实验四 全维状态观测器的设计
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
本科实验报告课程名称：现代控制理论实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房专业班级：自动化学号：学生姓名：指导教师：年月日现代控制理论基础一、实验目的（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容（一）、状态反馈状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为（1）其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为Kx r u -=（2）式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为（3）可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=n n n a s a s +++-Λ11这是状态反馈阵K 可根据下式求得K=[])(100*1A f U c -Λ（4）式中[]bA Ab b U n c 1-=Λ，)(*A f是将系统期望的闭环特征方程式中的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..其实，在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为K=acker(A,b,p)式中，p为给定的极点，K为状态反馈阵。
全维状态观测器例
所示。
u
x2
1 x2 s
3
1 x1 s
2
2
y
受控对象 部分
23.5
8.5
ˆ2 1 x s
3
1 s
ˆ1 x
2
ˆ y
状态观测器部分
2
图 9.24 例 9.47 全维状态观测器及受控对象状态变量图
Байду номын сангаас
(2) 给定极点对应的期望特征方程
( 10) 2 2 20 100 0
(3) 设观测器输出反馈阵 H h1
(9.203)
h2 ，则观测器系统矩阵为
T
1 h1 2h1 0 A HC 2 0 2 3 h2 2 2h2
观测器特征方程
1 3
(9.204)
I ( A HC) 2 (2h1 3) (6h1 2h2 2) 0
比较式(9.203)和(9.204)各对应项系数，有
2h1 3 20 6h1 2h2 2 100 h1 8.5, h2 23.5
全维状态观测器例
【例 9.47】 已知受控对象传递函数
Y ( s) 2 U ( s) ( s 1)( s 2)
试设计全维状态观测器，将观测器极点配置在-10，-10。 解： (1) 可观性判别 传递函数无零极点对消，故系统可控、可观测。若写出可控标准形实现，则
1 0 0 ， b ， C 2 0 A 2 3 1
状态观测器——精选推荐
4.5 状态观测器在4.2 节中介绍控制系统设计的极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。
然而在实际情况中，不是所有的状态度变量都可用于反馈。
这时需要要估计不可用的状态变量。
需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。
有时一个单一的微分过程可使信噪比减小数倍。
有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。
不能观测状态变量的估计通常称为观测。
估计或者观测状态变量的装置（或计算机程序）称为状态观测器，或简称观测器。
如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接测量，这种状态观测器均称为全维状态观测器。
有时，只需观测不可测量的状态变量，而不是可直接测量的状太态变量。
例如，由于输出变量是能观测的，并且它们与状态变量线性相关，所以无需观测所有的状态变量，而只观测n-m 个状态变量，其中n 是状态向量的维数，m 是输出向量的维数。
估计小于n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称为降价观测器。
如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。
本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。
4.5.1 引言状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。
在3.7节讨论的能观测性概念有重要作用。
正如下面将看到的，当且仅当满足能观测性条件时，才能设计状态观测器。
在下面关于状态观测器的讨论中，我们用x ~表示被观测的状态向量。
在许多实际情况中，将被观测的状态向量用于状态反馈，以产生所期望的控制向量。
考虑如下线性定常系统Bu Ax x += (4.27) Cx y =(4.28)假设状态向量x 由如下动态方程)~(~~x C y K Bu x A x e -++=(4.29)中的状态x ~来近似，该式表示状态观测器。
注意到状态观测器的输入为y 和u ，输出为x ~。
状态观测器的设计
实验四 状态观测器的设计一、实验目的1． 了解和掌握状态观测器的基本特点。
2． 设计状态完全可观测器。
二、实验要求设计一个状态观测器。
