结构力学(二)第4版龙驭球第17章结构的极限荷载

第17章 极限荷载

【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(2

12δδδσb h

bh M s u +

=。 （b ）圆形截面的极限弯矩为63

D M s u σ=。

（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=33

)21(16

D D M s

u δσ。

【解】

（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。

静距计算公式：202

1

d xy y xy S y ==⎰

考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：

)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122

222

212bh

b b h h bh h h b bh h

b h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(212

1

2δδδb h bh S +

=

因此极限弯矩为)41()(2

1

2δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：202

1d xy y xy S y

=

=⎰ 6

3

2

2d 2)

)2

(d(21)2(4d )2(43

)2(0

23)2(0

20222220

2

222D u

u u y D y D y y y D S D D

D

D =

⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰

⎰⎰

关/注；公，众。号：倾听细雨因此极限弯矩为63

D S M s s u σσ==

（c ）圆的静距为6

3

D S =

则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=

3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--==33

)21(16

D D S M s

s u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。设材料的屈服应力为s σ。 【解】

设等面积轴距上顶面距离为xmm 。

由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得

405550))50(2

1

(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。 单个角钢上下截面面积矩：

3

232323223

3214879mm ])723.440(20)723.440(3

1

)723.445(20)723.445(3

1

[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431

723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S

由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=

【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。

【解】

（1）塑性铰可能出现在竖直支座处

记塑性铰处转角为θ，则杆端竖直位移为1⋅=∆θ

由虚功原理可得

1⋅=∆=θθp p u F F M

极限荷载u pu M F =1。

（2）塑性铰可能出现在固定端

记塑性铰处转角为θ，则杆端竖直位移为θ2=∆ 由虚功原理可得

θθp p u F F M 25.1=∆=

获取更多内容极限荷载u pu u pu M F M F =<=1275.0。

关/注；公，众。号：倾听细雨因此，塑性铰会产生在固定端，极限荷载为

u pu pu M F F 75.02==。

【17-4】 试求图示各梁的极限荷载。 【解】

（1）塑性铰可能出现在两个固定端和其中一个荷载作用点处

记远侧固定端转角为1θ，另一固定端转角为2θ，形成塑性铰的荷载作用点处转角为3θ。形成塑性铰的荷载作用点处竖直位移为1∆，另一荷载作用点处竖直位移为2∆。

由几何关系得121113123

,32,3,2θθθθθθl l =∆=

∆==

由虚功原理可得

111113

3232θθθθθl F l F M M M p p u u u ⋅+⋅=⋅+⋅+ 极限荷载l

M F u

pu 61=

。 （2）塑性铰可能出现在其中一个固定端和两个荷载作用点处

记形成塑性铰的固定端转角为1θ，近侧的荷载作用点处转角为2θ，远侧的荷载作用点处转角为3θ。近侧的荷载作用点处竖直位移为∆。

由几何关系得113123

,,2θθθθθl

=∆==

由虚功原理可得

11113

2θθθθl

F M M M p u u u ⋅=⋅+⋅+

获取更多内容极限荷载l

M F l M F u

pu u pu 61212=

>=。 关/注；公，众。号：倾听细雨因此，塑性铰会产生在其中一个固定端和两个荷载作

用点处，极限荷载为l

M F F u

pu pu 61==。

【17-5】 试求图示各梁的极限荷载。

【解】

从左到右将各关键点记为A 、B 、C 、D 点。

破坏情况分类：

（1）情况一：A 、B 点出现塑性铰

由几何关系得

θθ=A ，3

3θ

θl l A B =⋅=∆

223θθ=∆=l B D ，23θθθθ=+=D A B

6

3θ

θl l D C =⋅=∆

由虚功原理可得

C

p B p B u A u F F M M ∆⋅+∆⋅=⋅+θθ

即6

323θθθθl F l F M M p p u u ⋅+⋅=⋅

+