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计数原理单元测精彩试题

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计数原理单元测试卷一

计数原理单元测试卷一

计数原理单元测试卷一同学们，今天我们进行的是计数原理单元的测试，请大家认真审题，仔细作答。

现在，让我们开始今天的测试。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校运会，有多少种不同的选法？A. 3000B. 300C. 150D. 1002. 如果一个事件可以由n个步骤组成，每个步骤有两种选择，那么完成这个事件共有多少种不同的方法？A. 2^nB. n^2C. 2nD. n!3. 某图书馆有100本书，需要选出10本进行展示，如果不考虑书籍的排列顺序，共有多少种不同的选法？A. 100B. 10C. 10^100D. 100!/(10!*90!)...（此处省略其他选择题）二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果一个事件有5种可能的结果，每种结果发生的概率相等，那么这个事件的期望值是______。

2. 从5个不同的数字中选出3个数字进行排列，不考虑排列顺序，共有______种不同的组合。

...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是排列和组合，并给出一个例子说明它们的区别。

2. 请解释什么是二项式定理，并给出一个应用二项式定理的例子。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 某学校有5个班级，每个班级有50名学生。

现在需要从这5个班级中随机选出10名学生组成一个学习小组。

如果不考虑班级之间的差异，计算出有多少种不同的组合方式。

2. 假设有5个不同的球和5个不同的盒子，每个盒子只能放一个球。

计算出有多少种不同的放球方法。

五、论述题（共10分）请论述计数原理在日常生活中的应用，并给出至少两个具体的例子。

同学们，测试结束。

请检查自己的答案，确保没有遗漏。

希望你们都能取得好成绩。

如果有任何疑问，可以在课后与我讨论。

谢谢大家的努力和参与。

16.《计数原理》测试卷

16.《计数原理》测试卷

《计数原理》测试卷1、从4名男生和6名女生，选出3名升旗手，要求至少包含1名男生，则不同的选法共有A．160 B．100 C．200 D．1402、的值为A．61 B．62 C．63 D．643、6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种4、有5名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填一个志愿，报名方案的种数为A．15 B．8 C．35 D．535、二项式的展开式中，项的系数为（）．．．．6、在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()．A．－297 B．－252 C．297 D．2077、的系数为A．15 B．60 C．120 D．2408、在的展开式中，的系数为A．B．C．D．9、在的展开式常数项是A．－28 B．28 C．－7 D．710、展开式中的常数项是A.－36B.36C.－84D.8411、的展开式中，常数项为15，则＝A.3B.4C.5D.612、在的展开式中，的系数是A.-1120B.1120C.-1792D.179213、()10的展开式中不含的正整数指数幂的项数是A．11 B．9 C．7 D．514、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为A．10 B．20 C．30 D．12015、的展开式中常数项是A．－14 B．14 C．－42 D．4216、若的展开式中的系数是80，则实数a的值是A．-2 B. C. D.217、展开式中，项的系数是A．15 B．14 C．12 D．1118、(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a2＝()(A)60(B)－60(C)160(D)1519、展开式中的常数项为A．一1320 B．1320 C．一220 D．22020、若的展开式中的系数是80，则实数a的值是A．-2 B. C. D.221、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)

(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．26．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn7．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9611．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)17．若二项式nx x ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立.令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解.有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15【解析】二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x ⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出x y a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥， 可得021212123111,,222nn n nn n T C x T C x T C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 23．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）10；（2）1031- 【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出； （2）令0x =和1x =-可求出. 【详解】（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=， 10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.。

(压轴题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(答案解析)

(压轴题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(答案解析)

一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．80-C ．40D ．40-3．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ）A ．448B ．448-C ．672D ．672-4．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（ ） A ．7B ．9C ．11D ．136．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．4807．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．968．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1089．在二项式(2n x x的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项10．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12011．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 二、填空题13．()()6122x x --的展开式中5x 的系数为________．14．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =， 可得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则123234(1)n n n n n C C C n C +++++=______．15．计算546101011C C C +-的结果为__________.16．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.17．二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 320a x dx =⎰________.18．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________.19．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________.20．6名同学站成一排，甲、乙两人相邻，丙与丁不相邻，则共有______种不同的排法（用数字作答）.三、解答题21．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中． （1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项．22．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问： （1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）23．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．24．已知在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求2319819n nn n n n C C C -++++的值.25．已知：22)nx(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. （1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含32x 的项.26．已知在1nx ⎛+ ⎝的展开式中所有奇数项的二项式系数和为128. （1）求展开式中常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．B解析：B 【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-， 令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭，解得：1a =，()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为：52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和， 由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-，当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.3．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2r r r r rr r rx T C x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．D解析：D 【分析】根据题意，分为动点M ①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案. 【详解】根据题意，分4种情况讨论：①，动点M 向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，动点M 向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，③，动点M 向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2， ④，动点M 向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M 在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个， 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.6．C解析：C 【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A （种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.7．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.8．B解析：B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C ⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.9．C解析：C 【分析】由已知条件先计算出n 的值，然后计算出系数最小的项 【详解】由题意二项式n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故8n =二项式展开式的通项为8821881122rrrrrrr r T C C ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要系数最小，则r 为奇数 当1r =时，18142C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当3r =时，338172C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当5r =时，5581724C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当7r =时，77811216C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭故当当3r =时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础10．C解析：C 【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.11．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.12．B解析：B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 二、填空题13．【分析】本题首先可确定二项式展开式的通项然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取两种情况进行讨论即可得出结果【详解】二项式展开式的通项为当第一个因式取1时第二个因式应取含的项则对应系数为：；当第一个 解析：132-【分析】本题首先可确定二项式()62x -展开式的通项，然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取2x -两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】二项式()62x -展开式的通项为6162kkkkT C x ，当第一个因式取1时，第二个因式应取含5x 的项，则对应系数为：()55612112C ⨯⨯⨯-=-；当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含4x 的项，则对应系数为：()()42622120C -⨯⨯=-；则()()6121x x -+的展开式中5x 的系数为12120132--=-， 故答案为：132-. 【点睛】本题考查展开式中特定项的系数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式()na b +展开式的通项为1C k n k kk n T a b -+=，考查推理能力与计算能力，是中档题.14．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后两边求导并代入特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：1(2)21n n -+⋅-【分析】依据类比推理观察式子的特点，可得01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，然后两边求导并代入特殊值，可得结果. 【详解】01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，两边对x 求导，左边1(1)(1)nn x nx x -=+++右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++++令1x =，01231234(1)(2)2nn n n n n n C C C C n C n -++++++=+⋅1231234(1)(2)21n n n n n n C C C n C n -∴+++++=+⋅-．故答案为：1(2)21n n -+⋅-【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，属中档题.15．【分析】利用组合数的性质来进行计算可得出结果【详解】由组合数的性质可得故答案为【点睛】本题考查组合数的计算解题的关键就是利用组合数的性质进行计算考查计算能力属于中等题 解析：0【分析】利用组合数的性质111k k k n n n C C C ++++=来进行计算，可得出结果.由组合数的性质可得5465655101011111111110C C C C C C C +-=-=-=，故答案为0.【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.16．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4再令x ＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan 的值再令x ＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n ∈N*）可得3n+1+解析：175 【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4，再令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n 的值，再令x ＝0可得a 0=81，即可求解. 【详解】由C 233n +1＝C 23n +6（n ∈N *）可得 3n +1+（n +6）＝23，或 3n +1＝n +6，解得 n ＝4 或n 52=（舍去）．故（3﹣x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 4 x 4，令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝44＝256， 再令x ＝0可得a 0=81，∴﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝256-81=175， 故答案为 175． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．17．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式的通项为666166()()((),0,1,2,,666r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x 5156a C =，5=，∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．18．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为()55152rrrr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.19．14【分析】针对部分由二项式定理知通项为结合整个代数式有的项组成为即可求其系数【详解】对于由二项式通项知：∴含项的组成为：∴的系数为14故答案为：14【点睛】本题考查二项式定理根据已知代数式形式求指解析：14 【分析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r rr r T C xy -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r rr r T C xy -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+， ∴32x y 的系数为14. 故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题.20．【分析】甲乙两人相邻用捆绑法丙与丁不相邻用插空法【详解】先排丙与丁以外的人且甲乙在一起有种排法再排丙丁两人有种排法∴共有种排法【点睛】本题考查了排列知识的应用求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符 解析：144【分析】甲、乙两人相邻用捆绑法，丙与丁不相邻用插空法. 【详解】先排丙与丁以外的4人且甲、乙在一起，有323212A A =种排法，再排丙、丁两人有2412A =种排法，∴共有1212144⨯=种排法. 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;间接法:正难则反、等价转化的方法.三、解答题21．（1）123（2）7920（3）20126720x 【分析】（1）令1x =，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）在通项公式中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得含4x 项的系数；（3）根据1211312121211112122222r r r rr r r rC C C C ----+-⎧⎨⎩，求得r 的值，可得结论； 【详解】（1）令1x =，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为123；（2）二项展开式中，通项公式为123641122r rr r T C x --+=，令3644r -=，求得8r =， 故含4x 项的系数为841227920C =．（3）第1r +项的系数为12122r rC-，由1211312121211112122222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧⎨⎩，求得4r =，故该二项展开式中系数最大的项为 384201421(2)()126720C x x x=． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 22．（1）576；（2）144 【分析】（1）先从3个偶数抽取2个偶数和从4个奇数中抽取3个奇数，利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（2）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，即可得出结果. 【详解】解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数， （1）五位数中，偶数排在一起的有：23413442576C C A A =个，（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：23233423144C C A A =个. 【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及排列和组合的实际应用以及排列数和组合数的运算公式，考查利用捆绑法解决相邻问题，利用插空法解决不相邻问题，考查运算能力． 23．（Ⅰ）5n =；（Ⅱ）690x 、10243x . 【分析】（Ⅰ）由题意)23nx展开式中二项式系数和为2n 、各项系数和为()134nn +=，列方程即可得解；（Ⅱ）写出展开式的通项公式4103153r r rr T C x++=⋅⋅，分别令2r 、=5r 即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意可得)23nx展开式中二项式系数和为2n ，令1x =，可得)23nx展开式中各项系数和为()134nn +=，则由题意可得42992n n -=，化简得()()2322310nn-+=， 由2310n +>可得2320n -=， 所以5n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得))52233nxx=，则其展开式的通项公式()5241023315533rr rr r rr T C x xC x-++⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，要使4103r +为有理数，则2r 或=5r ，当2r时，41022663553390r r r C xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；当=5r 时，41055101035533243r r rC xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；所以其展开式中的有理项为690x 、10243x . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.24．（1）18-；（2）325376x -；（3）91019-.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出n 的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；（2）利用两边夹定理，设第1r +项系数的绝对值最大，列出关于r 的不等式即可求解； （3）利用二项式定理求解即可. 【详解】（1）由5533(2):(2)6:1n n C C --=，得9n =，∴通项2752219(2)r r rr TC x-+=-，令2751122r-=，解得1r =， ∴展开式中11x 的系数为119(2)18C -=-.（2）设第1r +项系数的绝对值最大，则11991199221732022r r r r r rr r C C r C C ++--⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩，所以6r =， ∴系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C x x ---=.（3）原式()90012299999991110199991(19)1999C C C C -⎡⎤=++++-=+-=⎣⎦. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 25．(1)1，(2)3216x -【解析】由题意知，第五项系数为44(2)n C ⋅-，第三项的系数22(2)n C ⋅-， 则有4422(2)10(2)n n C C ⋅-=⋅-，解8n =．（1）令1x =得各项系数的和为8(12)1-=．（2）通项公式828218822()(2)rr r rr r rr T C C x x---+=⋅⋅-=⋅-⋅，令83222r r --=， 则1r =，故展开式中含32x 的项为32216T x =-．26．（1）1792；（2）831120x -.【分析】（1）先根据二项式系数的性质，求出n 的值，然后写出通项，即可进一步求常数项； （2）二项式系数的最大项，即为中间项，由此利用通项法求解． 【详解】解：（1）二项式系数和为2256n =，∴8n =.483182rrr k T C x-++=⋅，(08,)r r N ≤≤∈.显然，当4803r -+=时，6r =. 所以常数项为667821792T C x ==. （2）∵8n =∴第5项二项式系数最大，∴4r =. 故二项式系数最大的项为488444335821120T C xx -+⨯-==.【点睛】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质，通项法研究展开式中的特定项问题，属于中档题．。