三、实验设备1． 计算机1台2． MATLAB6.X 软件1套四、实验原理说明设系统的模型如式(3－1)示。
p m n R y R u R x D Cx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+=& (3－1)系统状态观测器包括全维观测器和降维观测器。
设计全维状态观测器的条件是系统状态完全能观。
全维状态观测器的方程为：Bu y K z C K A z z z ++-=)(& (3－2)五、实验步骤已知系数阵A 、B 、和C 阵分别如式(3－4)示,设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[-1 -2 -3]上⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=234100010A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=631B []001=C (3－4) 设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[-1 -2 -3]。
对系统式(3.4)所示系统，用MATLAB 编程求状态观测器的增益阵K z =[k1 k2 k3]T程序：%实验4A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];C=[1 0 0];D=[0];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); %求出原系统特征多相式denf=[-1 -2 -3]; %希望的极点的特征多相式k1=den(:,1)-denf(:,1)k2=den(:,2)-denf(:,2) %计算k2=d2-a2k3=den(:,3)-denf(:,3) %计算k3=d3-a3Kz=[k1 k2 k3]'运行结果：k1 =2k2 =4.0000k3 =6.0000Kz =2.00004.00006.0000。
线性系统理论论文 ——永磁同步电机的全维状态观测器设计
永磁同步电机的全维状态观测器设计在环境污染和能源危机日益严重的今天，节能减排是大势所趋，而永磁同步电机高启动转矩、高效率、高功率因数和低惯性的优点正好可以满足节能减排的需求，因而有关永磁同步电机的研究越来越多，同时稀土永磁材料和微电子技术的快速发展，也使得永磁同步电机的飞速发展成为现实，它的使用范围也逐渐扩展至交通运输，航空，军事和民用等重要领域。
不同的电机控制策略对应着不同的控制效果，所以采用何种控制策略来使永磁同步电机具有高效、高节能、高稳定性的性能就成为了学者们的研究热点。
目前常见的电机控制方式为矢量控制(FOC)和直接转矩控制(DTC)。
对于永磁同步电机 DTC 来说，理想状况下转矩在全速范围内应该是稳定不变的。
然而受时滞现象和不同速度区域内工作状态的影响，实际中电机转矩并不是稳定的。
因此如何减小转矩脉动、提高全速范围内转矩的稳定性能是永磁电机DTC 研究的重点。
本文拟用降维状态观测器构建基于状态观测器的永磁同步电机直接转矩控制系统，并验证其准确性。
1. 永磁同步电机的分类和结构特点永磁同步电机与其他电机一样都是由定子和转子组成，其中定子是三相对称的绕组并且通常接成 Y 型，转子为永磁体结构。
当定子绕组中通以三相正弦交流电时会产生均匀旋转的磁场，这个磁场和转子永磁体磁场相互作用就会产生一个转矩来推动转子不断地旋转。
目前转子上的永磁体有三种安放方式,每一种安放方式都对应各自的电机制造工艺、适用场所、运行性能、控制方法，因此根据永磁体的安放方式可将电机分为以下三类：图 1 三种电机的内部结构其中a为插入式，b为表面式，c为内置式图1(a)描述的是插入式永磁同步电机。
插入式永磁同步电机，即永磁体插入或部分插入转子中，故而它的结构要比表面式永磁电机稳定。
从电磁性能上来说，其属于凸极式永磁电机，转子磁路不对称，有磁阻转矩且其交、直轴电感不同。
由于其磁通密度大，所产生的转矩也较大，比较适合有高转速需求的场合。
(推荐)状态观测器设计
基于MATLAB 的状态观测器设计预备知识： 极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x & 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：Kx u input -=这时，闭环系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+-=Cxy Bu x )BK A (x & 2. 极点配置的MATLAB 函数在MATLAB 控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A ，B 为系统矩阵，P 为期望极点向量，K 为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec 为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P ；（3）利用MATLAB 极点配置设计函数求取系统反馈增益K ； （4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
全维状态观测器的设计
全维状态观测器的设计全维状态观测器（Full State Observer）是一种常用于控制系统中的重要部件，用于获取系统的全部状态信息。
它通常是通过对系统的输入输出进行观测，并通过数学模型来估算系统的状态。
