江苏省八年级数学上册 第20讲 勾股定理的逆定理讲义 苏科版
苏教版八年级数学上册知识点总结(苏科版)
知识点总结第一章三角形全等一、全等三角形的定义1、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、理解：（1）全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；（2）一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；（3）三角形全等不因位置发生变化而改变。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：（1）长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；（2）对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
2、全等三角形的周长相等、面积相等。
3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
三、全等三角形的判定1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
3、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
4、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、证明两个三角形全等的基本思路1、已知两边：（1）找第三边（SSS）；（2）找夹角（SAS）；（3）找是否有直角（HL）。
2、已知一边一角：（1）找一角（AAS或ASA）；（2）找夹边（SAS）。
3、已知两角：（1）找夹边（ASA）；（2）找其它边（AAS）。
第二章轴对称一、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
二、轴对称的性质1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。
三、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
2、判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
四、角的角平分线1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
第3章《勾股定理》知识讲练(学生版)
2023-2024学年苏科版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 .（即： ）勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求 ；（2）利用勾股定理可以证明 的问题；（3）解决与勾股定理有关的 ；（4）勾股定理在 的应用．知识点02：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 细节剖析：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是 的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设 ；（2）验证：与a b 、c a b c 、、c 22a b 2c若若满足不定方程的 称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.细节剖析：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为 时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：；.，且，那么存在 成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的 ，而其逆定理是联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者 ，都与 有关.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•海门市期末）以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，4，5B ．4，6，8C ．5，12，13D ．8，10，12mm ，则梯子顶端的高度h 是（ ）222a b c +=222a b c +＞222b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a bc 、、a b c <<2729m B．2m m m3．（2分）（2022秋•玄武区期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2分）（2022秋•南通期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（）A．3B．C．D．25．（2分）（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．46．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD＝，AC＝，则AE的长为（）A．B．5 C．6 D．47．（2分）（2022秋•吴江区校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm28．（2分）（2022秋•宿城区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．49．（2分）（2022秋•沭阳县期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（）A．4 m B．5m C．6m D．8m10．（2分）（2021秋•东台市期末）如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是cm．12．（2分）（2022秋•海门市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，△ABC的外角平分线与边BC的垂直平分线交于点D，则AD＝．13．（2分）（2022秋•常州期末）如图，分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，三个正方形面积分别用S1、S2、S3表示，则下列：①S2＞S3；②S2＜S1+S3；③S2＞S1+S3；④，结论正确的是（填写序号）．14．（2分）（2022秋•常州期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC平分∠BAD，且∠ACB＝90°．当点C在BD的垂直平分线上时，CD2的值为．15．（2分）（2023春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，AH、BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE＝．16．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为．17．（2分）（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于．18．（2分）（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC 的角平分线，则BD＝．19．（2分）（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ADC＝90°，点M是AC 的中点，连接BM，若BM＝AC，∠BAD+∠BDC＝180°，则BC2的值为．20．（2分）（2021秋•建邺区期末）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•徐州期末）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？22．（6分）（2022秋•江都区期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．23．