传染病模型(微分方程)

t

微分方程建模（传染病模型）的求解。

1、模型1：SI 模型。 假设：

（1）t 时刻人群分为易感者（占总人数比例的()s t ）和已感染者（占总人数比例的()y t ） （2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。

分析：根据假设，每个患者每天可以使()s t λ个健康者变为病人，因为病人数为()Ny t ，所以每天共有()()Ns t y t λ个健康者变为病人。即：

dy

N

Nsy dt

λ=，且()()1s t y t +=，设初始时刻病人比例为b ，则： (1)

(0)dy

y y dt

y b

λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，用MATLAB 解此微分方程： >> syms a b

>> f=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') f =

1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) %11

()1111(1)t t

y t b e e b b

λλ--=

=

--+- 当0.09,0.1b λ==时，分别在坐标系oty 中作出()y t 的图像，坐标系oyy '中作出

(1)y y y λ'=-的图像，

>> a=0.1;

>> b=0.09;

>> h=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') h =

1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) >> f=subs(h) f =

1/(1+91/9*exp(-1/10*t)) ()y t 的图像

>> ezplot(f,[0,60]) >> grid on

>> figure (2)

>> fplot('0.1*y*(1-y)',[0,1])

>> grid on

(1)y y y λ'=-的图像

模型分析：（1）当12y =

时，dy

dt

达到最大值，则此时病人增速最快。 （2）当t →∞时，()1y t →，即所有的人被传染，全部变为病人，这显然是不符合实际的，其原因是没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，而病人不

会变为健康者。

2、模型2：SIS 模型。 假设：

（1）t 时刻人群分为易感者（占总人数比例的()s t ）和已感染者（占总人数比例的()y t ） （2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。

（3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率，显然

1

μ

为这种传染病的平均传染期。则dy

N

Nsy Ny dt

λμ=-。则建立微分方程模型为： (1)(0)dy

y y y

dt

y b λμ⎧=--⎪⎨⎪=⎩

用MATLAB 解此微分方程：

>> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t') h2 =

(a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c )

>> pretty(h2)

/ exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) a (a - c)/|a - -------------------------------- \ b (a - c)

exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) c\ + --------------------------------| b (a - c) /

化简：

()().().()()()

a c t a c t a c

e a c ba a e a c ba c a b a c b a c ------++-++-+

--

2

()()()().().()a c t a c t b a c ab a c e a c ba e a c ba c -----=---+++-++ 2

()()()().()

a c t

b a

c ab a c c a e a c ba ---=

-+---++1

()2

()().()()a c t ab a c c a e a c ba b a c ---⎡⎤-+---++=⎢⎥-⎣⎦

1

()1()a c t a a e a c b a c ---⎡⎤

=+-⎢⎥--⎣⎦

即：1

()1()()t y t e b λμλλλμλμ---⎡⎤=+-⎢⎥--⎣⎦

。

当（1）λμ≠时，1

()1()()t y t e b λμλλ

λμλμ---⎡⎤=+-⎢⎥--⎣⎦

；

（2）λμ=时，

>> clear

>> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-a*y','y(0)=b','t') h2 =

1/(a*t+1/b)

即：1

1()y t t b λ-⎡

⎤=+⎢⎥⎣

⎦。

定义λ

σμ

=

：一个传染期内每个病人有效接触的平均人数。 则：1

1,(1)

()0(1)

y σσσ⎧->⎪∞=⎨⎪≤⎩，用MATLAB 作图像：

令0.01λ=，0.05μ=，0.7b =（0.21σ=<） >> clear

>> a=0.01;b=0.7;c=0.05;

>> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t'); >> h22=subs(h2)