高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下入学测试数学
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期第三次模拟考试
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期第三次模拟考试注意事项：1．本试卷共160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合A ＝{}1,1,3-，B ＝{}2,a a +，且B A ⊆，则实数a 的值是▲．答案:12．已知复数z 满足(2)5i z i -=（其中i 为虚数单位），则复数z 的模是▲． 答案:53．根据如图所示的流程图，若输入x 的值为 7.5，则输出y 的值为▲ . 答案: 14．若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方形玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m 、n ，则方程220x mx n ++=无实根的概率是▲．答案:7365．为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位:克）作为样本。
下图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是▲ 克. 答案:5076.已知正△ABC 的边长为1，73CP CA CB =+, 则CP AB ⋅=▲． 答案: 27.已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。
其中是平面α∥平面β的充分条件的为=▲．（填上所有符合要求的序号） 答案:①③8.若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩是奇函数，则满足()f x a >的x 的取值范围是▲．答案:(13,)--+∞9.在直角坐标系xOy 中，记不等式组30270260y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ．若指数函数x y a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是▲．答案:[3,)+∞10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O 的距离为42，则过F 、O 、P 三点的圆的方程是▲． 答案:221725()()222x y -+-=11．已知43sin()sin ,032ππααα++=--<<，则cos α=▲． 解答：3343sin coscos sinsin sin cos 3sin()332265πππαααααα++=+=+=-， 4sin()65πα+=-，又366πππα-<+<，所以3cos()65πα+=。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题期末数学试卷参考答案与试题解析
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos（π）=（）A．B．﹣1C．D．0考点：诱导公式的作用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由于π=1006×2π+π，直接由诱导公式化简即可得出正确选项解答：解：∵π=1006×2π+π∴cos（π）=cosπ=﹣1故选B点评：题考查利用诱导公式求值，解答的关键是熟练记忆诱导公式2．（5分）已知角a的终边经过点P（4，3），则sina+cosa的值是（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由三角函数的定义可求得sina与cosa，从而可得sina+cosa的值．解答：解：∵知角a的终边经过点P（4，3），∴sina==，cosa=，∴sina+cosa=．故选C．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．（5分）（•广东）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数考点：二倍角的余弦；余弦函数的奇偶性．分析：本题主要考查三角函数的最小正周期和奇偶性，也涉及到对简单三角变换能力的考查．见到三角函数平方形式，要用二倍角公式降幂，变为可以研究三角函数性质的形式y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵f（x）=，∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，故选D点评：研究三角函数的性质，一般需要先利用“降次”、“化一”等技巧进行三角变换．本题解答过程中，先活用倍角公式进行降次，然后化为一个三角函数进行研究，涉及到对三角函数的周期性、奇偶性的考查．考查知识与能力的综合性较强，需要我们具有扎实的基础知识，具备一定的代数变形能力4．（5分）化简=（）A．B．0C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义；零向量．专题：计算题．分析：根据向量加法的三角形法则，我们对几个向量进行运算后，即可得到答案．解答：解：∵．故选B点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，及零向量的定义，其中根据三角形法则对已知向量进行处理，是解答本题的关键．5．（5分）（•重庆）=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：看清本题的结构特点符合平方差公式，化简以后就可以看出是二倍角公式的逆用，最后结果为cos，用特殊角的三角函数得出结果．解答：解：原式==cos=，故选D点评：要深刻理解二倍角公式和两角和差的正弦和余弦公式，从形式和意义上来认识，对公式做到正用、逆用、变形用，本题就是逆用余弦的二倍角公式．6．（5分）（•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）A．12B．16C．20D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果解答：解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题7．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．8．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用等差及等比数列的性质求出tanA与tanB的值，再利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值，利用正切函数的性质得出A，B及C的范围，即可确定出三角形的形状．解解：根据题意得：tanA=2，tanB=3，答：∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=，则A，B及C都为锐角，即△ABC为锐角三角形．故选C点评：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及正切函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）（•海南）函数在区间的简图是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：作图题．分析：将x=π代入到函数解析式中求出函数值，可排除B，D，然后将x=代入到函数解析式中求出函数值，可排除C，进而可得答案．解答：解：，排除B、D，，排除C．故选A．点评：本题主要考查三角函数的图象．对于正弦、余弦函数的图象和性质要熟练掌握，这是高考的必考点．10．（5分）在△ABC中，点P在BC 上，且，点Q 为中点，若=（4，3），=（1，5），则=（）A．（ 2，7）B．（6，21）C．（2，﹣7）D．（﹣6，21）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=，设=（x，y），则==（，）．再由=（），把、的坐标代入可得（1，5）=（4+，3+），求得x、y的值，即可求得的坐标．解答：解：由于在△ABC中，点P在BC 上，且，∴=．设=（x，y），则==（，）．再由Q为中点，可得=（）．再由=（4，3），=（1，5），可得（1，5）=（4+，3+），即+2=1，+=5．解得 x=﹣6，y=21，故=（﹣6，21），故选D．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）已知a，b，c三个正数成等比数列，其中，，则b= 1．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由等比中项的概念列式求解b的值．解答：解：由a，b，c三个正数成等比数列，且，，则．故答案为1．点评：本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．12．（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是2；考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知2x+4y=．由此可知2x+4y的最小值是．解答：解：由题意知2x+4y=．∴2x+4y的最小值是2．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）在边长为的正三角形ABC中，设，则a•b+b•c+c•a=﹣3．考平面向量数量积的运算．点：专题：平面向量及应用．分析：错误：a•b+b•c+c•a，应该是由题意可得与的夹角等于，且||=||=，由此求得=﹣1，同理求得==﹣1，从而得到要求式子的值．解答：解：由题意可得与的夹角等于，且||=||=，故有==﹣1．同理求得==﹣1，故=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两个向量的夹角为，而不是，属于中档题．14．（5分）给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα=1②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ其中正确命题的序号是②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：对于①，利用二倍角的正弦公式变形，可得sinα•cosα的最大值为；对于②，利用诱导公式化简为y=﹣cosx，该函数是偶函数；对于③，把代入，看y能否取得最值，若能取得最值，命题正确，否则，命题不正确；对于④举反例加以说明．通过以上分析即可得到正确答案．解答：解：由，∴sinα•cosα的最大值为，∴命题①错误；由，而y=﹣cosx是偶函数，∴命题②正确；∵，∴是函数的一条对称轴方程，∴命题③正确；取，，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命题④错误．所以正确的命题是②③．故答案为②③．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的被角公式、诱导公式及三角函数的性质，考查了举反例法在判断命题真假中的应用，此题是基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）已知向量=（1，0），=（2，1）．（1）求|+3|；（2）当k为何实数时，k﹣与+3平行，平行时它们是同向还是反向？考点：平行向量与共线向量；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）先求出的坐标，再根据向量的模的定义求得|+3|的值．（2）求得 k﹣的坐标，再根据两个向量共线的性质设k﹣=λ（+3），则有（k﹣2，﹣1）=λ（7，3），即，由此求得k的值．解答：解：（1）由于=（1，0）+3（2，1）=（7，3），…..（2分）∴|+3|==．…..（4分）（2）由于k﹣=k（1，0）﹣（2，1）=（k﹣2，﹣1），…..（6分）设k﹣=λ（+3），则（k﹣2，﹣1）=λ（7，3），…．（8分）∴，…（10分）解得．…．（11分）故时，k﹣与+3反向或平行．…（12分）点评：本小题主要考查两个向量共线的性质，球向量的模，考查向量的坐标运算的能力等，属于基础题．16．（12分）在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画，刚进入大厅时，他在点A处看这幅壁画顶端点C的仰角为45°，往正前方走4m后，在点B 处看壁画顶端点C的仰角为75°（如图所示）．（1）求BC的长；（2）若小明身高为1.70m，求这幅壁画顶端点C离地面的高度．（精确到0.01m，其中≈1.732）．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）在△ABC中，由条件求得∠ACB=75°﹣45°=30°．由正弦定理得，将AB=4代入上式，求得BC的值．（2）在△CBD中，先求得，再利用两角和的正弦公式求得sin75°=，可得 DC=2+2，从而求得CE=CD+DE的值．解答：解：（1）在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠DBC=75°，∴∠ACB=75°﹣45°=30°…（2分）由正弦定理，得，…（4分）将AB=4代入上式，得（m…（6分）（2）在△CBD中，∵，∴…（8分）因为 sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=+=，…（9分）则 DC=2+2．…（10分）所以（m）…．（11分）答：BC的长为；壁画顶端点C离地面的高度为7.16m．…（12分）点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．17．（14分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=b1=1，b4=8，S10=55．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）求Sn与Tn．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，依题意可求得公差为d 与公比为q，从而可求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式与等比数列的求和公式即可求得Sn与Tn．解答：解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由S10=55，得 10a1+45d=55，…．（2分）又a1=1，所以10+45d=55，d=1…（3分）∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=n．…（5分）由b4=8，得b1•q3=8，…（6分）又b1=1，所以q3=8，q=2．…（8分）∴bn=b1•2n﹣1=2n﹣1…．（10分）（2）Sn===n2+n．…（12分）Tn===2n﹣1．…（14分）点评：本题分别考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式与等比数列的求和公式，属于中档题．18．（14分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在上的最值及取最值时x的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的周期．（2）根据函数f（x）的解析式为，由，求得x的范围，可得函数的增区间．（3）根据x的范围，以及正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．解答：解：（1）因为=…（1分）==，…（3分）所以f（x）的最小正周期．…..（4分）（2）因为，由，…（6分）得，…..（7分）所以f（x）的单调增区间是．…（8分）（3）因为，所以．…..…（9分）所以．…..…..…．（10分）所以．…..…（12分）当，即x=0时，f（x）取得最小值1．…..…（13分）当，即时，f（x）取得最大值4．…..…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19．（14分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）满足约束条件：．（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域（用阴影表示，并注明边界的交点）；（2）设，求u的取值范围；（3）已知两点M（2，1），O（0，0），求的最大值．考点：简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）先根据直线定出区域的边界，不等式确定区域，由约束条件画出可行域；（2），利用u的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（﹣4，﹣7）连线的斜率的最值，从而得到 u的取值范围．（3）先根据向量的数量积公式得出=2x+y，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y经过点A时，z取到最大值，从而得到答案即可．解答：解：（1）由得，∴A（4，1）…（1分）由得，∴B（﹣1，﹣6）…（2分）由得，∴C（﹣3，2）…（3分）画出可行域N，如右下图所示…（4分）（2）．…（5分）当直线DP与直线DB重合时，倾斜角最小且为锐角，此时；…（6分）当直线DP与直线DC重合时，倾斜角最大且为锐角，此时kDC=9；…..（7分）所以的取值范围为．…（8分）（3），…..（10分）设z=2x+y，则y=﹣2x+z，…..…（11分）z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，…（12分）当直线y=﹣2x+z经过点A时，z取到最大值，…（13分）这时z的最大值为zmax=2×4+1=9．…．（14分）点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．20．（14分）已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）设（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用数列递推式，变形可得（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1，由此可得结论；（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）要使cn+1＞cn恒成立，则恒成立，分类讨论，分离参数，可得结论．解答：（Ⅰ）证明：由已知，（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1（n≥2，n∈N*），即an+1﹣an=1（n≥2，n∈N*），且a2﹣a1=1．∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴an=n+1．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，设它的前n项和为Tn∴Tn=2×21+3×22+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n①∴2Tn=2×23+3×23+…+（n+1）×2n+1②①﹣②可得：﹣Tn=2×21+22+…+2n﹣（n+1）×2n+1=﹣n×2n+1∴Tn=n×2n+1；…（8分）（Ⅲ）解：∵an=n+1，∴，要使cn+1＞cn恒成立，则恒成立∴3•4n﹣3λ•（﹣1）n﹣12n+1＞0恒成立，∴（﹣1）n﹣1λ＜2n﹣1恒成立．（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n﹣1恒成立，当且仅当n=1时，2n﹣1有最小值为1，∴λ＜1．（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn．…（14分）点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三第二次模拟考试数学