（6分）（2022秋•宿豫区期末）如图，一艘军舰甲在A处停留，此时在A处的南偏西45°方向，距离A 处600公里的B处一艘军舰乙正由南向北航行，若军舰甲的雷达可测距离为450公里，军舰乙的航行方向不变，试问在军舰乙航行的过程中，军舰甲的雷达能否测到军舰乙？请通过计算说明理由．24．（6分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC的中点，CF⊥AB于点F，连结DE，DF，EF．（1）求证：△DEF是等腰三角形．（2）若AB＝5，BC＝6，求CF的长．25．（6分）（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D 到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．26．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在ADm，将秋千AD往前推送3m，到达ABm，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．m时，需要将秋千AD往前推送m．27．（6分）（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．28．（8分）（2022秋•天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．29．（8分）（2022秋•秦淮区月考）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；已知S△ABC＝40cm2，如图，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．（1）若△DMN的边与BC平行，求t的值；（2）在点N运动的过程中，△ADN能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。
苏科版勾股定理教学案
B C A D 勾股定理的应用教学案（1）学习目标：1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三形。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
会用开平方及开立方运算求式子中的x 的值。
学习重点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用 学习难点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用学习过程一、知识梳理 1、勾股定理的内容 ______________________________________________。
2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边（∠C ＝900）。
①c 2＝a 2＋b 2；②a 2＝c 2－b 2；③b 2＝c 2－a 2。
3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：___________________________。
（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）4、平方根的定义：一般地，如果____________等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
也称二次方根，也就是说，如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。
记作：________.5、平方根的性质：①一个正数有_________个平方根，它们互为________；②0的平方根是______，记作0 ；③_________没有平方根。
6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。
规定：0的算式平方根是0。
公式：( a )2＝___ (a ≥0)，a 2 ＝____ (a ≥0) ， a 2 ＝_______(a ≤0)。
8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作______读作“三次根号a ”。
3.2 勾股定理的逆定理 苏科版数学八年级上册堂堂练(含答案)
3.2勾股定理的逆定理—2023-2024学年苏科版数学八年级上册堂堂练1.下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是( )A.3，4，5B.7，24，25C.5，7，9D.8，15，172.若的三边a，b，c满足，则的形状是( )A.直角三角形B.斜三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3.在中，如果三边满足关系，则的直角是( )A. B. C. D.不能确定4.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是( )A.1.5，2，3B.5，12，13C.，1，D.3，4，55.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是( )A.直角三角形两个锐角互余B.三角形内角和等于180°C.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边D.如果三角形两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形6.在中，、、的对边分别a、b、c，且，则的度数为____________.7.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm，40cm和50cm，则这个教具____________（填“合格”或“不合格”）.8.如图，四边形ABCD中，，，，，，求证：.答案以及解析1.答案：C解析：A、，故是直角三角形，不符合题意；B、，故是直角三角形，不符合题意；C、，故不是直角三角形，符合题意；D、，故是直角三角形，不符合题意.故选C.2.答案：A解析：三角形三边长满足，，，为直角三角形故选：A.3.答案：C解析：，是直角三角形，且AB是斜边，，即是的直角.故选C.4.答案：A解析：A、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意.故选：A.5.答案：D解析：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，，以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.故选D.6.答案：90°解析：，，即，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边..故答案为：90°.7.答案：合格解析：，三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形，这个教具合格.8.答案：证明见解析解析：证明：连接AC.，，，由勾股定理，得，又，，，，，.。
苏教版八年级数学全册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形 轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
苏科版数学八年级上册3.2《勾股定理的逆定理》说课稿
苏科版数学八年级上册3.2《勾股定理的逆定理》说课稿一. 教材分析《勾股定理的逆定理》是苏科版数学八年级上册第三章第二节的内容。
这一节主要介绍了勾股定理的逆定理及其应用。
教材通过引入直角三角形和斜边的关系，引导学生探索并证明勾股定理的逆定理。
学生通过学习这一节内容，能够理解和掌握勾股定理的逆定理，并能够运用它解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了勾股定理和直角三角形的相关知识。
他们对于勾股定理有一定的理解和掌握，但可能对于逆定理的概念和证明过程较为陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解逆定理的概念，并通过讲解和示例，帮助他们掌握逆定理的证明过程。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解勾股定理的逆定理的概念，并能够运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