全维状态观测器的设计可以通过以下步骤来完成。
第一步是系统建模。
将所要观测的系统建立数学模型，可以采用物理方程或者数学模型的方式。
常见的数学模型包括状态方程和输出方程。
状态方程描述了系统状态的时间演变规律，输出方程则描述了系统输出与状态之间的关系。
这些方程可以通过系统的运动方程，控制方程和物理特性等来建立。
第二步是选择观测器类型。
全维状态观测器有多种类型，包括基本观测器、极点配置观测器和最优观测器等。
基本观测器是使用系统的状态方程和输出方程来估算系统状态的观测器，而极点配置观测器和最优观测器则是通过最小化误差来估算系统状态，从而提高观测器的精度。
合适的观测器类型应该根据控制系统的需求来选择。
第三步是计算观测器矩阵。
观测器矩阵是观测器中用来计算系统状态的矩阵。
它可以使用系统的状态方程和输出方程来计算。
观测器矩阵需要满足一些性质，例如它需要是可观测的，并且需要保证系统状态与观测器状态的误差最小。
第五步是实现观测器。
实现观测器需要将观测器矩阵和观测器增益输入到观测器中，并对观测器的输入输出进行校验。
一旦观测器被设计并实现，它就可以用于控制系统中，并用来估算系统的全部状态信息。
总之，全维状态观测器的设计是控制系统中的重要部件，可以极大地提高控制系统的精度和稳定性。
设计一个好的全维状态观测器需要仔细分析系统模型和观测器类型，计算观测器矩阵和观测器增益，并进行实现和调试。
全维状态观测器的设计
卖验报告镌程 銭性*统理论基础 令敲可朗2016年g 刀互目 *业去飲 _______ 学号 _耐俎人 _________ 丈 检名 怂 全* 状 态 观 删 星 的 设计 评分 ______馳闻敎艸签丰 ___________一、卖軽可的1. 学习用状态观测森灰取糸统状态估计值的方出，了鮮全维状态观测森的 极点对状态的估计谖臭的彩响；2. 拿握全维状态观测森的设计方法；3. 拿提带有状态观测森的状态反馈糸统设计方出。
x = Ax + bu开环糸统彳,其中y = exa)用状态反馈配.更糸疣的诃环极点：一2土丿PJM —5 ；b) 设计全维状态观测爰.叽测乐的圾点为：一5±)2丿亍,一10； c) 研兗观测乐圾点住逍对仕计状态遍近彼仕计值的彩响；・01 0_OA =0 1 ,b =-6-11 61c = p 0 0]绘制糸统的输出阶跃响应曲线。
三.实脍环境MATLAB6.5宾唸々理图丿及歩螺利用状态及馈可以使诃环糸疣的圾盍配逍疫所希玺的住置上，其条件是必须对全部状态变量都能进行测量，仅A卖际糸统中.并不是所冇状态变量却能测量的，这就给状态反馈的卖现岌成了困难。
因此要设法利用己知的传息（綸出量y和綸入量x）＞通过一个栈空重新构逡糸统状态以对状态变量进行仕计。
该楼型就称为状态观测森。
若状态观测森的阶次与务统的阶次是相同的，这擇的状态观测容就称为全维状态观测森戎全阶观测怎。
设糸疣兜全可观.則可构凌如图4・1所承的状态观測余国4-1 全维状态观測容为求出状态观測爰的反馈ke增益，与极点紀.1.类很.也可有而种方法：为比一:构逡雯换矩阵Q,使糸统支成标准能观淫.然后根据持征方程求岀匕；•资料. ^方出二：是可采用Ackermann 公 < : k c = [O 0…0 if,其中0。
为可观性矩阵。
利用对偶虑理，可使沒计问題大为简化。
管丸构凌对偶糸统'^=A T^+ C T Vhg然后可由变换法或Ackermann小式求出极点紀.1.的反馈k增益，这也可由MATLAB的place和acker函散得刊；呆后求出状态观测乐的反馈增益。
状态反馈观测 设计
状态反馈观测设计状态反馈观测器是一种用于估计系统状态的控制器组件。
它通过测量系统的输出和输入，并使用状态方程对系统状态进行估计。
以下是一个详细精确的状态反馈观测器设计步骤：1. 确定系统的状态方程：首先，需要确定系统的状态方程，通常采用线性时不变系统表示。
状态方程可以表示为：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，u是系统的输入向量，y是系统的输出向量，A、B、C和D是系统的系数矩阵。
2. 设计状态反馈控制器：使用控制理论中的状态反馈控制器设计方法，根据系统的要求和性能指标，选择合适的状态反馈增益矩阵K。
状态反馈控制器的输出可以表示为：u = -Kx3. 设计状态观测器：状态观测器的目标是估计系统的状态向量x。
根据系统的输出和输入，可以使用以下观测器方程进行状态估计：x̂' = A x̂ + Bu + L(y - C x̂)其中，x̂是状态观测器的估计状态向量，L是观测器增益矩阵。
4. 确定观测器增益矩阵L：观测器增益矩阵L的选择可以使用线性二次调节器（LQR）设计方法，根据系统的要求和性能指标，通过求解代数矩阵方程来确定L。
5. 实施状态反馈观测器：将状态反馈控制器和状态观测器结合在一起，形成一个状态反馈观测器控制系统。
系统的输入通过状态反馈控制器计算得到，系统的输出通过状态观测器估计得到，从而实现对系统状态的估计和控制。
6. 优化观测器性能：根据实际应用需求，可以通过调整观测器增益矩阵L来优化观测器的性能，例如减小状态估计误差、提高状态估计的收敛速度等。
以上是一个详细精确的状态反馈观测器设计过程。
根据具体的系统和应用需求，可能需要进行一些额外的步骤或调整来优化控制系统的性能。
全维状态观测器及其设计方法 ppt课件
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全维状态观测器及其设计方法
显然,当 x(0) xˆ(0)时,则有 x(t) xˆ(t) , ✓ 即估计值与真实值完全相等.