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三第二次模拟考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值范围是。
2、已知i b iia-=+3，其中R b a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。
3、某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是。
4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下X1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 0.15 0.1 5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e7、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为。
8、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和。
若3173=S S ，则=76S S 。
9、已知函数)sin(ϕω+=x A y )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，则ω的值为。
10、在如图所示的流程图中，若输入n 的值为11，则输出A 的值为。
11、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器。
当cm x 6=时，该容器的容积为3cm 。
12、下列四个命题①“,R x ∈∃112≤+-x x ”的否定；②“若,062≥-+x x 则2>x ”的否命题；③在ABC ∆中，“”是30>A “21sin >A ”的充分不必要条件； ④“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(z k k ∈=πϕ”。
2023-2024学年广东省深圳中学高三下学期开学模拟数学试卷及答案
绝密★启用前深圳中学2023-2024年高三下学期开学模拟测试预测卷一数 学（新课标I 卷）试卷类型：A本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}2211120B x x x =-+<，则A B = （ ）A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}4,52．已知复数()i ,R z a b a b =+∈，若i =⋅z z ，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．1ab =3．函数()cos f x x =在[]π,π-上的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，b 为单位向量，且满足2a b b a +=- ，则向量b 在向量a方向的投影向量为（ ）A ．11,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．32,105⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭5．数列{}n a 满足2(1)21nn n a a n ++-=-，前12项和为158，则1a 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．已知某圆台的上底面半径为2，该圆台内切球的表面积为36π，则该圆台的体积为（ ）A ．133π2B ．169π4C ．69πD ．183π27．在椭圆22221x y a b +=（0a b >>）中，1F ，2F 分别是左，右焦点，P 为椭圆上一点（非顶点），I 为12PF F △内切圆圆心，若121213IF F PF F S S =△△，则椭圆的离心率e 为（ ）A ．13B ．12CD8．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=+-，()14f =且当0x >时，()2f x >，若存在[]1,2x ∈，使得()()2421f ax x f x -+=，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．15,28⎡⎤⎢⎣⎦C ．52,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．为了了解某校高三年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论正确的是（ ）．A ．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为26.25次B ．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5次C ．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校高三年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人10．设函数()πsin (0,0)6f x A x d A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭的最大值为1，最小值为-3，若()f x 的图象相邻的两条对称轴间的距离为2π，将()f x 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．2A ω==B ．()f x 在[]0,5π内恰有3个零点C ．()g x 的图象关于点4π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增11．在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()3,2,1D -，()2,2,1E x 在球F 的球面上，则（ ）A ．DE //平面ABCB ．球F 的表面积等于100πC ．点D 到平面ACE D ．平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值等于4512．函数()exf x -=，()|ln |g x x =，()2h x kx =-+，则下列说法正确的有（ ）A ．函数()()()F x f x h x =-至多有一个零点B ．设方程()()f x g x =的所有根的乘积为p ，则(0,1)p ∈C ．当0k =时，设方程()()g x h x =的所有根的乘积为q ，则1q =D ．当1k =时，设方程)(()f x h x =的最大根为M x ，方程()()g x h x =的最小根为m x ，则2M m x x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6232x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为.14．若数列{an }满足a 1=1，a 2n +1-a 2n -1=0，a 2n +2+a 2n =-2n ，则数列{an }的前61项和为 .15．已知椭圆2221(1)x y a a +=>，ABC 是以点(0,1)B 为直角顶点的等腰直角三角形，直角边,BA BC 与椭圆分别交于另外两点,A C ．若这样的ABC 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．16．已知关于x 的不等式2e 2ln 0x x x m -->在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，则实数m 的取值范围是 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题10分）如图，在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =，10BD =．(1)求cos ADB ∠；(2)若BCD △的面积为BC ．18．（本题12分）已知数列{}n a 是等差数列，且51a =，8102a a +=-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.711==，[][]1.522-=-=-．若[]2n a n b =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求[]11T ．19．（本题12分）如图1，已知四边形CDEF 为直角梯形，CF DE ∥，DE EF ⊥，22CF DE EF ==，M 为CF 的中点．将CDM V 沿DM 折起，使得点C 与点A 重合，如图2，且平面ADM ⊥平面DEFM ，,,,N Q H P 分别为,,,AF DM DE AE 的中点．(1)求证：平面//PQH 平面EMN ；(2)求二面角Q PH D --的余弦值．20．（本题12分）混凝土的抗压强度x 较容易测定，而抗剪强度y 不易测定，工程中希望建立一种能由x 推算y 的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()99,x y ．x 141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成对数据的抗压强度x 为横坐标，抗剪强度y 为纵坐标作出散点图，如图所示．(1)从上表中任选2个成对数据，求该样本量为2的样本相关系数r ．结合r 值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？(2)根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①y bx a =+$$$，② 17.8789ln 75.2844y x =-．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为()ˆˆˆi i ie y bx a =-+，()17.8789ln ˆ75.2844i i i u y x =--，1,2,,9i = ．（ⅰ）求91ˆi i e=∑；（ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为()92115.01ˆ77i i Q e===∑，()92212.50ˆ07i i Q u===∑，经验回归方程①的决定系数210.9693R =，求经验回归方程②的决定系数22R ．附：相关系数()()ni i x x y y r --=∑，决定系数()()221211ˆniii niii y yR y y ==-=--∑∑，2.50070.03070.015305.0177⨯≈．21．（本题12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，若E 上任意一点到两焦点的距离之和为4，且点⎛ ⎝在E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)在（1）的条件下，若点A ，B 在E 上，且14OA OB k k ⋅=-(O 为坐标原点)，分别延长AO ，BO 交E 于C ，D 两点，则四边形ABCD 的面积是否为定值？若为定值，求四边形ABCD 的面积，若不为定值，请说明理由.22．（本题12分）已知函数()()e 1ln xx f x a x a =+--．（e 为自然对数的底数）(1)当1a =时，证明()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()02f x >；(2)若函数()f x 存在两个零点，记较小的零点为1x ，s 是关于x 的方程()1ln 1cos 2x x ax +-=-的根，证明：1s x >．绝密★启用前深圳中学2023-2024年高三下学期开学模拟测试预测卷一数 学（新课标I 卷）答案解析试卷类型：A本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二学期统一练习二数学文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二学期统一练习（二）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
（1）sin6000等于（A ）12 （B ）12- （C D ）-（2）已知数列{}n a 是等差数列，且394a a +=，那么数列{}n a 的前11项和等于（A ）22 （B ）24 （C ）44（D ）48（3）将函数()sin f x x =图象所有的点向右移动3π个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为 （A ）1sin()23y x =-π（B ）1sin()26y x =-π（C ）sin(2)3yx =-π（D ）sin(2)6y x =-π（4）已知0.20.50.50.3,log 0.8,log 3ab c -===，那么,,a b c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）a c b <<（5）圆C ：（x+1）2+(y3)2=9上有两点P,Q 关于直线x+my+4=0对称，则m 等于（A ）53-（B ）53（C ）1（D ）1 （6）已知实数0a ≠，函数22,1,(), 1.x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范围是 （A ）[2,1](0,)--+∞（B ）[2，1]（C ）(,0)-∞（D ）(0,)+∞（7）设m,n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 （A ）m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥β（B ）α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ⇒n ⊥β （C ）α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n （D ）α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n（8）设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“Ω函数”. 给出下列四个函数：①y x =sin ；②2x y =；③11y x =-；④()ln f x x =, 则其中“Ω函数”共有 （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下学期数学第一次月考试卷理科数学
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下学期数学第一次月考试卷（理科）数学（总分150分，时间：120分钟）（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卷”上）一、选择题(本题10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
) 1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 2.数列{}n a 中, 12=a ,1221=-+n n a a ,则=10a ( )A ．4.5B ． 5C ．5.5D ．6 3.下列判断错误的是( )A ．“22bm am <”是“a<b”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ” C ．若q p Λ为假命题,则p,q 均为假命题 D ．若ξ～B （4，0.25）则1=ξE4．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l βγ=，//l α，m α⊂，m γ⊥，则必有( )A ．αγ⊥且//m β B ．αγ⊥且l m ⊥C ．//m β且l m ⊥ D ．//αβ且αγ⊥5．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是( )A ．16B ．24C ．36D ．486．若函数1)sin(2)(-+=ϕωx x f 的图象与直线3-=y 的相邻的两个交点之间的距离为π，则ω的一个可能取值为（ ）A ．3B ．1C ．21D ．2764，则展开式中的常数项等于( )A ．135B ．270C ．540D ．10808.已知离心率为e 的双曲线22217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为( )A ．34BC ．43D9．已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9[,3)4 B.9(,3)4C. (2,3)D. (1,3)10．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( )A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次综合练习数学学科测试理工类
