希腊数学家丢番图
丢番图故事的延伸
“丢番图故事”引发的联想关于著名的古代希腊数学家丢番图的生平历史，很少保留下来，我们现在所知道的一点，都是从他的墓碑上的题词来的：过路人，这里埋有丢番图的骨灰，下面的数目可以告诉你他的寿命有多长。
“生命的六分之一是幸福的童年。
再活了十二分之一，颊上长起了细细的胡须。
再过七分之一点起了结婚的蜡烛，五年之后天赐贵子。
可怜的孩子宁馨儿，享年只有其父的一半。
儿子死后悲痛不已，只有用数论的研究去弥补，四年后他也走完了人生的旅途。
”书本上的一个阅读材料，我由此而联想到了很多相关的典例，或许可以是一份很好的教学材料：“数数”一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是97。
“毕达哥拉斯”问题一个人问毕达哥拉斯：“尊敬的毕达哥拉斯先生，请告诉我，有多少学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课，其中的1/2在学习数学，1/4在学习音乐，1/7沉默无言，此外，还有3名妇女。
”“铜像注水”问题这是一座独眼巨人的铜像，雕塑家技艺高超，铜像里设计机关：巨人的手，口，和独眼都连接着大，小水管，通过手的水管三天注满水池，通过独眼的水管需要一天，从水中吐出的水管要快得多，9个半小时就够了，试问，三处同时放水，水池何时流满？爱神的烦恼爱罗斯在路旁哭泣，泪水一滴接一滴。
吉波莉达向前问道：波利尼“是什么事让你如此悲伤？我可能够帮助你？”爱罗斯回答道：“九位文艺女神不知来自何方把我从赫尔康山采回的苹果，几乎一扫而光。
叶芙特尔波飞快的抢走了十二分之一，爱拉托抢的更多——七个苹果中拿走了一个。
八分之一被达利娅抢走，比这多一倍的苹果落入特希霍拉之手。
美利波美娜最是客气，只取走了二十分之一，可又来了个克里奥，他的收获是这的四倍。
还有三位女神，个个都不空手，30个归波利尼亚，120个归乌拉尼亚，300个归卡利奥帕，我，可怜的爱罗斯，还剩下50个苹果？这是«希腊文集»中著名的问题“爱神的烦恼”。
阅读章前图丢番图(Diophantus)是古希腊数学家.人们对
3 x+(10－x)=22
• 阅读章前图：
丢番图（Diophantus）是古希腊数学家．人们对他的生平事 迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬 着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了其所经历的人生旅 程．上帝赐予他的童年占六分之一， 又过十二分之一他两颊长 出了胡须， 再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得 贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半便入黄泉．悲伤 只有用数学研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途.
知道数学就在我们身边，并在对其它实际问 题研究中感受了方程作为刻画现实世界有效 模型的作用。
2.通过观察归纳出方程及一元一次方程和解
的概念．
3. 在分析课本设置的例题的过程中初步体会
了列方程的“核心”与“关键”。
1、你能找到题中的等量关系，列出方程吗？ 2、你对方程有什么认识？ • 3、列方程解决实际问题的关键是什么？
第五章 一元一次方程
授课教师：谢哲纯 授课班级:初一2班
学习目标:
1.通过观察归纳出方程及一元一次方程和解的 概念． 2.通过对多个实际问题的分析，寻找等量关系， 建立方程。
重点:掌握方程及一元一次方程和解的概念． 难点：寻找等量关系列方程。
情境 1
小彬，我能 猜出你年龄。
不信
你的年龄乘2减5 得数是多少？
他怎么知道 的我年龄是13
岁的呢？
21
小彬
如果设小彬的年龄为x岁，那么“乘2再减5”就
是__2__x_-5__，所以得到等式： 2x-_5_=_2_1____。
情境 2
小颖种了一株树苗，开始时树苗高40厘米，栽种后
每周升高约5厘米，大约几周后树苗长高到1米？
丢番图
除了《算书》一书外，丢番图还著有《论多角 数》、《不定方程》，但是《论多角数》现仅存 一些残篇，《不定方程》早已失传了。他的著作 的拉丁文版本于1575年才第一次出版。他的著作 不仅是数学史上的珍贵资料，而且成为后来许多 数学家，如费巴、欧拉、高斯等进行数论研究的 出发点。数论中两大部分就是以丢番图名字命名 的，即“丢番图方程”和“丢番图近似理论”。
对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》﹝The Greek antholog 【这是公元500年前后的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus﹞所辑， 其中有46首和代数问题有关的短诗﹝epigram﹞】。 亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用， 对后来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的， 它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。 现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解， 这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。 不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。 从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。 代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。 就引入未知数，创设未知数的符号， 以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看， 丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。 希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何， 他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。 为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。 一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。 直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。 他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题， 而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。 他被后人称为『代数学之父』不无道理。
初中数学数学名师丢番图