高中数学第4章计数原理单元测评湘教版选择性必修第一册

高中数学第4章计数原理单元测评湘教版选择性必修第一册

第4章测评一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有() A.240种 B.180种C.120种D.90种2.根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是()A.2B.4C.6D.83.下列计算结果是21的是()A. B.C. D.4.在(a+b)n的二项展开式中，与第r项二项式系数相同的项是()A.第n-r项B.第n-r-1项C.第n-r+1项D.第n-r+2项5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则该重卦的种数是()A.6B.15C.20D.16.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课.如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则所有符合条件的排法总数为()A.24B.144C.48D.967.1+4的展开式中，常数项为()A.1B.3C.4D.138.在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)+f(0，3)=()A.80B.8C.40D.24二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.(2022广东清远高二期末)若n的展开式中含x2项，则n的值可能是()A.6B.9C.12D.1410.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则()A.a0=1B.a0=0C.a0+a1+a2+…+a10=310D.a0+a1+a2+…+a10=311.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是()A.恰好取到一件次品有种不同取法B.至少取到一件次品有种不同取法C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法D.把取出的产品送到检验机构检查，能检验出有次品的不同方式有种12.小赵、小李、小罗、小王、小张五人报名志愿者服务，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有()A.若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D.已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排两人，后排三人，后排三人中要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n的值为.14.学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则不同的邀请方法为种.15.若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160，则实数a的值为，展开式中各项系数之和为.16.(2022山东无棣高二期中)若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6，则a3= .四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022福建宁德高二期中)(1)计算:+…+(用数字作答).(2)解不等式:3≤2+6.18.(12分)(2022山东菏泽十二校高二期中)在①前三项系数成等差数列，②二项式系数之和为64这两个条件中，任选一个，补充在问题中，并进行解答.问题:在x+n的展开式中，，求n的值及展开式中的常数项.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.(12分)(2022山东潍坊高二期末)已知3x-n的展开式中各项系数之和为32.(1)求n的值;(2)求x+3x-n展开式中的常数项.20.(12分)(2022江苏南京鼓楼高二期末)我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式.(1)某医院有内科医生8名，外科医生x(x≥3)名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求x的值;(2)化简:+…+.21.(12分)现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.(1)若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法?(2)若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法?(3)现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.(4)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法?(注:请列出解题过程，结果保留数字)22.(12分)(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条(注意有一段DE不通)，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，且有一段路DE无法通行，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?参考答案第4章测评1.D根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90.故选D.2.C从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以a=3+3=6.故选C.3.D由题意可知=12+15=27，=35，=42，=21.4.D第r项的二项式系数是，由于，所以与第r项二项式系数相同的项是第n-r+2项.故选D.5.C根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则满足题意的重卦有=20种.故选C.6.D根据题意，先排数学有2种方法，物理和化学相邻有种排法，再与剩下的3节随意安排，有种安排方法，故所有符合条件的排法总数为2=96.故选D.7.D由于1+4表示4个因式+1的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有两个因式取，一个因式取1，一个因式取.故展开式中的常数项为1+=13，故选D.8.D在(1+x)6(1+y)4的展开式中，x3y0项的系数为=20，即f(3，0)=20;x0y3项的系数为=4，即f(0，3)=4，所以f(3，0)+f(0，3)=24.故选D.9.BD因为n的展开式的通项为T r+1=)n-r r=·x-2r=，令=2，得n=4+5r，因为r∈N，若r=1，则n=9，故B正确;若r=2，则n=14，故D正确.故选BD.10.AC因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，所以令x=0可得a0=1，令x=1可得a0+a1+a2+…+a10=310.故选AC.11.AC在含有3件次品的50件产品中，任取2件，恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，A正确;至少取到1件次品包括两种情况:只抽到一件次品，抽到两件次品，所以至少取到一件次品有种不同取法，B错误;两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法，C正确;由题意可知有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有种不同方式，D错误.故选AC.12.BCD对于A，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有4×4×4×4×4=45种选法，A错误;对于B，先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有=240种分配方法，B正确; 对于C，分2步分析:在5人中任选2人，安排礼仪工作，有=10种选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有=6种情况，则有10×6=60种不同的方案，C正确;对于D，分2步分析:在5人中任选2人，安排在第一排，有=20排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20×2=40种不同的方案，D正确.故选BCD.13.5因为n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以，解得n=5.14.49若甲、乙两位家长都不参加，则有=7种不同的方法;若甲、乙两位家长只有1人参加，则有=42种不同的方法.综上所述，共有7+42=49种不同的方法.15.21若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160，则有(ax)3(-1)3=-20a3x3，即-20a3=-160，解得a=2.由a=2，则(ax-1)6=(2x-1)6，令x=1，得(2x-1)6=16=1，即展开式中各项系数之和为1.16.-20x6=[-1+(1+x)]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6，∴a3=(-1)3=-20.17.解(1)根据题意，+…++…++…+=495.(2)根据题意，x∈N+，且x≥3，3≤2+6，即3x(x-1)(x-2)≤2(x+1)·x+6x(x-1)，变形可得3(x-1)(x-2)≤8x-4，解得≤x≤5.又x≥3，则x=3或4或5.所以原不等式的解集为{3，4，5}.18.解因为二项展开式的通项为T r+1=x n-r r=·r x n-2r.选择①:前三项的系数成等差数列，前三项的系数分别为·0=1，·2=，则2×=1+，解得n=8或1(舍去).当n=8时，T r+1=·2-r x8-2r，令8-2r=0，解得r=4，所以展开式的常数项为·2-4=.选择②:二项式系数和为64，则2n=64，所以n=6.当n=6时，T r+1=·2-r x6-2r，令6-2r=0，解得r=3，所以展开式的常数项为·2-3=.19.解(1)由题意，令x=1得(3-1)n=2n=32，解得n=5.(2)因为二项式3x-5的通项为T r+1=(3x)5-r·-r=(-1)r·35-r·x5-2r.令5-2r=-1，解得r=3，故展开式中含有项的系数为(-1)3·32，再令5-2r=1，解得r=2，展开式中含有x项的系数为(-1)2·33，所以x+3x-5展开式中的常数项为x··(-1)3·32·x-1+·(-1)2·33·x=-9+27=18=180.20.解(1)内科医生8名，外科医生x(x≥3)名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生x(x≥3)名，派2名医生参加赈灾医疗队，即=66，=66，即x2+13x-90=0，解得x=5或x=-18(舍去).(2)∵(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+x n)(x+x2+…+x n)，∴x n+1的系数+…+，∴原式可以看作(1+x)n(1+x)n展开式中x n+1的系数减，∴原式=-n.21.解(1)依题意将D，E两个球看作一个整体与其他3个球全排列，由分步乘法计数原理可知不同的排列方法有=48种.(2)将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排，方法有=16种.(3)将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为=9种.(4)将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.若按3，1，1分配，方法有·=60种，若按2，2，1分配，方法有·=90种.综上可得，不同的放法共有60+90=150种.22.解(1)由题意可知，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向南走5次，向西走4次，故不同的走法共有=126种.(2)若先经过C再到B，需向南走3次，向西走2次，共种走法，由C到B需向南走2次，向西走2次，共种走法，故先经过C再到B共有种走法，故不经过C共有=66种.(3)经过ED，由A到D，需要3步，由E到B，需要5步，由A到D共有种走法，由E到B共有种走法，所以经过ED的走法共有种，故不经过ED的走法共有=96种.(4)由A经过DE到C的走法共有种，再由C到B需要向南、向西各走2次，共有种走法，故经过DE到C再到B的走法共有种走法，故不经过DE也不经过C的走法共有=54种.。

计数原理专项练习(含详解)

计数原理专项练习(含详解)

计数原理专项练习一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 224B. 112C. 56D. 282. A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一名小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一位大人和一名小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车的概率是()A.13B.12C.59D.233. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是()A.B.C.D.4. 已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A.B.C.D.5.2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数0.0000025用科学计数法表示为() A. 72510-⨯ B. 62.510-⨯ C. 50.2510-⨯ D. 72.510-⨯6. 若集合1A ，2A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合12{,}A a a =的不同分拆种数是()A. 8B. 9C. 16D. 187. 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则9a 等于()A. 10B. 10-C. 20D. 20-8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为，则的值为()A. 361B. 295C. 153D. 669. 设2012(1)n x a a x a x -=+++…nn a x +，若12||||...||127n a a a +++=，则展开式中二项式系数最大的项为A. 第4项B. 第5项C. 第4项或第5项D. 第7项10. 二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则()n =A. 4B. 5C. 6D. 711. 二项式的展开式中二项式系数最大的项为()A. 第 3 项B. 第 6 项C. 第 6 、 7 项D. 第 5 、 7 项12. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是A.B.C.D.13. 212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，展开式中的所有项的系数和是()A. 0B. 256C. 64D.16414. 9.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 66种B. 65种C. 63种D. 60种15. 102012(2)x a a x a x -=+++ (10)10.a x +则123a a a +++…10()a +=A. 1B. 1-C. 1023D. 1023-16. 腾冲第八中学数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的90、91、92三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A. 30种B. 90种C. 180种D. 270种17. 从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是()A. 590B. 570C. 360D. 21018. 若*n N ∈，且521235n n n C A ---=，则n 的值为()A. 8B. 9C. 10D. 1119. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有()A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个20. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()种.A. 252B. 112C. 20D. 56二、单空题（本大题共10小题，共50.0分） 21. 如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行()2n 第2个数是________22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________.23. 二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为______.24. 已知4男3女排队，每名男生至多与一名女生相邻，共有______ 种不同的排法．(结果用数值表示)25. 被4除，所得的余数为________.26. 若22242n C A =，则!3!3!n n =-________.27. 2015年世博会在意大利米兰举行，其中某大学要从6名男生和2名女生中选出3人作为奥运会的志愿者，若男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有__________________________种(结果用数字表示).28. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为____________29. __________.30. 已知3828128(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则6a 的值为_____.答案和解析1.【答案】B试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：.2.【答案】D解： 记A ，B ，C ，D 四位妈妈的小孩分别为a ，b ，c ，d ， 由于孩子都不坐自己妈妈的车， 假设A 与b 一辆车，则有3种情况，同理A 与c 一辆车及A 和d 一辆车，都有3种情况， 所以不同的坐车方式有3339++=种，而A 的小孩a 坐C 妈妈或D 妈妈的车的情况有336+=种情况， 所以所求概率为62.93P == 3.【答案】B解：至少有1个黑球，包括1个黑球、2个黑球，其方法数为 11205353C C C C +袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，∴共有方法数为 28C∴至少有1个黑球的概率是1120535328C C C C C +.4.【答案】A解：因为函数的最小值为，即.展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15.5.【答案】B6.【答案】B解：12A A A =，对1A 分以下几种情况讨论：①若1A =∅，必有212{,}A a a =，共1种拆分；②11{}A a =，则22{}A a =或12{,}a a ，共2种拆分；同理12{}A a =时，有2种拆分； ③若112{,}A a a =，则2A =∅、1{}a 、2{}a ，12{,}a a ，共4种拆分；∴共有12249+++=种不同的拆分．7.【答案】D 8.【答案】A解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式.n 为偶数时，，n 为奇数时，02221c C ==，12333C C ==，246C =，325510C C ==，….然后求前21项和，偶数项和为75， 奇数项和为最后.9.【答案】C解：令0x =，可得01a =，令1x =-，可得0122n n a a a a ++++=，所以1221127n n a a a +++=-=，解得7n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项.10.【答案】C因为(1)nx +的展开式中2x 的系数为2n C ，即215n C =，亦即230n n -=，解得6(5n n ==-舍).11.【答案】C解：，在二项式的展开式中二项式系数最大的项为第 6 、 7 项，12.【答案】A解：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有人种，其中甲位于乙、丙前面的共有种，因此所求的概率为，13.【答案】D解：根据21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 得展开式中项数是2417⨯-=，716n ∴=-=；令1x =，得展开式中的所有项的系数和是611(1).264-=14.【答案】A解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有1=种结果，当取得4个奇数时，有5=种结果， 当取得2奇2偶时有61060=⨯=∴共有156066++=种结果，15.【答案】D解：令1x =代入二项式102012(2)x a a x a x -=+++…1010a x +，得1001(21)a a -=++…101a +=，令0x =得1002a =，10122a a ∴+++…101a +=，12a a ∴++…101023a +=-，16.【答案】B解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，17.【答案】A解：直接法：3名语文、1名数学和1名英语，有31134520C C C =种， 1名语文、3名数学和1名英语1名，有13134560C C C =种， 1名语文、1名数学和1名英语3名，有113345120C C C =种， 2名语文、2名数学和1名英语1名，有22134590C C C =种，1名语文、2名数学和2名英语1名，有122345180C C C =种， 2名语文、1名数学和2名英语1名，有212345120C C C =种，共计206012090180120590+++++=种18.【答案】B解：*n N ∈，且521235n n n C A ---=，()()05122(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n n n ⎧⎪--⎪∴-⎨⎪----⎪⋅=--⨯⨯⨯⎩， 即()()5(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n ⎧⎪----⎨⋅=⨯--⎪⨯⨯⨯⎩，因此5(1)(4)40n n n ⎧⎨--=⎩，即255360n n n ⎧⎨--=⎩，解得9n =， 所以n 的值为9.19.【答案】B解：因为1146++=，1236++=，2226++=，0156++=，0246++=，0336++=，0066++=， 所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有336A =个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有361442121.++++++=20.【答案】B解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，第一种是：一组2人，另一组5人，有2721C =种分法；第二一种是：一组3人，另一组4人，有3735C =种分法；第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有222A =种分配方法，第二种也有222A =种分配方法；最后，把两步方法数相乘，共有22327272212352112C A C A +=⨯+⨯=种方法.21.【答案】222n n -+解：设第(2)n n 行的第2个数构成数列{}n a ，则有322a a -=，433a a -=，544a a -=，…，11n n a a n --=-，相加得()()2122123(1)(2)22n n n n a a n n +-+--=+++-=⨯-=， 则()()21222.22nn n n n a +--+=+=22.【答案】19400解：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率13433()(1)(1)45480P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯=， ②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=， 故停止射击时甲射击了两次的概率12311980100400P P P =+=+=， 23.【答案】80解：二项式51(2)x x+的展开式的通项公式为5552155(2)2r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅⋅=⋅⋅， 令523r -=，1r =，故展开式中3x 的系数为 415280C ⋅=，24.【答案】2304解：第一类，把4男生捆绑在一起，插入到3名女生排列所形成的4个空的1个空中，故有431434576A A A =种，第二类，把4男生平均分为2组，分别插入到3名女生排列所形成的4个空的2个空中，故有232434864A A A =种，第三类，把4男生分为(3,1)两组，把把1名男生插入到3名女生排列所形成的4个空的头或尾，把在一起的3个男生插入到剩下的3个空中的1个，故有1133124333864A A A A A =种，根据分类计数原理得，5768648642304++=25.【答案】0解：显然能被4整除，余数为0.26.【答案】35解：222(1)42n C A n n =-=，解得7n =，或6(n =-舍去)，337!353!(3)!n n C C n ∴===-， 27.【答案】36解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，，男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有， 28.【答案】0.6解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有22326C A =种不同排法)，剩下一名男生记作B ，将A ，B 插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有22233243432C A A A =种，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为664324320.6.720P A === 29.【答案】40-解：，30.【答案】28解：3(1)x +展开后不会出现6x ， 又88(2)[(1)1]x x -=--， 所以6a 表示6(1)x -的系数， 所以6268(1)28.a C =-=。

(常考题)人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测(含答案解析)(4)

(常考题)人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测(含答案解析)(4)

一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60B ．72C ．96D ．1502．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．403．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（ ） A ．3B ．8C ．12D ．64．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．16．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960- B ．960 C ．1120D ．16807．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-19．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C + B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +10．在(nx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72911．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D ．16412．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）14．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =， 可得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则123234(1)n n n n n C C C n C +++++=______．15．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.16．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 17．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.18．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．19．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）20．已知25270127(231)(2)x x x a a x a x a x ++-=++++，求01234567a a a a a a a a +++++++=_______三、解答题21．已知nx⎛+ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数； （2）求该展开式中系数最大的项. 22．三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法； （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.23．已知在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求2319819n nn n n n C C C -++++的值.24．已知多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n 的值；（2）求展开式中含x 项的系数.25．（1）已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：①127a a a +++；②0127a a a a ++++；（2）在522x ⎫⎪⎭的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.26．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③22110n n nC C -+-=.已知在n的展开式中，________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．B解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.3．C解析：C 【分析】对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为22326C A =种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为12326C A =种.综上所述，不同的分配方法种数为6612+=种. 故选：C. 【点睛】方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．4．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.5．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()xx a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．6．C解析：C 【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案. 【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=，即展开式的中间项的系数为1120. 故选：C ． 【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】首先采用赋值法，令12x =，代入求值201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭，通分后即得结果. 【详解】 令12x =， 201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭, 20192018201732019012201820191202320192019222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==，∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.故选C 【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.9．C解析：C 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为nm n A +，故选C.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．10．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773rr r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 11．D解析：D 【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法 ①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..14．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后两边求导并代入特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：1(2)21n n -+⋅-【分析】依据类比推理观察式子的特点，可得01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，然后两边求导并代入特殊值，可得结果. 【详解】01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，两边对x 求导，左边1(1)(1)nn x nx x -=+++右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++++令1x =，01231234(1)(2)2nn n n n n n C C C C n C n -++++++=+⋅1231234(1)(2)21n n n n n n C C C n C n -∴+++++=+⋅-．故答案为：1(2)21n n -+⋅-【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，属中档题.15．①②【分析】根据新定义结合组合数公式进行分类讨论即可【详解】当时由定义可知：当时由定义可知：故①成立；当时由定义可知：当时由定义可知：故②成立故答案为：①②【点睛】本题考查了新定义题考查了数学阅读能解析：①，②.. 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n nn C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.16．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.17．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4再令x ＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan 的值再令x ＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n ∈N*）可得3n+1+解析：175 【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4，再令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n 的值，再令x ＝0可得a 0=81，即可求解. 【详解】由C 233n +1＝C 23n +6（n ∈N *）可得 3n +1+（n +6）＝23，或 3n +1＝n +6，解得 n ＝4 或n 52=（舍去）．故（3﹣x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 4 x 4，令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝44＝256， 再令x ＝0可得a 0=81，∴﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝256-81=175， 故答案为 175． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．18．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)nx x ++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.19．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6020．【分析】在展开式中令可得系数和【详解】令得故答案为：【点睛】本题考查二项式定理在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法设二项展开式为则有：奇数项系数和为偶数项系数和为 解析：6-【分析】在展开式中令1x =可得系数和． 【详解】令1x =得501234567(231)(12)6a a a a a a a a +++++++=++-=-. 故答案为：6-． 【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，设二项展开式为2012()n n f x a a x a x a x =+++，则有：012(1)n f a a a a =++++，奇数项系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=， 偶数项系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．三、解答题21．（1）5；（2）121792x 和11792x -【分析】（1）先求出8n =，再写出二项式展开式的通项382182k k kk T C x-+=⨯⨯，令382kZ -∈即可求解；（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，即可解得k 的值，进而可得展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意可得：152n+=，得8n =，8x ⎛+ ⎝的展开式通项为138********k k k k k k kk T C x x C x ---+=⨯⨯=⨯⨯，()08k ≤≤，要求展开式中有理项，只需令382kZ -∈， 所以0,2,4,6,8k = 所以有理项有5项，（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k kk k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩ ， 即()()()()()()118!8!22!8!1!81!8!8!22!8!1!81!k k k k k k k k k k k k -+⎧⨯≥⨯⎪---+⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+--⎩，即2191281k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：56k ≤≤，因为k Z ∈， 所以5k =或6k =所以1155226821792T C x x =⨯⨯=，166127821792T C x x -=⨯⨯=所以展开式中系数最大的项为121792x 和11792x -. 【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让x 的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第1k +项的系数大于等于第k 项的系数，第1k +项的系数大于等于第2k +项的系数，属于中档题 22．（1）4320；（2）14400 【分析】（1）利用捆绑法，先将女生捆绑，再和男生一起排列，计算即得解； （2）利用插空法，先排男生，再将女生插入男生空隙，即得解. 【详解】（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法有36364320A A =种不同的排法；（2）女生必须全分开，利用插空法有535614400A A =种不同的排法【点睛】本题考查了排列组合的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题23．（1）18-；（2）325376x -；（3）91019-.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出n 的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；（2）利用两边夹定理，设第1r +项系数的绝对值最大，列出关于r 的不等式即可求解； （3）利用二项式定理求解即可. 【详解】（1）由5533(2):(2)6:1n n C C --=，得9n =，∴通项2752219(2)r r rr TC x-+=-，令2751122r-=，解得1r =， ∴展开式中11x 的系数为119(2)18C -=-.（2）设第1r +项系数的绝对值最大，则11991199221732022r r r r r rr r C C r C C ++--⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩，所以6r =， ∴系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C x x ---=.（3）原式()90012299999991110199991(19)1999C C C C -⎡⎤=++++-=+-=⎣⎦. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.24．（1）8；（2）7. 【分析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n ；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数． 【详解】（1）因为多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为2n C ，4n C ， 又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，2425n n C C =，. 即()()()()122112354321n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯， 化简得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去）； 故n 的值为8.（2）又因为展开式通项83821881122rx rr r r r T C C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当8312r-=时，解得2r ；.所以2238172T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式中含x 项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目.25．（1）①2-；②2187；（2）①5240x -；②5240x -或580x -. 【分析】（1）①运用赋值法，令0x =，求得01a =，令1x =，求得012345671a a a a a a a a +++++++=-，由此可求得答案.②由二项式的展开式判断0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零，令1x =-，可求得答案；（2）先求出展开式的通项公式，①令2r 时，求展示式中的第3项；②令2r 或3时，求得二项式系数最大项．【详解】解：（1）令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-. ①∴12372a a a a ++++=-.②∵()712x -展开式中，0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零， ∴()()012702461357a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++，令1x =-，则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.所以01272187a a a a ++++=.（2）522x ⎫⎪⎭的展开式中第1r +项为()()551225215522rrrrr r r T C x x C x---+==⋅⋅，①当2r 时，所以展示式中的第3项为55222235240T C x x --=⋅⋅=.②2r或3时，二项式系数5rC 最大，2r时，由（1）知52340T x -=，3r =时，445545280T C x x --==．【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果n 是偶数,最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r +1项为系数最大项，需列出不等式组+1+2+1r r r rT T T T ≥⎧⎨≥⎩，解之求得r .26．（1）56252x-；（2）5x . 【分析】（1）先求出二项展开式的通项，根据条件求出n ，即可知道二项式系数最大的项； （2）令x 的指数为5，即可计算出r ，求出含5x 的项. 【详解】可知3561(1)rn rr n r r r r n n T C C x --+⎛==- ⎝， 方案一：选条件①，（1）由题可知4422(1)14(1)3n n C C -=-， !2!(2)!144!(4)!!3n n n n -∴⨯=-，25500n n ∴--=，解得10n =或5n =-（舍去），所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）由（1）知56110510,(1)r rr r n T C x-+==-，令5556r -=，0r ∴=，51T x ∴=， 所以展开式中含5x 的项是第一项，为5x ； 方案二：选条件②， （1）由题可知21212552n nnnnn nC CC C -++=+==，整理得21100n n +-=，解得10n =或11n =-（舍去）， 所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）同方案一（2）； 方案三：选条件③， （1）222211110n n nn n n C C C C C -++-=-==，10n ∴=，所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x=-；（2）同方案一（2）.【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于中档题.。