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}{|230A x x =∈-R ≥，集合}{2|320B x x x =∈-+<R ，则AB =（ ）．A ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩≥B ．3|22x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩≤C ．}{|12x x <<D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩解析：}{}{}{23|230=|x ,|320|1<x 22A x x x B x x x x ⎧⎫=∈-∈=∈-+<=∈<⎨⎬⎭⎩R R R R ≥≥考点：集合与常用逻辑用语集合的运算难度系数：3 答案：B2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ）．A ．33log log a b <B ．11()()44a b >C ．11a b< D ．22a b <解析：A 以3为底，函数单调递增，错误；B 单调递减，错误；C 正确。
考点：函数与导数基本初等函数与应用对数与对数函数 难度系数：3 答案：C3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）．A ．}{1,2,3,4,5B ．}{1,2,3,4,5,6C ．}{2,3,4,5D ．}{2,3,4,5,6 解析：先验证a=1，不成立；a=6时，不成立；所以答案C. 考点：算数与框图算法和程序框图 难度系数：3 答案：C4．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（ ）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π3解析：,243124T T ππππϖ=-=∴==，把(,0)3π带入解析式，2sin(2)0,333k k Z πππϕϕπϕ⨯+=∴=-∈∴=,答案D 。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三联考数学试题
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三联考数学试题数学 试 题I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.若复数z 满足(2)z z i =-（i 是虚数单位），则z =. 【解析】设z=a+bi ，由()a+bi=2-a-bi i 得a=b=1z=1i ∴+.2.已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B =.【解析】{}{}{}{}1,22,41,2,4 ()3,5U A B A B A B =∴=∴=∴=3.在圆22x +y =4所围成的区域内随机取一个点P(x,y)，则 x +y 2≤的概率为.【解析】 x +y 2≤表示的图形是正方形及其内部，用正方形的面积除以圆22x +y =4的面积易得概率为2π4.已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈，则tan()4πα+=.【解析】4cos 5α=-且(,)2παπ∈，tan +tan3414sin =tan =-tan()53471-tan .tan 4παπαααπα∴∴∴+== 5.已知定义域为R 的函数121()2xx f x a+-+=+是奇函数，则a =. 【解析】由()()11f f -=-，易得2a =6.已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点， 点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线 的离心率为.【解析】设点P (),x y ，由2AP AB =得()22,,2a x y b b c ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，22,2a P b c ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭把P 点坐标带入到22221x y a b-=中，整理得222e e =∴=7.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是. 【解析】3915+297=7500s =+++……8.若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是.【解析】当k>0时，()lg 2lg 1kx x =+()lg 2lg 10kx x ∴-+=即()21kx x =+在()0,+∞仅有一个解()2210x k x ∴--+=在()0,+∞仅有一个解，令()()221f x x k x =∴--+，()00f >00k ∴=∴=或4，0k =时无意义，舍去4k ∴= 当0k <时，函数定义域是()1,0-函数y kx =是一个递减过()1,k --与()0,0的线段，函数()21y x =+在()1,0-递增且过两点()1,0-与()0,1，此时两曲线段恒有一个交点，故0k <符合题意故答案为：4k =或0k <．9.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝.【解析】4AB AC ⋅=，样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图同理22224a c b +-=216c ∴=，4c ∴=10.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量 为1600, 则（即第五组）的频数为.【解析】设前五个长方形面积的公差为d ，由9个长方形的面积为1，可得0.8216d = 中间一组的频数为()16000.024360d ⨯+=.11.已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为.【解析】22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的几何意义为(),a a 到()2cos ,522sin θθ+距离的平方。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题复习 排列、组合、二项式定理测试卷
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题复习 排列、组合、二项式定理测试卷一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分） 1、若（xx 13+）n 展开式中的第五项为常数项，则展开式中系数最大的项是第（ ）项。
Ａ．10或11 Ｂ．９ Ｃ．８ Ｄ．８或９2、四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有（）A ． 30种B ．33种C ．36种D ．39种3、数列a1，a2，a3，…，a7，其中恰有5个1和2个2，在此条件下，互不相同的数列一共有 （ ）A ．21个B ．25个C ．32个D ．42个4、（理科）在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于 （ ）A ．0B ．pqC ．22p q +D ．22p q -（文科）由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( ) A ．51项 B ．17项 C ．16项 D ．15项5、某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆，现在要从这7个车队中抽出10辆车组成一个新运输队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法共有 （ ）A ．301种B ．120种C ．63种D ．84种6、现从8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学分别有 ( ) A ． 男生5人，女生3人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生6人，女生2人 D ．男生2人，女生6人7、（理科）25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意3人不同行也不同列，则不同的选出方法种数为 ( )A ．600B ．300C ．100D ．60（文科）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则则不同的选择方案( )A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种8、某班级英语兴趣小组有5名男生和5名女生，现要从中选4名学生参加英语演讲比赛，要求男生、女生都有，则不同的选法有 ( ) A ．210种 B ．200种 C ．120种 D ．100种9、若4)32(+x =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2(a1+ a3)2的值为（ ）A ． 1B ． 1C ． 0D ． 210、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，从最初位置爬到6号蜂房共有 （ ） 种不同的爬法。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二学期综合练习一高三数学理科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二学期综合练习（一）高三数学（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合UA 为（A ）{3}（B ）{3,4}（C ）{1,2}（D ）{2,3}（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2（B ）2（C ）2（D ）2（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（A ）316（B ）14（C ）34（D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130（B ）120（C ）55（D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A B （C ）2（D 1 （7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos nn k θ=，则y x -等于（A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n ---（B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- （C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n ---（D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题试卷
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．7．（5分）现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f （x）＞x 的解集用区间表示为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．14．（5分）在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D．[选修45：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．26．（10分）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π【点评】本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．【点评】本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差=4．=2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．【点评】本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题．7．（5分）现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题．8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题．9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，]．【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求．【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1．令z=x+2y，则．画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，zmin=﹣2．过点（）时，．故答案为．【点评】本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题．10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．【分析】根据“d2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率．【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．【分析】设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．【点评】本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．14．（5分）在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为12．【分析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为an==2n﹣6．记Tn=a1+a2+…+an==，Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得Tn＞Sn，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12【点评】本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【分析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为 v m/min，从而求出v的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．19．（16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn，在前n项和公式中取n=nk可证结论；（2）把Sn代入中整理得到bn=，由等差数列的通项公式是an=An+B的形式，说明，由此可得到c=0．【解答】证明：（1）若c=0，则an=a1+（n﹣1）d，，．当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：，，．故：（k，n∈N*）．（2）==．①若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0．经检验，当c=0时{bn}是等差数列．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x）=ex﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．故a的取值范围为：a＞e．（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=ex﹣a＞0，解得a＜ex，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜．结合上述两种情况，有．①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f（x）在[ea，1]上的图象不间断，所以f（x）在（ea，1）上存在零点．另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f （x）只有一个零点．③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=．当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1．（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点．另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点．下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0．为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2．