2.过程与方法目标：学生通过观察和思考，培养直观想象和逻辑推理的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对勾股定理逆定理的学习，培养对数学的兴趣和探索精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握勾股定理的逆定理，并能够运用它判断一个三角形是否为直角三角形。
2.教学难点：学生对于逆定理的证明过程的理解和掌握。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、问题驱动法和合作交流法相结合的方式进行教学。
通过讲解和示例，引导学生理解逆定理的概念和证明过程。
同时，通过问题和讨论，激发学生的思考和探索兴趣，培养他们的直观想象和逻辑推理能力。
六. 说教学过程1.导入：通过回顾勾股定理的内容，引导学生思考勾股定理的逆定理的概念。
2.讲解：讲解勾股定理的逆定理的概念和证明过程，通过示例让学生理解并掌握逆定理的应用。
3.练习：学生独立完成一些练习题，巩固对逆定理的理解和掌握。
4.应用：学生分组讨论并解决一些实际问题，运用逆定理判断三角形的类型。
5.小结：总结本节课的重点内容，强调逆定理的概念和应用。
七. 说板书设计板书设计如下：1.勾股定理的逆定理概念2.逆定理的证明过程3.逆定理的应用示例八. 说教学评价教学评价将通过课堂参与、练习题和小组讨论等方式进行。
苏科版八年级上册3.2勾股定理的逆定理 课件 (共30张PPT)
16. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知 地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
17. 一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
02
课堂练习
1. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3
B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10
D．a=3，b=4，c=5
2. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成 一个直角三角形三边的线段是（ ）． A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD
3. 下列说法：
（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；
（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；
（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为60．
13
其中说法正确的有（ ）．
其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
举一反三：
2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平
方是（ ）
A．161；
B．289；
C．17；
D．161或289．
类型二、勾股定理逆定理的应用
例2. 已知：a、b、c为△ABC的三边且满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c，试判 断△ABC的形状
专题02 勾股定理的逆定理(提高-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破同步讲练(解析版
专题02勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+（,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；一、单选题1．（2020ꞏ兴化市乐吾实验学校八年级月考）下列命题中，是假命题的是()A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形【答案】C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A.△ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B.△ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2=a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．2．（2020ꞏ山西九年级专题练习）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（2020ꞏ广西防城港市ꞏ八年级期中）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC 形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】解：在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ∵22212+=，∴△ABC 是直角三角形．故选B ．点睛：本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（2020ꞏ陕西九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米【答案】A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．5．（2019ꞏ全国八年级单元测试）如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴πa 22 πb22πc22，化简得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．二、填空题6．（2020ꞏ江阴市敔山湾实验学校八年级月考）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】；13或【解析】试题分析：把立体图展开可得①根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，=③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为．考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理7．（2019ꞏ，三角形的最大边上的高等于_____________.【解析】分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.，∴22212+==∴三角形是直角三角形∴1122高⨯点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.8．（2020ꞏ河北九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90B ∠=︒，则四边形ABCD 的面积等于______，【答案】36【分析】先根据勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD △的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，3AB =，4BC =，90B ∠=︒∴5AC ===∵12CD =，13AD =∴在ACD △中，有2225+12=13即222AC CD AD +=∴ACD △是以AC 、CD 为直角边的直角三角形∴Rt ABC Rt ACDABCD S S S =+ 四边形1122AB BC AC CD =⋅+⋅113451222=⨯⨯+⨯⨯36=故答案是：36【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，能够将求不规则四边形的面积转化为求两个直角三角形的面积和是解题的关键．