(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(含答案解析)

(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A ．8B ．7C ．6D ．43．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种 B ．24种C ．18种D ．36种4．已知（x x ﹣a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．25．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7B ．8C ．11D ．146．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同学的体重所有可能的情况有（ ） A ．55种B ．60种C ．65种D ．70种7．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-488．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．5609．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12010．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18 B ．200C ．2800D ．3360011．在(nx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72912．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．165二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．化简：()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++=______.15．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______. 16．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 17．已知()2n1(2x )n N*x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是______.(结果用数值表示) 18．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．19．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.20．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.三、解答题21．在二项式()32nx -的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.22．已知nx ⎛⎝的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于128. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中所有的有理项.23．已知n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求n ；（2）求第三项的二项式系数及展开式中x 的系数；（3）求展开式中系数的绝对值最大的项.24．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？25．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中的常数项．26．已知n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255（1）求展开式所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．C解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)rr r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．4．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．A解析：A 【分析】分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果. 【详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号， 此时有1种方法； 第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；综上所述，共有1337++=种方式. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有155C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有215330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有315330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有455C =种；共560+60+5=70+种. 故选：D. 【点睛】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.7．D解析：D 【分析】把51(2)x-按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项． 【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.8．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181rrr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题9．C【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10．C解析：C 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.11．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 12．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrrr r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．【分析】由将原式转化为再由二项式定理可得答案【详解】∴故答案为：【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用考查转化思想属于中档题 解析：np【分析】由11=kk n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++，再由二项式定理可得答案. 【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!k k nn nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===-----，∴()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣1[(1)]n np p p -=-+ 11n np -=⋅np =故答案为：np 【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.15．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：56【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率. 【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.16．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.17．-84【分析】由已知求得n 写出二项展开式的通项由x 的指数为求得r 则答案可求【详解】由题意得其二项展开式的通项由得展开式中含项的系数是故答案为【点睛】本题考查二项式定理关键是熟记二项展开式的通项是基础题解析：-84 【分析】由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为1-求得r ，则答案可求． 【详解】由题意，n 2128=，得n 7=．2n 2711(2x )(2x )x x∴-=-，其二项展开式的通项r27rr r 7r r143r r 1771T C (2x )()(1)2C x x---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅．由143r 1-=-，得r 5=．∴展开式中含1x项的系数是574C 84-⨯=-． 故答案为84-． 【点睛】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．18．10【分析】分类讨论：选择两门理科学科一门文科学科；选择三门理科学科即可得出结论【详解】选择两门理科学科一门文科学科有种；选择三门理科学科有1种故共有10种故答案为10【点睛】本题考查计数原理的应用解析：10 【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论． 【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有2133C C 9=种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种． 故答案为10． 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．19．240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为则；则展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项是故答案为240点解析：240 【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．详解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，则6n = ； 则6221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r rr r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是224612240C ⋅-⋅=（）， 故答案为240．点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．20．【分析】根据题意由排列组合数公式计算三个班级各出三人组成小方阵和来自同一班级的同学既不在同一行也不在同一列的排法由古典概型公式计算可得答案【详解】根据题意三个班级各出三人组成小方阵有种安排方法若来自 解析：1140【分析】根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成33⨯小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有336A =种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率99622781140P A ⨯⨯⨯==； 故答案为：1140. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）5610777536T x =-，677185024T x =；（2）19152+.【分析】（1）由题意得01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得n 的值，可以写出结果；（2）由题意得217n n C C =，解得n =19，在()1932x -的展开式中，分别令1x =和1x =-，得到2个式子，相减可得要求式子的值． 【详解】（1）在二项式()32nx -的展开式中，前3项的二项式系数和为01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得11n =或12n =-（舍），二项式为()1132x -，展开式共有12项，∴则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，()55656113210777536T C x x =-=-和()6656711327185024T C x x =-=.（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得217n n C C =，计算得19n =，二项式为()1932x -.在()192319012319..32.a a x a x a x x a x =+++++-中， 令1x =，则0123191...a a a a a =+++++，①令1x =-，则190123195...a a a a a =-+-+-，②①+②得()1902418152...a a a a +=++++，奇次项系数和为19152+.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题． 22．（1）1256；（2）716.【分析】（1）先利用二项式系数的性质，求出n 的值，然后令1x =，即可求出展开式中所有项系数的和.（2）求出通项，然后令x 的指数为整数，即可求出所有的有理项. 【详解】解：（1）由已知得02412128n n n n C C C -+++==，故8n =.在nx ⎛ ⎝中，令1x =可得展开式中各项系数的和为8112256⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）展开式的通项为4831812kk k k T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵08k ≤≤，k ∈N ，令0k =，3，6，得4883r-=，4，0. 所以有理项为：81T x =，447T x =-，7716T =. 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项研究系数、特定项的问题，同时考查学生运用转化思想解决问题的意识及计算能力.属于中档题. 23．（1）8n =（2）28；358（3）527x 或747x - 【分析】(1)根据等差数列的知识及二项式系数的性质，列式求得n ；(2)直接求解第三项的二项式系数，然后写出二项展开式的通项，由x 的指数为1求得r ,则展开式中x 的系数可求；(3)根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】(1)二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，则 10211224n n n C C C ⋅=+⋅，解得：1n =(舍去)或8n =；(2)由(1)可得：8n=，所以展开式中第三项的二项式系数为2828C =，展开式的通项为1638418812r rrr r r r T C C x--+⎛⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅ ⎪ ⎝⎭⎝， 令16314r-=，解得4r =，所以展开式中x 的系数为48135168C ⋅=； (3)由(2)可得：1188118811221122r r r r rr rr C C C C ++--⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得23r ≤≤，所以展开式中系数的绝对值最大的项为16324825223172T C x x -⨯⎛⎫=-⋅⎭=⋅ ⎪⎝或37316344438127T C x x -⨯⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 24．（1）576种；（2）17280种. 【分析】（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数. 【详解】（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品， 即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，则前4次有一件正品出现，所以共有()11344634576A C C A ⋅=种不同的测试方法； （2）根据题意，分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有2412A=种测试方法，最后排余下4件的测试位置，有2454240C A =种测试方法. 所以共有61224017280⨯⨯=种不同的测试方法. 【点睛】本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题. 25．（1）8；（2）28. 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11rn rr r nT C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝8483881rr rr r CC x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题． 26．（1）4112,256x x -；（2）731792x -【分析】令1x =可得展开式的各项系数之和，而展开式的二项式系数之和为2n ，列方程可求n 的值及通项， （1）832r r--为整数，可得r 的值，进而可得展开式中所有的有理项； （2）假设第1r +项最大，且r 为偶数，则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，解出r 的值，进而可求得系数最大的项. 【详解】解：令1x =可得，展开式中各项系数之和为(1)n-，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255n n ∴--=，8n ∴=，883322188(2)(2)r r rr r rrr r T C xxC x----+∴=-=-，（1）当832r r--为整数时，1r T +为有理项，则2,8r =， 所以展开式所有的有理项为：4112,256x x -； （2）设第1r +项最大，且r 为偶数则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩， 解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为：8667663238(2)1792C xx ----=.【点睛】本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用.。

2023-2024学年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)+答案解析

2023-2024学年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)+答案解析

第七章计数原理（单元重点综合测试）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若2A3m＝A5m，则m的值为()A.5B.3C.6D.7【答案】A【解析】依题意得m！（m－5）！＝2·m！（m－3）！，化简得m2－7m＋10＝0，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.2．若C3n＋C4n＝C3n＋1，则n的值是()A．5B．7C．6D．8【答案】C【解析】∵C3n＋1＝C3n＋C4n＝C4n＋1，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.3．现有6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名志愿者有5种选择方法，第二名志愿者有5种选择方法，……，第六名志愿者有5种选择方法，综上，6名志愿者共有56种不同的选法．4.若实数a＝2－2，则a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210等于()A.32B.－32C.1024D.512【答案】A【解析】由二项式定理，得a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝C010(－2)0a10＋C110(－2)1·a9＋C210(－2)2a8＋…＋C1010(－2)10＝(a－2)10＝(－2)10＝25＝32.5.(1＋x)3(1－2x)的展开式中含x3的项的系数为()A.－5B.－4C.6D.7【答案】A【解析】因为(1＋x)3(1－2x)＝(1＋x)3－2x(1＋x)3，所以含x3项的系数为C33－2C23＝1－2×3＝－5.6.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A.24种B.36种C.48种D.72种【答案】B【解析】若第一棒选A，则有A24种选派方法，若第一棒选B，则有2A24种选派方法.由分类计数原理知，共有A24＋2A24＝3A24＝36(种)选派方法.7.已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A.第9项B.第10项C.第19项D.第20项【答案】D【解析】∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C45＋C46＋C47＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名同学有5种选择方法，第二名同学有5种选择方法，……，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若C m－18>3C m8，则m的取值可能是()A.6B.7C.8D.9【答案】BC【解析】对于C m －18和3C m8，有0≤m －1≤8且0≤m ≤8，则1≤m ≤8.又C m －18>3C m 8，∴8！（m －1）！（9－m ）！>3·8！m ！（8－m ）！，化简得m >27－3m ，解得m >274.综上可得274<m ≤8，又m ∈N ，故m ＝7或m ＝8.故选BC.10.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为()A.A 55－A 44 B.A 44－C 12A 33C.C 11C 12A 33D.12A 44【答案】BCD【解析】间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为A 44－C 12A 33.直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N 1＝C 11·C 12＝2种站法，其余三名学生任意排列有N 2＝A 33＝6种排法，则不同站法共有N ＝N 1×N 2＝2×6＝12(种).或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各占12，故有12A 44，故选BCD.11．(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为()A ．a ＝1，b ＝2，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝－1，b ＝－2，n ＝5【答案】AD【解析】只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意得，(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选AD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.【答案】240【解析】分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A 22种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A 55种种植方法.由分步计数原理得，不同的种植方法共有A 22A 55＝240(种).13.2x 的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为________.【答案】－448【解析】2＋a ）n ＝1，n ＝128，＝7，＝－1.2x 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(2x )7－＝C r 727－r(－1)r x 7－3r 2，令7－3r 2＝2，解得r ＝1.所以x 2的系数为C 1726(－1)1＝－448.14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有________种．【答案】54【解析】根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A 23＝6(种)名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况．综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解析】(1)将取出的4个球分成三类：①取4个红球，没有白球，有C 44种取法；②取3个红球，1个白球，有C34C16种取法；③取2个红球，2个白球，有C24C26种取法，故共有C44＋C34C16＋C24C26＝115(种)取法．(2)设取x个红球，y＋y＝5，x＋y≥7，≤x≤4，≤y≤5，＝2，＝3＝3，＝2＝4，＝1.因此，符合题意的取法有C24C36＋C34C26＋C44C16＝186(种)．16.(本小题满分15分)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并解决下面两个问题.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.(1)求n的值及展开式中所有项的系数和；(2)求展开式中含x3的项.【解析】(1)若选①，则n2＝5，∴n＝10；若选②，则C3n＝C7n，∴n＝37＝10；若选③，则2n＝210，∴n＝10.令x＝1得，(2×1－1)10＝1，故展开式中所有项的系数和为1.(2)由(1)知，n＝10，∴(2x－1)10的展开式的通项为T r＋1＝C r10·(2x)10－r·(－1)r＝(－1)r·210－r·C r10x10－r.令10－r＝3，得r＝7，∴展开式中含x3的项为T8＝(－1)7×23·C710x3＝－960x3.17.(本小题满分15分)某兴趣小组有男生12名，女生8名，现选派5名参加知识竞赛．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？(4)兴趣小组中至少有1名男生和1名女生，有多少种选法？【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)选法．(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6936(种)选法．(4)方法一(直接法)至少有1名男生和1名女生的选法可分4类：1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14656(种)选法．方法二(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)选法．18.(本小题满分17分)组合数公式的推广：定义C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！，其中x ∈R ，m ∈N *，且规定C 0x ＝1.(1)求C 3－15的值；(2)设x >0，当x 为何值时，函数f (x )＝C 3x （C 1x ）2取得最小值？【解析】(1)由题意得C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3！＝－680.(2)由题意得f (x )＝C 3x（C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝＋2x －又x >0，由基本不等式得x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以当x ＝2时，C 3x （C 1x ）2取得最小值.19.(本小题满分17分)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7.(1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数；(2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求ba .【解析】(1)根据题意得C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7，①f(x)中的x2的系数为C2m＋C2n＝m(m－1)2＋n(n－1) 2＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＋354，故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3，n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4，n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5. (2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003≈2.02. (3)由题意可得a＝C48＝70，再根据r8·2r≥C r＋18·2r＋1，r8·2r≥C r－18·2r－1，≥5，≤6，又r∈N*，∴r＝5或6，此时，b＝7×28，∴ba＝1285.。