设h（x）=ex﹣x2，则h′（x）=ex﹣2x，再设l （x）=h′（x）=ex﹣2x，则l′（x）=ex﹣2．当x＞1时，l′（x）=ex﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=ex﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=ex﹣x2＞h（e）=ee﹣e2＞0，即当x＞e时，ex＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点．又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点．综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2．【点评】此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．【解答】证明：连接OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD．所以AC=2AD．【点评】本题考查圆的切线，考查三角形相似的判定与性质，比较基础．B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．【点评】本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题．C．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．【点评】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查了转化能力，属于基础题．D．[选修45：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可．【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．【点评】本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查逻辑推理能力．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．26．（10分）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．【分析】（1）由数列{an}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合Pl，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：（1）由数列{an}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，Si（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即Sm（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=Sm（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得Si（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=Si（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知Si（2i+1）是2i+1的倍数，而ai（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以Si（2i+1）+j=Si（2i+1）+j（2i+1）是ai（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合Pl中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合Pl中元素的个数为i2+j．又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．【点评】本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力，以及运用数学归纳法的推理论证能力，有一定的难度．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下入学测试数学
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下入学测试数学一 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.复数ii+-11的值是______________. 2.已知向量(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b ⊥，则x =____________3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .4设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5()24n n S n N T n *=∈+， 则23a b =______ ______． 5.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图, 甲、乙两名运动员的得分的平均数分别为,x x 乙甲则x x +乙甲= . 甲乙0 8 50 1 247 32 2 199 75 3 36944 4 1 5 16.设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______. 7.在R 上定义运算⊗：()(1)1.x y x y ⊗=--若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围为______________．8.如果执行右面的流程图，那么输出的S =______． 9.奇函数()()f x x R ∈满足：()30f -=，且在区间[]0,2与[)2,+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为______________．10.若a 为正整数，2()(2)1f x ax a x =-++在[0,1]上的最小值为1-，则a = ． 11.已知命题P ：“对x ∀∈R ，∃m ∈R ，使22cos sin 20x x m -+=”，若命题P ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是 ．12.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的实数x 的取值范围是___________________．13. 已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.14. 已知椭圆 22122:1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则2b =__________________.二 解答题（本大题共6小题，共90分） 15. (本小题满分14分)设三角形ABC 的内角,,,A B C 的对边分别为,,,a bc 4,a c ==sin 4sin A B =． （1）求b 边的长； （2）求角C 的大小. （3）如果4cos()(0)52x C x π+=-<<,求sin x .16．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT ．17．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .B AEDC18．(本小题满分16分)如图，在ABC ∆中，7||||,||22AB AC BC ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点1A 作直线l 与圆22:(1)2E x y -+= 相交于M 、N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.19．(本小题满分16分)设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数. (1)当43a =时，求()f x 的极值点； (2)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.20. （本小题满分16分）某企业拟建造如图所示的容器yP AB CO x（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．数 学 （一）答案一填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.i - 2.8 3.12 4.5145.586.37.(1,1)-8.7209.(3,0)(0,3)- 10.1或211.[11---12.(,1(1,)-∞-⋃+∞13.14 12二解答题（本大题共6小题，共90分） 15解：（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B = 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分（2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= ……………………9分 (3)由已知得3sin(),sin [()]5x C x x C C +==+-=分 16．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-． 即()22311112a q a q a q a q-=-，又.01≠⋅q a ∴()()21221q q qq q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q ∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}nb 前n 项和()13.2n n n S -= ∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-=当8≥n 时，0n b >，2127897(13)138424222n n n n n n n T b b b b b b S S --+=----++++=-=+=∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分17．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、． ∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =． BAEDCFG∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分 （2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥． ∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=， ∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分 18解（1）∵7||||,||22AB AC BC ===∴||||1,BO OC ==||OA ===∴(1,0),(1,0),(0,2B C A -∴1(,24P 依椭圆的定义有：2||||a PB PC =+=97444=+= ∴2a =， 又1c =，∴2223b a c =-=∴椭圆的标准方程为22143x y +=……………………………………………7分（求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分.）椭圆的右顶点1(2,0)A ，圆E 圆心为(1,0)E ，半径r =假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，则90MEN ︒∠=，圆心(1,0)E 到直线l 的距离12d r == 当直线l 斜率不存在时，l 的方程为2x =， 此时圆心(1,0)E 到直线l 的距离1d =（符合）当直线l 斜率存在时，设l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=， ∴圆心(1,0)E 到直线l 的距离1d ==，无解综上：点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时l 方程为2x =…16分19解：(Ⅰ)当43a =时，2()413xe f x x =+∴()2'22483()4313x e x x f x x -+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭令'()0f x =得1213,x x ==∴()f x 的极大值点是2；极小值点是2(Ⅱ) ()()2'2221()1x e ax ax f x ax -+=+∵()f x 为R 上的单调函数，且a 为正实数 ∴()2240aa --≤即01a <≤20解：（1）由题意可知23480()33r l r l r πππ+=≥2，即2804233lr r r =-≥，则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346()433y rl r c r r r c rππππ=⨯+⨯=-+，即2216084y r r c rπππ=-+，定义域为{02}r r <≤.……………8分 （2）2160168y r rc r πππ'=--+，令0y '=，得r = 令2,r ==即 4.5c =， （1）当3 4.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，此时当r=y有最小值. ……………16分高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴.由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1.【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三第二次模拟考试数学001
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三第二次模拟考试数学一、填空题（每题5分，共70分）1、 已知复数Z1＝3－4i ，Z2＝4＋bi （b ∈R ，i 为虚数单位），若复数Z1*Z2是纯虚数，则b 的值为＿＿＿＿。
2、 已知全集U ＝R ，Z 是整数集，集合A ＝｛x ︱x2x6≥0,x ∈R ｝,则Z∩C ∪A 中元素的个数为＿＿＿＿。
3、 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是＿＿＿＿。
（第3题）4、 某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重（单位㎏）。
所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示。
若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则体重小于60㎏的高三男生人数为_______。
（第4题）5、 已知向量a,b 的夹角为120°，且︱a ︱=3,︱a ︱=1,则︱a2b ︱=________.6、 下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是_________。
（第6题）7、 若抛物线y2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________。
8、 若直线y=kx3与y=2lnx 曲线相切，则实数K=_________。
9、 已知函数f(x)=2sin(ωx+Ψ)(ω>0)，若f(3π)=0, f(2π)=2, 则实数ω的最小值为______。
10、 已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2*a4=4, a1+a2+a3=14, 则满足an+an+1+an+2>91的最大正整数n 的值为________。
11、 已知集合P=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0y 06y 3403y 4x 3|),(x y x ，Q={(x,y)|(xa)2+(yb)2≤r2(r>0), 若“点M ∈P”是“点M ∈Q”的必要条件，则当r 最大时ab 的值是_______。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下入学测试数学