9．（2019ꞏ全国）如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是______；若将△ABP 的PA 边长改为，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为______．【解析】分析：根据当O 到AB 的距离最大时，OP 的值最大，得到O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理求出PM ，即可求出答案；将△ABP 的PA 边长改为另两边长度不变，根据(22222+=，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM 即可．详解：取AB 的中点M ，连OM ，PM ，在Rt △ABO 中，OM=12AB =1，在等边三角形ABP 中，无论△ABP 如何运动，OM 和PM 的大小不变，当OM ，PM 在一直线上时，P 距O 最远，∵O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理得：∴，将△AOP 的PA 边长改为，另两边长度不变，∵(22222+=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：，∴此时点睛：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PD的值是解此题的关键．三、解答题10．（2019ꞏ广东云浮市ꞏ八年级期末）学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD=4米，CD=3米，AD⊥DC，AB=13米，BC=12米.(1)若连接AC，试证明:OABC是直角三角形；(2)求这块地的面积.【答案】（1）见解析；（2）这块地的面积是24平方米.【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）∵AD=4，CD=3，AD⊥DC，由勾股定理可得：5==，又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）△ABC 的面积-△ACD 的面积=115123422⨯⨯-⨯⨯=24（m 2），所以这块地的面积是24平方米.【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.反之也成立.11．（2020ꞏ全国）ABC ∆三顶点坐标()4,5A ，()1,3B -()1,2C -，通过运算，判断ABC ∆形状．【答案】ABC ∆是等腰直角三角形【分析】利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度，然后进行判断.【详解】AB ==AC ==BC ==AB BC ∴=且222AB BC AC +=ABC ∆∴是等腰直角三角形【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两点间的距离公式及勾股定理逆定理，能利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度是解题关键.12．（2019ꞏ全国八年级课时练习）欲将一根长129cm 的木棒放在长、高、宽分别是40cm ，30cm ，120cm 的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．【答案】能【分析】先由勾股定理求得可以放最长的长度，再进行比较，即可得出结果．【详解】由22221203040130++=，得木箱的体对角线长为130cm ．∵130cm 129cm >，∴能放得进去．【点睛】考查了勾股定理的应用；解题关键是利用勾股定理计算出可以放最长的长度.13．（2020ꞏ全国八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，已知点C 的横坐标为3，AC 长为2，OC ，CB OA ⊥，垂足为B .请你判断AOC ∆的形状，并说明理由.【答案】直角三角形，理由见详解.【分析】根据勾股定理，先在Rt OBC 中算出BC 的长度，然后在Rt ABC 中算出AB 的长度，最后得出222AC OC AO +=，然后就可以确定这是直角三角形.【详解】∵点C 的横坐标为3，∴OB=3在Rt OBC 中：OB ⊥OA,OB=3,OC=,由勾股定理得：222BC OC OB =-=12-9=3,在Rt ABC 中：CB ⊥BA,23BC =,AC=2,由勾股定理得：222AB AC BC =-=4-3=1,∴AO=OB+AB=4,在AOC △中，,AC=2,AO=4,∴22AC OC +=4+12=16=2AO ,∴AOC △为直角三角形.【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题目条件逐一求出边长是解题的关键. 14．（2018ꞏ江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）在图1、图2的网格中，每个小四边形均为正方形，且边长是1．如果三角形的顶点均在网格交点处，我们称这样的三角形为格点三角形．下面的三角形均为格点三角形．（1）如图1，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）在图2的网格中，请你以DE为底边，画一个面积为7.5的等腰三角形．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形，理由见解析;(2)见解析.【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解可得；（2）先作出线段DE的中垂线，再在此直线上找到满足条件的格点，从而得出答案．【详解】解：（1）△ABC是等腰直角三角形.∵AC2＝BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）如图所示，△DEF即为所求．设所求三角形的高为h，∵∴17.52⨯=，∴h=2,∴腰长为，【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰三角形的性质、三角形的面积等知识点．15．（2019ꞏ全国）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②，【答案】以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°【解析】试题分析：两个方程，有三个未知量，不能解出具体数值，但是能求出a,b,c 关系，本题利用代入，因式分解，求出a,b,c 关系.试题解析：解法1：将①②两式相乘，得8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=（）（）.即：()()()22222244b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=0,即()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,即())22220b c a ab a b c abc ⎡-+--+⎣=,即()())220b c a c a b abc ⎡-+--⎣=,即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=,所以b ﹣c+a =0或c+a ﹣b =0或c ﹣a+b =0，即b+a=c 或c+a=b 或c+b=a ．90°．解法2：结合①式，由②式可得得1024-2(a 2+b 2+c 2)=14abc ,又由①式得（a+b+c ）2=1024，即a 2+b 2+c 2=1024﹣2（ab+bc+ca ），代入③式，得1024-2[1024-2(ab+bc+ca )]=14abc ，即abc=16（ab+bc+ca ）﹣4096．（a ﹣16）（b ﹣16）（c ﹣16）=abc ﹣16（ab+bc+ca ）+256（a+b+c ）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，所以a=16或b=16或c=16．结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．。
