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圆的基本性质(含答案)
圆的基天性质基础知识回放考点 1对称性圆既是 ________① _____对称图形，又是 ______② ________对称图形。
任何一条直径所在的直线都是它的____③ _________。
它的对称中心是_____④ _______。
同时圆又拥有旋转不变性。
温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，所以在谈及圆的对称轴时不可以说圆的对称轴是直径。
考点 2垂径定理定理：垂直于弦的直径均分______⑤ ______而且均分弦所对的两条___⑥ ________。
常用推论：均分弦（不是直径）的直径垂直于 ______⑦ _______，而且均分弦所对的两条_____⑧ ___________。
温馨提示：垂径定理是中考取的要点观察内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只需在平常的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。
在这里总结一下：（ 1）垂径定理和勾股定理的有机联合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是结构直角三角形；（ 2）常用的协助线：连结半径；过极点作垂线；（ 3）此外要注意答案不独一的状况，若点的地点不确立，则要考虑优弧、劣弧的差别；（ 4）为了更好理解垂径定理，一条直线只需知足：①过圆心；②垂直于弦；③均分弦；④均分弦所对的优弧；⑤均分弦所对的劣弧；考点 3圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨ ______，所对的弦也 _____⑩________。
常用的还有：（ 1）在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角___ 11 ____________，所对的○弦 _____ 12 ___________。
○（ 2）在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角○○____ 13___________，所对的弧 ______ 14__________ 。
浙教版数学九年级上册 第3章 圆的基本性质(含答案)
第3章 圆的基本性质班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1. 下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等.其中真命题是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③2. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点,下列四个角中一定与∠ACD 互余的是 ( )A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD3.如图,点A,B,C,D,E 均在⊙O 上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4.如图,AB 是圆O 的弦,OC⊥AB,交圆O 于点C,连结OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°5. 如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径 2₂倍,则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°6.(2020·中考)如图,在等腰△ABC 中, AB =AC =25,BC =8,，按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点 E ，F 为圆心，大 12₂EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点 A ，B为圆心，大 12₂AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心线段OA 的长为半径作圆，则⊙O 的半径为( )A.25B. 10C. 4D. 57. 如图,在⊙O 中,AE 是直径,半径OC 垂直于弦AB 于点 D,连结BE,若 AB =27,CD =1,则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠APB 的度数为( )A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 60°或120°9. 已知⊙O 的直径CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为…… ( ) A.25cm B.45cmC.25cm 或 45cmD.23cm 或 43cm10. 如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,CD=BD,∠C=70°,现给出以下三个结论：①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE.其中正确的有( )A. 1个B. 2 个C. 3个D. 0个二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,一次函数y= kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,⊙O经过A,B两点,已知AB=2,则 kb的值为 .12. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,∠D=65°,则∠BAC等于度.13. 如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4.(1)以点 A为圆心，4为半径作圆A，则点B，C，D与圆A 的位置关系分别是;(2)若以A点为圆心作圆A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是 .14. 如图,BC是半圆O 的直径,D,E是BC上两点,连结BD,CE 并延长交于点A,连结OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 .15. 如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30∘,CD=23,则⊙O的半径是 .16. 如图所示,⊙O的直径AB=16cm,P是OB 中点,∠ABP=45°,则CD= cm.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A 在劣弧BC上,且OA=AB,求∠ABC的度数.18. (6分)如图，在同一平面内，有一组平行线l₁,l₂,l₃,，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l₁上，⊙O与直线l₃的交点为A，B，AB=12,求⊙O的半径.19.(6分)如图,在△ABC的外接圆上AB,BC,CA三弧的度数比为12：13：11.在劣弧BC上取一点D，过点D分别作直线AC，直线AB的平行线，分别交 BC于E，F两点，求∠EDF的度数.20. (8分)如图,△ABC内接于⊙O，AB=AC,,D在弧AB 上,连结CD交AB 于点E,B 是弧CD 的中点,求证：∠B=∠BEC.21.(8分)已知:如图,点M是/AB的中点，过点M的弦MN交AB 于点C，设⊙O的半径为4cm,. MN=43cm.(1)求圆心 O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.22.(10分)如图，已知方格纸中每个小正方形的边长为1个单位，Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).(1)将△ABC以C 为旋转中心旋转180°,得到△A₁B₁C,请画出△A₁B₁C;(2)平移△ABC,使点 A的对应点.A₂的坐标为(−2,−6),请画出平移后对应的图形△A₂B₂C₂;(3)若将△A₁B₁C绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂.请直接写出旋转中心的坐标.23.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P 是ABC的中点.(1)求证:OP//BC;(2)如图,连结PA,PC交直径AB于点D,当(OC=DC时，求∠A的度数.24.(12分)我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦，弦心距之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等弦心距指从圆心到弦的距离如图(1)中的 OC，OC′,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度 l请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.如图(2)，点O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.(1)求证:AB=CD.(2)若角的顶点 P 在圆上或圆内，上述结论还成立吗? 若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.第3章 圆的基本性质1. A2. D3. D4. D5. C6. D7. B8. C9. C 10. A 11. 1212. 25 13. (1)B 在圆内、C 在圆外、D 在圆上(2)3<r<5 14. 40° 15. 2 16. 1417. 解:∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB,即△OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC⊥OB,∴∠COB= 90°,∴∠COA = 90°- 60°= 30°,∴∠ABC=15°.18. 解:如图,连结 OA,过点O 作OD⊥AB 于点 D.∵ AB =12,∴AD =12AB =12×12=6.相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8.在 Rt△AOD 中，∵AD =6,OD =8,∴OA =AD 2+OD = 62+82=10.∴⊙O 的半径为 10.19. 解: ∵AB ,BC ,CA 三弧的度数比为12:13:11,∴ ABm.1212+13+11×360∘=120∘,AC−m m 1112+13+11×360∘=110∘,∴∠ACB =12×120∘= 0∘,∠ABC =12×110∘=55∘,∵ACED,AB DF,∴∠FED=∠ACB=60°,∠EFD=∠ABC= 55°,∴∠EDF =180°−60°−55°=65°20. 证明:∵B 是弧 CD 的中点, ∴BC =BD ,∴∠BCE = =∠BAC.:∠BEC =180°−∠BCE,∠ACE ,=180°-∠BAC--∠B,∴∠BEC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.21. 解:(1)连结 OM.∵点 M 是. AB 的中点,∴OM⊥AB.过点 O 作OD⊥MN 于点 D,由垂径定理,得 MD =12MN =23cm,在Rt△ODM 中,OM=4cm, MD =23cm,∴OD =OM 2−MD 2=2(cm ).故圆心 O 到弦MN 的距离为 2cm. (2)∵OD=2cm,OM=4cm,∴∠M=30°,∴∠ACM=60°.22. 解:(1)(2)图略.(3)旋转中心的坐标为(0,-2).23. (1)证明:连结AC,延长 PO 交AC 于点 H,如图,∵P 是 ABC 的中点,∴PH⊥AC,∵A B 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴OP∥BC. (2)解:∵P 是 ABC 的中点, P C,∴∠PAC=∠PCA,:OA=OC, ∴ ∠OA C= ∠OCA,∴∠PAO=∠C O=CD 时,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,∴∠POD =2x,∴∠ODC=∠POD+∠OP C=3x,∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3x.在△POC 中,x+x+5x=180°,解得 x =180∘7,即 ∠PAO =180∘7.24. (1)证明:过点 O 作OM⊥AB 于点M,ON⊥CD 于点 N,连结OB,OD,则∠OMB=∠OND=90°,∵PO 平分∠EPF,∴O M=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.(2)成立.当点 P 在圆上时如图；作OM⊥PB,ON⊥PD,垂足分别为M,N,∵PC平分∠EPF,∴OM=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴PB=PD;当点P 在圆内时:过点 O作OM⊥AB,ON⊥CD,∵PO平分∠BPF,∴OM=ON.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.。
圆的基本性质教案含答案
DB圆的基本性质基础知识回放集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD圆心角定理圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACBBC BD =AC AD =BBAOMA P圆周角定理的推论：推论1弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90°∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
第24章 圆章节知识点及习题及答案
第二十四章圆章节知识点思维导图：一、圆的有关性质（一）与圆有关的概念1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。
7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
（二）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中心的中心对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对的度数相等。
圆的有关性质(含答案)
圆的有关性质知识点回顾：知识点一：圆的定义，掌握点与圆的位置关系 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.例1：（2009太原市）如图，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ， 则AC 的长等于（ ）A ．B ．5C ．D ．6 同步测试：1.（2009太原市）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）2．如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD ． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：BM=ND ．知识点二：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .3. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .例2：（2008年镇江市）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB AC =，45A ∠=，BD 为⊙O的直径，BD =CD ，则D ∠= ，BC = ．同步测试：1.（2009天津市）如图，ABC △内接于O ⊙，若28OAB ∠=°，则C ∠的大小为（ ） A ． 28° B ．56°C ．60°D ．62°2.（2008年泰州市）如图，⊿ABC 内接于⊙O ，AD 是⊿ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，⊿ABE 与⊿ADC 相似吗？请证明你的结论。
