最新离散数学第10章陈瑜
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲Part3代数系统部分
图11
第十三章 习题课
解 图12
图13
图12
解
解：
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第二节 整环与域
第十二章 习题课
第十三章 格与布尔代数
第一节 格的定义与性质
图1
图2
第二节 子格与格同态
图4
第三节 分配格与有补格
图5
图7
图8
图9
第四节 布尔代数
图10
第五节 正规子群与商群
第六节 群的同态与同构
第七节 循环群与置换群
பைடு நூலகம்
图2
第十一章 习题课
解：
解
第十二章 环与域
第一节 环的定义与性质
第三部分 代数结构
第十章 代数系统
第一节 二元运算及其性质
第二节 代数系统
第十章 习题课
解
第十一章 半群与群
第一节 半群与独异点
第二节 群的定义与性质
第三节 子群
图1
第四节 陪集与拉格朗日定理
离散数学第10章
定理1的证明(续)
7
因为对于任意的v∊V，原图是连通的，所以在原图中存 在 v到u’的通路，也存在v到v’的通路，且都是初等通路。 若这两条通路都经过边e，则原图中一定有圈，故 V=V1∪V2 。如果存在v ∊ V1∩V2，则原图中存在 v到u’、 v到v’的两条不经过边e的初等通路，加上边e后, 原图中 一定有圈，故V1∩V2 =Ø。 以上证明说明新图分为两个连通的子图，设为T1和T2 ，且 原图无圈，子图也不会有圈，即两棵不相交的树(顶点的交 集为空集)。 设T1=(V1,E1)，T2=(V2,E2)，由归纳假定有 |V1|-1=|E1|，|V2|-1=|E2|。 又|V|=|V1|+|V2|，|E|=|E1|+|E2|+1。所以有定理得证。
定理2的证明
12
③① 已知T中无圈且|V|－1=|E|。若T不连通，设 T有 k个连通分枝：T1，T2，…，Tk，Ti=(Vi, Ei )(1≤i≤k)。对于每一个i (1≤i≤k), Ti是连通的 且无圈，故Ti是树。由定理1知，|Vi|－1=|Ei|， 1≤i≤k。又
∑|Vi|=|V|， ∑|Ei|=|E|
v0 v0
v2
v5
v8
23
v4
v7
v9
v1 v2
v3 v5 v4
v6
v8 v7
v9
4
v6
v8 v7
v9
v1
v3
v6
例(续)
在图10.2中， TG=(V,D), 其中D由红线组成。 取枝e={v7,v8} V1={v0,v1,v2,v3,v4,v6,v7,v9} V2={v5,v7,v8} D’={{u,v}∊E│u∊V1, v∊V2} 由右下图中4根绿线组成。
《离散数学》(左孝凌 李为鉴 刘永才编著)课后习题答案 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学教程 肖新攀编著 课后习题答案 第十章
离散数学教程 肖新攀编著 课后习题答案
第十章
图的矩阵表示
10.1 (a) (b) 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 10.2 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 −1 1 0 0 0
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离散数学教程 肖新攀编著 课后习题答案
1 1 (8) P (D) = 1 1 1 1 10.5
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 −1 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0 0
e6 为桥， 易知 G 的生成树必含 e6 。因此只需求出 G − e6 的生成树。 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 G − e6 的关联矩阵为 M = 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 以 v4 为参考点， 得基本关联矩阵为 Mf = 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1
A1 = 1 0 A4 = 0 2 2
0
1 0 1 0 4 0
0
1 0 2
A2 = 0 2 1 0 A5 = 4 0 0 4 0 4
1 0
1
0 1 0
A3 = 2 0 0 2 A6 = 0 8 4 0 4 0
离散数学-屈婉玲-耿素云-张立昂-主编-高等教育出版社-课后最全答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
武汉大学《离散数学》课件-第10章
33
模拟实例 (续)
不可达状态:从初始状态出发永远不可能达到的状态 删去所有的不可达状态, 不会改变FA接受的语言. 如M中的{q1},{q2},{q0,q2},{q1,q2}和都是不可达状态, 删去这些状态得到M
δ
0
1
→{q0} {q0, q1} {q0} {q0,q1} {q0,q1,q2} {q0} *{q0,q1,q2} {q0,q1,q2} {q0}
形如, 其中, ∈(V∪T)*且≠.