2024年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)(解析版)

2024年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)(解析版)

计数原理（单元重点综合测试）144009，12，共有5项，故D 正确．故选：ABD.12．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）与二项式定理()0C nnk n k kn k a b a b -=+=∑类似，有莱布尼兹公式：()()()()()()()()()()()()0112200120C C C C C nn n n n n n k k n k nnnnn n uv u vuv uv u vuv ---==+++⋅⋅⋅+=∑，其中()k u （0,1k =，2，…，n ）为u 的k 阶导数，()0u u =，()0v v =，则（）A ．1C 2nk nn k ==∑B ．1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=C ．()()()()n n uv vu =D ．()6e x f x x =，则()()606!f =【答案】BCD【详解】A.由二项式定理可知，当1a b ==时，()0C 1111C2n nnnk n k k k nnk k -==+===∑∑，1C221nk n n k n n C ==-=-∑，故A 错误；B.由二项式定理可知，当1,1a b ==-时，()012345.1C C C C C C .1.nn n n n n n =-+-+-+-()()024135C C C ...C C C ...0n n n n n n =+++-+++=，所以024135C C C ...C C C ...n n n n n n +++=+++又由A 可知，012345C C C C C C ...2nn n n n n n ++++++=，所以1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=，故B 正确；C.()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n uv u v u v u v u v--=++++()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n vu v u v u v u v u--=++++，由组合数的性质可知，0C C n n n =，11C C n n n -=，22C C n n n -=，……，可知，()()()()n n uv vu =，故C 正确；D.()()()()()()()()()()()()()()()()()()6605142066061626666666e C e C e C e ...C e x xx x x x x x x x =++++，因为()()e e n x x =，()()066x x =，()()1656x x =，()()26465x x =⋅⋅，()()363654x x =⋅⋅⋅，()()4626543x x =⋅⋅⋅⋅，()()5665432x x =⋅⋅⋅⋅⋅，()()666543216!x =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以()()606!f =，故D 正确.故选：BCD2【答案】22【详解】由题意知，得到的六位数的各个数位上均为数字1或5，要使这个六位数能被况：①6个1，只有111111；②6个5，只有555555；③3个1和3个5，有6A【答案】（1）（i）126；（【详解】（1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的插入5块板子分成6份，每一种分法所得所以不同的发放方法59C=1。

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(包含答案解析)(2)

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．42种B ．48种C ．60种D ．72种2．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－813．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ）A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种 4．411()x y x y +--的展开式的常数项为（ ） A ．36B ．36-C ．48D ．48- 5．甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( )A ．84种B ．100种C ．120种D ．150种 6．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A ．3n >B ．4n <C ．3n <D ．4n > 7．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为A ．18B ．200C ．2800D ．336008．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．4969．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则 1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．256 10．若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ） A ．1 B ．0 C ．20202 D ．2021211．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种 12．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．15- B ．15 C ．60- D ．60二、填空题13．从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答).14．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.15．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =， 可得1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则123234(1)n n n n n C C C n C +++++=______．16．关于x 的方程222424x x C C =的解为_________. 17．已知x 、y 满足组合数方程21717x y C C =，则xy 的最大值是_____________. 18．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123n n n x a a x a x a x -=++++且，则()121n n a a a -+-+-的值为____________. 19．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．设()22201221n n n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅．（1）求0a 的值；（2）求1232n a a a a +++⋯+的值；（3）求13521n a a a a -+++⋯+的值．22．已知2n x⎛ ⎝展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.23．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项；（2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和. 24．已知()*n x n⎛∈ ⎝N 展开式的前三项的二项式系数之和为16． （1）求n 的值：（2）复数z 满足325n z i z i -=++(i 为虚数单位)，求z ．25．已知)22n x 的展开式的系数和比()31n x -的展开式的二项式系数和大992，求212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中： （1）二项式中的常数项；（2）系数小于1025的项．26．已知(1n -的展开式中，所有项的二项式系数之和为128.（1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)(2)

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40-B ．25-C ．25D ．552．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．253．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种D ．150种4．在二项式(1)n x +的展开式中，存在系数之比为2:3的相邻两项，则指数*()n n N ∈的最小值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．35．已知8281239(1)x a a x a x a x +=++++，若数列()*123,,,,19,k a a a a k k N ⋅⋅⋅≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．36．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7B ．8C ．11D ．147．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（ ） A ．144个B ．168个C ．192个D ．196个8．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C + B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +9．在()nx x的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72910．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D ．16411．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或612．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．15-B ．15C ．60-D ．60二、填空题13．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________.14．从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________．15．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________.16．8的展开式中常数项为_________.17．若348,n n A C =则n 的值为_______． 18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．20．高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．已知42nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 22．计算：（1）()2973100100101CC A +÷ （2）3333410C C C +++. 23．已知3()nx x-的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024. （1）求n 的值，并求展开式所有项的系数之和； （2）写出展开式中所有x 的整数次幂的项.24．已知57A 56C n n =，且()23012312nn n x a a x a x a x a x -=+++++.（1）求n 的值； （2）求122222nna a a +++的值. 25．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.26．在42nx x ⎛+ ⎪⎭的二项展开式中，（1）当6n =时，求该二项展开式中的常数项；（2）若前三项系数成等差数列，求该二项展开式中的所有有理项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】写出二项式61()x x-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x+中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x+中的22x与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．2．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.3．D解析：D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A = 种分组方法；则一共有101525+= 种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A = 种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．4．C解析：C 【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式,然后即可求出指数*()n n N ∈的最小值. 【详解】解:由题意知:123k n k n C C -=或者132k n k n C C -=.即123n k k -+= 或132n k k -+= 解得,533k n -= 或522k n -=.当533k n -=时,当3k =时,min 4n =; 当522k n -=时,当2k =时,min 4n =.综上所述: min 4n =. 故选:C. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用.本题的易错点是未进行分类讨论.5．B解析：B 【分析】可得结论.写出各项的系数，由组合数性质知123456789a a a a a a a a a <<<<>>>>，结合数列123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是一个单调递增数列，可得结论. 【详解】由二项式定理，得98ii a C -=()*19,i i N≤≤∈,所以根据组合数性质知123456789a a a a a a a a a <<<<>>>>， 又数列()*123,,,,19,k a a a a k k N ⋅⋅⋅≤≤∈是一个单调递增数列，所以k 的最大值为5. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果. 【详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号， 此时有1种方法； 第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；综上所述，共有1337++=种方式. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数. 【详解】解:当选1不选3时,五位数中偶数有4113432360A C C A +=个; 当选3不选1时,五位数中偶数有4113432360A C C A +=个; 当选1和3时,五位数中偶数有142448C A =个, 所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个. 故选:B . 【点睛】本题考查了排列、组合与简单的计算原理,考查了分类讨论思想,属中档题.8．C解析：C 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为n m n A +，故选C.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．9．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 10．D解析：D 【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法 ①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 11．D解析：D 【解析】 因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.12．D解析：D 【分析】根据二项展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】631216C (1)2rr r r r T x --+=-，令3120r -=，即4r =， ∴常数项为60， 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先由二项式系数相等求再根据通项公式求指定项的系数【详解】由条件可知所以所以的通项公式是令解得：所以函数的系数是故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数其中二项式系数与 解析：4-【分析】首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数. 【详解】由条件可知57n n C C =，所以5712n =+=，所以1213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式是12122112121133r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12210r -=，解得：1r =，所以函数10x 的系数是112143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭.故答案为：-4 【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是rn C ，这一点容易记错，需注意.14．10【分析】从个男生个女生中任选个人当发言人共有种情况事件表示选出的个人性别相同共有情况事件表示选出的个人性别不同共有情况由已知可得：即解之即可【详解】从个男生个女生中任选个人当发言人共有种情况事件解析：10 【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C 情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可. 【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况， 事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B =，2211662266m m m m C C C C C C +++∴= 221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+= 整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈且4m ≥，10m ∴=故答案为：10 【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.15．【分析】由二项式定理及展开式通项得：又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为得解【详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为又展开式的常数项的值不大于15则又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为故答案为 解析：(]0,1【分析】由二项式定理及展开式通项得：41515a ≤，又[]0,3a ∈，所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤，得解． 【详解】由二项式定理可得：26()a x x+展开式的常数项为422446()()15a C x a x=， 又26()a x x+展开式的常数项的值不大于15， 则41515a ≤， 又[]0,3a ∈， 所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项， 即a 取值范围为01a <≤， 故答案为：(]0,1． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．16．【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数再代入得结果【详解】即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知解析：35.2【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数，再代入得结果. 【详解】8418840,4r r r r r r r T C C x r r --+==∴-== 即常数项为44835.2C =【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.17．【分析】由排列数和组合数展开可解得n=6【详解】由排列数和组合数可知化简得所以n=6经检验符合所以填6【点睛】本题考查排列数组合数方程一般用公式展开或用排列数组合公式化简求得n 注意n 取正整数且有范围 解析：6【分析】由排列数和组合数展开可解得n=6. 【详解】由排列数和组合数可知(1)(2)(3)(1)(2)8()4321n n n n n n n -----=⨯⨯⨯，化简得313n -=，所以n=6,经检验符合，所以填6. 【点睛】本题考查排列数组合数方程，一般用公式展开或用排列数组合公式化简，求得n,注意n 取正整数且有范围限制．18．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题解析：8 【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=--()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.19．125【解析】分析：令可得；令可得；又故可得的值详解：在中令可得；令可得；又∴点睛：对形如(ax ＋b)n(ax2＋bx ＋c)m(ab ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法只需令x ＝1即可；对解析：125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．20．①②③【分析】①根据所有选的总数来确定即可；②需要一定的推理能力由化学人数有人来断定选考科目组合为历史+地理+政治的学生一定不超过9人；③五选二可据组合知识求解；④根据政治地理人数都不确定无法判断结解析：①②③ 【分析】①根据所有选的总数来确定b 即可；②需要一定的推理能力，由化学人数有28人，来断定选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人； ③五选二，可据组合知识求解；④根据政治，地理人数都不确定，无法判断结论. 【详解】①所有学生选的科目总数为373111⨯=，则1112428141530a b +=----=，若19=a ，则11b =，故①对；②选化学的学生有28人，37289-=人，则选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人，故②对；③在选考化学的所有学生中，学生还须选另外两科，则从五种里面选两种，共有2510C =，最多出现10种不同的选考科目组合，故③对；④因为地理，政治人数不确定，选考科目组合为“生物+历史+政治”的学生人数不一定比 选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数多.故④错.故答案为：①②③ 【点睛】该题不仅考查了组合知识，还需要学生具备一定的常识和逻辑推理能力. 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．三、解答题21．（1）358x ；（2）747x 和527x . 【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项. 【详解】（1）由题意，n的展开式是1rn rrr nT C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n nn n T C xx----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去） 则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8rC ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<， 则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x -=⋅⋅=⋅，5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅，7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型. 22．（1）16（2）330 【分析】（1）根据组合数的性质以及组合数的计算公式，化简得出结果.（2）根据组合数的性质以及组合数的计算公式，通过逐步求和，求出计算结果. 【详解】 解：（1）原式()23333100100101101101C CACA=+÷=÷333101101333116A A A A =÷=÷=. （2）原式43333445105140C C C C C C =+++⋯+=+4334346610101011C C C C C C =++⋯+==+=330=.【点睛】本小题主要考查组合数的性质以及组合数的计算公式，属于基础题. 23．（1）10， 1；（2）3360，51024x -. 【分析】（1）由题意结合二项式系数的性质可得21024n =，即可求得n ；令1x =，即可得展开式所有项的系数之和；（2）由题意结合二项式定理可得10展开式的通项公式，分别令4r =、10r =，即可得解.【详解】（1）因为n的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024，所以21024n =，解得10n =；令1x =，则展开式所有项的系数之和为101=；（2）由题意可得10展开式的通项公式为：()()1020510326110101022rr r rrr r rr r r T C C xC x ----+⎛=⋅⋅=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎝， 当4r =时，()()20544061010223360r rrC xC x -⋅-⋅=⋅-⋅=，当10r =时，()()20510105561010221024r rr C xC x x ---⋅-⋅=⋅-⋅=，所以展开式中x 的整数次幂的项为3360，51024x -. 【点睛】本题考查了二项式系数的性质及二项式定理的应用，考查了运算求解能力，熟练掌握二项式定理、合理赋值是解题关键，属于中档题. 24．（1）15.（2）1- 【分析】 （1）根据!!,()!!()!mm n n n n A C n m m n m ==--，即可求解57A 56C n n =，即可求得答案；（2）采用赋值法，令1x =求出所有项系数的和，再令0x =，求0a ，即可求得答案. 【详解】 （1）57A 56C n n =()()()()()()()()()()1234561234567654321n n n n n n n n n n n n ------∴----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅整理可得：(5)(6)190n n --=即211600n n --=， 故(15)(4)0n n -+=解得：15n =或4n =-（舍去） （2）由（1）15n =152315012315(12)x a a x a x a x a x -=++++⋯⋯+令0x =，可得01a =令12x =，可得15101515221(12)2222a a a a -⋅=++++∴101512522202a a aa ++++= 可得12215151222a a a +++=- 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，属于基础题.25．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 26．（1）1516（2）41T x =，5358T x =，921256T x =．【分析】（1）写出二项展开式的通项第1r +项234112rn rr r n T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令x 的指数为0，即可求得结果；（2）由二项展开式的通项写出前三项的系数，可求得8n =，在根据通项求有理项即可。

(必考题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(有答案解析)(5)

(必考题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(有答案解析)(5)