丢番图丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后．丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．这相当于方程x=84．由此知他享年84岁．丢番图的著作确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传．丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．近年来，发现4卷阿拉伯文本，改变了传统的看法．1973年，G．图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经过研究，确认为《算术》的失传部分(但还不全)．这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā，活跃于860年前后)译成阿拉伯文的．后来J．塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6])．经过反复推敲，塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷8，9，10．下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容．原来的6卷希腊文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)发现的．1464年2月15日，他写信给L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》，从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来．最早的拉丁文译本是G．克胥兰德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．关于这个译本，有一段饶有趣味的历史．1637年左右，P．de费马(Fermat，1601—1665)读到这译本第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”．1670年费马的儿子S．de费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准的版本是P．唐内里(Tannery，1843—1904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis mentariis”(《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》)．最流行的英译本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究》)．此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本．代数学的特征希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”．而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别．这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丢番图《算术》也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程．现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支．不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数．从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围．代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数．算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行．在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它．就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数．当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出现的名称，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受．丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的．他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的．为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中．直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法．卷Ⅱ第20题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数．([10]，p．101．)这相当于不定方程x2+y=m2y2+x=n2要求所有的未知数x，y，m，n都是正有理数．丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x．其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来．本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是2x+1，因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方．其次，还应该满足(2x+1)2+x=平方数．丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的4x2项-2是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则．他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足．他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题．解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜．有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的．如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数．有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人．代数符号G．H．F．内塞尔曼(Nesselmann，1811—1881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见[12]，pp．301—306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示．按照这个分类，丢番图《算术》应该属于第二类．符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数．号来表示它．由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号．不过几种手稿都记数法系统是用字母表数，如α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分别表示100，200，300，400，…等等，24个字母值得注意的是，在一份大约写于2世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格．可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响．丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x．而和x2，x3，…，x4相当的各次幂，都有专门的名称和符号：名称符号符号是名称的缩写，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大写．这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号．