10
文法生成的语言
设文法 G = <V,T,S,P>, ,∈(V∪T)*, : 存在∈P和,∈(V∪T)*, 使得
=, = 称直接派生出. * : 存在1, 2, … , m, 使得 = 1 2 … m= 称 派生出 . 恒有 * (当m=1时)
13
举例 (续)
例4 G= <V,T,S,P>,其中V={S,A,B,C,D,E}, T={a},
P: (1) S→ACaB (2) Ca→aaC (3) CB→DB
(4) CB→E (5) aD→Da (6) AD→AC
(7) aE→Ea (8) AE→
试证明: i 1, S * a2i
证: a2 和 a4 的派生过程
L(G) = { x00y, x11y | x,y{0,1}*}
31
DFA与NFA的等价性
定理 对每一个NFA M 都存在DFA M 使得 L(M)=L(M )
用M=Q,, ,q0,F 模拟 M=Q,,,q0,F
Q=P(Q), q0={q0} F={ AQ | A∩F≠} AQ 和 aΣ,
( A, a) ( p, a)
28
离散数学期末试卷A卷汇总
四川大学期末考试试题（闭卷）（2014-2015学年第1学期）课程号：304039040 课程名称：离散数学（A卷）任课教师：冯伟森石兵周莉陈瑜林兰适用专业年级： 2013级计算机科学与技术学号：姓名：一、单项选择题（本大题共16小题，每小题1分，共16分）提示：在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分1.令R: 小王吃饭；S：小王看电视。
则语句“小王一边吃饭一边看电视”可以符号化为（）。
（A)R∨S；（B）R∧S；（C）R→S；（D）～R∨～S2.令P(x):x是实数，Q(x):x是有理数。
则语句“并非每个实数都是有理数”可以符号化为（）。
（A）～∀x(R(x)→Q(x))；（B）～(R(x)→Q(x))；（C）～∀x(R(x)∧Q(x))；（D）～∀x(R(x)∨Q(x))3.下列公式中，（）是永真公式。
（A）R→S；（B）R∧～R；（C）R∨～R；（D）(R→S) ∧(R∧～S)4.下列公式中（）是等价公式。
（A）G∧(H∨S) ⇔ (G∨H) ∧(G∨S)；（B）G∧(H∨S) ⇔ (G∧H) ∧(G∧S)；（C）G∧(H∨S) ⇔ (G∧H)∨(G∧S)；（D）G∧(H∨S) ⇔ (G∨H) ∨(G∨S)；5.公式∀x((P(x)→Q(y，x))∧∃z R(y，z))→S(x)中，自由变元是( )。
（A）x和y ；（B）y和z；（C）x和z；（D）z或者y6.设集合A={1，2，3}，则A上所有非等价关系数目为（）。
（A） 512 (B) 507 (C) 508 (D) 5067.下列关于有限集偏序集〈A,≤〉的描述，（）是正确的(A) 一定存在最大元(B) 一定存在最小元(C) 任意两元素都存在最大下界 (D) 一定存在极大元8.下列说法不正确的是（）(A)任意两个非空集合之间都可构造函数(B) 任意两个非空集合之间都可构造单射函数(C) 任意两个非空集合之间都可构造满射函数(D) 任意两个非空集合之间如可构造单射函数，也可构造满射函数，那么一定可构造双射函数9.下列各组数中，不能构成无向图的点度数序列的是（）。
离散数学-冯栾石陈编-习题答案
习题一1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式（1）他既是本片的编剧，又是导演--- P∧ Q（2）银行利率一降低，股价随之上扬--- P→ Q（3）尽管银行利率降低，股价却没有上扬--- P∧ Q（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质--- M ←→(S∧P∧T)（5）他今天不是乘火车去北京，就是随旅行团去了九寨沟--- P▽ Q（6）小张身体单薄，但是极少生病，并且头脑好使--- P∧ Q ∧ R（7）不识庐山真面目，只缘身在此山中--- P→ Q （解释：因为身在此山中，所以不识庐山真面目）（8）两个三角形相似，当且仅当他们的对应角相等或者对应边成比例--- S ←→(E∨T)（9）如果一个整数能被6整除，那么它就能被2和3整除。
