1 测量误差基本知识PPT课件
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测量误差的基本知识培训
2
一、测量误差的几个名词术语
2 、标称值：是计量或测量器具上标注的量 值。
3 、示值：由测量仪器（设备）给出或提 供的量值。
4、 重复性：在相同条件下，对同一被测 量进行多次连续测量所得结果之间的一量程序；2）相同测量条
件；3）相同观测人员；4）相同测量设
测量误差的基本知识
§2.1 测量误差概述 §2.2 线性度误差与量程扩展 §2.3 可靠性问题
1
§2.1 测量误差概述
一、测量误差的几个名词术语 1、 真值：物理量在一定条件下客观存在
的量值。 约定真值：按照国际公认的单位定义，
利用科学技术发展的最先水平所复现的 单位基准。
相对真值：也叫实际值，是在满足规 定准确度时用来代替真值使用的值。
17
负载效应
减少负载效应引起误差的基本要求：
测量装置的输入阻抗应 远大于被测对象的输出阻抗。
18
四、 误差的消除与处理
1、 系统误差的消除 （1）从产生系统误差的来源上消除 选用高精度仪器消除基本误差； 使仪器在规定条件下使用消除附加误差； 选择合理的测量方法消除方法误差； 提高测量人员素质消除人员误差。
备；5）相同地点。
3
一、测量误差的几个名词术语
5、等精度测量：在同一条件下进行的一系列重 复测量。
6、误差公理：一切测量都具有误差，误差自始 至终存在于所有科学试验的过程之中。
研究测量误差的目的：寻找产生误差的原因， 认识误差的规律、性质，进而找出减少误差 的途径与方法以求获得尽可能接近真值的测 量结果。
系统误差也称装置误差，它反映了测量值偏 离真值的程度。凡误差的数值固定或按一定 规律变化者，均属于系统误差。
系统误差是有规律性的，因此可以通过实 验的方法或引入修正值的方法计算修正，也 可以重新调整测量仪表的有关部件予以消除。
一、测量误差的几个名词术语
2 、标称值：是计量或测量器具上标注的量 值。
3 、示值：由测量仪器（设备）给出或提 供的量值。
4、 重复性：在相同条件下，对同一被测 量进行多次连续测量所得结果之间的一量程序；2）相同测量条
件；3）相同观测人员；4）相同测量设
测量误差的基本知识
§2.1 测量误差概述 §2.2 线性度误差与量程扩展 §2.3 可靠性问题
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§2.1 测量误差概述
一、测量误差的几个名词术语 1、 真值：物理量在一定条件下客观存在
的量值。 约定真值：按照国际公认的单位定义，
利用科学技术发展的最先水平所复现的 单位基准。
相对真值：也叫实际值，是在满足规 定准确度时用来代替真值使用的值。
17
负载效应
减少负载效应引起误差的基本要求：
测量装置的输入阻抗应 远大于被测对象的输出阻抗。
18
四、 误差的消除与处理
1、 系统误差的消除 （1）从产生系统误差的来源上消除 选用高精度仪器消除基本误差； 使仪器在规定条件下使用消除附加误差； 选择合理的测量方法消除方法误差； 提高测量人员素质消除人员误差。
备；5）相同地点。
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一、测量误差的几个名词术语
5、等精度测量：在同一条件下进行的一系列重 复测量。
6、误差公理：一切测量都具有误差，误差自始 至终存在于所有科学试验的过程之中。
研究测量误差的目的：寻找产生误差的原因， 认识误差的规律、性质，进而找出减少误差 的途径与方法以求获得尽可能接近真值的测 量结果。
系统误差也称装置误差，它反映了测量值偏 离真值的程度。凡误差的数值固定或按一定 规律变化者，均属于系统误差。
系统误差是有规律性的，因此可以通过实 验的方法或引入修正值的方法计算修正，也 可以重新调整测量仪表的有关部件予以消除。
测量学 测量误差基本知识
B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布
2.1误差的概念与表示方法ppt课件
.
8
⑵ 方法误差
由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。
例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。
1mA 100k
100V 50V ?