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下入学测试数学一 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.复数ii+-11的值是______________. 2.已知向量(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b ⊥，则x =____________3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .4设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5()24n n S n N T n *=∈+， 则23a b =______ ______． 5.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图, 甲、乙两名运动员的得分的平均数分别为,x x 乙甲则x x +乙甲= . 甲乙0 8 50 1 247 32 2 199 75 3 36944 4 1 5 16.设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______. 7.在R 上定义运算⊗：()(1)1.x y x y ⊗=--若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围为______________．8.如果执行右面的流程图，那么输出的S =______． 9.奇函数()()f x x R ∈满足：()30f -=，且在区间[]0,2与[)2,+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为______________．10.若a 为正整数，2()(2)1f x ax a x =-++在[0,1]上的最小值为1-，则a = ．11.已知命题P ：“对x ∀∈R ，∃m ∈R ，使22cos sin 20x x m -+=”，若命题P ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是 ．12.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的实数x 的取值范围是___________________．13. 已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.14. 已知椭圆 22122:1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则2b =__________________.二 解答题（本大题共6小题，共90分）15. (本小题满分14分)设三角形ABC 的内角,,,A B C 的对边分别为,,,a bc 4,a c ==sin 4sin A B =． （1）求b 边的长； （2）求角C 的大小. （3）如果4cos()(0)52x C x π+=-<<,求sin x . 16．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT ．17．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE . 18．(本小题满分16分)如图，在ABC ∆中，7||||,||22AB AC BC ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点1A 作直线l 与圆22:(1)2E x y -+= 相交于M 、N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l 的方程；若不B A ED CF能，请说明理由.19．(本小题满分16分)设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数. (1)当43a =时，求()f x 的极值点； (2)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 20. （本小题满分16分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．数 学 （一）答案一填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.i - 2.8 3.12 4.5145.586.37.(1,1)-8.7209.(3,0)(0,3)- 10.1或211.[12,12]---+ 12.(,12)(1,)-∞--⋃+∞ 13.15314 12二解答题（本大题共6小题，共90分） 15解：（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B = 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分（2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= ……………………9分 (3)由已知得3343sin(),sin [()]5x C x x C C -+==+-=…………………………14分 16．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-． 即()22311112a q a q a q a q-=-，又.01≠⋅q a ∴()()21221q q qq q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q y PA BCOx∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}n b 前n 项和()13.2nn n S -= ∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-=当8≥n 时，0n b >，∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分17．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =．∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分 （2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥． ∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=， ∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分 18解（1）∵7||||,||22AB AC BC ===∴||||1,BO OC ==∴(1,0),(1,0),B C A -∴1(2P 依椭圆的定义有：2||||a PB PC =+=97444=+= ∴2a =， 又1c =，∴2223b a c =-=∴椭圆的标准方程为22143x y +=……………………………………………7分BAEDCFG（求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即可求出椭圆方程， 也可以给满分.）椭圆的右顶点1(2,0)A ，圆E 圆心为(1,0)E，半径r =假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧， 则90MEN ︒∠=，圆心(1,0)E 到直线l的距离1d == 当直线l 斜率不存在时，l 的方程为2x =， 此时圆心(1,0)E 到直线l 的距离1d =（符合）当直线l 斜率存在时，设l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=， ∴圆心(1,0)E 到直线l的距离1d ==，无解综上：点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时l 方程为2x =…16分19解：(Ⅰ)当43a =时，2()413xe f x x =+∴()2'22483()4313x e x x f x x -+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭令'()0f x =得1213,x x ==∴()f x 的极大值点是2；极小值点是2(Ⅱ) ()()2'2221()1x e ax ax f x ax -+=+∵()f x 为R 上的单调函数，且a 为正实数 ∴()2240a a --≤即01a <≤20解：（1）由题意可知23480()33r l r l r πππ+=≥2，即2804233l r r r =-≥，则02r <≤.容器的建造费用为2228042346()433y rl r c r r r c r ππππ=⨯+⨯=-+， 即2216084y r r c rπππ=-+，定义域为{02}r r <≤.……………8分（2）2160168y r rc r πππ'=--+，令0y '=，得r =令2,r ==即 4.5c =，（1）当3 4.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，此时当r =时y有最小值. ……………16分高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学模拟试卷
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为.2.（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为.3.（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为.4.（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为.5.（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.6.（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为.7.（5分）不等式2＜4的解集为.8.（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为.9.（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为.10.（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.11.（5分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.13.（5分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为.14.（5分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak•ak+1）的值为.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°.（1）求BC的长；（2）求sin2C的值.16.（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1.17.（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.18.（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.19.（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）.（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值.20.（16分）设a1，a2，a3.a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列.（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括2124题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.【选修44：坐标系与参数方程】23.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径.[选修45：不等式选讲】24.解不等式x+|2x+3|≥2.【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.26.（10分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a 整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数.（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明.高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 .【分析】直接求解数据的平均数即可.【解答】解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6.故答案为：6.【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.2.（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 .【分析】求出A∪B，再明确元素个数【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题3.（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为.【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.【解答】解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=.故答案为：.【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力.4.（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 7 .【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I ＜8，退出循环，输出S的值为7.【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7.故答案为：7.【点评】本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5.（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可.【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：.【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目.6.（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 .【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可.【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3.故答案为：﹣3.【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力.7.（5分）不等式2＜4的解集为（﹣1，2） .【分析】利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可.【解答】解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大.8.（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 .【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可.【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3.故答案为：3.【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.9.（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为.【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r.【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：. 设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：.∴，解得：.故答案为：.【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题.10.（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 .【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程.【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2.故答案为：（x﹣1）2+y2=2.【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础.11.（5分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为.【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=.再利用“裂项求和”即可得出.【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=.当n=1时，上式也成立，∴an=.∴=2.∴数列{}的前n项的和Sn===.∴数列{}的前10项的和为.故答案为：.【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.【分析】双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离.【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.13.（5分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 .【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论.【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1.g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4.故答案为：4.【点评】本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.14.（5分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak•ak+1）的值为.【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.【解答】解：=+=++++=++=++，∴（ak•ak+1）=+++++++…+ ++++++…+=+0+0=.故答案为：9.【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°.（1）求BC的长；（2）求sin2C的值.