如果一个整数能被3整除，那么它的各位数字之和也能被3整除解：设 P –一个整数能被6整除Q –一个整数能被2整除 R –一个整数能被3整除S –一个整数各位数字之和能被3整除翻译为：（P→（Q ∧ R））∧（R→ S）2、判别下面各语句是否命题，如果是命题，说出它的真值（1）BASIC语言是最完美的程序设计语言--- Y，T/F（2）这件事大概是小王干的--- N（3）x2 = 64 --- N（4）可导的实函数都是连续函数--- Y，T/F（5）我们要发扬连续作战的作风，再接再厉，争取更大的胜利--- N（6）客观规律是不以人们意志为转移的--- Y，T（7）到2020年，中国的国民生产总值将赶上和超过美国--- Y，N/A（8）凡事都有例外--- Y，F3、构造下列公式的真值表，并由此判别哪些公式是永真式、矛盾式或可满足式（1）（P∨（～P∧ Q））→ Q解：（2）~（4）略4、利用真值表方法验证下列各式为永真式（1）~（8）略5、证明下列各等价式（1）～（（～P∧ Q）∨（～P∧～Q））∨（P∧ Q）⇔ P证明：左式⇔（（P∨～ Q）∧（P∨ Q））∨（P∧ Q）⇔ P ∨（P∧ Q）∨（P∧～Q）∨ T ∨（P∧ Q）⇔ P ⇔右式（2）（P→ Q）∧（R→ Q）⇔（P∨ R）→Q证明：左式⇔（～P∨Q）∧（～R∨Q）⇔（～P∧～R）∨Q⇔～（P∨ R）∨Q⇔（P∨ R）→Q ⇔右式（3）P→（Q∨ R）⇔（P→ Q）∨（P→ R）证明：左式⇔～P∨Q∨ R⇔～P∨Q∨～P∨ R⇔（～P∨Q）∨（～P∨ R）⇔（P→ Q）∨（P→ R）⇔右式（4）（P∧ Q）∨（R∧ Q）∨（R∧ P）⇔（P∨ Q）∧（R∨ Q）∧（R∨ P）证明：左式⇔(（P∨R）∧ Q）∨（R∧ P）⇔(（P∨R）∨R))∧(（P∨R）∨P))∧（Q∨R）∧（Q∨P）⇔（P∨ Q）∧（R∨ Q）∧（R∨ P）⇔右式6、如果P∨ Q ⇔ Q∨R,能否断定 P ⇔ R ？如果P∧ Q ⇔ Q∧R，能否断定 P ⇔ R？如果～P ⇔～R，能否断定 P ⇔ R？解：（1）如果P∨ Q ⇔Q∨R，不能判断P ⇔R，因为如果 Q = P∨ R, 那么P∨ Q⇔P ∨P∨ R ⇔ Q∨R，但P可以不等价于R.（2）如果P∧ Q ⇔Q∧R，不能判断P ⇔R，因为如果 Q = P∧ R, 那么P∧ Q⇔P ∧P∧ R ⇔ Q∧R，但P可以不等价于R.（3）如果～P ⇔～R，那么有P ⇔ R，因为～P ⇔～R，则～P <-> ～R为永真式，及有P <-> R为永真式，所以P ⇔ R.7、检查↑和↓是否满足结合率由上表可知，↓不满住结合率8、把下列各式用↑等价表示出来（1）(P∧Q)∨～P解：原式⇔ ((P↑Q)↑(P↑Q))∨(P↑P)⇔ (((P↑Q)↑(P↑Q))↑((P↑Q)↑(P↑Q)))↑((P↑P)↑(P↑P))（2）P→（～P→ Q）解：原式⇔～P∨P∨Q⇔ Q⇔ (Q↑Q)↑(Q↑Q)（3）（P→（Q ∨～R））∧～ P解：原式⇔（～ P∨～Q ∨R）∧～ P⇔～ P∨（～Q∧～ P）∨（R∧～ P）⇔ (P↑P)∨（(Q↑Q)∧(P↑P)）∨（R∧(P↑P)）⇔ (P↑P)∨（（(Q↑Q)↑(P↑P)）↑（(Q↑Q)↑(P↑P)））∨（（R↑(P↑P)）↑（R↑(P↑P)））设：(P↑P) = N（（(Q↑Q)↑(P↑P)）↑（(Q↑Q)↑(P↑P)））= L（（R↑(P↑P)）↑（R↑(P↑P)）） = M则上式⇔ (((N↑N)↑(L↑L))↑((N↑N)↑(L↑L)))↑(M↑M)（4）～ P∧～Q∧（～R→ P）解：原式⇔～ P∧～Q∧（R∨P）⇔ (P↑P)∧(Q↑Q)∧（(P↑P)↑(R↑R)）⇔ (（(P↑P)↑(Q↑Q)）↑（(P↑P)↑(Q↑Q)）)∧（(P↑P)↑(R↑R)）设：(（(P↑P)↑(Q↑Q)）↑（(P↑P)↑(Q↑Q)）) = N（(P↑P)↑(R↑R)） = M则上式⇔ (N↑M)↑(N↑M)9、证明：{ ～→}是最小功能完备集合证明: 因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{ ～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。
离散数学-屈婉玲-耿素云-张立昂-主编-课后答案-(高等教育出版社)
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学_高等教育出版社配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch10
3
实例
例1 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),· >都是半 群，也都是独异点，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵 乘法 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法
图1
22
陪集定义与实例
定义10.9 设H是G的子群，a∈G.令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素. 例7 (1) 设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群. H所有的右陪集是： He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b} 不同的右陪集只有两个，即H和{b,c}.