一、选择题1．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法有（ ） A ．120种B ．60种C ．12种D ．6种2．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-73．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（ ）A ．80B ．80-C ．40D ．40-4．在二项式(1)n x +的展开式中，存在系数之比为2:3的相邻两项，则指数*()n n N ∈的最小值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．35．已知8281239(1)x a a x a x a x +=++++，若数列()*123,,,,19,k a a a a k k N ⋅⋅⋅≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．36．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．107．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．9 9．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．26B ．18C ．12D ．910．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．49611．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．504012．以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492二、填空题13．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________.14．市扶贫工作组从4男3女共7名成员中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人工作小组下乡，要求工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有______种安排方法．15．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=32=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.16．设集合{}{}12310(,,,...,)1,0,1,1,2,3,...,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为_____.17．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么nx x 的展开式中的常数项为______．18．若423401234(37)x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为____．19．若251(3)(2)x a x x--的展开式中3x 的系数为80，则a =_______.20．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种.参考答案三、解答题21．已知二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？22．已知()*3nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3，（1）求n 的值；（2）求二项展开式中各项二项式系数和以及各项系数和； （3）求展开式中系数的绝对值最大的项．23．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）； （2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）24．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？25．（1）已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：①127a a a +++；②0127a a a a ++++；（2）在522x ⎫⎪⎭的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.26．若7270127(2)x a a a x a x a x -=++++，且4560a =-.（Ⅰ）求实数a 的值; （Ⅱ）求372126222a a a a ++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，分2步讨论老师、学生的安排方法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将两名老师全排列，安排在后排，有222A =种安排方法， ②将三名学生全排列，安排在前排，有336A =种安排方法，则一共有2612⨯=种安排方法； 故选：C 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题．2．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-，故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．B解析：B 【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-， 令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭，解得：1a =，()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为： 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和， 由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-，当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.4．C解析：C 【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式,然后即可求出指数*()n n N ∈的最小值. 【详解】解:由题意知:123k n k n C C -=或者132k n k n C C -=.即123n k k -+= 或132n k k -+= 解得,533k n -= 或522k n -=.当533k n -=时,当3k =时,min 4n =; 当522k n -=时,当2k =时,min 4n =.综上所述: min 4n =. 故选:C. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用.本题的易错点是未进行分类讨论.5．B解析：B 【分析】可得结论.写出各项的系数，由组合数性质知123456789a a a a a a a a a <<<<>>>>，结合数列123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是一个单调递增数列，可得结论. 【详解】由二项式定理，得98ii a C -=()*19,i i N≤≤∈,所以根据组合数性质知123456789a a a a a a a a a <<<<>>>>， 又数列()*123,,,,19,k a a a a k k N ⋅⋅⋅≤≤∈是一个单调递增数列，所以k 的最大值为5. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.6．C解析：C 【分析】根据题意，设至少应抽出x 个产品，由题设条件建立不等式3337100.6x xC C C -≥，由此能求出结果. 【详解】解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出x 个产品，则基本事件总数为10xC ，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为3337x C C -，由题设知：3337100.6x xC C C -≥， 所以()()12310985x x x --≥⨯⨯，即()()12432x x x --≥，分别把A ，B ，C ，D 代入，得C ，D 均满足不等式， 因为求x 的最小值，所以9x =. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数. 【详解】设抽取x 件，次品全部检出的概率为2228100.6x xC C C ->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.9．B解析：B 【分析】取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】令1x =得4(1)264a +⋅=，所以3a =．所以4(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为33223443C C 18x x x x ⋅+⋅=，所以展开式中含3x 项的系数为18， 故选B ． 【点睛】本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.10．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.11．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案． 【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种， 故选：B. 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了组合数的计算，在解题过程中注意共面和不共面的情况，做到不重不漏，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先由二项式系数相等求再根据通项公式求指定项的系数【详解】由条件可知所以所以的通项公式是令解得：所以函数的系数是故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数其中二项式系数与 解析：4-【分析】首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数. 【详解】由条件可知57n n C C =，所以5712n =+=，所以1213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式是12122112121133r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12210r -=，解得：1r =， 所以函数10x 的系数是112143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭. 故答案为：-4 【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是rn C ，这一点容易记错，需注意.14．348【分析】将参加工作小组女生的人数分3种情况讨论每种情况先计算4人的选取方法在计算队长副队普通队员的分配情况数目由分类计数加法原理可得出结果【详解】第一类：当选出1女3男时有种这4人作为队长和副解析：348 【分析】将参加工作小组女生的人数分3种情况讨论，每种情况先计算4人的选取方法，在计算队长、副队、普通队员的分配情况数目，由分类计数加法原理可得出结果. 【详解】第一类：当选出1女3男时，有133412C C =种，这4人作为队长和副队有2412A =种，故有1212144⨯=种；第二类：当选出2女2男时，有223418C C =种，2个女成员当选队长和副队时，有222A =种，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有224210A A -=种，故有1810180⨯=种；第三类：当选出3女1男时，有31344C C =种，根据题意，这名男成员只能为队长或副队，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有1326A =种，故有4624⨯=种由分类计数加法原理得：工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有14418024348++=种安排方法． 故答案为：348 【点睛】本题主要考查了分类计数加法原理等，属于中档题.15．①②【分析】根据新定义结合组合数公式进行分类讨论即可【详解】当时由定义可知：当时由定义可知：故①成立；当时由定义可知：当时由定义可知：故②成立故答案为：①②【点睛】本题考查了新定义题考查了数学阅读能解析：①，②.. 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n nn C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.16．58024【分析】依题意得的取值是1到10的整数满足的个数等于总数减去和的个数【详解】集合中共有个元素其中的只有1个元素的有个元素故满足条件的元素个数为59049－1－1024＝58024【点睛】本解析：58024 【分析】依题意得12310+x x x x +++⋯的取值是1到10的整数，满足123101+9x x x x ≤+++≤…的个数等于总数减去12310+0x x x x +++⋯=和12310+10x x x x +++⋯=的个数.【详解】集合A 中共有个元素10359049= ，其中12310+0x x x x +++⋯=的只有1个元素，12310+10x x x x +++⋯=的有1021024= 个元素，故满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为59049－1－1024＝58024. 【点睛】本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.17．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20 【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n=的展开式的通项公式为()3161r r rr T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．18．【分析】先化简=再分别求和的值即得解【详解】由题得=令x=1则令x=-1则所以=故答案为16【点睛】（1）本题主要考查二项式定理考查二项式展开式的系数问题意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计 解析：16【分析】先化简()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）， 再分别求01234a a a a a ++++（）和01234a a a a a -+-+（）的值即得解.【详解】由题得()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（），令x=1,则4(3=01234a a a a a ++++（），令x=-1,则4(3-+=01234a a a a a -+-+（），所以0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）=4444(3(3[(33216+-+=+-+==故答案为16 【点睛】（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)与二项式定理展开式系数有关的问题，一般利用赋值法解答.19．【解析】分析：中的系数与的积加上中的系数与的系数的积就是展开式的系数详解：展开式通项为令则令则∴解得故答案为－2点睛：二项式的展开式的通项为由此通项公式可求展开式中的特定项如果是两个（或多个）式子相 解析：2-【解析】分析：31(2)x x -中3x 的系数与a -的积，加上31(2)x x-中x 的系数与23x 的系数的积就是展开式3x 的系数．详解：51(2)x x-展开式通项为55521551(2)()2r rr r r r r T C x C x x---+=-=， 令523-=r ，则1r =，令521r -=，则2r，∴41325523280a C C -⨯+⨯=，解得2a =-，故答案为－2.点睛：二项式()n a b +的展开式的通项为1C r n r rr n T a b -+=，由此通项公式可求展开式中的特定项．如果是两个（或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏.20．【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论并计算出每种情况下的安排方案种数利用分类加法计数原理可得结果【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇若甲乡镇派遣三名医生则共有种 解析：68【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有112214242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有211132224242420428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有03122324242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案.综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种. 故答案为：68. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，可得0212012123111,,222nn n nn n T CT C T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项rn rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）7n =；（2）二项式系数和为128，各项系数和为1；（3）展开式中系数的绝对值最大的项为5222680x -. 【分析】（1由已知得12:1:3n n C C =，解得可得7n =；（2）由（1）将原式化为73x⎛- ⎝，求得二项展开式中各项二项式系数和为72，令1x =时，可得二项展开式中各项系数和；（3）设第+1r 项的系数的绝对值最大，设()7732rrr f r C -=⨯⨯，建立不等式组()()()()+11f r f r f r f r ⎧≥⎪⎨≥-⎪⎩，解之求得以3r =，从而可得答案. 【详解】（1）()*3nx n N⎛∈ ⎝的展开式的通项为：()()321332rrn n rr rr n r r n n T C x C x---+⎛==⨯⨯- ⎝， 又展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3，所以12:1:3n n C C =，解得7n =；（2）由（1）得原式为73x ⎛- ⎝，所以二项展开式中各项二项式系数和为72128=，令1x =，得二项展开式中各项系数和为7131⎛⨯ ⎝=；（3）73x ⎛ ⎝展开式的通项为()()37772177332rrr r r r r r T C x C x ---+⎛==⨯⨯- ⎝，设第+1r 项的系数的绝对值最大， 设()7732r rrf r C -=⨯⨯，则()()()()+11f r f r f r f r ⎧≥⎪⎨≥-⎪⎩，即7+16+17771817732323232r r r r r r r r r r r r C C C C ------⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得131855r ≤≤，又r N *∈，所以3r =， 所以展开式中系数的绝对值最大的项为()3357337322473222680T C xx ⨯--=⨯⨯-=-．【点睛】本题考查二项式展开的通项，二项式系数，系数，二项式系数和，各项系数和，属于中档题.23．（1）3x =或4;x =（2）{}2,3． 【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案 【详解】解：()1因为2399xx C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题. 24．（1）576种；（2）17280种. 【分析】（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数. 【详解】（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品， 即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，则前4次有一件正品出现，所以共有()11344634576A C C A ⋅=种不同的测试方法； （2）根据题意，分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有2412A =种测试方法，最后排余下4件的测试位置，有2454240C A =种测试方法. 所以共有61224017280⨯⨯=种不同的测试方法. 【点睛】本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题. 25．（1）①2-；②2187；（2）①5240x -；②5240x -或580x -. 【分析】（1）①运用赋值法，令0x =，求得01a =，令1x =，求得012345671a a a a a a a a +++++++=-，由此可求得答案.②由二项式的展开式判断0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零，令1x =-，可求得答案；（2）先求出展开式的通项公式，①令2r 时，求展示式中的第3项；②令2r 或3时，求得二项式系数最大项．【详解】解：（1）令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-. ①∴12372a a a a ++++=-.②∵()712x -展开式中，0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零，∴()()012702461357a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++，令1x =-，则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.所以01272187a a a a ++++=.（2）522x ⎫⎪⎭的展开式中第1r +项为()()551225215522r rrrrrr T C x x C x---+==⋅⋅，①当2r 时，所以展示式中的第3项为55222235240T C x x --=⋅⋅=.②2r或3时，二项式系数5rC 最大，2r时，由（1）知52340T x -=，3r =时，445545280T C x x --==．【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果n 是偶数,最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r +1项为系数最大项，需列出不等式组+1+2+1r r r rT T T T ≥⎧⎨≥⎩，解之求得r .26．(Ⅰ)1a =；(Ⅱ)2 【分析】（Ⅰ）解法1：将()72x a -展开，找出4x 项的系数表达式，结合条件列方程4280a =-求出a 的值；解法2：利用二项式定理写出()72x a -的通项，令x 的指数为4，列方程求出参数的值，再将参数代入通项得出4x 的系数的表达式，结合条件4280a =-列方程求出实数a 的值； （Ⅱ）解法1：令0x =代入题干等式求出0a 的值，再令12x =可得出712027222a a a a ++++的值，减去0a 可得出71227222a a a +++，再乘以2可得出答案； 解法2：利用二项式定理求出1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 的值，代入代数式可得出答案． 【详解】（Ⅰ）解法1：因为343472()a C a =⨯⨯-33516560a =-⨯=-，所以1a =， 解法2：()()()()77717722kkkk k k k k T C x a C a x ---+=-=⋅-⋅，()334472560a C a ∴=⋅⋅-=，所以1a =．（Ⅱ）解法1：当0x =时，01a =-，当12x =时，3712023702222a a a aa +++++=， 371202372()02222a a a a a +++++=，3721262222a a a a ++++=；解法2：由二项展开式分别算出123456714,84,280,560,672,448,128a a a a a a a ==-==-==-=，代入得：3721262222a a a a ++++=． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式指定项的系数问题，考查项的系数和问题，一般利用赋值法来求解，考查计算能力，属于中等题．。

襄阳市选修三第一单元《计数原理》检测卷(答案解析)

襄阳市选修三第一单元《计数原理》检测卷(答案解析)

一、选择题1．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40-B ．25-C ．25D ．552．在二项式(1)n x +的展开式中，存在系数之比为2:3的相邻两项，则指数*()n n N ∈的最小值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．33．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．15．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36B ．36-C ．48D ．48-6．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1087．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200D ．-4008．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A ．3n >B ．4n <C ．3n <D ．4n >9．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45 B ．55 C ．120 D ．16510．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D ．16411．若从1,2,3,...,9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法种数为（ ） A ．10B ．30C ．40D ．6012．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种二、填空题13．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为______. 14．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是____；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是_____.（用数字作答）15．已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______. 16．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.17．设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．18．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）19．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)的值为_____.20．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种.参考答案三、解答题21．（1）求证:当n *∈N 时，()()1313nn+为偶数；（2）当n *∈N 时，(37n的整数部分是奇数，还是偶数?请证明你的结论.22．设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++;（3）求.312232222nna a a a ++++. 23．在42nx x 的展开式中，前3项的系数成等差数列， （1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中含2x -的项的系数.24．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b . （1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项.25．在二项式332n x x（的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和．26．已知n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255（1）求展开式所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】写出二项式61()x x-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x+中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x+中的22x与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．2．C解析：C 【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式,然后即可求出指数*()n n N ∈的最小值.【详解】解:由题意知:123k n k n C C -=或者132k n k n C C -=.即123n k k -+= 或132n k k -+= 解得,533k n -=或522k n -=.当533k n -=时,当3k =时,min 4n =;当522k n -=时,当2k =时,min 4n =.综上所述: min 4n =. 故选:C. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用.本题的易错点是未进行分类讨论.3．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．5．A解析：A 【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y 项. 【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.6．B解析：B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C ⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.7．B解析：B 【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．C解析：C 【分析】利用()!!!i n n C i n i =-，执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值为22C ，即可得到输出条件. 【详解】利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，当0n =时，输出的是00C ； 当1n =时，输出的是0111,C C ； 当2n =时，012222,,C C C ；当3n =时，输出的是01233333,,,C C C C ，因为第5次输出数“1”，即2n =，输出22C 后结束程序， 所以3n =时不满足条件，结束程序，所以，空白判断框内应填入的条件为3n <，故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．D解析：D 【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法 ①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 11．C解析：C 【解析】分析：分两种情况讨论：先在1,3,5,7,9五个数中取出三个个奇数，再在1,3,5,7,9五个数中取出一个奇数在2,4,6,8四个偶数中取出两个偶数，由分类计数加法原理结合分步计数乘法原理可得结果.详解：根据题意，从1到9的正整数正任意抽取3个数相加， 若所得的和为奇数，则取出的数为3个奇数或1奇数2个偶数，在1,3,5,7,9五个数中取出1个奇数，有155C =种取法.在2,3,6,8四个偶数中取出2个偶数，有246C =种取法. 则1奇数，2个偶数的取法有5630⨯=种， 在1,3,5,7,9五个数中取出3个奇数，有3510C =种取法 即所得的和为奇数的不同情形种数是301040+=，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.12．A【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．二、填空题13．240【分析】先把5本书取出两本看做一个元素这一元素和其他的三个元素分给四个同学相当于在四个位置全排列根据分步乘法计数原理即可得出结果【详解】从5本书中取出两本看做一个元素共有种不同的取法这一元素与解析：240. 【分析】先把5本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的三个元素分给四个同学，相当于在四个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果. 【详解】从5本书中取出两本看做一个元素共有2510C =种不同的取法，这一元素与其他三个元素分给四个同学共有4424A =种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，共有2454240C A ⋅=种不同的分法.故答案为240 【点睛】本题主要考查了排列组合的综合应用，分步乘法计数原理，属于中档题.14．24330【分析】由分步乘法原理可知每个同学可以自由选择的种数根据题意可分两类221和311安排参加竞赛根据组合与排列即可求解【详解】若每个同学可以自由选择由乘法原理可得不同的选择种数是；因为甲和乙解析：243 30 【分析】由分步乘法原理可知每个同学可以自由选择的种数，根据题意可分两类2、2、1和3、1、1安排参加竞赛，根据组合与排列即可求解.若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是53243=；因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案.当分配方案为2、2、1时，共有233318C A =种；当分配方案为3、1、1时，共有132312C A =种；所以不同的选择和数是181230+=. 【点睛】本题考查排列组合的实际应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.15．7【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项项和项利用二项展开式的通项公式求出第项然后即可求解【详解】因为的展开式中没有项所以的展开式中没有常数项项和项的展开式的通项为所以方程当且时无解检验可解析：7 【分析】先将问题转化成二项式31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项，利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，然后即可求解 【详解】因为()2233111()(12)()n n x x x x x x x++=+++的展开式中没有2x 项 所以31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项 31()n x x+的展开式的通项为341,0,1,2r n r r r n rr nn T C x x C x r n ---+=== 所以方程40,41,42n r n r n r -=-=-=，当*N n ∈且58n ≤≤时无解 检验可得7n = 故答案为：7 【点睛】二项式(+)na b 的展开式的通项为：1,0,1,2r n r r r n T C a b r n -+==16．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．112【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得则令则展开式中的常数项为解析：112 【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得8n =则()884188322rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令840r -=，2r =则展开式中的常数项为()2282112C -=18．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.19．164【分析】根据图形可知从第三行起每一行取第二和第三个数字再根据组合数的性质即可计算求出【详解】由图可知这十六个数的和为故答案为：164【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用解题关键是凑出的形式反解析：164 【分析】根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出. 【详解】由图可知，这十六个数的和为2112121222334499C C C C C C C C ++++++++()()1112223493493C C C C C C =++++++++()()21113222334933491C C C C C C C C =+++++++++-2310101451201164C C =+-=+-=．故答案为：164. 【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出1m m n n C C -+的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．20．【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论并计算出每种情况下的安排方案种数利用分类加法计数原理可得结果【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇若甲乡镇派遣三名医生则共有种 解析：68【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有112214242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有211132224242420428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有03122324242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案.综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种. 故答案为：68. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）证明见详解；（2）奇数，证明见详解. 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式，将(1n +和(1n-写出二项展开式的形式，分别讨论n 为正奇数和n 为正偶数两种情况，即可证明结论成立；（2）同（1）利用分类讨论法，先判断((33nn+为偶数，根据(031n<-<，即可得出结果.【详解】（1）因为(120121nnn nnnnCC C C +=+++⋅⋅⋅+，(((((0120121nnn nnnnC C C C -=+++⋅⋅⋅+，当n 为正奇数时，((121210212112233n nnn n n nnnn n n C CCC C C ----⎛⎫⎡⎤+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，而1021233n n nnnC C C --++⋅⋅⋅+显然为正整数，所以((1021211233n nnn n n n C C C --⎛⎫+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭为偶数； 当n 为正偶数时，((0202022112233nnnnn n nnnn n n C CCC C C ⎛⎫⎡⎤+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，而02233nn n n n C C C ++⋅⋅⋅+显然为正整数，所以((02211233nnnn n n n C C C ⎛⎫+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭为偶数；综上，当n *∈N 时，((11nn+为偶数；（2）因为(01201122033333nn n n n nn n n n C C C C --=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅， (((((012112233333nnnn n nnnnnCC CC--=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅，当n 为正奇数时，((0212211332333nnn n n n n nnC C C---⎡⎤+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦，其中0212211333n nn n nnnC C C ---⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅显然为正整数，所以((212211332333nnn n n n n n n C C C ---⎡⎤++-=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦为偶数，记02102211333n nn n nnnk C C C ---=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅，则((32113n nk =-+-，因为031<-<，则(031n <-<，因此(0131n<-<，所以(3n的整数部分是21k -，为奇数； 当n 为正偶数时，((0222332333nnnn n n n nnC C C -⎡⎤+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦，其中2022333nnn n nnnC C C -⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅显然为正整数，所以((2220332333n nnn n nn n n C C C -⎡⎤++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦为偶数，记0222333nnn n nnnm C C C -=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅，则((32113nnm =-+--，因为(0131n<-<，所以(3n的整数部分是21m -，为奇数；综上，当n *∈N 时，(3n的整数部分是奇数. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于利用二次展开式的通项公式，将二项式展开，再讨论n 为正奇数和n 为正偶数两种情况，即可结合题中条件求解. 22．（1）2018；（2）20183；（3）-1. 【分析】（1）由二项式系数的对称性，2018=n ． （2）012||,||,||,||n a a a a 即为2018(21)x +展开式中各项的系数，在2018(21)x -中令1x =- ，即可得出．（3）由2018220180122018(21)a a x a x a x x =++-++，令0x =和 12，可求出0a 与32018122320182222a a a a ++++的值． 【详解】（1）由二项式系数的对称性，1101020182nn +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++=（3）令0x = ，得20180(10)1a =-=，令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=， 故3201812023*********a a a a a +++=-=-. 【点睛】本题考查了二项式定理及其性质，考查了用特殊值求二项展开式的系数的应用问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．（1）8n =（2）358x （3）1256【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n 的值； （2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2-，求出r 的值，即可求得含2x -的项的系数． 【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为0121124n n n C C C ，，，所以1214n n n C C C =+，即2980n n -+=， 所以1n =（舍去）或8n =.（2）因为8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44458358T C x ==.（3）通项公式：38441881,082r rr rrr r T C C x r r N --*+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，由3424r-=-，8r ∴=， 可得含x 的项的系数为88811()2256C =. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．24．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论； （2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解； （3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论． 【详解】（1）2()nx x+的展开式中第m 项为11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=；112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =；即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()nx x+展开式中的通项公式6621662()2r r r r rr r T C x C x x--+==，依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题． 25．（1）237x -；（2）358；（3）1256.【解析】试题分析：（1）根据展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合前三项系数的绝对值成等差数列，求得8n =，从而求得展开式的第四项；（2）在展开式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，代入通项公式可得常数项；（3）在二项式n 的展开式中，令1x =，可得各项系数和. 试题展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，r=0，1，2，…，n由已知：02012111,,222n n nC C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列,∴ 12112124n n C C ⨯=+,∴ n=8 ,8231812rr r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）令3r =,32233348172T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, （2）令820y -=,得4r = ，5358T ∴=, （3）令x=1，各项系数和为1256. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 26．（1）4112,256x x -；（2）731792x -【分析】令1x =可得展开式的各项系数之和，而展开式的二项式系数之和为2n ，列方程可求n 的值及通项，（1）832r r--为整数，可得r 的值，进而可得展开式中所有的有理项； （2）假设第1r +项最大，且r 为偶数，则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，解出r 的值，进而可求得系数最大的项. 【详解】解：令1x =可得，展开式中各项系数之和为(1)n-，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255n n ∴--=，8n ∴=，883322188(2)(2)r r rr r rrr r T C xxC x----+∴=-=-，（1）当832r r--为整数时，1r T +为有理项，则2,8r =， 所以展开式所有的有理项为：4112,256x x -； （2）设第1r +项最大，且r 为偶数则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩， 解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为：8667663238(2)1792C xx ----=.【点睛】本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用.。