【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可.【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=.（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角.sinC＞0，cosC＞0则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键.16.（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1.【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）【方法一】先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1.【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直.【解答】证明：（1）如图所示，由据题意得，E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）【方法一】因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1，以C1为原点建立空间直角座标系，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，如图所示；设BC=CC1=a，AC=b，则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0）；∴=（﹣b，a，﹣a），=（0，﹣a，﹣a），∴•=﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）=0，∴⊥，即AB1⊥BC1.【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题.17.（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【分析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度.【解答】解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g （t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键.18.（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c 的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.【解答】解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题.19.（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）.（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值.【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f （x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0.设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值.【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣.a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0.设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1.【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大.20.（16分）设a1，a2，a3.a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列.（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由.【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立.【解答】解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列.（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列. 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括2124题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.【分析】直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似. 【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB.【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.【分析】利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论. 【解答】解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1.【点评】本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题.【选修44：坐标系与参数方程】23.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径.【分析】先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径.【解答】解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=.【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修45：不等式选讲】24.解不等式x+|2x+3|≥2.【分析】思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解.【解答】解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≤﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}.解法2：令|2x+3|=0，得x=.①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5.综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}.【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f （x）≤g（x）.可简记为：大于号取两边，小于号取中间.使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集.【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz.（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论.【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又∵BP==，∴BQ=BP=.【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.26.（10分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a 整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数.（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明.【分析】（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论.【解答】解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=.下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立.综上所述，结论f（n）=n+[]+[]+2，对满足n≥6的自然数n均成立.【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键.高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考试卷新高考专用数学(全解全析)
2024届高三下学期开学摸底考全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是（）A ．250x y -+=B ．230x y +-=C ．240x y -+=D ．20x y +=【答案】C【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线230x y ++=的斜率为12-，故所求直线的斜率为2，所以，过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是()221y x -=+，即240x y -+=.故选：C.2．一组数据按从小到大排列为1,4,4,4,,7,8x ，若该组数据的第60百分位数是众数的74倍，则这组数据的平均数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.【详解】由题意该组数据共7个数，70.6 4.2⨯=,故第60百分位数为从小到大第5个数x ，又众数为4，故7474x =⨯=，故该组数据的平均数为14372857+⨯+⨯+＝，故选：B3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1020SS =（）A ．37B ．310C ．311D ．314【答案】B【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设()50S t t =≠，求得10203,10S t S t ==，即可得结果.【详解】由等差数列片段和性质知：510515102015,,,,S S S S S S S --- 是等差数列.由51013S S =，可设()50S t t =≠，则103S t =，于是510515102015,,,,S S S S S S S --- 依次为,2,3,4,t t t t ，所以2023410S t t t t t =+++=，所以1020310S S =.故选：B4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高1h 为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为2h ，下列选项描述正确的是（）A ．2h 的值等于1B ．()21,2h ∈C ．2h 的值等于2D ．()22,3h ∈【答案】D【分析】设圆锥形容器的底面积为S ，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为49S ，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于2h 的方程，解之即可求解.【详解】设圆锥形容器的底面积为S ，未倒置前液面的面积为1S ，则2114()9S h h S h -==，所以149S S =，则水的体积为114193233927S S S ⨯-⨯⨯=；设倒置后液面面积为2S ，则222222222,9S h Sh Sh S S h h ⎛⎫=∴==⎪⎝⎭，则水的体积为322211932727Sh S h S ==，解得2 2.67h =≈.故选：D.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()()222:0,3,0C x a y a a a A -+-=>-，若圆C 上存在点P ，使得2PA PO =，则正数a 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,2C ．2⎤⎦D ．1,3⎡+⎣【答案】D【分析】设(,)P x y ，根据条件得到22(1)4x y -+=，从而将问题转化成22(1)4x y -+=与圆C 有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.【详解】设(,)P x y ，则由2PA PO =整理得到22(1)4x y -+=，又点在圆C 上，所以22(1)4x y -+=与圆C 有交点，又22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =，圆C 的圆心为(,)a a ，半径为R a =，所以22a a -≤+，解得13a ≤≤+故选：D.6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【答案】D【详解】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,3⎡⎤⎢⎣⎦C ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭进行最值分析，对区间2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上进行单调分析；【详解】当π03x <<时，因为0ω>，则ππππ6636x ωω-<-<-，因为函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则πππ362ω->，解得2ω>，当2ππ3x <<时，2πππππ3666x ωωω-<-<-，因为函数()f x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则()2πππππ,ππ,π36622k k k ωω⎛⎫⎛⎫--⊆-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，所以2ππππ,362ππππ,62k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩其中k ∈Z ，解得()312223k k k ω-≤≤+∈Z ，所以312223k k -≤+，解得73k ≤，又因为0ω>，则{}0,1,2k ∈．当0k =时，203ω<≤；当1k =时，513ω≤≤；当2k =时，5823ω≤≤．又因为ω>2，因此ω的取值范围是58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.8．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12133PF PF λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，12π2F PF ∠=，则椭圆离心率的取值范围为（）A ．2523⎢⎣⎦B ．15,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21024⎢⎣⎦D ．15,28⎡⎤⎢⎣⎦【答案】C【分析】设2PF t =，由椭圆定义和勾股定理得到()22211e λλ+=+，换元后得到()22211112221m λλ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+，根据二次函数单调性求出21528e ≤≤，得到离心率的取值范围.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，可设2PF t =，可得1PF t λ=，即有()12t a λ+=，①由12π2F PF ∠=，可得222124PF PF c +=，即为()22214t c λ+=，②由2÷②①，可得()22211e λλ+=+，令1m λ=+，可得1m λ=-，即有()222221221112221m m m m λλ+-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭+，由133λ≤≤，可得443m ≤≤，即11344m ≤≤，则2m =时，取得最小值12；43m =或4时，取得最大值58.即有21528e ≤≤，得21024e ≤≤.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②根据条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设z ，1z ，2z 是复数，则下列命题中正确的是（）A ．若1z =，则1z z ⋅=B ．若2z =，则4z z ⋅=C ．若122i z z =，则122z z =D ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=【答案】BC【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.【详解】若1z =，设i z a b =+，所以221a b +=，则()222i 2i z z a b a ab b ⋅=+=+-不一定为1，故A 错误；若2z =，设i z a b =+，所以224a b +=，则()()22i i 4z z a b a b a b ⋅=+-=+=不一定为4，故B 正确；若122i z z =，设2z a bi =+，()1i 2i=2+2i z a b b a =+-，则2z =122z z ==，故C 正确；若1212z z z z +=-，设1i z a b =+，2i z c d =+，12z z +12z z -=()()()()2222a cb d ac bd +++=-+-，即0ac bd +=，()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++不一定为0，故D 错误；故选：BC.10．