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
13
实例
(2) 设 |ab| = r，|ba| = t，则有
(ab) t 1 (ab)( ab)...( ab)
t 1个
a (ba)( ba)...( ba)b
19
典型子群的实例:中心C
定义10.7 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心.
离散数学(第2.1)陈瑜详解
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例1.3 如有句子： 张红是一个四川大学的学生； 王南是一个四川大学的学生； 李华是一个四川大学的学生。
则在命题中必须要用三个命题P，Q，R来表示。
但是，它们都具有一个共同的特征： “…是一个四川大学的学生”
P：谓词 x：客体词
因此，若将句子分解成：“主语＋谓语P”(x)：命题函数
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§2.1 量词化逻辑——谓词和量词
一、谓词 Predicate 在对命题的内部逻辑关系进行研究时，把基本 命题分成客体(个体）和谓词。
客体——命题中所描述的对象。（命题中的主 语，客观实体，可以独立存在的物体）。
谓词——命题中描述的个体性质（特征）或关 系的部分。
谓词——命题中描述的个体性质（特征）或关 系的部分。
谓词一般用大写字母（串）表示; 个体用小写字母表示。
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§2.1 量词化逻辑——谓词和量词
一、谓词 Predicate 在对命题的内部逻辑关系进行研究时，把基本 命题分成客体(个体）和谓词。
客体——命题中所描述的对象。（命题中的主 语，客观实体，可以独立存在的物体）。
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例1.2 (著名的苏格拉底三段论) 设自然语言中的三个命题： 1）所有的人都是要死的； 2）苏格拉底是人； 3）所以，苏格拉底是要死的。
解：假设：
P：所有的人都是要死的； Q：苏格拉底是人。 R：所以，苏格拉底是要死的。 显然，无论用什么方法也无法推论出
P，Q R。 但是，这样简单的、凭直觉就知苏格拉底的论证是 正确的推理，命题逻辑却无能为力。这是由命题逻辑的局 限性造成的，因此，需要对命题的内部关系进行研究。
近年高考数学一轮复习 第十章 算法、统计与概率 第56课 几何概型课时分层训练(2021年最新整理)
（江苏专用）2018高考数学一轮复习第十章算法、统计与概率第56课几何概型课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018高考数学一轮复习第十章算法、统计与概率第56课几何概型课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018高考数学一轮复习第十章算法、统计与概率第56课几何概型课时分层训练的全部内容。
第十章算法、统计与概率第56课几何概型课时分层训练A组基础达标（建议用时：30分钟)1．在区间[－2，3］上随机选取一个数X,则X≤1的概率为________。
【导学号:62172310】3[在区间[－2，3］上随机选取一个数X，则X≤1，5即－2≤X≤1的概率为P＝错误!.］2．如图56.5所示,半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域,在圆中随机扔一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是错误!,则阴影部分的面积是________．图56.53π[设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π。
由几何概型的概率得错误!＝错误!，则S＝3π.]3．若将一个质点随机投入如图56。
6所示的长方形ABCD中,其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．图56。
6错误
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四类符号
常量符号：一般用a,b,c,…,a1,b1,c1,…来表示，它可以 是D中的某个元素;
变量符号：一般用x,y,z,…, x1,y1,z1,…来表示.它可以取 值于D中的任意元素；
函数符号：一般用f,g,h,…, f1,g1,h1,…来表示。n元 函数符号f(x1,x2,...xn)可以是Dn→D的任意一个函数；
4）只有有限次使用1）～3）产生的符号串才是项。
例2.1
a
x
复合函数f(g(f(a),g(a,x)))
是一个项
f(a)
g(a，x)
g(f(a)，g(a，x))
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f(g(f(a)，g(a，x)))
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定义2.7 设P(x1,x2,x3,...xn)是n元谓词，t1,t2,t3,...tn是项, 则P(t1,t2,t3,...tn)是原子谓词公式，简称原子公式。
陈瑜
Email：chenyu.inbox@
30 September 2020
§2.2 谓词公式与解释
同命题演算一样，在谓词逻辑中也同样包含命 题变元和命题联结词，为了能够进行演绎和推 理，为了对谓词逻辑中关于谓词的表达式加以 形式化，利用联结词、谓词与量词构成命题函 数，因此我们必须引入公式的概念。
变量符号：一般用x,y,z,…, x1,y1,z1,…来表示.它可以取 值于D中的任意元素；
函数符号：一般用f,g,h,…, f1,g1,h1,…来表示。n元函 数符号f(x1,x2,...xn)可以是Dn→D的任意一个函数；
谓词符号：一般用P,Q,R,..., P1,Q1,R1,...来表示。n元 谓词符号P(x1,x2,...xn)可以是Dn→{0,1}的任意一个谓 词。
自考 离散数学目录
离散数学
第1章命题演算
1.1 命题概念
1.2 复合命题与联结词
1.3 命题公式与真值表
1.4 等价变换与蕴含式
1.5 最小联结词组与范式
1.6 推理理论
第2章谓词演算
2.1 谓词的概念与表示
2.2 量词与合式公式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式2.4 前束范式
2.5 谓词演算的推理理论
第3章集合与函数
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的运算
3.3 笛卡尔积与关系
3.4 关系的表示与关系性质
3.5 关系运算与闭包
3.6 相容关系与覆盖
3.7 等价关系与划分
3.8 序关系
3.9 函数的概念
3.10 复合函数与逆函数
第4章代数结构
4.1 代数系统
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
4.4 环与域
4.5 格与子格
4.6 分配格与有补格
4.7 布尔代数
第5章图论
5.1 图的基本概念
5.2 路与回路图的连通性5.3 图的矩阵表示
5.4 欧拉图与汉密尔顿图5.5 平面图
5.6 树及应用
参考书目
离散数学自学考试大纲
出版前言
一、课程的性质及其设置目的和要求
二、课程内容与考核目标
第1章命题演算
第2章谓词演算
第3章集合与函数
第4章代数结构
第5章图论
三、有关说明与实施要求
附录题型举例
后记。
左孝凌离散数学
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2
则上述命题可符号化为：(P∧ Q) ∨( P∧Q)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
例如： P：罗纳尔多是球星。 Q：5是负数。 P3：明天天气晴。 (2)：太阳从西方升起。
皆为符号化的命题，其真值依次为1、0、1或0、0。 命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元
之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