未知数的系数相乘的法则：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即负乘负得正，负乘正得负，由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如x3-5x2+8x-1写成原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母．例如卷10(原希腊文本卷6)第19题，将(2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1)写成这已非常接近现代方程的形式．最后一个符号表示数字6，是希腊字母表以外的记号，读作digamma．丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩．为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性．8—9世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退．《算术》的典型问题和解答(一)一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在axn=b类型的方程之中．经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答．不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案．他完全排斥负数解答，例如卷9(原希腊文本卷5)第2题最后化为4=4x+20，他认为是荒谬的．无理数的解答也不取。
人物简介 别具一格的墓志铭——丢番图
人物简介: 别具一格的墓志铭——丢番图丢番图(Diophantus，约公元3世纪)是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。
对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。
他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来：“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。
他生命的1／6是幸福的童年；再活过生命的1／12，他长出了胡须；又过了生命的1／7，他才结婚；再过了5年他有了一个儿子；但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。
根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄：x 6＋x12＋x7＋5＋x2＋4＝x解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。
丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。
这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。
丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。
《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。
有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。
著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。
丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。
他远远超过了同时代的许多数学家。
但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。
直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。
丢番图逼近
1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。
这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。
数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。
由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。
当α是有理数时，上式不成立。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。
但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。
1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。
此即所谓丢番图逼近测度定理。
例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。
一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。
例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。
亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。
根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。
以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。
丢番图的墓志铭
丢番图的墓志铭
古希腊数学家丢番图的墓志铭是以一道数学题的形式写出来的：
过路人，这里埋着丢番图的骨灰。
他的寿命有多长，下面这些数字可以告诉你。
他的生命的6
1是幸福的童年。
再活了寿命的十二分之一，细细的胡须长上了脸。
丢番图结了婚，还没有孩子，这样又过去一生的七分之一。
又过了五年，儿子降
临人世，他幸福无比。
可是这孩子生命短暂，只有父亲的一半。
儿子死后，这老头在悲痛中度过四年，终于了却尘缘。
请你讲一讲，丢番图活了多大年纪，才和死神相见？
丢番图到底活了多少岁？让我们再来看
看墓志铭，上面有两个整数—5和4，其他都是分数—占丢番图年龄的几分之几，那么只要我们知道这9年（5+4=9）占了丢番图年龄的几分之几，就可以知道他的年龄了。
我们来算一下： 1-61-121-71-21=84
9
也就是说，已知的9年占了丢番图年龄的84
9。
那么丢番图的年龄应该是84岁。
如果你学过方程，那么可以根据墓志铭列出一个方程式，设丢番图的年龄为x.
61x+121x+71x+5+21x+4=x
解方程，就能算出x=84,也就是说丢番图活了84岁。
代数学鼻祖——丢番图
代数学鼻祖——丢番图中学数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引入了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家丢番图．这部著作原有13卷．1464年，在威尼斯发现了前6卷希腊文抄本，后又在马什哈德（伊朗东北部）发现了4卷阿拉伯文译本．打开今日头条，查看更多精彩图片丢番图在丢番图时代的古希腊，学者们的兴趣中心在几何，他们认为只有经过推理论证的命题才是可信的．为了逻辑的严密性，一切代数问题，甚至是简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中．丢番图把代数解放了出来，但由于这一思想远远超出了同时代人的理解力而不为同时代人所接受，很快就湮没了，因此没有对当时数学的发展产生太大的影响．直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础上把代数学大大向前推进了．其中最著名的当属17世纪的费马，他手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，写下了费马大定理，把数论引上了近代的轨道．对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少．但在一本《希腊诗文选》中，收录了丢番图的墓志铭：'坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。