100k v
电压表 内阻
.
9
习题2.9被测电阻Rx，电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
=
(RV
// Rx I
.
4
② 用“约定真值” 代替“真值”
实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为真值使用。
“实际值”≈“约定真值”。
在本章第2、3。4。5节中讨论误差时是基 于“约定真值”己知的条件下进行的。
③ 用“不确定度” 评定测量结果
在本章第6节中详细讨论。逆向思维，回避真值，
研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不
)I
=
Rx RV Rx +RV
R =
R'x
-
Rx
=
-Rx2 Rx +RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。
对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
.
10
⑶ 理论误差
测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计 算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量 频率时，常用的公式为
例：不同人用不同的电压表测量市. 电，都是220v左右。
7
3. 误差的来源
⑴ 仪器误差 指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；
非线性
测量误差的基本知识
水准测量的高差中误差 、 两点间高差， 设水准测量测定A、B两点间高差，中间共设n站，则 A、B间高差等于各站高差之和，即 、 间高差等于各站高差之和， h AB =h1+h2+···+h n 设每站高差中误差均为m站，则有 m = ± n ⋅ m h 站 • 若为平坦地区，测站间距离S大致相等，设A、B间 若为平坦地区，测站间距离 大致相等 大致相等， 间 的距离为L，则测站数n=L/S，代入上式，并设每公 的距离为 ，则测站数 ，代入上式， 里高差中误差µ=m站/√S，得 里高差中误差
如经纬仪测角的照准误差 水准仪在水准尺上的估读误差
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全 个三角形在相同的观测条件下观测了全 部内角，三角形内角和的真误差∆ 三角形内角 部内角，三角形内角和的真误差∆i=三角形内角 和测量值-180˚ 其结果如表 分析三角形内角和 其结果如表, 和测量值 的误差∆ 的规律。 的误差∆i的规律。
m L m =± ⋅ m = ± 站 ⋅ L = ±µ ⋅ L = ± L ⋅ m h km 站 S S
误差传播应用示例—角度测量 误差传播应用示例 角度测量
1、菲列罗公式—由三角形闭合差计算测角中误差 、菲列罗公式 由三角形闭合差计算测角中误差 设在三角网中等精度观测各三角形内角， 设在三角网中等精度观测各三角形内角，其测角中误差 均为mβ, 各三角形闭合差f i，闭合差的中误差mΣ为
三、容许误差
据偶然误差的第一特性： 据偶然误差的第一特性：在一定观测条件下偶然 误差的绝对值不会超过一定限值。 误差的绝对值不会超过一定限值。
P(−σ < ∆ < +σ) = 68.3% P(−2σ < ∆ < +2σ) = 95.5%
如经纬仪测角的照准误差 水准仪在水准尺上的估读误差
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全 个三角形在相同的观测条件下观测了全 部内角，三角形内角和的真误差∆ 三角形内角 部内角，三角形内角和的真误差∆i=三角形内角 和测量值-180˚ 其结果如表 分析三角形内角和 其结果如表, 和测量值 的误差∆ 的规律。 的误差∆i的规律。
m L m =± ⋅ m = ± 站 ⋅ L = ±µ ⋅ L = ± L ⋅ m h km 站 S S
误差传播应用示例—角度测量 误差传播应用示例 角度测量
1、菲列罗公式—由三角形闭合差计算测角中误差 、菲列罗公式 由三角形闭合差计算测角中误差 设在三角网中等精度观测各三角形内角， 设在三角网中等精度观测各三角形内角，其测角中误差 均为mβ, 各三角形闭合差f i，闭合差的中误差mΣ为
三、容许误差
据偶然误差的第一特性： 据偶然误差的第一特性：在一定观测条件下偶然 误差的绝对值不会超过一定限值。 误差的绝对值不会超过一定限值。
P(−σ < ∆ < +σ) = 68.3% P(−2σ < ∆ < +2σ) = 95.5%
《测量学》第5章 测量误差基本知识
4 180-00-01.5
5 180-00-02.6
S
m
244 .3 7.0秒 5
m2 3m2 m 3m
-10.3
+2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1
7.8 121 2.6 6.8 244.3
A BC
m m / 3 4.0秒
误差传播定律应用举例
1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超 过40秒； 2、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的 限差； 3、两次仪器高法的高差限差。
24
130
中误差 m 1
2 2 .7 n
m2
2 3 .6
n
三、相对误差
某些观测值的误差与其本身 大小有关
用观测值的中误差与观测值之比 的形式描述观测的质量，称为相 对误差（全称“相对中误差”）
T m l
1 l
m
例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 离，量距的中误差都是±2cm，但不 能认为两者的精度是相同的
x l1 l2 ln