➢ 但是,一般情况下是很难做到这一点的.这是因为:
1. 有些被控系统难以得到初始状态变量x(0),即不能保 证 x(0) xˆ(0);
2. 若矩阵A的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面 上(实部0),则矩阵指数函数eAt中包含有不随时间t趋 于无穷而趋于零的元素.
C
xˆ
图6-8 开环状态观测器的结构图
5
全维状态观测器及其设计方法
比较系统(A,B,C)和 ˆ (A, B,C)的状态变量,有
x (t) x ˆ(t) A x (t) x ˆ(t)
则状态估计误差 x xˆ 的解为
x x ˆA xx ˆ
x (t) x ˆ(t) e A tx (0 ) x ˆ(0 )
❖ 此时若 x(0) xˆ(0) 或出现对被控系统状态x(t)或 状态观测器状态 xˆ ( t ) 的扰动,则将导致状态估计 误差 x(t) xˆ(t) 将不趋于零而为趋于无穷或产生 等幅振荡.
7
构被控系统的状态变量:
xˆ Axˆ Bu
yˆ
C xˆ
其中 xˆ 为被控系统状态变量x(t)的估计值.
4
全维状态观测器及其设计方法
该状态估计系统称为开环状态观测器,
➢ 简记为 ˆ (A, B,C),
➢ 其结构如下图所示.
u
+
B
x' ∫
x C
y
+ A
+ B
xˆ
xˆ
∫
+
开环状态观测器
A
yˆ
y
观测器设计
3
§6.1 观测器的定义
图6.1
4
§6.1 观测器的定义
观测器的形式： 对于线性定常系统 (6.1.1) x 为 n 维状态变量，u 为 p 维输入变量，y 为 q 维 A 输出变量， , B, C 分别为 n × n, n × p, q × n 实常阵。 其观测器也是一个线性系统, 状态空间描述一般可表示为
§6.1 观测器的定义
状态反馈可改变系统的性能, 从而使之有很好的优越性。 实际中由于技术或经济上的原因, 系统的全部状态不能 够直接获取. 如何来解决状态反馈性能上的优越性和物理上的不可实 现性所形成的矛盾呢？ 途径之一就是通过重构系统的状态, 并且利用这个重构 状态代替系统的真实状态来实现所要求的状态反馈, 此 即状态重构问题, 也称观测器设计问题. 观测器设计问题不仅有理论意义, 而且有应用价值。
由状态反馈不改变系统的零点知, 闭环传函应为 s −1 GC ( s ) = ( s + 1)( s − 1)
23
§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性
s 2 − K 2 s − K1 = ( s + 1)( s − 1) = s 2 − 1
K 2 = 0, K1 = 1, K = [1 0]
0⎤ In ⎥ ⎦
则有
16
§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性
BK ⎡ A ⎤ T ⎢ ⎥T ⎣GC A − GC + BK ⎦ 0⎤⎡ A BK ⎡ In ⎤ ⎡ In =⎢ − I n I n ⎥ ⎢GC A − GC + BK ⎥ ⎢ I n ⎦⎣ ⎣ ⎦⎣
−1
0⎤ In ⎥ ⎦
n
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§6.2-2 基于全维状态观测器的输出动态反馈特性 系统(6.2.7)直接状态反馈 u = Kx + v 的闭环传递函数为 −1 (6.2.14) Gk ( s) = C ( sI n − A − BK ) B Gc ( s ) = Gk ( s ). 结论：全维状态观测器的引入, 并不改变原系统直接状态 反馈的闭环传递函数。 s −1 例1 设开环系统的传递函数Go ( s ) = 2 , 试作全维状态 s 观测器，并构造输出动态反馈，使观测器极点 −10 ± j , 1 . GC ( s ) = 闭环传函为 s +1
状态重构与状态观测器的设计_5.4_5.5
解 根据给定的受控系统， 根据给定的受控系统，求得能观测性矩阵及能控性矩阵的 秩为
C 1 1 0 rank CA = rank 1 2 1 = 3 2 CA 1 4 4
1 1 1 A2 B = rank 0 1 4 = 3 1 2 4
ˆ x = e ( A−GC )t x0 , x0 = x0 − x0 , t0 = 0
5.4 状态重构与状态观测器的设计
3. 全维状态观测器极点任意配置条件 定理5-4 可用图 所示的结构，设计全维状态观测 可用图5-6所示的结构 所示的结构， 定理
重构出系统所有的状态， 器，重构出系统所有的状态 ，并且观测器的极点可 以任意配置的充分必要条件是系统完全能观测。 以任意配置的充分必要条件是系统完全能观测。
5.4 状态重构与状态观测器的设计
4. 设计反馈矩阵 设计反馈矩阵G （1）按照极点配置的方法 ）