终于告别数学，离开了人世。
墓志铭的意思是：丢番图的一生，幼年时代占1／6，青少年时代占1／12，又过了其一生的1／7才结婚，5年后生了儿子，但很遗憾他的儿子比他还早4年去世，寿命只有他的一半．有兴趣的同学可以列方程算算丢番图到底活了多少岁．与其有关的问题1.丢番图的寿命：解：设丢番图活了x岁。
x-[(1÷6）x+（1÷12）x+（1÷7）x+5+（1÷2）x+4] =0x-[1/6x+1/12x+1/7x+5+0.5x+4]=0x-[25/28x+5+4]=0x-25/28x-9=0x-25/28x=93/28x=9x=84答：丢番图活了84岁。
【精品】数学丢番图问题
丢番图的年龄–初一学生如何学会用方程解决问题对于初一新生，从用数学的思维方式解决问题转到用方程的思维方式解决问题是很关键一步，成年人都知道方程的解题方法比数学简单，但对于孩子这种解题观念的转变却不容易。
下面用一个相对复杂的习题总结一下解题套路，习题选自北师大版《数学》七年级上册P196页8题：古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。
”1、他结婚时的年龄是多少？2、他去世时的年龄是多少？首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说，不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x：用方程解决问题的第一步：设未知量 x 。
对于初一数学而言，设那个量为 x 也一般不会绕弯：一般情况下，题中问什么，就设什么为 x 就好。
对于本题，则设数学家去世时的年龄为 x 。
接下来：用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量 x 的方程式。
这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是：把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关系。
这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。
比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为 x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：题中的自然语言翻译成数学语言他生命的1/6是幸福的童年童年时代＝1/6x再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须活到长胡须＝童年+1/12x＝1/6x+1/12x又度过了一生的1/7，他结婚了同样道理，数学家活到结婚＝1/6x+1/12x+1/7x再过5年，他有了儿子同理，活到他有儿子＝1/6x+1/12x+1/7x+5可是儿子只活了他全部年龄的一半活到他儿子死＝1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了活到他自己死＝1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4分析至此，一般孩子都能悟到实际上上式右边的1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4就是数学家从生到死的年龄，也就是我们设的那个未知量 x ，于是也就自然而然地找到了等量方程：1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 = x那么剩下的事情就简单了：用方程解决问题的第三步：解方程。
丢番图
丢番图丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后．丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．这相当于方程x=84．由此知他享年84岁．丢番图的著作确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传．丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．近年来，发现4卷阿拉伯文本，改变了传统的看法．1973年，G．图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经过研究，确认为《算术》的失传部分(但还不全)．这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā，活跃于860年前后)译成阿拉伯文的．后来J．塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6])．经过反复推敲，塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷8，9，10．下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容．原来的6卷希腊文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)发现的．1464年2月15日，他写信给L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》，从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来．最早的拉丁文译本是G．克胥兰德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．关于这个译本，有一段饶有趣味的历史．1637年左右，P．de费马(Fermat，1601—1665)读到这译本第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”．1670年费马的儿子S．de费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准的版本是P．唐内里(Tannery，1843—1904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis”(《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》)．最流行的英译本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究》)．此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本．代数学的特征希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”．而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别．这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丢番图《算术》也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程．现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支．不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数．