已知：m1 =m2 =….=mn=m
n
求：mx
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
mx
(
1 n
)2
m12
(1)2 n
m22
(1)2 n
mn2
1m n
算例：用三角形闭合差求测角中误差
次序 观测值 l
Δ ΔΔ
1 180-00-10.3
2 179-59-57.2
3 179-59-49.0
误差传播定律
应用举例
观测值：斜距S和竖直角v 待定值：水平距离D
工程测量课件第6章测量误差基础知识
DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。
测量误差基本知识PPT课件
大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
园林测量——测量误差的基本知识
闭合水准 ∑h≠0
第一节 测量误差的概述
1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响
观测条件
等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。
返回
第二节 误差的分类
一 、系统误差
误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现
Δn，则中误差m的定义为：
m
n
式中
21 22 23 ... 2n , i li x
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。
式中：
解：第一组观测值的中误差：
m1
02 22 12 (3)2 42 32 (2)2 (1)2 22 (4)2 10
2.5
一般函数 Z f (x1, x2,xn )
mZ
f ( x1
)2
m12
f ( x2
)2
m22
(
f xn
)2
mn2
返回
第五节 算术平均值的中误差
一 算术平均值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、 m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
值）L 为：
返回
三 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
D
1 D
m
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
第一节 测量误差的概述
1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响
观测条件
等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。
返回
第二节 误差的分类
一 、系统误差
误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现
Δn，则中误差m的定义为：
m
n
式中
21 22 23 ... 2n , i li x
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。
式中：
解：第一组观测值的中误差：
m1
02 22 12 (3)2 42 32 (2)2 (1)2 22 (4)2 10
2.5
一般函数 Z f (x1, x2,xn )
mZ
f ( x1
)2
m12
f ( x2
)2
m22
(
f xn
)2
mn2
返回
第五节 算术平均值的中误差
一 算术平均值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、 m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
值）L 为：
返回
三 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
D
1 D
m
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
第六章误差基本知识
最或然值（最可靠值）。
根据偶然误差的特性可取算术平均值作为
最或然值。
设对同一量等精度观测了n次，观测值为 l1,l2,l3,….ln，则该量的算术平均值
也可表示成： x l1 l2 ln l
n
n
n
l
li
i 1
[l] x
n
n
证明（x是最或然值）
中误差的绝对值与观测值之比，并将分子 化为1，分母取整数，称为相对中误差，
即：
Km 1 D Dm
相对中误差不能用于评定测角的 精度，因为角度误差与角度大小无关。
在一般距离丈量中，往返各丈量一次，
取往返丈量之差与往返丈量的距离平均值之
比，将分子化为1，分母取整数来评定距离
丈量的精度。称为相对误差。
经纬仪导线测量时，规范中所规定的相
对闭合差不能超过1/2000,它就是相对极限
误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则
是相对真误差。
与相对误差相对应，真误差、中误差、
极限误差等均称为极限误差又成为允许误差，或最大误差。
由偶然误差的第一个特性可知，在一定 的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值，测量上把这个限值叫做极 限误差。
在观测次数不多的情况下可认为大于3倍的 中误差是不可能出现的，所以通常以3倍中误差 作为偶然误差的极限误差，即
允 3m
在实际工作中，有的测量规 范规定以2倍中误差作为极限误 差，
即 允 2m
超过极限误差的误差被认为 是粗差，应舍去重测。
22
第三节 算术平均值及改正数
一、算术平均值
研究误差的目的除了评定精度外，还有求其
第一节 测量误差的概念
测量误差的基本知识
