因子载荷矩阵

因子载荷矩阵的确定

在因子分析中，通常只选其中m个(m＜p主因子，即根据变量的相关选出第一主因子ƒ1,使其在各变量的公共因子方差中所占的方差贡献为最大，然后消去这个因子的影响，而从剩余的相关中，选出与人不相关的因子人，使其在各个变量的剩余因子方差贡献中为最大，如此往复，直到各个变量公共因子方差被分解完毕为止。

例如，如果我们按所选取的各主因子的信息量之和占总体信息量的85％，那么应选择m使得：

选定了m之后，我们就可将U矩阵分为两部分，以确定因子模型。由

F a＝U'X a得：

X a = UF a即：

令

U (1)=[ U1, U2,…, U m] p*m

U (2)=[ U1, U2,…, U m] p*(p-m)

则

其中U (1) ƒ (1)为m 个主因子所能解释的部分，而U (2) ƒ (2)为其残余部分，记为Ea ，则

X a = U (a) ƒ (1) a + E a (α = 1, 2, …,n)

由于该式对任意的样品都成立，故式中的α可去掉，这样就得因子模型：

X 1= U 11 ƒ1 + U 12 ƒ2 + … + U 1m ƒm + ε1

X 2= U 21 ƒ1 + U 22 ƒ2 + … + U 2m ƒm + ε2

………………………………………………

X p = U p1 ƒ1 + U p2 ƒ2 + … + U pm ƒm + εp

其中的主因子系数矩阵U (1)称为因子载荷矩阵。

由于特征向量U i 通常是用单位向量表示的，故需要进行规格化处理，即

所以，因子载荷矩阵为：

因此，因子模型为：

X1= a 11ƒ1 + a 12ƒ2 + …+ a 1mƒm+ a 1ε1

X2= a 21ƒ1 + a 22ƒ2 + …+ a 2mƒm+ a 2ε2………………………………………………

X p= a p1ƒ1 + a p2ƒ2 + …+ a pmƒm+ a pεp

从以上分析可见，因子分析与主成分分析有很大差别。主成分分析是将主分量表示为原观测变量的线性组合，而因子分析是将原观测变量表示为公共因子的线性组合；主成分分析的主分量数m和原变量数P 相等，它是将一组具有相关性的变量变换为一组独立的变量，而因子分析的目的是要使公共因子数.m比原变量数p小，而且要尽可能地选取小的m，以便尽可能地构造一个结构简单的模型。在主成分分析中，原观测变量对某一主成分的影响大小，由该主成分相应的特征向量确定，而在因子分析中，原观测变量在某一主因子上的载荷，由该主因子相应的特征向量确定。