(必考题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(含答案解析)(5)

(必考题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(含答案解析)(5)

一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60B ．72C ．96D ．1502．已知（x x ﹣a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．23．在1032x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -4．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1085．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200D ．-4006．设5nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M N -=240，则展开式中x 的系数为（ ）A ．300B ．150C ．－150D ．－3007．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．4968．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种9．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．25610．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．38411．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种12．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n 取最大值时，12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．14．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.15．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）16．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.17．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________.18．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________.19．()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______． 20．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有______种．三、解答题21．已知nx ⎛⎝的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于128. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中所有的有理项.22．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+；（2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.23．已知2nx ⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22.（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 24．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++．25．已知5nx ⎛⎝.（1）当6n =时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.26．若2012112nn n x a a x a x a x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，且27a =.（1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项； （2）求23112342222n n a a a a a -+++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】10∴二项式展开式为：(10)113211012kkkkT C x x--+⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k+项，可得11101011101011221122k k k kk k k kC CC C--++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可得11112101112kkkk-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k≤≤*k N∈∴3k=在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x xT C x-⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎭-⎪⎝⎭⎝故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．4．B解析：B【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果.【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况，故选B.【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.5．B解析：B【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6．B解析：B 【分析】分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入240M N -=，解出n 的值，进而求得展开式中x 的系数. 【详解】令1x =，得4n M =，故42240n n M N -=-=，解得4n =.二项式为45x⎛ ⎝，展开式的通项公式为()()134442244515rr r r r r r C x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3412r -=，解得2r，故x 的系数为()2422415150C --⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.7．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.8．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.9．B解析：B 【解析】分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++=-，详解：440111cos22|02222t xdx sin x sin πππ===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．10．B解析：B 【解析】()6232xx ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.11．D解析：D 【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．考点：排列及计数原理的应用．12．B解析：B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 二、填空题13．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通解析：240 【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：由22n x y =+-变形为22y x n =-++，当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大，所以n 的最大值为22426⨯+-=，所以1n x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为63626612rr rr rr C C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =此项为常数项，所以常数项为4462240C =； 故答案为：240． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．14．240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为则；则展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项是故答案为240点解析：240 【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．详解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，则6n = ；则6221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r rr r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是224612240C ⋅-⋅=（）， 故答案为240．点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.16．【分析】根据题意假设正五角星的区域依此为分析6个区域的涂色方案数再根据分步计数原理计算即可【详解】根据题意假设正五角星的区域依此为如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事由分步计数原理先对区域涂色有 解析：96【分析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可. 【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A 区域涂色有3种方法，B 、C 、D 、E 、F 这5个区域都与A 相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有32222296⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案. 故答案为：96 【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法； (2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.17．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为()55152rr rr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.18．14【分析】针对部分由二项式定理知通项为结合整个代数式有的项组成为即可求其系数【详解】对于由二项式通项知：∴含项的组成为：∴的系数为14故答案为：14【点睛】本题考查二项式定理根据已知代数式形式求指解析：14 【分析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r rr r T C xy -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r rr r T C xy -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+， ∴32x y 的系数为14. 故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题.19．80【分析】先求出展开式中的常数项与含的系数再求展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式为: 令解得 令解得 展开式中常数项为: 故答案为：80【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解属于基础题解析：80 【分析】先求出62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 662166(2)2rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭, 令620r -=，解得3r =,33316(2)160T C +∴=-⋅=-，令622r -=-，解得4r =,444162211(2)240T C x x+∴=-⋅⋅=⋅， ()6212x x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为: (160)24080-+=.故答案为：80. 【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.20．30【分析】先假设可放入一个盒里那么方法有种减去在一个盒子的情况就有5种把2个球的组合考虑成一个元素就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子从而可得到结果【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球解析：30 【分析】先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有24C 种，减去,A B 在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果． 【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球，先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有246C =.再减去,A B 在一起的情况，就是615-=种．把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有336A =种．∴根据分步计数原理知共有5630⨯=种． 故选：C ． 【点睛】本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法．三、解答题21．（1）1256；（2）716. 【分析】（1）先利用二项式系数的性质，求出n 的值，然后令1x =，即可求出展开式中所有项系数的和.（2）求出通项，然后令x 的指数为整数，即可求出所有的有理项. 【详解】解：（1）由已知得02412128n n n n C C C -+++==，故8n =.在nx ⎛ ⎝中，令1x =可得展开式中各项系数的和为8112256⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）展开式的通项为4831812kk k k T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵08k ≤≤，k ∈N ，令0k =，3，6，得4883r-=，4，0.所以有理项为：81T x =，447T x =-，7716T =. 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项研究系数、特定项的问题，同时考查学生运用转化思想解决问题的意识及计算能力.属于中档题. 22．（1）31464；（2）29302⋅. 【分析】（1）根据组合数性质11m m mn n n C C C -++=即可得结果； （2）根据组合数性质0122n n n n n n C C C C ++++=即可得结果；【详解】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+29302=⋅ 【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.23．（1）60（2）32160x 【分析】（1）根据2nx⎛ ⎝展开式前三项的二项式系数和为22，由01222n n n C C C ++=，解得6n =，再得到2nx⎛+ ⎝展开式的通项1r T +366262rr r C x --=，令3602r -=求解. （2）根据6n =，得到展开式中二项式系数最大的项为第四项，再利用通项公式求解.. 【详解】（1）因为2nx⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22，所以01222n n n C C C ++=，即(1)1222n n n -++=， 所以2420n n +-=， 解得6n =或7n =-（舍去）.所以2nx⎛+ ⎝展开式的通项为：16216(2)rr r r T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭366262r r r C x --=，令3602r -=，得4r =， 所以展开式中的常数项为41T +=4206260C x =.（2）因为6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第四项，即3133322316(2)160T C x x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，二项式系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．（1）①322500x -；②375；（2）150.【分析】（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数． 【详解】（1）①当6n =时，65x⎛- ⎝的展开式共有7项，展开式中的中间一项为()33333322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝；②展开式的通项公式为()()36662166515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ， 则42240nn，即()()2152160n n+-=，解得4n =.所以，展开式通项为()()34442144515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()222415150C ⋅-⨯=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 26．（1）4358x （2）12-【分析】（1）由二项展开式通项公式得出2a ，然后由27a =求出n ，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；（2）在展开式中令0x =可得0a ，令2x =再结合0a 可得结论． 【详解】（1）因为22222321124n n T C x C x a x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，且27a =， 所以21(1)7(8)(7)048n n n C n n -==⇒-+=，解得8n =或7n =-（舍），故112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为4544813528T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭； （2）令0x =，可知01a =，令2x =，得23401234022222n n a a a a a a =++++++，所以2341234222221n n a a a a a +++++=-，故()231234123412341122222222222n n n n a a a a a a a a a a -+++++=+++++=-. 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查赋值法求系数的和．属于基本题型．。

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(答案解析)(4)

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(答案解析)(4)