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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目 录
CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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3.2 勾股定理的逆定理一课一练2021-2022学年苏科版 八年级数学上册试题(含答案)
3.2《勾股定理的逆定理》一、选择题1．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ）A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠C ＝90°C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形2．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3.下列各组数中，是勾股数的为（ ）A ．111345，， B ．0.6，0.8，1.0 C ．1，2，3 D ．9，40，414.下列命题：①如果3、4、5为一组勾股数，那么3k 、4k 、5k 仍是勾股数；②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶是9，12，13，那么此三角形是直角三角形；④一个直角三角形的两边长是3和4，它的斜边是5．其中正确的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.如图,点P 是等边三角形ABC 内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB 绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB 的度数______．2.如图，点M ，N 把线段AB 分割成三条线段AM ，MN 和NB ，若以AM ，MN 和NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．若2AM =，3MN =，则NB 的长的平方为____．3.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．三、解答题1.如图，90ADC ∠=︒，4=AD m ，3CD =m ， 13AB =m ，12BC =m ．（1）试判断以点A ，B ，C 为顶点的三角形的形状，并说明理由；（2）求该图的面积．2.如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m.（1）判断∠ADC是否是直角，并说明理由；（2）试求四边形草坪ABCD的面积.3.下图是由边长为1的小正方形组成的网格．（1）求四边形ABCD的面积（2）判断AD与CD的关系，并说明理由．4.如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．5.如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由．6.在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =.设c 为最长边.当222+=a b c 时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为______三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为______三角形．（2）猜想，当22a b +______2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b +______2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围．7.如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 AB 上一点，且AF =14AB ． 求证：CE ⊥EF ．8.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF.①判断三角形的形状，说明理由．②求这个三角形的面积．（直接写出答案）9.（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD ＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为．10.（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．11.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD 为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．12.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．答案一、选择题1．B.2．C.3.D ．4.A二、填空题1.150°2.5或133.13，84，85三、解答题1. 解：（1）连接AC ，由勾股定理可知，5AC ==， 又22222251213AC BC AB +=+==， ABC ∆∴是直角三角形（2）该图的面积ABC ACD S S ∆∆=-，115123422=⨯⨯-⨯⨯， 224(m )=． 答：该图的面积为24 2m ．2.（1）∠D 是直角，理由如下：连接AC ，∵∠B=90°，AB=24m ，BC=7m ，∴AC 2=AB 2+BC 2=242+72=625，∴AC=25（m ）．又∵CD=15m ，AD=20m ，152+202=252，即AD 2+DC 2=AC 2，∴△ACD 是直角三角形，或∠D 是直角；（2）S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12AB ⋅BC +12AD ⋅DC, =234（m 2）．3.解：（1）由题意可知四边形ABCD 的面积=大正方形的面积-四个小直角三角形的面积111125551242332322222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=（2）AD ⊥CD ，理由如下：22125AD DC AC =+====，∴AD 2+DC 2=AC 2=25，∴△ADC 是直角三角形，∴AD ⊥CD ，4.解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15，∴AB 2+AD 2=BD 2，BD 2+BC 2=DC 2．∴△ABD 、△BDC 是直角三角形．∴∠A=90°，∠DBC=90°．故这个零件符合要求．S 四边形=11292⨯⨯+18152⨯⨯=114.5.（1）证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．（2）解：结论△ABE 是直角三角形．理由：∵AB ＝AD ＝12，AE ＝AC ＝9，BE ＝15，∴AB 2+AE 2＝122+92＝225，BE 2＝225，∴AB 2+AE 2＝BE 2，∴∠BAE ＝90°，∴△BAE 是直角三角形．6.（1）锐角，钝角．（2）>，<． （3）c 为最长边，46c ∴<≤．当222a b c +>，220c <，即4c <≤ABC ∆为锐角三角形；当222+=a b c ，220c =，即c =ABC ∆为直角三角形；当222a b c +<，220c >，即6c <<时，ABC ∆为钝角三角形．7.连接CF ，∵ABCD 为正方形 ∴AB BC CD DA ===，90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒． 设AB BC CD DA a ====∵E 是AD 的中点，且14AF AB = ∴12AE ED a ==，14AF a =∴34BF a ． 