材料力学弯曲内力
材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
《材料力学》第四章 弯曲内力
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学-第四章 弯曲内力
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
材料力学4弯曲内力
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学第6章 弯曲内力
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
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6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
材料力学 第四章弯曲内力
M=±∑M(Fi)左或右 ±
例1: 已知 q=2 kN / m,求 1-1,2-2,3-3 : , , , 截面上的内力. 截面上的内力.
y
1
q
2 2m 2 3 1m 31m
MA FA
1
x
1-1 截面:FS = 2×2 = 4 kN,M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m 截面: × , 2-2 截面:FS = 2×2 = 4 kN, M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 截面: × , 3-3 截面:FS = 2×1 = 2 kN, M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m 截面: × ,
FS
ql / 2
M
ql 2 / 8
q
A FA FS
x l
B FB
ql / 2
ql / 2
M
ql 2 / 8
可见: 发生在梁两端截面上. 可见 剪力图为斜直线 , FS max = q l / 2 , 发生在梁两端截面上. 弯矩图为二次抛物线, 的截面上. 弯矩图为二次抛物线,M max = ql 2 / 8,发生在 S =0的截面上. ,发生在F 的截面上
a A
x
F1
m m
F2
b B
FS = FA- F1
= ∑Fi左 左
FA y A FA
FB F1
m
C
M = FA x - F1 (x-a) )
M
x
m FS x
= ∑M(Fi)左 (
FS=-FB+F2 =∑Fi右 - 右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)-F2(l-x-b) - =∑M(Fi)右
材料力学 第四章 弯曲内力
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
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§4–1 平面弯曲的概念 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与荷载集度间的关系 §4–5 按叠加原理作弯矩图
§4–1 平面弯曲的概念
一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时, 轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 5kN
m1 0; M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用， 紧挨杆端截面的弯矩M=0。
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
44C 2m
FA
FB
2
A
2 M2
FA
Fs2
P=12kN
3
A
3 M3
FA
Fs3
2－2截面
⒋ 列平衡方程 Fx= 0，求剪力FS ； m= 0，求弯矩。
例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。
F=12kN
q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
44C 2m
FA
FB
1
A 1
M1
FA Fs1
解：取整体， mB 0;
FA 4 F 2 2q 1 0 FA 5kN
1－1截面
将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力
偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力 偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。
⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为
正，反之为负；
⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的
弯矩为正，反之为负。
B
2m 2m
4 4 2m
P 23
M2 2D3 M3 Fs2 Fs3
FA
FB
由2、3 截面的内力计算可得如下结论：
⑴ 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；
M左 M右
⑵ 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左
右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。
Fs左 Fs右 P
F=12kN q=2kN/m
m2 0;M 2 FA 2 m 0
M 2 24kN.m 3－3截面
Y 0; FB Fs3 3q 0
Fs3 0
m3
0;
M3
FB
3
3q
3 2
Fs3 3kN
m3 0; M3 FB 2 0
M 3 6kN.m
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m2
23
M2 2 3 FS2
C
M3 Fs3
由2、3 截面的内力计算可得如下结论： ⑴ 集中力偶两侧截面的的剪力相等；
Fs左 Fs右
⑵ 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差 等于集中力偶0; FA Fs1 0,
Fs1 6kN
m1 0; M1 FA 2 0, M1 12kN.m
m=12kN.m q=6kN/m
A
12 3 12 3
BB
2m C1m 3m
FA
FB
m
2
A
2 M2
FA
Fs2 q
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 6kN
3. 工程实例
二、平面弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯 曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中， 将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。
三、简单静定梁
悬臂梁 简支梁
外伸梁
梁的载荷与支座 火车轮轴简化
车削工件
吊车大梁简化 受均布载荷
M左 M右 m
例3 求图示梁1、2、3 截面的内力。
m=12kN.m q=6kN/m
解：取整体
A
12 3 12 3
2m C1m 3m
B mB 0; FA 6 m1 4q 2 0
FA
FB
FA 6kN
1
A
1 M1
FA
Fs1
Fy 0; FA FB 4q 0
FB 18kN
1－1截面
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A FA
2
2 M2 Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m 3－3截面
Fy 0; Fs3 FB 0
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A 1
1
M1
FA Fs1
解：取整体， m 0;
FA 4 m1 m2 0 FA FB 3kN
1－1截面
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 3kN
m1 0; M1 m1 0
M1 2kN.m
Fs ⊕ Fs Fs ○－ Fs M
⊕ M M ○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
ⅠFs M
Fy 0; m1 0;
FAy Fs 0, Fs FAy M FAy x 0, M FAy x
计算梁内力的步骤： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象； ⒊ 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
4 4 2m
FA
FB
4－4 截面
Fy 0; Fs4 0
Fs4
M4
4 4C
m4 0; M 4 0
由4－4 截面的内力计算可得如下结论：
⑴ 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ；
⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 5kN
m2 0; M 2 FA 2 0
M 2 10kN.m 3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
m3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
§4–2 梁的剪力和弯矩
F
A a l
B
A
FAx
FAy
F B
FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
Fa FB l
Fy 0;
FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
x
P
x
Ⅰ
Ⅰ
A
Ⅰ
B
A
ⅠFs M
a l
FAy