一、选择题1．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15 B ．-15 C ．7 D ．-72．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种D ．150种3．二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160- B ．80- C ．80 D ．1604．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36 B ．36-C ．48D ．48-5．甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( ) A ．84种 B ．100种C ．120种D ．150种6．在二项式n 的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项7．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ） A ．20个B ．48个C ．52个D ．120个8．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．409．在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．38411．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 12．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种二、填空题13．代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是________（用数字作答） 14．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________.15．已知集合{}08A C =，{}1288,B C C =，{}456888,,C C C C =，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.16．若348,n n A C =则n 的值为_______．17．若423401234(3x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为____．18．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)19．25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________. 20．已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.三、解答题21．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+； （2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.22．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中． （1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项．23．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题． （1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（3）若直线方程0ax by +=中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条?24．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项. 25．已知(n x 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．()1求n 的值；()2求展开式中所有二项式系数的和； ()3求展开式中所有的有理项．26．在二项式nx ⎛⎝的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. ()1求项数n ；()2求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-，令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.2．D解析：D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A = 种分组方法；则一共有101525+= 种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A = 种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．3．A解析：A 【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项. 【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-. 故选：A 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项.4．A解析：A 【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y 项. 【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.5．C解析：C 【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种，共35C 种情况; 第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可； 【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由5种食物中选择3种，共35C 种情况； 第二步：将3种食物编号为A,B,C ，则甲乙选择的食物的情况有：()AB C ，，()AB AC ，，()AB BC ，，()AC B ，，()AC BC ，，()BC A ，，()A BC ，，()BC AC ，，()B AC ，，()BC AB ，，()AC AB ，，()C AB ，共12种情况，因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有3512C 120=种.故选C 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.6．C解析：C 【分析】由已知条件先计算出n 的值，然后计算出系数最小的项 【详解】由题意二项式n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故8n =二项式展开式的通项为8821881122rrrrrrr r T C C ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要系数最小，则r 为奇数 当1r =时，18142C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当3r =时，338172C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当5r =时，5581724C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当7r =时，77811216C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭故当当3r =时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础7．C解析：C 【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A 52=20个没有重复数字的三位偶数； ②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法， 此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数， 综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数． 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．8．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．9．A解析：A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4nn+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.10．B解析：B 【解析】()6232x x ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.11．B解析：B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 12．C解析：C 【分析】先分组1，2，2和1,1,3再安排得解 【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A += 故选：C 【点睛】本题考查排列组合问题，先分组再安排是解题关键.二、填空题13．3【解析】的通项公式为令得；令得∴常数项为故答案为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系解析：3 【解析】5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为521015521()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=-=-.令2102r -=-，得4r =；令2100r -=，得=5r .∴常数项为445555(1)2(1)523C C -+-=-=故答案为3.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．【分析】由二项式定理及展开式通项得：又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为得解【详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为又展开式的常数项的值不大于15则又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为故答案为 解析：(]0,1【分析】由二项式定理及展开式通项得：41515a ≤，又[]0,3a ∈，所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤，得解． 【详解】由二项式定理可得：26()a x x+展开式的常数项为422446()()15a C x a x=， 又26()a x x+展开式的常数项的值不大于15， 则41515a ≤， 又[]0,3a ∈， 所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项， 即a 取值范围为01a <≤， 故答案为：(]0,1． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．15．【分析】由组合数的性质得出先求出无任何限制条件下所确定的点的个数然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数将两数作差可得出结果【详解】由组合数的性质得出不考虑任何限制条件下不同点的个数为由于坐标中同时含 解析：33【分析】由组合数的性质得出2688C C =，先求出无任何限制条件下所确定的点的个数，然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数，将两数作差可得出结果. 【详解】由组合数的性质得出2688C C =，不考虑任何限制条件下不同点的个数为11323336C C A =， 由于2688C C =，坐标中同时含28C 和68C 的点的个数为133C =，综上所述：所求点的个数为36333-=，故答案为33. 【点睛】本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】由排列数和组合数展开可解得n=6【详解】由排列数和组合数可知化简得所以n=6经检验符合所以填6【点睛】本题考查排列数组合数方程一般用公式展开或用排列数组合公式化简求得n 注意n 取正整数且有范围 解析：6【分析】由排列数和组合数展开可解得n=6. 【详解】由排列数和组合数可知(1)(2)(3)(1)(2)8()4321n n n n n n n -----=⨯⨯⨯，化简得313n -=，所以n=6,经检验符合，所以填6. 【点睛】本题考查排列数组合数方程，一般用公式展开或用排列数组合公式化简，求得n,注意n 取正整数且有范围限制．17．【分析】先化简=再分别求和的值即得解【详解】由题得=令x=1则令x=-1则所以=故答案为16【点睛】（1）本题主要考查二项式定理考查二项式展开式的系数问题意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计 解析：16【分析】先化简()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）， 再分别求01234a a a a a ++++（）和01234a a a a a -+-+（）的值即得解.【详解】由题得()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（），令x=1,则4(3=01234a a a a a ++++（），令x=-1,则4(3-+=01234a a a a a -+-+（），所以0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）=4444(3(3[(33216+-+=+-+==故答案为16 【点睛】（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)与二项式定理展开式系数有关的问题，一般利用赋值法解答.18．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.19．1560【分析】把转化为再利用二项式的展开式的通项公式可求出答案【详解】由题意因为的展开式的通项公式为的展开式的通项公式为所以的展开式中的项的系数是故答案为：1560【点睛】关键点点睛：本题考查二项解析：1560 【分析】把25(32)x x ++转化为()()5512x x ++，再利用二项式的展开式的通项公式，可求出答案.【详解】由题意，()()2555(32)12x x x x =++++，因为()51x +的展开式的通项公式为15r rr T C x +=，()52x +的展开式的通项公式为5152k k k k T C x -+=，所以25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是305214123032555555552222C C C C C C C C +++320800*********=+++=.故答案为：1560. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理的应用，考查三项展开式的系数问题.解决本题的关键是把25(32)x x ++转化为()()5512x x ++，进而分别求出()51x +、()52x +的展开式的通项公式，令3r k +=，可求出25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.20．【分析】对原方程两边求导然后令求得表达式的值【详解】对等式两边求导得令则【点睛】本小题主要考查二项式展开式考查利用导数转化已知条件考查赋值法属于中档题 解析：22【分析】对原方程两边求导，然后令1x =-求得表达式的值. 【详解】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.三、解答题21．（1）31464；（2）29302⋅. 【分析】（1）根据组合数性质11m m mn n n C C C -++=即可得结果； （2）根据组合数性质0122n n n n n n C C C C ++++=即可得结果；【详解】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+29302=⋅ 【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.22．（1）123（2）7920（3）20126720x 【分析】（1）令1x =，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）在通项公式中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得含4x 项的系数；（3）根据1211312121211112122222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧⎨⎩，求得r 的值，可得结论； 【详解】（1）令1x =，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为123；（2）二项展开式中，通项公式为123641122r rr r T C x --+=，令3644r -=，求得8r =， 故含4x 项的系数为841227920C =．（3）第1r +项的系数为12122r rC-，由1211312121211112122222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧⎨⎩，求得4r =， 故该二项展开式中系数最大的项为 384201421(2)()126720C x x x=． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 23．（1）3240个（2）174个（3）20条 【分析】（1）根据分步计数原理和题设条件，即可求得组成的不同的五位偶数；（2）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，利用分类计数原理，即可求解； （3）根据数字0，分为两类：当,a b 都不取0和当,a b 中有一个取0，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】（1）由题意，数字允许重复，根据分步计数原理， 可得不同的五位偶数共有：566633240⨯⨯⨯⨯=(个)．（2）当首位数字是5，而末位数字是0时，有233118A A =(个)；当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有132448A A =(个)；当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有11123233108A A A A =(个)；故共有1848108174++=(个)．（3）分两类：第一类：当,a b 都不取0时，有2520A =(条)；当1,2a b ==与2,4a b ==重复， 当2,1a b ==与4,2a b ==重复， 所以此时共有18条不同的直线；第二类：当,a b 中有一个取0时，则不同的直线仅有0x =和0y =，有2条； 由分类计数原理，可得共有18220+=(条)． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理和分布计算原理，以及排列与排列数的应用，其中解答中认真审题，合理分类、分步求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 24．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k kk k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n . 【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 25．（1）5；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n 的值； （2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n ，即可求出结果； （3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项 【详解】二项式nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为32112r rr n r n r r r n n T C x C x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭ （r=0，1，2，…，n ）；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得2121122nn C C ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，即()111242n n n -=⋅ 解得n=5；（2）展开式中所有二项式系数的和为0123455555555232C C C C C C +++++==（3）二项式展开式的通项公式为355215512r rr r r r r T C x C x--+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为0551512T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭22532351522T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭44565515216T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭． 【点睛】注意区别，展开式的“二项式系数”与“二项展开式的系数”，如本题中二项展开式的系数为：12rr n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，而二项式系数为r n C ；二项展开式（a+b ）n 的第（r+1）项，其通项公式为1rn r r r n T C a b -+=⋅⋅（ r ∈{0,1,2,3，…，n}）．26．()18n =；()277=16T ，835=70T x .【分析】()1等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n ；()2写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 可得常数项，再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】解：()1二项式nx ⎛⎝的展开式的通项公式为143311122rrrr n r r n r r n r r r n n n T C x C x x C x ----+⎛⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，第一项系数为00112n C ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，第二项系数为11122n n C ⎛⎫-⋅=⎪⎭- ⎝，第三项系数为()22212148n n C C n n ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭-=，前三项系数的绝对值分别为1，2n ，()18n n -， 因为前三项系数的绝对值成等差数列，(1)2128n n n -∴⨯=+，即2980n n -+=，求得1n =（舍去），或8n =.()2二项式n x ⎛ ⎝，由()1可知8x ⎛⎝， 它的通项公式为4831812rr rr T C x -+⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令4803r -=，可得6r =，故展开式的常数项为667817·216T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 二项式系数为8rC ，故当4r =时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，该项为88433581··7016T C x x ==. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.。

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(含答案解析)(1)

(好题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(含答案解析)(1)

一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60B ．72C ．96D ．1502．已知（x x ﹣a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．23．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．15．由0,1,2,3,,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）A ．180B ．196C ．210D ．2246．如图中每个小方格均为面积相等的正方形，则该图中正方形共有（ ）个A ．30B ．32C ．36D ．247．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．968．若0,0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分22abxdx xdx +⎰⎰的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．56010．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．49611．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．25612．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或6二、填空题13．设06126201262m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=_________________.14．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为______. 15．在(23)n x y -的二项展开式中，二项式系数的和是512，则各项系数的和是_____ . 16．精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种．17．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________．18．二项式636ax ⎛+ ⎝⎭的展开式中5x 320a x dx =⎰________. 19．已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.20．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种.参考答案三、解答题21．在二项式()32nx -的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项； （2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.22．求值：（1）333364530C C C C +++⋅⋅⋅+； （2）12330303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.23．三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法； （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.24．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项． 25．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数. 26．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出．【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项， 所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.4．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案． 【详解】 分两种情况：（1）个位与百位填入0与8，则有2228A A 个； （2）个位与百位填入1与9，则有722711A A A 个. 则共有2221128277210A A A A A +=个. 故选：C【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．6．A解析：A 【分析】设方格纸上的小方格的边长为1，按正方形的边长进行分类讨论，求出每种情况下正方形的个数，由加法原理即可得答案． 【详解】设方格纸上的小方格的边长为1，当正方形的边长为1时，有4×4＝16个正方形， 当正方形的边长为2时，有3×3＝9个正方形， 当正方形的边长为3时，有2×2＝4个正方形， 当正方形的边长为4时，有1×1＝1个正方形， 则有16+9+1+4＝30个正方形； 故选：A ． 【点睛】本题涉及分类计数原理的应用，属于基础题，进行分类讨论是解题的关键.7．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.8．C解析：C 【分析】由二项式定理展开项可得1ab =，再22022abxdx xdx a b +=+⎰⎰利用基本不等式可得结果.【详解】二项式()6ax+b 的展开式的通项为6616r r r rr T C a b x --+=当63,3r r -==时，二次项系数为3336201C a b ab =∴=而定积分2202222abxdx xdx a b ab +=+≥=⎰⎰当且仅当a b =时取等号 故选C 【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.9．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x 时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题10．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.11．B解析：B 【解析】分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++=-，详解：4400111cos22|02222t xdx sin x sin πππ===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．12．D解析：D 【解析】 因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.二、填空题13．21【分析】由二项式定理得出的展开式的通项进而得出的展开式即可得出答案【详解】的展开式的通项为则故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用属于中档题解析：21 【分析】由二项式定理得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，进而得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，即可得出答案. 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()621231662(2)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭则622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 00121192263334405536666666666(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)C x C x C x C x C x C x C x --+++++=-+------0126129630(3)(6)21m m m m ∴+++⋯+=+++++-+-=故答案为：21【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.14．240【分析】先把5本书取出两本看做一个元素这一元素和其他的三个元素分给四个同学相当于在四个位置全排列根据分步乘法计数原理即可得出结果【详解】从5本书中取出两本看做一个元素共有种不同的取法这一元素与解析：240. 【分析】先把5本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的三个元素分给四个同学，相当于在四个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果. 【详解】从5本书中取出两本看做一个元素共有2510C =种不同的取法，这一元素与其他三个元素分给四个同学共有4424A =种不同的分法，根据分步乘法计数原理，共有2454240C A ⋅=种不同的分法.故答案为240 【点睛】本题主要考查了排列组合的综合应用，分步乘法计数原理，属于中档题.15．【分析】根据二项式系数的和求解出的值求解各项系数的和时可考虑令由此可计算出各项系数的和【详解】因为二项式系数的和是所以所以又因为令可得：所以各项系数的和为：故答案为【点睛】本题考查根据二项式系数求参 解析：1-【分析】根据二项式系数的和求解出n 的值，求解各项系数的和时可考虑令1x y ==，由此可计算出各项系数的和. 【详解】因为二项式系数的和是512，所以01...2512n nn n n C C C +++==，所以9n =，又因为()()()()()()()998109129992323...2323C x y C x y C x y x y =-+-+-+-， 令1x y ==可得：()()()()()()()998191299912323...231C C C -=-+-++-=-，所以各项系数的和为：1-. 故答案为1-. 【点睛】本题考查根据二项式系数求参数以及求解各项系数和，难度一般.（1）求解形如()nax by +的展开式中的各项系数和时，可令1x y ==求得结果； （2）形如()nax by +的展开式中的二项式系数之和为2n .16．150【分析】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为二是三个贫困村安排的干部数分别为利用排列组合思想分别求出这两种情况的分配方法数加起来可得出结果【详解】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排解析：150 【分析】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为3、1、1，二是三个贫困村安排的干部数分别为2、2、1，利用排列组合思想分别求出这两种情况的分配方法数，加起来可得出结果. 【详解】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为3、1、1，分配方法种数为13235260C C A =；二是三个贫困村安排的干部数分别为2、2、1，分配方法种数为11235490C C C =.综上所述，所有的分配方法种数为6090150+=，故答案为150． 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分配问题，这类问题一般是先分组再排序，由多种情况要利用分类讨论来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题．17．40【分析】将问题分成三步解决首先将排列再将插空排列再根据已排好的位置将整体插空放入利用分步乘法计数原理计算可得结果【详解】第一步：将进行排列共有种排法第二步：将插空排列共有种排法第三步：将整体插空解析：40 【分析】将问题分成三步解决，首先将3,5排列，再将4,6插空排列，再根据已排好的位置将1,2整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】第一步：将3,5进行排列，共有222A =种排法第二步：将4,6插空排列，共有2224A =种排法第三步：将1,2整体插空放入，共有155C =种排法根据分步乘法计数原理可得共有：24540⨯⨯=种排法 本题正确结果：40 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.18．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式66ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x的系数为51566a C =，5=， 解得1a =．∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．19．【分析】对原方程两边求导然后令求得表达式的值【详解】对等式两边求导得令则【点睛】本小题主要考查二项式展开式考查利用导数转化已知条件考查赋值法属于中档题 解析：22【分析】对原方程两边求导，然后令1x =-求得表达式的值. 【详解】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.20．【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论并计算出每种情况下的安排方案种数利用分类加法计数原理可得结果【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇若甲乡镇派遣三名医生则共有种 解析：68【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有112214242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有211132224242420428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣五名医生，则共有03122324242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案.综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种. 故答案为：68. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）5610777536T x =-，677185024T x =；（2）19152+.【分析】（1）由题意得01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得n 的值，可以写出结果；（2）由题意得217n n C C =，解得n =19，在()1932x -的展开式中，分别令1x =和1x =-，得到2个式子，相减可得要求式子的值． 【详解】（1）在二项式()32nx -的展开式中，前3项的二项式系数和为01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得11n =或12n =-（舍），二项式为()1132x -，展开式共有12项，∴则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，()55656113210777536T C x x =-=-和()6656711327185024T C x x =-=.（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得217n n C C =，计算得19n =，二项式为()1932x -.在()192319012319..32.a a x a x a x x a x =+++++-中， 令1x =，则0123191...a a a a a =+++++，①令1x =-，则190123195...a a a a a =-+-+-，②①+②得()1902418152...a a a a +=++++，奇次项系数和为19152+.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题． 22．（1）31464；（2）29302⋅.【分析】（1）根据组合数性质11m m mn n n C C C -++=即可得结果； （2）根据组合数性质0122n n n n n n C C C C ++++=即可得结果；【详解】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+29302=⋅ 【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.23．（1）4320；（2）14400 【分析】（1）利用捆绑法，先将女生捆绑，再和男生一起排列，计算即得解； （2）利用插空法，先排男生，再将女生插入男生空隙，即得解. 【详解】（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法有36364320A A =种不同的排法；（2）女生必须全分开，利用插空法有535614400A A =种不同的排法【点睛】本题考查了排列组合的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题24．（Ⅰ）5n =；（Ⅱ）690x 、10243x . 【分析】（Ⅰ）由题意)23nx展开式中二项式系数和为2n、各项系数和为()134nn +=，列方程即可得解；（Ⅱ）写出展开式的通项公式4103153r r rr T C x++=⋅⋅，分别令2r 、=5r 即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意可得)23nx展开式中二项式系数和为2n ，令1x =，可得)23nx展开式中各项系数和为()134nn +=，则由题意可得42992n n -=，化简得()()2322310nn-+=， 由2310n +>可得2320n -=，所以5n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得))52233nxx=，则其展开式的通项公式()5241023315533rr rr r rr T C x xC x-++⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，要使4103r +为有理数，则2r 或=5r ，当2r时，41022663553390r r r C xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；当=5r 时，41055101035533243r r r C xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；所以其展开式中的有理项为690x 、10243x . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 25．（1）6n =；（2）240. 【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C = 所以()()()3122132n n n n n ---=⨯即42n =- 所以6n =（2）由（1）得12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =， 所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122kkkk kk k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别. 26．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即100246810132a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.。

人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(含答案解析)