在Rt CDE △中，由勾股定理可得2222221524CE CD DE a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 同理可得：2222221152416EF AE AF a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222325416CF BF BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭． ∵222EF CE CF +=∴CEF △为直角三角形 ∴90CEF ∠=︒ ∴CE EF ⊥．8.（1）S △ABC =3×3﹣12×1×2﹣12×2×3﹣12×1×3=72； （2）如图所示：∵DE EF DF ，∴DE 2+EF 2=DF 2，∴△DEF 是直角三角形． △DEF 的面积=111231122132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．9. [问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．10.问题原型：如图1中，，，如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD=32．故答案为：32．初步探究：△BCD的面积为12a2．理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD12=a2；简单应用：如图3中，过点A 作AF ⊥BC 与F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ， ∴∠AFB =∠E =90°，BF 12=BC 12=a ，∴∠FAB +∠ABF =90°． ∵∠ABD =90°，∴∠ABF +∠DBE =90°，∴∠FAB =∠EBD ．∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的，∴AB =BD ．在△AFB 和△BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB ≌△BED (AAS)，∴BF =DE 12=a ． ∵S △BCD 12=BC •DE ，∴S △BCD 12=•12a •a 14=a 2，∴△BCD 的面积为14a 2． 11.解：（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ．在△ACE 和△ABD 中，AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ACE ≌△ABD （SAS ）； ∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°，∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， ∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC ∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ACE 和△ABD 中AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△ABD （SAS ）∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°； ②∵BC ＝3，CD ＝6，∴BD ＝9，∵△ACE ≌△ABD ，∴CE ＝BD ＝9，在Rt △ECD 中，222DE =CD +CE =117，在Rt △ADE 中，∵AD=AE ∴222AD +AE =DE =117，22117AD =AE =2， ∴△ADE 的面积＝2111117117AE AD=AD ==22224⋅⨯；故答案为：1174.12.解：（1）在△ABC 中，∠C=90°中，BC ＝4，AB ＝5 ∴AC=3（2）在Rt △DOA 中，∠DOA ＝900，∴OD 2+OA 2＝AD 2 同理：OD 2+OC 2＝CD 2 OB 2+OC 2＝BC 2 OA 2+OB 2＝AB 2∵AB 2+ CD 2＝OA 2+OB 2+ OD 2+OC 2 AD 2+ BC 2＝OD 2+OA 2+ OB 2+OC 2 ∴AB 2+ CD 2＝AD 2+ BC 2（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG 和△EBC 中 AB BE ABG EBC BC BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△EBC （SAS ） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4∴∠5＝∠AIJ ＝900 ∴AG ⊥CB 连接CG 、AE ，由（2）可知 AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 在Rt △CBG 中，CG 2＝BC 2+BG 2 CG 2＝42+42＝32在Rt △ABE 中，AE 2＝BE 2+AB 2 AE 2＝52+52＝50在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2 52＝AC 2+42 AC 2＝9∴AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 9+ GE 2＝32+50 GE 2＝73。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
八年级上册数学期中考试知识点总结：勾股定理的逆定理
八年级上册数学期中考试知识点总结：勾股定理
的逆定理
学习是一个循序渐进的过程，也是一个不断积累不断创新的过程。
下面小编为大家整理了八年级上册数学期中考试知识点总结：勾股定理的逆定理，欢迎大家参考阅读!
1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;
(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角
形的一般步骤：
(1)确定最大边;
(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;
(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
以上就是查字典数学网为大家整理的八年级上册数学期中考试知识点总结：勾股定理的逆定理，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!。
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第20讲勾股定理的逆定理
新知新讲
知识点1. 勾股定理的逆定理
例1：判断正误：
这样描述勾股定理的逆定理正确吗？
如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．
知识点2. 如何判定直角三角形
例2：分别以下列四组数为一个三角形的边长（1）1，2，3；（2）3，4，5；
（3）5，12，13；（4）6，8，10．
其中能组成直角三角形的有（）．
A．4组B．3组C．2组D．1组
金题精讲
题一：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH
C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
F
题二：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列说法中错误的是（）．A．如果∠C－∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°
B．如果a：b：c=3：4：5，则∠B=60°，∠A=30°
C．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，那么△ABC是直角三角形
D．如果c2－a2=b2，那么△ABC是直角三角形
题三：如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm
，∠A=90°，求四
边形ABCD的面积．B
第20讲勾股定理的逆定理新知新讲
例1：错．例2：B．
金题精讲
题一：B．题二：B．题三：36．
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