❖ 数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的 规律的数学学科。它的创始人Leibniz，为了实现把推 理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑。其后， 又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学 科。
❖ 上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭新的发展 阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与计算机科学等密 切关联。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
(11). 今天天气多好啊！ 感叹句，不是命题 (12). 请你关上门！ 祁使句，不是命题， (13). 别的星球上有生物。 是命题，客观上能判断真
假。
说明：
（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。一 切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子， 如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
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5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的图
称为(n，m)图；
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图的分类(按边的重数)
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始 点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边。
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的
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几个概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还 是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称 为邻接点，否则称为不邻接的；
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向 边，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点。v是边 e的终点，统称为e的端点；e是u的出边，是v的入边。
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图； 5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条 边，则这几条边称为平行边；
3) 含有平行边的图称为多重图； 4) 含有环的多重图称为广义图（伪图）； 5) 满足定义9-1.1的图称为简单图。 6) 将多重图和广义图中的平行边代之以一条边，去掉环，
可以得到一个简单图，称为原来图的基图。
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5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的图
称为(n，m)图；
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几个概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还 是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称 为邻接点，否则称为不邻接的；
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几个概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还 是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称 为邻接点，否则称为不邻接的；
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图； 5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。
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图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图； 5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。
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图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
可以得到一个简单图，称为原来图的基图。
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图的分类(按边的重数)
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始 点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边。
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条 边，则这几条边称为平行边；
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图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向 边，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点。v是边 e的终点，统称为e的端点；e是u的出边，是v的入边。
2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向 边，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点。v是边 e的终点，统称为e的端点；e是u的出边，是v的入边。
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图； 5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。
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图的分类(按边的重数)
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始 点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边。
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条 边，则这几条边称为平行边；
3) 含有平行边的图称为多重图； 4) 含有环的多重图称为广义图（伪图）； 5) 满足定义10-1.1的图称为简单图。 6) 将多重图和广义图中的平行边代之以一条边，去掉环，
离散数学第10章陈瑜
§10.1 图的基本概念
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图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向 边,记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向 边，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点。v是边 e的终点，统称为e的端点；e是u的出边，是v的入边。