材料力学弯曲内力

3. 工程实例
二、平面弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯 曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中， 将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。
三、简单静定梁
悬臂梁 简支梁
外伸梁
梁的载荷与支座 火车轮轴简化
车削工件
吊车大梁简化 受均布载荷
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 5kN
m2 0; M 2 FA 2 0
M 2 Байду номын сангаас10kN.m 3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
m3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
4 4 2m
P 23
M2 2D3 M3 Fs2 Fs3
FA
FB
由2、3 截面的内力计算可得如下结论：
⑴ 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；
M左 M右
⑵ 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左
右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。
Fs左 Fs右 P
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
4 4 2m
FA
FB
4－4 截面
Fy 0; Fs4 0
Fs4
M4
4 4C
m4 0; M 4 0
由4－4 截面的内力计算可得如下结论：
⑴ 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ；
⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。
Fs3 3kN
m3 0; M3 FB 2 0
M 3 6kN.m
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m2
23
M2 2 3 FS2
C
M3 Fs3
由2、3 截面的内力计算可得如下结论： ⑴ 集中力偶两侧截面的的剪力相等；
Fs左 Fs右
⑵ 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差 等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A FA
2
2 M2 Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m 3－3截面
Fy 0; Fs3 FB 0
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A 1
1
M1
FA Fs1
解：取整体， m 0;
FA 4 m1 m2 0 FA FB 3kN
1－1截面
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 3kN
m1 0; M1 m1 0
M1 2kN.m
Fy 0; FA Fs1 0,
Fs1 6kN
m1 0; M1 FA 2 0, M1 12kN.m
m=12kN.m q=6kN/m
A
12 3 12 3
BB
2m C1m 3m
FA
FB
m
2
A
2 M2
FA
Fs2 q
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 6kN
将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力
偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力 偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。
⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为
正，反之为负；
⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的
弯矩为正，反之为负。
第四章 弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与荷载集度间的关系 §4–5 按叠加原理作弯矩图
§4–1 平面弯曲的概念
一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时, 轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
§4–2 梁的剪力和弯矩
F
A a l
B
A
FAx
FAy
F B
FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
Fa FB l
Fy 0;
FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
x
P
x
Ⅰ
Ⅰ
A
Ⅰ
B
A
ⅠFs M
a l
FAy
m2 0;M 2 FA 2 m 0
M 2 24kN.m 3－3截面
Y 0; FB Fs3 3q 0
Fs3 0
m3
0;
M3
FB
3
3q
3 2
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 5kN
m1 0; M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用， 紧挨杆端截面的弯矩M=0。
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
44C 2m
FA
FB
2
A
2 M2
FA
Fs2
P=12kN
3
A
3 M3
FA
Fs3
2－2截面
⒋ 列平衡方程 Fx= 0，求剪力FS ； m= 0，求弯矩。
例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。
F=12kN
q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
44C 2m
FA
FB
1
A 1
M1
FA Fs1
解：取整体， mB 0;
FA 4 F 2 2q 1 0 FA 5kN
1－1截面
M左 M右 m
例3 求图示梁1、2、3 截面的内力。
m=12kN.m q=6kN/m
解：取整体
A
12 3 12 3
2m C1m 3m
B mB 0; FA 6 m1 4q 2 0
FA
FB
FA 6kN
1
A
1 M1
FA
Fs1
Fy 0; FA FB 4q 0
FB 18kN
1－1截面
Fs ⊕ Fs Fs ○－ Fs M
⊕ M M ○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
ⅠFs M
Fy 0; m1 0;
FAy Fs 0, Fs FAy M FAy x 0, M FAy x
计算梁内力的步骤： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象； ⒊ 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；