已知tan 2tan αβ=，则（）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-的最大值为4【答案】BD【分析】根据方程22tan 2tan 1tan βββ=-无解，可判定A错误；根据题意求得1cos sin 5αβ=，结合两角差的正弦公式，可判定B 正确；结合两角和的正弦公式，求得3sin()5αβ+=，利用余弦的倍角公式，可判定C 错误；化简1tan()12tan tan αβββ-==+，结合基本不等式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若2αβ=，可得22tan tan tan 21tan βαββ==-因为tan 2tan αβ=，可得22tan 2tan 1tan βββ=-，解得tan 0β=，又因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0β>，所以方程无解，所以A 错误；对于B 中，因为tan 2tan αβ=，可得sin 2sin cos cos αβαβ=，所以sin cos 2cos sin αβαβ=，又因为2sin cos 5αβ=，所以1cos sin 5αβ=，则5sin co s 1s n s co sin i ()αβαβαβ-==-，所以B 正确；对于C 中，由3sin()sin cos cos sin 5αβαβαβ+=+=，则()27cos 2212sin ()25αβαβ+=-+=，所以C 错误；对于D 中，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得tan 0β>，且tan 2tan αβ=，则2tan tan tan 1tan()11tan tan 12tan 2tan tan αββαβαββββ--===≤+++，当且仅当12tan tan ββ=时，即tan 2β=时，等号成立，所以tan()αβ-的最大值为4，所以D 正确.故选：BD.11．已知函数()132log 2xf x x+=-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 值域为RB ．函数()f x 是增函数C ．不等式()()3130f x f x -+<的解集为12,63⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()()11111101020232022222023f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-+-++++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】对于A ，令()2,2,22x t x x +=∈--，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B ，令2,2xt x+=-由复合函数的单调性进行判断即可；对于C ，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D ，由()()0f x f x -+=即可求解.【详解】对于A ，令()2,2,22x t x x+=∈--，又因为24122x t x x +==----在()2,2-上递增，所以()0,t ∈+∞，由对数函数的性质可得，13log y t =的值域为R ，故A 正确；对于B ，因为24122x t x x +==----在()2,2-上递增，13log y t =在()0,∞+上递减，由复合函数的单调性可知，()132log 2xf x x+=-为减函数，故B 错误；对于C ，因为()132log 2xf x x +=-的定义域为()2,2-，且()132log 2x f x x --=+,()()11133322log log log 1022x x f x f x x x +-+-=+=-+，所以()f x 为奇函数，且()f x 在()2,2-上为减函数，不等式()()3130f x f x -+<等价于()()313f x f x -<-即()()313f x f x -<-，等价于3132312232x xx x ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得1263x <<，故C 正确；对于D ，因为()()0f x f x -+=且()00f =，所以()()()11111101020232022222023f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-+-++++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.12．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，2AD CD ==，四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，则（）A ．AB ⊥BC B ．2P ABCD P ACDV V -->C ．2P ABCD O ABCDV V --=D ．点O 不可能在平面PBC 内【答案】AC【分析】A 选项，推出,,,A B C D 四点共面，结合AD CD ⊥得到AB ⊥BC ；B 选项，若四边形ABCD 为正方形，此时2P ABCD P ACD V V --=；C 选项，得到球心O 在PD 的垂直平分线上，故O 到平面ABCD 距离为P 到平面ABCD 距离的一半，C 正确；D 选项，举出实例，D 错误.【详解】A 选项，四棱锥P ABCD -的外接球为,,,P A C D 为顶点的球，而,,,A B C D 四点共面，故这四点必共圆，又AD CD ⊥，故AC 为直径，AB ⊥BC ，A 正确：B 选项，由A 可知，,,,A BCD 四点共圆，又2AD CD ==，AC 为直径，若四边形ABCD 为正方形，此时ACD ABC S S = ，2P ABCD P ACD V V --=，B 错误；C 选项，因为PD ⊥平面ABCD ，所以球心O 到,P D 两点的距离相等，即球心O 在PD 的垂直平分线上，故O 到平面ABCD 距离为P 到平面ABCD 距离的一半，故2P ABCD O ABCD V V --=，C 正确；D 选项，当四边形ABCD 为正方形时，连接,AC BD ，相交于点M ，则OM ⊥平面ABCD ，结合球心O 在PD 的垂直平分线上，此时O 为PB 中点，点O 在平面PBC 上，D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则U A =ð.【答案】{1,6,7,8,9}-【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合x ∈Z ，y Z ∈，用列举法表示集合,U A ，再结合补集的定义，即得解【详解】由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z {}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴=故{1,6,7,8,9}U A =-ð故答案为：{1,6,7,8,9}-14．已知向量,a b的夹角为π3，()-⊥a b b r r r ，则a b =，a b a b+=-．【答案】2【分析】根据向量垂直的表示得()0a b b -⋅= ，利用数量积的运算性质计算可得a b；根据a b +=与a b -=a ba b+- .【详解】由向量,a b的夹角为π3，且()-⊥a b b r r r ，得()22102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=-= ，所以2,2a a b b==．因为a b +==，a b -==== ，所以a b a b+=-故答案为：23.15．已知2n n a =，数列{}n c 为1122334564789105,,,,,,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a b b b b a ，规律是在k a 和1k a +中间插入k 项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列{}n b ，则数列{}n c 的前30项和为．【答案】829【分析】因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，根据题意，得到数列的前30项中含有{}n a 的前7项，含有{}n b 的前23项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】因为2n n a =，所以{}n a 为等比数列，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，由于12345621+++++=，2162730+=<，123456728++++++=，2873530+=>，因此数列{}n c 的前30项中含有{}n a 的前7项，含有{}n b 的前23项，所以所求和为()721223222323829122⨯-⨯⨯⎛⎫+⨯+= ⎪-⎝⎭．故答案为：829.16．若存在正实数,x y 满足()ln e 10x yx y x x x-++≥，则y 的最大值为．【答案】1e/1e -【分析】不等式变形，换元后得到ln ln 1e e x x t t x t +=++≥，令ln x t z +=，则1e z z +≥，再令()1e zf z z =+-，求导得到其单调性，得到1e z z +≤，从而1e z z +=，解得0z =，得到故e xxy =，0x >，求导，得到单调性和最值，求出答案.【详解】存在正实数,x y 满足()lne 10x yx y x x x-++≥，不等式两边同除以y 得()ln e 10xx y x x y x y-++≥，令0y t x =>，则11ln e 0x x t t t +-+≥，即ln ln 1e e x x t t x t +=++≥，令ln x t z +=，则1e z z +≥，令()1e zf z z =+-，则()1e z f z '=-，当0z >时，()0f z '<，()f z 单调递减，当0z <时，()0f z '>，()f z 单调递增，故()f z 在0z =处取得极大值，也是最大值，故()()00f z f ≤=，即1e z z +≤，综上，1e z z +=，解得0z =，故ln 0ln 0ex y xx t x y x +=⇒+=⇒=，0x >，故1e x xy -'=，当01x <<时，10e xx y -'=>，e x x y =单调递增，当1x >时，10e xx y -'=<，e x xy =单调递减，故当1x =时，ex x y =取得极大值，也是最大值，最大值为1e .故答案为：1e【点睛】常见的不等式放缩有e e x x ≥，e 1x x ≥+，()ln 10x x x ≤->，11ln1x x ≤-，111ln 11x x x⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭等，再求参数取值范围或证明不等式时，常常使用以上不等式进行适当变形进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2A B =，23c b =．(1)求cos B 的值；(2)边AC 的垂直平分线交边BC 于点D，若AD =ABC 的面积．【答案】4.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，借助余弦定理建立方程组，消元计算即可；（2）分析边角关系，在ABD △中通过正弦定理得c =.【详解】（1）因为2A B =，所以sin sin2,A B =即sin 2sin cos A B B =．在ABC 中，由正弦定理得2cos a b B =．在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以22222a c b a b ac+-=⨯②．因为23c b =，所以32c b =①．将①代入②得a =，所以2cos 224a Bb b ===..........................5分（2）结合（1）问：在ABC中，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==211cos cos22cos 116BDA C C ∠==-=-．因为()0,πBDA ∠∈，所以sin BDA ∠==因为()0,πB ∈，所以sin 4B =．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD cB BDA=∠，解得：c =所以23a c ===ABC的面积1sin 2S ac B =⨯=..........................10分18．（12分）设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.(1)求,a b ；(2)证明：()35f x x>-.【答案】(1)5,2==-a b (2)证明见解析【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b ..........................6分（2）证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x>-等价于23ln 525x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x ='+.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设函数()22312525555h x x x x ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155e h ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭.故()()>g x h x ，即()35f x x>-..........................12分19．（12分）如图，平面ABCD ⊥平面ABS ，四边形ABCD 为矩形，ABS 为正三角形，SA =，O 为AB 的中点.(1)证明：平面SOC ⊥平面BDS ；(2)已知四棱锥S AOCD -的体积为2，求点D 到平面SOC 的距离.【答案】(1)证明见详解(2)3【分析】（1）利用平面几何知识结合已知条件可以证明BD CO ⊥，再利用面面垂直的性质进一步证明BD SO ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即得证.（2）不妨设BD CO E ⋂=，则点D 到平面SOC 的距离即为DE 的长度，结合附加条件四棱锥S AOCD -的体积为2可以求得所有棱长，最终利用平面几何知识即可求解.【详解】（1）一方面：因为ABS 为正三角形且O 为AB 的中点，所以OS AB ⊥（三线合一），又因为平面ABCD ⊥平面ABS 且平面ABCD ⋂平面ABS AB =，并注意到OS ⊂平面ABS ，所以由面面垂直的性质可知OS ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以由线面垂直的性质可知OS BD ⊥；另一方面：由题意不妨设BC AD a ==，则CD AB AS BS ====，因为ABS 为正三角形且O 为AB 的中点，所以2a OB OA ==，π36cos 622SO BS a =⋅=⨯=，所以tan 2AD ABD AB ∠==，且2tan 2aBO BCO CB a ∠===，注意到ABD ∠与BCO ∠均为锐角，所以ABD BCO ∠=∠，不妨设BD CO E ⋂=，因为π2CBE BCE CBE ABD CBA ∠+∠=∠+∠=∠=，所以π2BEC ∠=，即BD CO ⊥.综合以上两方面有BD OS ⊥且BD CO ⊥，注意到OS OC O = ，OS ⊂平面SOC ，OC ⊂平面SOC ，所有由线面垂直的判定有BD ⊥平面SOC ，又因为BD ⊂平面BDS ，所以平面SOC ⊥平面BDS ...........................6分（2）由（1）可知BD ⊥平面SOC ，则点D 到平面SOC 的距离即为DE 的长度，一方面梯形AOCD 的面积为()21112224S OA CD AD a a a ⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，h SO ==，所以有四棱锥S AOCD -的体积为2311133424V S h a a a =⋅⋅=⨯⨯=，另一方面由题可知四棱锥S AOCD -的体积为2V =，3=a =因为CD AB ∥，所以CDE ABD ∠=∠，由（1）可知tan 2ABD ∠=，所以2tan 2CDE ∠=，所以6cos 3CDE ∠=，所以cos DE CD CDE =⋅∠=..........................12分20．（12分）已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】(1)215；(2)3835.【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【详解】（1）,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215............................6分（2）由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=............................12分21．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的浙近线方程为20,,x y A B ±=分别是双曲线C 的左､右顶点.(1)求C 的标准方程；(2)设P 是直线1x =上的动点，直线,PA PB 分别与双曲线C 交于不同于,A B 的点,M N ，过点B 作直线MN 的垂线，垂足为D ，求当AD 最大时点P 的纵坐标.【答案】(1)2214x y -=；(2)2±.【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出b 即可得双曲线方程.（2）设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线MN 过的定点，结合几何意义求解即得.