从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围．代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数．算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行．在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它．就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数．当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出现的名称，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受．丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的．他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的．为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中．直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法．卷Ⅱ第20题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数．([10]，p．101．)这相当于不定方程x2+y=m2y2+x=n2要求所有的未知数x，y，m，n都是正有理数．丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x．其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来．本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是2x+1，因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方．其次，还应该满足(2x+1)2+x=平方数．丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的4x2项-2是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则．他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足．他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题．解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜．有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的．如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数．有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人．代数符号G．H．F．内塞尔曼(Nesselmann，1811—1881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见[12]，pp．301—306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示．按照这个分类，丢番图《算术》应该属于第二类．符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数．号来表示它．由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号．不过几种手稿都记数法系统是用字母表数，如α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分别表示100，200，300，400，…等等，24个字母值得注意的是，在一份大约写于2世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格．可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响．丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x．而和x2，x3，…，x4相当的各次幂，都有专门的名称和符号：名称符号符号是名称的缩写，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大写．这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号．未知数的系数相乘的法则：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即负乘负得正，负乘正得负，由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如x3-5x2+8x-1写成原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母．例如卷10(原希腊文本卷6)第19题，将(2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1)写成这已非常接近现代方程的形式．最后一个符号表示数字6，是希腊字母表以外的记号，读作digamma．丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩．为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性．8—9世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退．《算术》的典型问题和解答(一)一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在ax n=b类型的方程之中．经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答．不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案．他完全排斥负数解答，例如卷9(原希腊文本卷5)第2题最后化为4=4x+20，他认为是荒谬的．无理数的解答也不取。
丢番图和不定方程
丢番图和不定方程——兼谈中国人在这方面的工作丢番图的工作埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。
在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。
亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。
他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。
英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。
”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。
在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。
这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。
在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。
这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。
他是第一个引进符号入希腊数学的人。