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。 思考题：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长
的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多 少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 • 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，…ln • 算术平均值为 ：L=(l1+l2+…ln )/n=[l]/n • 算术平均值原理:当n→∞时，L=X • 证明：∆i＝li－X, [∆]=[l]－ nX，
mz
(
f x1
)
2
m12
( f x2
) 2 m22
... ( f xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
1、倍数函数：Z=kx
中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn
中误差：
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn
中误差：
mz m12 m22 ... mn2
此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精 度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即：
∆容＝士 2|m| 或 ∆容＝士3|m |
§5.3 误差传播定律
• 误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自变量（如直接观测值），他们的 中误差分别为m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
• 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 • 中误差（m）与真误差（ ∆ ）不同，它只是表示某一组
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
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When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End 演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
❖ 解：c=180º- A - B
❖ Mc= mβ 2 =±15“=±21"
❖ 例4.对某三角形内角（a,b,c）作n次等精度观测， 其三角形闭合差wi=ai+bi+ci-180º,(i=1,2···n), 试求一测回角的中误差。
解：mw=± mβ 3 = ±
[ ww ] n
❖ mβ= [ ww ]
3n
❖ 例5.若量得正方形一边之长为a,其中误差为ma, 试求正方形面积及中误差?若量得正方形两边 之长,则正方形面积的中误差又为何值?
❖ 解:1)设A为正方形面积,则
❖ A=a²
❖ 2)对上式微分,得
❖
ΔA=2aΔa.
❖ 3)将真误差关系式转换成中误差关系式
❖ mA=±2ama
❖ 故得结果为 A=a²± 2ama
❖ m乙=±sqrt[(36+0+0+36+1)/5]=±3.8 “.
❖ 由于观测值带 有误差,由观测 值构成的函数 也随之产生误 差,这种阐明直 接观测值与函 数之间误差关 系的规律,称为 误差传播律.
❖ (1)倍函数 Z＝kx ❖ m²z=k²m²,mz=±km
❖ (2)和差函数 Z＝x1±x2±···xn
的量距精度, ±36“的测角精度.
❖ 问题:如果mβ=±15“,请问测距精度为多少时才能满
足mp=±5cm的要求?
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
35
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
❖ΔA=aΔa + a Δa
❖ 例6.如图所示,要在已知点上用极坐标法测定P 点,使其点位中误差小于±5cm,若S=200m,试 问要用什么样的精度来测定β角和距离S(同 影响)?
❖A
P
❖
mp mu
❖
β
S
P'mt
❖
B
❖ 解:中误差关系式: ❖ m²p=m²t+m²u ❖ 令mt=mu,则mt=mu=mp/√2 ❖ 故纵向误差为mt=±0.05/ √2=±0.035m ❖ 或 mt=0.035/200=1/5700 ❖ 横向误差为 mu=S ·mβ/ρ ❖ mβ= ρmu/S=(206265×0.05/√2)/200=±36“ ❖ 为了使P点的点位误差达到5cm的要求,需要1/5700
❖ 如果量得两边之长 ❖ 1)A=a×a ❖ 2)微分得 ΔA=aΔa + a Δa . ❖ 3)m²A=a²m²a + a²m²a=2a²m²a ❖ m²A=± 2 ama
❖ A=a²± a√2ma
❖ 后一种将精度提高了√2 倍 ❖ 原因:两个a独立的直接观测值,而真误差关系
式不是倍乘关系 ΔA=2aΔa,而是
第5章 测量误差的基本知识
由于观测次数n有限，不可能n→∞,采用σ的估值m作为中误差
mˆ
[21222n] n
n
❖ 例1.分组对某量进行了5次观测，其真误差分 别是：
❖ 甲组：3“、-3“,-4“,2“,-1“. ❖ 乙组：-6“,0“, 0“,6“,1“.求中误差分别是多少？ ❖ m甲=±sqrt[(9+9+16+4+1)/5]=±2.8“.
n ❖ mz=±m
❖ 例2.在视距测量中，当视线水平时，读得的 视距间隔n=1.23m±1.4mm,试求水平距离及 其中误差。
❖ 解：由 D＝kn=100×1.23=123m.
