____(2_ 3,0)
y
其中正确命题的个数有__2__个
-1
5
x
-2
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
5、求函数解析式
▲ 已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，且经 过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线与x轴相交 的另一个交点坐标为__(_1_,0_);函数解析式为_y__12__(_x__1)__(x_。5)
C
②若函数图象与X轴相交于点A（1，0），
B（ 5，0），则对称轴可表示为直线
__x____3_；
③④若B点（函A、数x2B，图关0象）于与，_xX_则轴__对相__称b交_ 轴于对可点称表A；（示x为1，直0）线，__x__；x1 2 x2
D
2a
⑤抛物线上还存在这样的一对点吗？
⑥若点（x1， n），（ x2 ， n）在抛物线上，则抛物线的对称轴 可表示为__x___x_1_ x2
变式训练:已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0）,且函数有最小值-8，试求二次函数 解析式.
y2(x1)28
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
6、求代数式的值
▲ 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且
经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ B ）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y3>y1 D、y3>y2>y1
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
4、判断命题的真伪
已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则下列命题： ①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0。
2 二次函数专项训练“对称性27
归纳总结：
结论： 设A(x1，0），B (x2，0）是抛物线与x轴的两个交点，则 抛物线的对称轴为直线 x x1 x2
2 推广： 设A(x1，y），B (x2，y）是抛物线上的两点，则 抛物线的对称轴为直线 x x1 x2
2
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 简
象可知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两
根分别为x1=1.3，x2=___3_.3_
y
x
0
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为
简
3、比较函数值的大小
小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐
标找到三点(－1，y1)，(0.5，y2 )，(-3.5，y3) 则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ D ）
▲ 抛物线关于y轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x，y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ax2－bx+c.
▲ 抛物线关于原点对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x， － y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ － ax2+bx － c.
▲ 抛物线绕着 顶点旋转180°后得到的抛物线，顶点坐标不变，开口方向相反。 （1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n 抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n （2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵坐标为n 则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)二=次-函ax数²专-b项x训+练2“对n-称c性27
y x
二次函数专项训练“对称性27
合作探究一
例题：抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的公
共点是(－1,0)，(3,0)，求这条抛物线的 对称轴．
二次函数专项训练“对称性27
合作探究二
若二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图
象如下：
x b
①此函数的对称轴为直线_______2_a源自文库（用a、b表示）
（3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。
（4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
变式训练：（1）若将对称轴改为直线x=1，其
余条 件不变， 则 a-b+c= 0____ （ （2x）2 ,y0=）a则x2+当5 x与=xX1轴+x两2时交，点y分值别为为__5（__x1 ,0），
二次函数专项训练“对称性27
致胜宝典： 巧用“对称性” 化线为 点（1）求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。
y
1
M
A O1N
Bx
C
D
▲ 若点N（n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC的值最小时，求n的值. ▲在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△ACQ周长最小？
▲在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？
二次函数专项训练“对称性27
感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形，充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想. 2、在求线段和最小或者差最大问题时，先将问题转 化为基本的几何模型，再利用轴对称性的知识来解 决问题.
y
B
A1
x
变式训练： 抛物线y=ax²+bx+c经过点A(2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8
的另一点坐标是_(1_,__8) 二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
2、求方程的根
已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点
坐标为（-1，-3.2）及部分图象如图，由图
最短路径：“将军饮马” 问 题唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：
“ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”
二次函数专项训练“对称性27
妙手回春：巧用“对称性” 求距离和差最
值
如图,抛物线y＝0.5x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C点，顶点为D,且A(－1，0).若点 M（m,0)是x轴 上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
y
4 3 2
化繁为
抛物线y=a(x+1)2+2的一 部分如图所示,该抛物线 在y轴右侧部分与x轴交
点的坐标是 _1__,_0__
1
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1
-2
-3
-4
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为
1简、求点的坐标
尝试:如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点， B的坐标为（ ，0），则点A的坐标是_____(2_ 3,0)
y
其中正确命题的个数有__2__个
-1
5
x
-2
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
5、求函数解析式
▲ 已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，且经 过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线与x轴相交 的另一个交点坐标为__(_1_,0_);函数解析式为_y__12__(_x__1)__(x_。5)
C
②若函数图象与X轴相交于点A（1，0），
B（ 5，0），则对称轴可表示为直线
__x____3_；
③④若B点（函A、数x2B，图关0象）于与，_xX_则轴__对相__称b交_ 轴于对可点称表A；（示x为1，直0）线，__x__；x1 2 x2
D
2a
⑤抛物线上还存在这样的一对点吗？
⑥若点（x1， n），（ x2 ， n）在抛物线上，则抛物线的对称轴 可表示为__x___x_1_ x2
变式训练:已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0）,且函数有最小值-8，试求二次函数 解析式.
y2(x1)28
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
6、求代数式的值
▲ 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且
经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ B ）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y3>y1 D、y3>y2>y1
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为 简
4、判断命题的真伪
已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则下列命题： ①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0。
2 二次函数专项训练“对称性27
归纳总结：
结论： 设A(x1，0），B (x2，0）是抛物线与x轴的两个交点，则 抛物线的对称轴为直线 x x1 x2
2 推广： 设A(x1，y），B (x2，y）是抛物线上的两点，则 抛物线的对称轴为直线 x x1 x2
2
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 简
象可知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两
根分别为x1=1.3，x2=___3_.3_
y
x
0
二次函数专项训练“对称性27
巧用“对称性” 化繁为
简
3、比较函数值的大小
小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐
标找到三点(－1，y1)，(0.5，y2 )，(-3.5，y3) 则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ D ）
▲ 抛物线关于y轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x，y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ax2－bx+c.
▲ 抛物线关于原点对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x， － y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ － ax2+bx － c.
▲ 抛物线绕着 顶点旋转180°后得到的抛物线，顶点坐标不变，开口方向相反。 （1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n 抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n （2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵坐标为n 则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)二=次-函ax数²专-b项x训+练2“对n-称c性27
y x
二次函数专项训练“对称性27
合作探究一
例题：抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的公
共点是(－1,0)，(3,0)，求这条抛物线的 对称轴．
二次函数专项训练“对称性27
合作探究二
若二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图
象如下：
x b
①此函数的对称轴为直线_______2_a源自文库（用a、b表示）