人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种3．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．80-C ．40D ．40-4．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．105．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．16．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．4807．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．968．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．26B ．18C ．12D ．99．在二项式()2n x x-的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项10．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．3360011．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．49612．若从1,2,3,...,9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法种数为（ ） A ．10B ．30C ．40D ．60二、填空题13．已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______. 14．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 15．同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答）16．若251(3)(2)x a x x--的展开式中3x 的系数为80，则a =_______.17．已知()n x y +的展开式中，只有第七项的系数最大，则n =___________18．已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.19．已知02a π=⎰，若2020220200122020(1)()ax b b x b x b x x R -=+++⋯+∈，则20201222020222b b b ++⋯+的值为__. 20．6名同学站成一排，甲、乙两人相邻，丙与丁不相邻，则共有______种不同的排法（用数字作答）.三、解答题21．已知二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅．（1）求0a 的值；（2）求1232n a a a a +++⋯+的值； （3）求13521n a a a a -+++⋯+的值．23．（1）由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？（2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数.24．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++．25．已知)22nx的展开式的系数和比()31nx -的展开式的二项式系数和大992，求212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中： （1）二项式中的常数项； （2）系数小于1025的项．26．已知22)nx的展开式中，只有第六项的二项式系数最大 （1）求该展开式中常数项；（2）求展开式中系数最大的项为第几项？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．B解析：B 【分析】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法. 【详解】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3、4节，而自习课可以上任意一节.若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有336A =种不同的选课方法.若生物课排第3节，则政治课有12C 种排法，其他课可以任意排，有22A 种排法，共有12224C A =种不同的选课方法.所以共有6410+=种不同的选课方法. 故选：B .本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.3．B解析：B 【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-， 令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭，解得：1a =，()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为： 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和， 由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-，当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.4．C解析：C根据题意，设至少应抽出x 个产品，由题设条件建立不等式3337100.6x xC C C -≥，由此能求出结果. 【详解】解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出x 个产品，则基本事件总数为10xC ，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为3337x C C -，由题设知：3337100.6x xC C C -≥， 所以()()12310985x x x --≥⨯⨯，即()()12432x x x --≥，分别把A ，B ，C ，D 代入，得C ，D 均满足不等式， 因为求x 的最小值， 所以9x =. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化.5．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.6．C解析：C 【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A =（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.7．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.8．B解析：B 【分析】取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】令1x =得4(1)264a +⋅=，所以3a =．所以4(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为33223443C C 18x x x x ⋅+⋅=，所以展开式中含3x 项的系数为18， 故选B ． 【点睛】本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.9．C解析：C 【分析】由已知条件先计算出n 的值，然后计算出系数最小的项 【详解】由题意二项式n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故8n =二项式展开式的通项为8821881122rrrrrrr r T C C ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要系数最小，则r 为奇数 当1r =时，18142C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当3r =时，338172C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当5r =时，5581724C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当7r =时，77811216C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭故当当3r =时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础10．C解析：C 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.11．C解析：C【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C=种方法，用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A=种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.12．C解析：C【解析】分析：分两种情况讨论：先在1,3,5,7,9五个数中取出三个个奇数，再在1,3,5,7,9五个数中取出一个奇数在2,4,6,8四个偶数中取出两个偶数，由分类计数加法原理结合分步计数乘法原理可得结果.详解：根据题意，从1到9的正整数正任意抽取3个数相加，若所得的和为奇数，则取出的数为3个奇数或1奇数2个偶数，在1,3,5,7,9五个数中取出1个奇数，有155C=种取法.在2,3,6,8四个偶数中取出2个偶数，有246C=种取法.则1奇数，2个偶数的取法有5630⨯=种，在1,3,5,7,9五个数中取出3个奇数，有3510C=种取法即所得的和为奇数的不同情形种数是301040+=，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.二、填空题13．7【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项项和项利用二项展开式的通项公式求出第项然后即可求解【详解】因为的展开式中没有项所以的展开式中没有常数项项和项的展开式的通项为所以方程当且时无解检验可解析：7【分析】先将问题转化成二项式31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项，利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，然后即可求解 【详解】因为()2233111()(12)()n n x x x x x x x++=+++的展开式中没有2x 项 所以31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项 31()n x x+的展开式的通项为341,0,1,2r n r r r n rr n n T C x x C x r n ---+=== 所以方程40,41,42n r n r n r -=-=-=，当*N n ∈且58n ≤≤时无解 检验可得7n = 故答案为：7 【点睛】二项式(+)na b 的展开式的通项为：1,0,1,2r n r r r n T C a b r n -+==14．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【分析】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人全排列然后排甲甲只能在两端有2种站法利用分步乘法计数原理可求出答案【详解】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人 解析：96【分析】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案. 【详解】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，有2424A A 48=种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有48296⨯=种排法.【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.16．【解析】分析：中的系数与的积加上中的系数与的系数的积就是展开式的系数详解：展开式通项为令则令则∴解得故答案为－2点睛：二项式的展开式的通项为由此通项公式可求展开式中的特定项如果是两个（或多个）式子相 解析：2-【解析】分析：31(2)x x -中3x 的系数与a -的积，加上31(2)x x-中x 的系数与23x 的系数的积就是展开式3x 的系数．详解：51(2)x x-展开式通项为55521551(2)()2r rr r r r r T C x C x x---+=-=， 令523-=r ，则1r =，令521r -=，则2r，∴41325523280a C C -⨯+⨯=，解得2a =-，故答案为－2.点睛：二项式()n a b +的展开式的通项为1C r n r rr n T a b -+=，由此通项公式可求展开式中的特定项．如果是两个（或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏.17．12【分析】根据题意利用二项式定理二项式系数的性质得出结论【详解】的展开式中只有第七项的系数最大故展开式中有13项则故答案为：12【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理如果二项式的幂指数n 是偶数中间一解析：12 【分析】根据题意，利用二项式定理，二项式系数的性质得出结论. 【详解】()+n x y 的展开式中，只有第七项的系数最大，故展开式中有13项，则12n =故答案为：12 【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理，如果二项式的幂指数n 是偶数，中间一项12nT +项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间两项12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．18．【分析】对原方程两边求导然后令求得表达式的值【详解】对等式两边求导得令则【点睛】本小题主要考查二项式展开式考查利用导数转化已知条件考查赋值法属于中档题 解析：22【分析】对原方程两边求导，然后令1x =-求得表达式的值. 【详解】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.19．【分析】根据题意由定积分公式求出的值进而在中分别令和分析可得答案【详解】解：根据题意则令可得：即令可得：又由则；故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用涉及特殊值的应用关键是求出的值属于基础题 解析：1-【分析】根据题意，由定积分公式求出a 的值，进而在20202020(1)(12)ax x -=-中，分别令0x =和1x =，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，20221(2)24a πππ==⨯⨯⨯=， 则20202020220200122020(1)(12)()ax x b b x b x b x x R -=-=+++⋯+∈，令0x =可得：202001b =，即01b =，令12x =可得：20202020120220201(12)02222b b b b -⨯=+++⋯+=， 又由01b =，则202012220201222b b b++⋯+=-； 故答案为：1- 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出a 的值，属于基础题.20．【分析】甲乙两人相邻用捆绑法丙与丁不相邻用插空法【详解】先排丙与丁以外的人且甲乙在一起有种排法再排丙丁两人有种排法∴共有种排法【点睛】本题考查了排列知识的应用求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符 解析：144【分析】甲、乙两人相邻用捆绑法，丙与丁不相邻用插空法. 【详解】先排丙与丁以外的4人且甲、乙在一起，有323212A A =种排法，再排丙、丁两人有2412A =种排法，∴共有1212144⨯=种排法. 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;间接法:正难则反、等价转化的方法.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，可得0212012123111,,222nn n nn n T C T C T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项rn rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）1；（2）231n-；（3）2312n -.【分析】（1）赋值0x =即可得解；（2）赋值1x =，结合（1）即可得解； （3）赋值1x =-，结合（2）即可得解. 【详解】（1）0x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01a =； （2）1x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：032122=3n n a a a a a ++++⋯+，所以： 13222=31n n a a a a +++⋯-+；（3）1x =-代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01232=1n a a a a a -+-+⋯+，又032122=3n n a a a a a ++++⋯+，、两式相减可得：5221312()31n na a a a -+++⋯=-+，所以221351312n n a a a a -+=+⋯-++. 【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和项的系数和，主要方法是赋值法，属于基础题. 23．（1）280种；（2）472种. 【分析】（1）千位数字和十位数字的组合有(1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2)五种，百位和个位的数共有2856A =种组合，计算得到答案.（2）考虑不选三班的同学和选三班的一位同学两种情况，利用排除法和分步分类计数原理得到答案. 【详解】（1）十位数字与千位数字之差的绝对值等于7，可得千位数字和十位数字的组合有(1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2)五种，每种组合中百位和个位的数共有2856A =种组合，所以符合条件的四位数共有285280A =种.（2）情形一：不选三班的同学，从12个人中选出3人，有312C 种选取方法，其中来自同一个班级的情况有343C 种，则此时有33124322012208C C -=-=种选取方法；情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有212C 种选取方法，则此时有2124264C =种选取方法.根据分类计数原理，共有208264472+=种选取方法. 【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用排除法和分类分别计数原理是解题的关键.24．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．（1）8064；（2）101024x 、4960x 、6180x 、820x 、101x . 【分析】（1）根据题意可得出关于n 的等式，即可解出正整数n 的值，进而写出212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项公式即可得出展开式中的常数项； （2）利用二项展开式通项写出展开式中的每一项，进而可得出结果. 【详解】 （1）)22nx的展开式的系数和为22n ，()31nx -的展开式的二项式系数和为2n ，由题意可得222992n n -=，可得232n =或231n =-（舍），所以，5n =.1012x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()101010211010122rr r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1020r -=，可得=5r ，因此，展开式中的常数项为5561028064T C =⋅=；（2）1012x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项分别为：1011024T x =，825120T x =，6311520T x =，4415360T x =，2513440T x =，68064T =，723360T x =，84960T x =，96180T x =。

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文档《计数原理》单元测试题一、选择题位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同51．）报名方法共有（．32种 C．25种 D A．10种 B．20种3门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4 门，则不同的选修方案共有（）．192种 C．96种 D BA．36种．48种位老人相2位老人拍照，要求排成一排，23. 记者要为5名志愿者和他们帮助的）邻但不排在两端，不同的排法共有（ 480种 D．．种 B960种 C．720种A．1440个数字互不个数字组成，其中44. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4 ）相同的牌照号码共有（????2242244411AAA10．个 A．个个 B． C个． D10CCA26261010262641062( ) 的展开式中．（xx－项的系数是y）y5210840 C. 210 D.－A. 840 B. －可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个，53，4由数字0，1，2，6.( )数有 D.52C.48 B.60 A.72组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排4，3，，7.用01，2. ）个数应是第（列，则数字12340D.8C.10 A.6 B.9个点，且两直线上nCD上有个点，CD为平面内两条相交直线，AB上有m8.AB和( ) 个点为顶点的三角形的个数是各有一个与交点重合，则以这m+n-12212121111212212CCCC?CC?CCCC?CCCCCC? A.D. B.C.1mnnnnmmm?nmnn1n??m1m?1m?1??10????22102xax?????a?2?x??aax a?a?????a?a?a?????a,则的9.设102109101220值为( )D. C.1 B.-1 A.0文档BA地，则路地前往10．某城市的街道如图，某人要从( ) 程最短的走法有 D.32种 B.10种 C.12种 A.8种10题）（第个顶点作为一组，其中可以构中任取3个顶点(如图)11．从6个正方形拼成的12 成三角形的196 ．．204 C．200 D组数为 ( )A．208 B其中恰好有一双的取法种数为12. 从不同号码的五双靴中任取4只，（）A.120 B.240 C.360 D.72题）（第11二、填空题个球排成一943个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这13. 今有2个红球、列.种不同的方法（用数字作答）有相邻的4组成没有重复数字的五位数，则其中数字21，3114. 用数字0，，2，，个（用数字作答）．偶数有1n3nx= .+)的展开式中含有常数项，则最小的正整数若15. (2x名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委名成员中选出5316. 从班委会种。

（用员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____ 数字作答）三、解答题名女生中选出三名代表名男生,3417．从?(1)不同的选法共有多少种? 至少有一名女生的不同的选法共有多少种(2)? 代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种(3)文档18．平面内有12个点，其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？19．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端．20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求所有五位数的各位上的数字之和（4）求这个数列的各项和.在项的二项式系数相等。

r+2项和第21.4r的展开式中，如果第文档（1）求r的值；（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。

求证：能被25整除。

22.文档第一章计数原理单元测试题参考答一、选择题：（每题5分，共60分）1、D2、C 解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各233C?C?C?96种，选3门，则不同的选修方案共有C选修4445A位老人作一组插入其中，且两位老人有名志愿者先排成一排，有2种方法，3、B 解析：555A4?2?B=960种不同的排法，选左右顺序，共有5个数字互不个数字组成，其中4A 解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接44、??241AC A 相同的牌照号码共有个，选10263323种不同的排法,其中0在首位的有种不5、A 6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有2AAAA32333323种. 符合题意,所以共有260AA?AA?33323个; 第二类是千位为2 7、C 解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有,A?632个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以百位比3小为0,有A2?212340是第10个数.8、D 解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.9、C 10、B 11、C1C,而后从每双中各取一只双,,再从剩下的4双鞋中取出12、A 解析:先取出一双有2种取法51112211有种不同的取法. ,种不同的取法共有C120CCC?CCC4225224二、填空题(每小题4分，共16分）13、1260 解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有342C?C1260C35914、24 解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，32?A?12个五位数；②若末位数字为13，4，各为个数字，共可以组成2，则1322?A?4个五位数；不是首位数字，则有③若0其余与它相邻，3个数字排列，且2末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不2)A?2?(2是首位数字，则有个24=8个五位数，所以全部合理的五位数共有2文档11rrn?n?r3n)?)(T?C(2x3x为常数项，(2 解析：若)+的展开式中含有常数项，15、7n?1r xx7r?3n nrn等于即7. =6=7，时成立，最小的正整数=0，当216、36种解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，12C?A?3?4?3?36不同的选法共有人担任学习委员和体育委员，人中选24再从43种三、解答题3?C35种； 17.解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法712213CC?CC?C?31）至少有一名女生的不同选法共有种；（233434333?30?CC?C3 （）男、女生都要有的不同的选法共有种。

37418.解：把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。

点中有两点为三角形的顶点，共有：4 第一类：共线的（个）；点中有一点为三角形的顶点，共有4 （个）；第二类：共线的点中没有点作为三角形的顶点，共有：第三类：共线的4 （个）。

共有三角形：由分类计数原理知，（个）。

答：可得到216个不同的三角形。

个，有 1 要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选19.解析：（l）方法一：个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法人在另外 5 5 种站法，然后其余 480 （种）计数原理共有站法有 2 个人站， 5 方法二：由于甲不站两端，种这两个位置只能从其余个人中选共有站法种站法，然后中间 4 根据分步乘法计数原理，480人有站法，（种）种站法，甲在两端共有方法三：种站法，从总数若对甲没有限制条件共有480（种）中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有2（种站法，再把甲、）方法一：共有240 （种）根据分步乘法计数原理，乙进行全排列，种站法，有站法．个人作全排列，有种站法，再在 5 个空档中选方法二：先把甲、乙以外的 4种方法，共有种方法，最后让甲、乙全排列，有出一个供甲、乙放入，有（种）240文档（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个有（含两端）中， 4 人形成的 5 人站队，个空档有种；第二步再将甲、乙排在= 480 （种）.种，故共有站法为个人全排列有，6 也可用“间接法”由（2）知甲、240乙相邻有种站法，－种站法，所以不相邻的站法有（种）．＝720－240480个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站先将甲、乙以外的 4 (4)方法一：种，故共有种站法．队，有人排在甲、乙之间的两个位置上，有 2 个人中任选方法二：先从甲、乙以外的 4人作全排列有种方法，人看作一个“大”元素与余下 2 种，然后把甲、乙及中间 2种方法，故共有144 最后对甲、乙进行排列，有种站法．首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有）方法一：（种，再让其他 4 人在中间位5种，根据分步乘法计数原理，共有置作全排列，有种站法．首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，方法二：种站法．人去站，有 4 种站法，由分步乘法计数原理共有由剩下的种，且甲在左端而乙在右）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有（6种，共有端的站法有种站法．甲站右端有种，②以元素甲分类可分为两类：①甲在中间 4 个位置之方法二：=504 种站法．种，故共有一，而乙不在右端有的数，分为以下三类解：⑴先考虑大于20.432514 =24 打头的有：第一类：以5A43 =6 第二类：以45打头的有：A32 =2第三类：以435打头的有：A2??2543的五位数有：故不大于43251（个）A88A?A?A??5423即43251是第88项.⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.4A个五位数，所以万位上各个数字的和为：，5各在万位上时都有31（3）因为，2，，4441+2+3+4+5）·（A44A五位数，所有五位数的各位上的同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个4文档4数字之和5·（1+2+3+4+5）·=1800A44A个五位数，所以万位上数字的和为：5各在万位上时都有3，4，（4）因为1，2，4410000 ）··1+2+3+4+5（A44A个五位数，所以这个数列各项和为：同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有441+10+100+1000+10000）（1+2+3+4+5）··（A4项的二项式系数为r+24r，根据二项的二项式系数为，第21.解：（1）展开式第时它们的二项式项式系数的性质，当且仅当或系数相等，解得。

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