3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，B 是弧AC 的 中点，AD ＝20，CD ＝15,求BD 的长.知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .例3：（2008呼伦贝尔）如图：C 是弧AB 的中点，D E ，分别是半径OA 和OB 的 中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？同步测试：1．如图，⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点M ，N.且AB ＝CD ， 求证：∠AMN ＝∠CNM2.（2008广州）如图，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC=DE ． （1）求证：AC=AE ；（2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保留作图痕迹，不写作法），求证：EF 平分∠CEN ．知识点四：垂径定理垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .例4：（2009娄底）如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ， 则下列说法错误．．的是 ( ) A ．AD=BDB ．∠ACB=∠AOEC ．D ．OD=DEABCDEMNBA1．(2009南宁）如图，AB O 是⊙的直径，弦30CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm2.（2008南通）已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝．（1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM 的度数．知识点五：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .例4：要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).同步测试：1.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等. （其外接圆 三角形三条边的垂直平分线 三角形三个顶点）2.如图,MN 所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.3.（2009年新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A B C ，，，已知A 点的坐标是(35)-，，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________．ABCMNO ·1．下列命题中，正确的是（ ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤D ．②④⑤2．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是（ ） A ．35° B ．55° C ．65° D ．70°3．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD 则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o，∠c=50o，那么sin ∠AEB 的值为( ) A. 21 B. 33 C.22 D. 235.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．6．(2009成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________．7．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA=28，则∠ABD=°.9．如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ．（1）∠E= 度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE 的长．10.（2008镇江）推理运算：如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ． （1）OCD ∠的平分线CE 交⊙O 于E ，连结OE ．求证：E 为ADB的中点；（2）如果⊙O 的半径为1，CD = ①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为12． 问题解决如图③，现有一块矩形钢板ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ’D 钢板，且∠APB ＝∠CP ’D ＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P ’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．ABDE OCH答 案1. C2. B3. B4. D5. 三6. 337. 48. 28 9．解：（1）45． （2）△ACP ∽△DEP ．理由：∵∠AED=∠ACD ，∠APC=∠DPE ， ∴ △ACP ∽△DEP ． （3）方法一：∵ △ACP ∽△DEP ， ∴ .AP AC DP DE=又 AP=522=+DP AD ，AC=2222=+DC AD ， ∴ DE=5102．方法二：如图2，过点D 作DF AE ⊥于点F ． 在Rt ADP △中，又1122ADP S AD DP AP DF ==△， ∴ DF=552． ∴ 51022==DF DE ．10. （1）OC OE =，E OCE ∴∠=∠又OCE DCE ∠=∠，E DCE ∴∠=∠．OE CD ∴∥． 又CD AB ⊥，90AOE BOE ∴∠=∠=．E ∴为ADB 的中点． （2）①CDAB ⊥，AB 为O的直径，CD =12CH CD ∴==．又1OC =，2sin 1CH COB OC ∴∠===．60COB ∴∠=， 30BAC ∴∠=． 作OP AC ⊥于P ，则1122OP OA ==． ②311．解：（1）如图①，连接AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°．∴点P 为所求．（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边ABP △；2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与AD BC 、交于点E F 、． 在O ⊙中，弦AB 所对的APB 上的圆周角均为60°，EF ∴上的所有点均为所求的点P ．（3）如图③，画法如下： 1）连接AC ；2）以AB 为边作等边ABE △；3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP CP '=． 则点P P '、为所求．过点B 作BG AC ⊥，交AC 于点G ． 在Rt ABC △中，43AB BC ==，．5AC ∴==．125AB BC BG AC ∴==． 在Rt ABG △中，4AB =，165AG ∴==． 在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，12tan 605BG PG ∴===°∴165AP AG PG =+=．1116122255APB S AP BG ⎛∴==⨯+⨯= ⎝⎭△．。
高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案
高中圆的基本概念与点圆关系 知识点与答案解析第一节 圆的基本概念1.圆的标准方程：222()()x a y b r （圆心(,)a b ，半径为r ）例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2 (a ≠0)例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.例3 已知三点A (3，2)，B (5，–3)，C (–1，3)，以P (2，–1)为圆心作一个圆，使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2.圆的一般方程：220x y Dx Ey F （其中2240D E F ），圆心为点)2,2(E D ——，半径2422F E D r —（Ⅰ）当2240D E F 时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22D E （Ⅱ）当2240D E F 时，方程不表示任何图形。