（2）极点选取：若是选得离虚轴愈远，状态误差趋 ）极点选取：若是选得离虚轴愈远， 于零的速度就愈快。 于零的速度就愈快。过于远离虚轴则状态观测器的 频带过宽，将降低状态观测器抗高频干扰的性能。 频带过宽，将降低状态观测器抗高频干扰的性能。
,上式变为： 上式变为： 上式变为
ɺ x = ( A − BK ) x +BKx +Bv
（4）同时 观测器的状态误差方程 ）同时,
ɺ x = ( A − GC )x
（5） 上两式= 0 ɺ
（6）特征方程 ）
λ I − A + BK
0
BK x B x + 0 v A- GC
状态观测器设计
状态观测器 （state observer ）背景：60年代初期，为了对控制系统实现状态反馈或其他需要，D.G.吕恩伯格、R.W.巴斯和J.E.贝特朗等人提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。
由龙伯格（Luenberger ）提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制律。
在噪声环境下下的状态观测涉及随机最优估计理论，即卡尔曼滤波技术。
状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。
定义：根据系统的外部变量(输入变量和输出变量)的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。
如果动态系统Σ^以Σ0的输入，输出y 作为其输入量，能产生一组输出X ^渐近于x ，即lim t→∞（x- x ^）=0，则称Σ^为Σ0的一个状态观测器。
构造状态观测器的的基本原则是:（1）观测器Σ^应以Σ0 的输入变量和输出变量为其输入变量。
（2）Σ0必须完全可观，或其不可观子系统是渐近稳定的。
（3）Σ^的输出变量x ^是原系统Σ0的状态变量x 的实时估计值，x ^与x 之间的偏差随时间的衰减应满足一定的快速性。
（4）Σ^在结构上应尽量简单，即具备尽可能低的维数，以便于物理实现。
结构：构成状态观测器的方法依需要的不同而有差别。
最简单的是开环状态观测器（图1）。
这种观测器实质上就是按被观测系统复制的一个模型，但其状态变量可以直接输出。
只要初始条件相同x ^ (0)＝x(0), x ^(t)就可作为被观测系统的状态x(t)的一个精确的估计。
但这个条件往往很难满足。
此外，这种开环观测器对外界干扰的抗干扰性和对参数变动的灵敏度都很差，它的输出x ^ (t)不能成为x(t)的一个良好估计。
因此开环状态观测器几乎没有实用价值。
采用闭环方式构成的状态观测器能克服开环状态观测器的缺点。
状态观测器设计
状态观测器设计利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。
然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。
此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。
状态观测器，是一个在物理上可以实现的动态系统，它利用待观测系统的可以量测得到的输入和输出信息来估计待观测系统的状态变量，以便用该组状态变量的估计值来代替待观测系统的真实状态变量进行状态反馈设计，实现闭环系统极点的再配置。
1. 全维状态观测器当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计，就需对全部状态变量进行观测。
这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。
考虑如下n阶单输出线性定常离散系统(1)其中，A为n×n维系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为n×1维输出矩阵。
系统结构图如图1所示。
图1 全维状态观测器构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统(2)当系统(1)与(2)的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。
但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。
为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。
由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。
引入了输出误差的状态观测器状态方程为(3)其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式定义状态估计误差为，用式(7.65)与(7.67)相减可得(4)即(5)通过式(5)可以看出，若选择合适的输出误差反馈矩阵H 使得状态估计误差系统(5)的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近原点状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。