❖ mD=100mn=±140mm,
❖ 最后的结果为：D=123±0.14m
❖ 例3.在三角形ABC内角观测中，对A,B两角 各观测一个测回，每测回测角中误差 mβ=±15“,试求角C的中误差mc.
❖ 解：c=180º- A - B
❖ Mc= mβ 2 =±15“=±21"
❖ 例4.对某三角形内角（a,b,c）作n次等精度观测， 其三角形闭合差wi=ai+bi+ci-180º,(i=1,2···n), 试求一测回角的中误差。
解：mw=± mβ 3 = ±
[ ww ] n
❖ mβ= [ ww ]
3n
❖ 例5.若量得正方形一边之长为a,其中误差为ma, 试求正方形面积及中误差?若量得正方形两边 之长,则正方形面积的中误差又为何值?
❖ 解:1)设A为正方形面积,则
❖ A=a²
❖ 2)对上式微分,得
❖
ΔA=2aΔa.
❖ 3)将真误差关系式转换成中误差关系式
❖ mA=±2ama
❖ 故得结果为 A=a²± 2ama
❖ m乙=±sqrt[(36+0+0+36+1)/5]=±3.8 “.
❖ 由于观测值带 有误差,由观测 值构成的函数 也随之产生误 差,这种阐明直 接观测值与函 数之间误差关 系的规律,称为 误差传播律.
❖ (1)倍函数 Z＝kx ❖ m²z=k²m²,mz=±km
❖ (2)和差函数 Z＝x1±x2±···xn
的量距精度, ±36“的测角精度.
❖ 问题:如果mβ=±15“,请问测距精度为多少时才能满
足mp=±5cm的要求?
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
35
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
❖ΔA=aΔa + a Δa
❖ 例6.如图所示,要在已知点上用极坐标法测定P 点,使其点位中误差小于±5cm,若S=200m,试 问要用什么样的精度来测定β角和距离S(同 影响)?
❖A
P
❖
mp mu
❖
β
S
P'mt
❖
B
❖ 解:中误差关系式: ❖ m²p=m²t+m²u ❖ 令mt=mu,则mt=mu=mp/√2 ❖ 故纵向误差为mt=±0.05/ √2=±0.035m ❖ 或 mt=0.035/200=1/5700 ❖ 横向误差为 mu=S ·mβ/ρ ❖ mβ= ρmu/S=(206265×0.05/√2)/200=±36“ ❖ 为了使P点的点位误差达到5cm的要求,需要1/5700
❖ 如果量得两边之长 ❖ 1)A=a×a ❖ 2)微分得 ΔA=aΔa + a Δa . ❖ 3)m²A=a²m²a + a²m²a=2a²m²a ❖ m²A=± 2 ama
❖ A=a²± a√2ma
❖ 后一种将精度提高了√2 倍 ❖ 原因:两个a独立的直接观测值,而真误差关系
式不是倍乘关系 ΔA=2aΔa,而是
第5章 测量误差的基本知识
由于观测次数n有限，不可能n→∞,采用σ的估值m作为中误差
mˆ
[21222n] n
n
❖ 例1.分组对某量进行了5次观测，其真误差分 别是：
❖ 甲组：3“、-3“,-4“,2“,-1“. ❖ 乙组：-6“,0“, 0“,6“,1“.求中误差分别是多少？ ❖ m甲=±sqrt[(9+9+16+4+1)/5]=±2.8“.
n ❖ mz=±m
❖ 例2.在视距测量中，当视线水平时，读得的 视距间隔n=1.23m±1.4mm,试求水平距离及 其中误差。
❖ 解：由 D＝kn=100×1.23=123m.
❖ mD=100mn=±140mm,
❖ 最后的结果为：D=123±0.14m
❖ 例3.在三角形ABC内角观测中，对A,B两角 各观测一个测回，每测回测角中误差 mβ=±15“,试求角C的中误差mc.