如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。
”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。
”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。
”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋ b＋ c＝N3这里就要考虑到三次方程了。
这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。
丢番图的《算术》
丢番图的《算术》
丢番图的《算术》
《算术》（Arithmetica）是古希腊后期数学家丢番图的一部名著，这部著作原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文抄本，最近在马什哈德（伊朗东北部）又发现4卷阿拉伯文译本。
《算术》事实上是一部代数著作，其中包含有一元或多元一次方程的问题，二次不定方程问题以及数论方面的问题，现存6卷中共有189题，几乎一题一法，各不相同。
虽然后人将其归成五十多个类，但是仍无一般的方法可寻。
并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用S、△r、K r、△r△、△K r、K r K等符号。
无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。
因此，丢番图的《算术》虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。
直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。
首先是法国数学家蓬贝利认识到《算术》的重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到17世纪，费马手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。
《算术》中的不定分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢番图方程”或“丢番图分析”。
对代数学的发展起了重要作用的丢番图
费马感兴趣的公式
在《算术》第2卷的第8题是关于不定方程的：将一个已知的平方数分为两个平方数。例如将16分成两个平方数。设一个平方数是x2，那么另一个是16-x2，现要求16-x2是一平方数。即16-x2=M2不妨设M=mx-4，其中m是某一整数，而4是16的平方根。例如令m=2，于是16-x2=4x2-16x+16，立刻得到x=16/5 。
例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系，在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果。
人们认为《算术》是希腊数学的划时代杰作。《算术》的核心内容是关于以代数手法解方程和不定方程的研究。这里的方法不依赖于几何证明。关于整系数方程的整数解的研究是当今数学的一个分支。这一分支被称之为丢番图方程。寻找毕达哥拉斯的三元组就是一个这样的例子。丢番图还使用了介于文体和完全的符号代数之间的一种过渡性的代数符号体系。阿拉伯数学家把《算术》翻译成了阿拉伯语并加以广泛研究。
便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，
他也走完了人生的旅途。
用这样的方式记载了他享年的秘密，即“丢番图的一生，童年生活占1/6 ，再过1/12 他开始长胡子，再过1/7 他结了婚，婚后 5 年生了一个儿子。他的儿子比他早 4 年辞世，享年是他的1/2 。”
这相当于一元一次方程： x=84。由此知他享年84岁。
前面已经提到，费马对这一命题很感兴趣，在旁边的空白处写下著名的“费马大定理”。大约是在 1637年左右，费马在看到这个题目：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”。1670年费马的儿子将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准版本是唐内里（Tannery，1843—1904，法国数学史家）编辑、校订的希-拉对照本《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》。以后又有巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》。
丢番图的巧妙思路
龙源期刊网 丢番图的巧妙思路作者：林革来源：《初中生世界(初一年级)》2010年第01期丢番图是古希腊杰出的数学家,以解题技巧高超著称,被后人誉为“代数学之父”.下面介绍的就是丢番图巧妙解题的一则小故事:丢番图最得意的学生名叫帕普斯,从很小的时候起,帕普斯就跟随丢番图学习数学.有一天,帕普斯遇到一道让他为难的问题:有四个数,把其中每三个相加,其和分别为20,22,24和27,求这四个数.这个问题看起来很简单,但具体解答过程却比较繁琐.因为题中有四个未知数,按照通常列方程解应用题的方法,必须设出四个未知数,列出四个方程,得到一个四元一次方程组,然后再解方程组.于是他设四个数分别为x,y,g,t,则依题意得方程组可在具体求解时他被这个方程组搞得昏头昏脑,算来算去也难以顺利进行,陷在不断出现而未知数并未减少的算式沼泽里难以自拔.在当时相对落后的文化背景和数学工具的限制下,帕普斯束手无策也在情理之中.百思不解的帕普斯只得向老师丢番图请教,询问能否用简便的方法解答这个问题.丢番图看后笑着回答:“行啊!行啊!”随即就给帕普斯讲了一个极为简单的解法.丢番图也是设未知数列方程再解答,只是他的设法出人意料.他一反常规,不去分设四个未知数,而是设这四个未知数之和为x.于是,这四个数就分别为x减去其余三个数之和所得的差,即分别为x-20,x-22,x-24和x-27.由此可列方程:(x-20)+(x-22)+(x-24)+(x-27)=x.解得:x=31,进而可得这四个数分别为11,9,7,4.老师的解答让帕普斯茅塞顿开,心悦诚服的他从此坚定了毕生从事数学研究的决心.后来,帕普斯也成为一位著名的数学家.从故事中不难看出,丢番图的解答巧妙之处在于,他没有纠缠在常规思路的繁文缛节中,而是采用变通思维进行处理,这充分体现了丢番图善于打破思维定势的能力.他的巧妙思路给我们的启发是:在解题中,一丝不苟,按部就班尽管非常必要,但这不应该成为培养思维灵活性的障碍,有时,突破固有模式的禁锢对解题会起到至关重要的决定性作用.。
丢番图
丢番图
说起数学家丢番图旳生平，还有一则别开生面旳记载，在一本《希腊诗文选》中收录了丢番图旳奇特旳墓志铭，现转抄于下：
坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，
它忠实地记录了所经历旳道路．
上帝给予旳童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长须，
再过七分之一，点燃起结婚旳蜡烛．
五年之后天赐贵子，
可怜迟到旳宁馨儿，
享年仅及其父旳一半，便进入冰冷旳坟墓．
悲伤只有用数论旳研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生旳旅途．