可见，能否逼近x(k)以及逼近速度是由H阵决定的。
全维状态观测器的设计
实 验 报 告课程 线性系统理论基础 实验日期 2016年 6月 6 日 专业班级 姓名 学号 同组人 实验名称全维状态观测器的设计评分批阅教师签字一、实验目的1. 学习用状态观测器获取系统状态估计值的方法，了解全维状态观测器的极点对状态的估计误差的影响；2. 掌握全维状态观测器的设计方法；3. 掌握带有状态观测器的状态反馈系统设计方法。
二、实验内容开环系统⎩⎨⎧=+=cxy bu Ax x，其中[]0100001,0,10061161A b c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦a) 用状态反馈配置系统的闭环极点：5,322-±-j ； b) 设计全维状态观测器，观测器的极点为：10,325-±-j ； c) 研究观测器极点位置对估计状态逼近被估计值的影响； d) 求系统的传递函数（带观测器及不带观测器时）；绘制系统的输出阶跃响应曲线。
三、实验环境 MATLAB6.5四、实验原理（或程序框图）及步骤利用状态反馈可以使闭环系统的极点配置在所希望的位置上，其条件是必须对全部状态变量都能进行测量，但在实际系统中，并不是所有状态变量都能测量的，这就给状态反馈的实现造成了困难。
因此要设法利用已知的信息(输出量y 和输入量x)，通过一个模型重新构造系统状态以对状态变量进行估计。
该模型就称为状态观测器。
若状态观测器的阶次与系统的阶次是相同的，这样的状态观测器就称为全维状态观测器或全阶观测器。
设系统完全可观，则可构造如图4-1所示的状态观测器图4-1 全维状态观测器为求出状态观测器的反馈ke 增益，与极点配置类似，也可有两种方法： 方法一：构造变换矩阵Q ，使系统变成标准能观型，然后根据特征方程求出k e ；方法二：是可采用Ackermann 公式：[]Toe Q A k 1000)(1-Φ=，其中O Q 为可观性矩阵。
利用对偶原理，可使设计问题大为简化。
首先构造对偶系统⎩⎨⎧=+=ξηξξTT T b v c A 然后可由变换法或Ackermann 公式求出极点配置的反馈k 增益，这也可由MATLAB 的place 和acker 函数得到；最后求出状态观测器的反馈增益。
全维观测器
全维状态观测器
ˆ ˆ ˆ x Ax Bu L( y Cx)
或
（5.84）
ˆ ˆ x ( A LC) x Bu LCx
证明
~ ˆ 定义 x x x 为状态误差矢量，可导出状态误差方程：
x0 x0 ˆ xx x ˆ ( A LC ) x x x 0 0 ˆ ˆ ( Ao L1Co )( x0 x0 ) 垐 Ao ( x0 x0 ( A21 L2Co )( x0 x0 )
i ( A BK ) * , i 1,2,...,n i
的q×n状态反馈矩阵 K 。其中， () 表示所示矩阵的特征值。 Step3：取 L K T Step4：计算（A-LC)
Step5:所综合全维观测器为:
ˆ ˆ x ( A LC) x Bu Ly
~ x x ，即 lim x(t ) lim x(t )是不受我们控制的。 ˆ ˆ x t t
ˆ 引入 L( y y ) 反馈
u B + + ∫ x C y
∑
A
L + -
ˆ y
C
B
+ +
+
∫ A
ˆ x
4.4、全维观测器状态空间描述
引入反馈后的全维状态观测器，状态空间描述为： ˆ ˆ ˆ x ( A LC) x Ly Bu x(0) x , ˆ
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信控学院上机实验
实 验 报 告
课程 线代控制理论基础 实验日期 2020 年 5 月 10 日
专业班级 自动化1702班 姓名 WGX
学号 同组人
实验名称 实验四 全维状态观测器的设计 评分
批阅教师签字
一、 实验目的
1. 学习用状态观测器获取系统状态估计值的方法，了解全维状态观测器的 极点对状态的估计误差的影响；
2. 掌握全维状态观测器的设计方法；
3. 掌握带有状态观测器的状态反馈系统设计方法。
二、实验环境
1、计算机 120 台；
2、MATLAB6.X 软件 1 套。
三、实验内容
开环系统⎩
⎨⎧=+=cx y bu Ax x
&，其中
[]0100001,0,10061161A b c ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ a) 用状态反馈配置系统的闭环极点：5,322-±-j ； b) 设计全维状态观测器，观测器的极点为：10,325-±-j ； c) 研究观测器极点位置对估计状态逼近被估计值的影响； d) 求系统的传递函数（带观测器及不带观测器时）； e)
绘制系统的输出阶跃响应曲线。