【详解】（1）双曲线222:14x y C b-=的渐近线方程为2b y x =±，即20bx y ±=，依题意，1b =，所以C 的标准方程为2214x y -=............................4分（2）由（1）知，(2,0),(2,0)A B -，设()()()011221,,,,,P y M x y N x y ，显然直线MN 不垂直于y 轴，否则由双曲线的对称性，点P 在y 轴上，不符合题意；设直线:(2,2,0)MN x ty m t m =+≠±≠±，由2244x ty m x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得222(4)240t y tmy m --+=+，有22222244(4)(4)16(4)0t m t m t m ∆=---=+->，则212122224,44tm m y y y y t t --+==--，于是2121242()m ty y y y m -=-+，...........................6分由,,P A M 三点共线得直线,PA MA 的斜率满足01132y y x =+，同理，由,,P B N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即2112(2)3(2)0y ty m y ty m ++++-=，整理得()()121243220ty y m y m y +-++=，即()()()()21212243220m y y m y m ym--++-++=，则12(4)[(2)(2)]0m m y m y ---+=，因此4m =或()()12220m y m y --+=，若()()12220m y m y --+=，又12224tm y y t -+=-，得1222(2)(2),44m t m ty y t t -+--==--，结合212244m y y t -=-，从而()()2222224444m t m t t--=--，即224t t =-，不成立，即()()12220m y m y --+≠，因此4m =，满足0∆>，............................10分则直线:4MN x ty =+恒过点()4,0H ，点D 在以HB 为直径的圆22(3)1x y -+=上，当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，):2,1,62AM y x P ⎛⎫=±+± ⎪ ⎪⎝⎭，所以当AD 最大时，点P的纵坐标为2±.............................12分【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为y kx m =+，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k ，m 的关系，然后推理求解.22．（12分）已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.(1)当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；(2)若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；(3)若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【详解】（1）由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}..............................3分（2）由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；............................7分（3）不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2Mn a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m Mn m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤..............................12分【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下期第三次月考数 学 试 题 卷理科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下期第三次月考数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,I R =集合{}(){}222,log 3A y y x B x y x ==-==-，则()I C A B =（ ）A. {}23x x -≤<B. {}2x x ≤-C. {}3x x <D. {}2x x <- 2.向量()1,tan ,cos ,13a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且a ∥b ，则锐角α的余弦值为（ ）A.13 B. 23C. 3D. 33.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A. 15B. 10C.15-D.10- 4.在等差数列{}n a 中每一项均不为0，若1220131007a a a ta +++=，则t =（ ）A. B. C. D.5.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 156.在ABC ∆中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ∆一定是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形 7.若定义在R 上的函数()f x 的导函数是()()'1f x x x =-+，则函数()()()log 01a g x f x a =<< 的单调递减区间是（ ）A. []1,0-B. (]1,,0,1a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 11,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11,,,a a ⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值。
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高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三下入学测试数学一 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.复数ii+-11的值是______________. 2.已知向量(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b ⊥，则x =____________3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .4设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5()24n n S n N T n *=∈+， 则23a b =______ ______． 5.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图, 甲、乙两名运动员的得分的平均数分别为,x x 乙甲则x x +乙甲= . 甲乙0 8 50 1 247 32 2 199 75 3 36944 4 1 5 16.设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______. 7.在R 上定义运算⊗：()(1)1.x y x y ⊗=--若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围为______________．8.如果执行右面的流程图，那么输出的S =______． 9.奇函数()()f x x R ∈满足：()30f -=，且在区间[]0,2与[)2,+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为______________．10.若a 为正整数，2()(2)1f x ax a x =-++在[0,1]上的最小值为1-，则a = ． 11.已知命题P ：“对x ∀∈R ，∃m ∈R ，使22cos sin 20x x m -+=”，若命题P ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是 ．12.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的实数x 的取值范围是___________________．13. 已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.14. 已知椭圆 22122:1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则2b =__________________.二 解答题（本大题共6小题，共90分） 15. (本小题满分14分)设三角形ABC 的内角,,,A B C 的对边分别为,,,a bc 4,a c ==sin 4sin A B =． （1）求b 边的长； （2）求角C 的大小. （3）如果4cos()(0)52x C x π+=-<<,求sin x .16．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT ．17．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .B AEDC18．(本小题满分16分)如图，在ABC ∆中，7||||,||22AB AC BC ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点1A 作直线l 与圆22:(1)2E x y -+= 相交于M 、N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.19．(本小题满分16分)设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数. (1)当43a =时，求()f x 的极值点； (2)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.20. （本小题满分16分）某企业拟建造如图所示的容器yP AB CO x（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．数 学 （一）答案一填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.i - 2.8 3.12 4.5145.586.37.(1,1)-8.7209.(3,0)(0,3)- 10.1或211.[11---12.(,1(1,)-∞-⋃+∞13.14 12二解答题（本大题共6小题，共90分） 15解：（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B = 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分（2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= ……………………9分 (3)由已知得3sin(),sin [()]5x C x x C C +==+-=分 16．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-． 即()22311112a q a q a q a q-=-，又.01≠⋅q a ∴()()21221q q qq q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q ∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}nb 前n 项和()13.2n n n S -= ∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-=当8≥n 时，0n b >，2127897(13)138424222n n n n n n n T b b b b b b S S --+=----++++=-=+=∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分17．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、． ∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =． BAEDCFG∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分 （2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥． ∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=， ∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分 18解（1）∵7||||,||22AB AC BC ===∴||||1,BO OC ==||OA ===∴(1,0),(1,0),(0,2B C A -∴1(,24P 依椭圆的定义有：2||||a PB PC =+=97444=+= ∴2a =， 又1c =，∴2223b a c =-=∴椭圆的标准方程为22143x y +=……………………………………………7分（求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分.）椭圆的右顶点1(2,0)A ，圆E 圆心为(1,0)E ，半径r =假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，则90MEN ︒∠=，圆心(1,0)E 到直线l 的距离12d r == 当直线l 斜率不存在时，l 的方程为2x =， 此时圆心(1,0)E 到直线l 的距离1d =（符合）当直线l 斜率存在时，设l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=， ∴圆心(1,0)E 到直线l 的距离1d ==，无解综上：点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，此时l 方程为2x =…16分19解：(Ⅰ)当43a =时，2()413xe f x x =+∴()2'22483()4313x e x x f x x -+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭令'()0f x =得1213,x x ==∴()f x 的极大值点是2；极小值点是2(Ⅱ) ()()2'2221()1x e ax ax f x ax -+=+∵()f x 为R 上的单调函数，且a 为正实数 ∴()2240aa --≤即01a <≤20解：（1）由题意可知23480()33r l r l r πππ+=≥2，即2804233lr r r =-≥，则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346()433y rl r c r r r c rππππ=⨯+⨯=-+，即2216084y r r c rπππ=-+，定义域为{02}r r <≤.……………8分 （2）2160168y r rc r πππ'=--+，令0y '=，得r = 令2,r ==即 4.5c =， （1）当3 4.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，此时当r=y有最小值. ……………16分高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大.【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，cn=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2﹣m）a1，则.当n=1时，m=1；当n=2时，m=1.当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=.∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论.【解答】证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D.【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y 的值.【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长.【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8.故答案为：8.【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论.【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证.【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）又===，∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时.等式也成立，由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nfn﹣1（）+fn（）=sin（+）=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力.25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可.【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=.（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=.【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题.。