细心旳读者已经发现，这独特旳墓志铭就是丢番图一生旳履历表，而且它本身就是一道耐人寻味旳年龄计算题．丢番图大致活动于公元250年前后，其生平不详．他旳著作《算术》和关于所谓多角数（形数）一书，是世界上最早旳系统旳数学论文．《算术》共13卷，现存6卷．这本书可以归入代数学旳范围．因此，他被后人称作是“代数学之父”．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心都在几何，他们认为只有经过几何论证旳命题才是可靠旳．为了逻辑旳严密性，代数也披上了几何旳外衣．所以一切代数问题，甚至简单旳一次方程旳求解，也都纳入僵硬旳几何模式之中．直到丢番图旳出现，才把代数解放出来，摆脱了几何旳羁绊．例如，（a＋b）2=a2＋2ab＋b2旳关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要旳几何定理，而在丢番图旳《算术》中，只是简单代数运算法则旳必然后果．丢番图在数论和代数领域作出了杰出旳贡献，开辟了广阔旳研究道路．这是人类思想上一次不寻常旳飞跃，不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现萌芽．丢番图旳著作成为后来许多数学家，如费尔马、欧勒、高斯等进行数论研究
旳出发点．数论中两大部分均是以丢番图命名旳，即丢番图方程理论和丢番图近似理论．。
古代代数学之父——丢番图
对于丢番图的生平，人们知之甚少。唯一 的简历是从《希腊诗文集》中所得。这本由古
希腊语法学家麦特罗尔所辑的著作中，记录有
46 首和代数问题有关的短诗，其中就包括数学
爱好者津津乐道的“丢番图的墓碑题”。由于《希
腊诗文集》是公元 500 年前后的遗物，加上史
学家对一些学者书信著作中相关信息的研判，
希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心
著作，在数学史上的地位可与《几何原本》相 在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才
提并论，他本人因而获得“古代代数学之父” 是可靠的。为了逻辑上的严密性，代数也披上
的美誉。其中的数学观对后来的数论学者影响 了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一
23 百科知识 2018.11A
Hale Waihona Puke 对应的分数应用题，或假设未知数的方程思路
从另一个角度看，《算术》一书也可以归
解答，具体步骤不作赘述，留给有兴趣的读者 入代数学的范围。代数学区别于其他学科的最
探究。在此仅介绍一种另辟蹊径、别具一格的 大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。
当代巧解。
就引入未知数、创设未知数的符号以及建立方
题目中提到，“丢番图生命的
岁乃至 252 岁……因此，满足要求的只有一种 趣的问题。每道题都有出人意料的巧妙解法，
可能，即丢番图活到了 84 岁。
这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以至
不难看出，这种解题技巧极为简洁实用， 后人把这类题目叫作丢番图问题。
迅速摒弃了无关信息，一下子抓住题目的关键，
美中不足的是，在五花八门、精彩纷呈的
1 6
是幸福的
童
年”“又过
了生
命的
1 12
关于“丢番图(Diophantus)猜想”的论证
关于“丢番图(Diophantus)猜想”的论证自毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）证明了“勾股定理”之后，在世界范围内，无论是大数学家（如古希腊的柏拉图（Plato,约前427至前347）、丢番图（Diophantus,约公元246年至330年）、中国的刘徽、法国的费玛（Pierre de Fermat公元1601年至1665年）、迪卡尔（Descartes,René））还是数以万计的数学爱好者，历经了2500多年的时间，都在不懈的研究“勾股定理”的正整数解（即“勾股数组”）的问题，但始终没有形成定论。
作者本人经过多年的研究，1.完善的论证了古希腊数学家“丢番图（Diophantus）”猜想；2.创建并论证了直角三角形的斜边所能构成“勾股数组”的充要条件，并形成定理和计算公式；3. 推导了“勾股差为1”的“勾股三元数组”的通解公式，4.论证了不存在具有面积与斜边等值的“本原三角形”。
丢番图（Diophantus）猜想：如果是两个正整数，且是完全平方数，那么：则：是一级“勾股数组”。
命题一：在直角三角形中，对于任意给定的一直角边为一个正奇数（），则一定存在正奇数和正偶数，使之满足：;且组成“勾股数组”的数量为：在的因数中小于或等于的所有正奇因数的个数之和；其“勾股数组”的计算公式为：.证明：充分性假设在直角中，，两条直角边分别为，斜边为；令为正奇数，并且，、均为正整数。
根据“勾股定理”可得：（1）令：.由此推出：（2）把（2）代入（1）可得：所以经整理可得：并可以推出：（3）再令：. （4）由（4）可知：（5）把（5）代入（3）可得：所以，（6）由此我们把（2）、（4）、（6）综合可得如下结论：（7）由（6）式可知：因为都是正整数，则也是正整数；令：（其中的整数）.由（4）可得：故：.由（4）式可知：因为，故就一定是一个完全平方数；所以（7）式可转化为：（8）因为，又因为是一个完全平方数且又是偶数，所以，的偶数；故;即：. （9）由（8）式可得：所以，（10）由（10）式可知：又因为为奇数，所以为中的正奇因数。
希腊数学家丢番图
希腊数学家丢番图 1 / 1
丢番图
丢番图是希腊数学家，他的 13 卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方 面均有重要贡献， 其不定方程理论对后代产生了巨大影响， 以致后代把整系数不定方程称为“丢番图方程” ．
对于丢番图的平生， 我们仅能从其墓志铭中略知梗概， 这篇墓志铭自己就是一个风趣的数学识题，由于被 4 世纪数学家麦特劳德尔（ Metrodorus ）收入一部数学识题集中，得以流传到现在：
这是一座石墓，
里面埋葬着丢番图．
请你告诉我，
丢番图寿数几何？
他一世的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无牵无挂的少年．
再过去七分之一的年程，
他成立了幸福的家庭．
五年以后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲一半的年纪．
暮年丧子老人真可怜，
沉痛之中渡过行将就木．
请你告诉我，
丢番图寿数几何？
答案：
（ 1）
1 1 1 1 84
（岁）
（54）1
6 12
7 2
（ 2）还能够这样想：丢番图的年纪是 7 和 12 的公倍数，即是
84 的倍数．按惯例，丢 番图不行能活到 84×2 或许更大的年纪，因此他的年纪就是
84 岁．。
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丢番图
丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方 面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”．
关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的 数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔（Metrodorus ）收入一部数学问题集中，得以流传至今：
这是一座石墓，
里面安葬着丢番图．
请你告诉我，
丢番图寿数几何？
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年．
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭．
五年之后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲一半的年龄．
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中渡过风烛残年．
请你告诉我，
丢番图寿数几何？
答案：
（1）84217112161145=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
----÷+）（（岁） （2）还可以这样想：丢番图的年龄是7和12的公倍数，即是84的倍数．按常规，丢 番图不可能活到84×2或者更大的岁数，所以他的年龄就是84岁．。