四、程序源代码
具体程序见电子文档（实验四源代码）
五、实验步骤及结果分析
设系统完全可观测，可得到如图1.1所示的状态观测器：
图1.1 （a）:
运行结果如下：
K1 =
74 25 15
sysnew =
A =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -80 -36 -9
B =
u1
x1 0
x2 0
x3 1
C =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
>>
（b）:
运行结果如下：
L =
26
282
1770
Anew =
-26 1 0
-282 0 1
-1776 -11 6
>>
（c）:
答：观测器的极点距离虚轴越近，估计状态逼近被估计值的速度越快。
（d）:
运行结果如下：
①无观测器：
K1 =
74 25 15
Gb =
1
-----------------------
s^3 + 9 s^2 + 36 s + 80
Continuous-time transfer function.
>>a
图1.2
②有观测器：
An =
1 至 4 列
0 1 0 0
0 0 1 0
-6 -11 6 -74
26 0 0 -26
282 0 0 -282
1770 0 0 -1850
5 至
6 列
0 0
0 0
-25 -15
1 0
0 1
-36 -9
Bn =
1
1
Cn =
1 0 0 0 0 0
Go =
s^3 + 20 s^2 + 137 s + 370
--------------------------------------------------- s^6 + 29 s^5 + 353 s^4 + 2403 s^3 + 9862 s^2 + 2.428e04 s + 2.96e04
Continuous-time transfer function. >>
图1.3
（e ）: 分析可得：
σ%=10.8% tp=1.15s ts=1.63s 原系统框图：
图1.4
原系统阶跃响应：
图
1.5
Step
-6Gain2
-11Slider Gain1
6Slider Gain
Scope
1s Integrator2
1s Integrator1
1s Integrator
10
有观测器系统框图：
图1.6
六、思考题
根据实验内容，改用降阶观测器重新设计，试用 MATLAB 语言编制其程序，并求出其传递函数及系统的阶跃响应曲线。
Scope1：
图1.7
Scope2：
图1.8
Scope3：
图1.9
源代码：
(a）：
A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 6];
B=[0;0;1];
C=[1 0 0];D=0;
P1=[-2+2*sqrt(3)*i;-2-2*sqrt(3)*i;-5];
K1=place(A,B,P1)
sysnew=ss(A-B*K1,B,C,D)
（b）：
A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 6];
B=[0;0;1];
C=[1 0 0];D=0;
P2=[-5+2*sqrt(3)*i;-5-2*sqrt(3)*i;-10];
K2=acker(A',C',P2);L=K2'
Anew=A-L*C
（d）
①无观测器：
A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 6];
B=[0;0;1];
C=[1 0 0];D=0;
P1=[-2+2*sqrt(3)*i;-2-2*sqrt(3)*i;-5];
K1=place(A,B,P1)
sysnew=ss(A-B*K1,B,C,D);
[num,den]=ss2tf(A-B*K1,B,C,D);
Gb=tf(num,den)
step(Gb)
grid on;
title('无观测器的系统的阶跃响应曲线');
②有观测器：
源程序：
A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 6];
B=[0;0;1];
C=[1 0 0];D=0;
P1=[-2+2*sqrt(3)*i;-2-2*sqrt(3)*i;-5];
K1=place(A,B,P1);
sysnew=ss(A-B*K1,B,C,D);
P2=[-5+2*sqrt(3)*i;-5-2*sqrt(3)*i;-10];
K2=acker(A',C',P2);L=K2';
An=[A -B*K1;L*C A-B*K1-L*C]
Bn=[B;B]
Cn=[C 0 0 0]
Dn=0;
[num,den]=ss2tf(An,Bn,Cn,Dn);
Go=tf(num,den)
step(Go)
grid on;
title('有观测器的系统的阶跃响应曲线');。