例1：已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k 的取值范围。
解： 方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，∴0)83(44)2(22>+-+k k ，解得14-<>k k 或∴当14-<>k k 或时，方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。
例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m 的值是＿＿＿。
答案：－3例3：求经过三点A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）的圆的方程。
解：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=++-=+-20241742F E D F E D F E D ，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2∴所求圆的方程为023722=+--+y x y x 。
浙教版九年级上册数学第3章 圆的基本性质含答案
浙教版九年级上册数学第3章圆的基本性质含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列说法中，正确的有（）①圆的半径垂直于弦；②直径是弦；③圆的内接平行四边形是矩形；④圆内接四边形的对角互补；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥相等的圆心角所对的弧相等．A.2个B.3个C.4个D.5个2、如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若边长为cm，则⊙O的半径为( )A.6cmB.4cmC.2cmD.3、在下图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A.点AB.点BC.点CD.点D4、如图，△OAB绕点O逆时针旋转90到△OCD的位置，已知∠AOB=45,则∠AOD的度数为（）A.55B.45C.40D.355、⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P的⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外6、如图，直线y=2x与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A.（1.0）B.（1.0）或（﹣1.0）C.（2.0）或（0，﹣2）D.（﹣2.1）或（2，﹣1）7、如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°8、如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点A再一次接触地面，如图（乙）所示，则O点移动了（）cm．A.11πB.12πC.10π+2D.11π+9、如图，的直径CD过弦EF的中点G，，则等于（）A. B. C. D.10、已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开，所得扇形的圆心角为120°，则该扇形面积是（）.A.4πB.8πC.12πD.16π11、已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（）A. B. C. D.12、如图，在扇形纸片AOB中，OA =10，AOB=36°，OB在桌面内的直线l 上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（）．A.12πB.11πC.10πD.10π+513、如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为 ( )A.（ -3, 1）B.(1, -3)C.(1, 3)D.（3, -1）14、如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（）A. B. C. D.15、已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ,交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于弧PQ点M，N；（3）连接OM，MN. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A.∠COM=∠CODB.若OM=MN，则∠AOB=20°C.MN∥CDD.MN=3CD二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为________.17、已知扇形的半径为6 cm，圆心角为150°，则此扇形的面积等于________cm2（结果保留π）.18、已知图中Rt△ABC，∠B=90°,AB=BC,斜边AC上的一点D，满足AD=AB，将线段AC绕点A逆时针旋转α （0°<α <360°），得到线段ac’，连接dc’，当dc’ bc时，旋转角度α 的值为________,19、如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，，是圆上的点，为圆心，，从到只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了________步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，取3.142）20、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为________．（结果保留π）21、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点 C 为弧 BD 的中点．若∠DAB=40°，则∠A BC=________．22、到原点的距离等于4的点是________ ．23、如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧弧MN的长度为________．24、如图，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD，连结PA，PB，PC.若PA＝a，则点A到PB 和PC的距离之和AE＋AF＝________.25、如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．27、如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．28、如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°，求∠APB的度数.29、如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.30、作图题：在⊙O 中，点D是劣弧AB的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完下列作图：在图（1）中作出∠C的平分线；在图（2）中画一条弦，平分△ABC的面积．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、B5、A6、D7、C8、A9、C10、C11、B12、A13、D14、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
部编数学九年级上册专题24.1圆的有关性质(基础)(解析版)含答案
专题24.1 圆的有关性质目录圆的认识 (1)圆的相关概念 (3)求相关角度 (4)求相关长度 (6)有关证明 (8)垂径定理的计算 (10)垂径定理的应用 (13)圆周角圆心角相关概念 (18)圆周角与圆心角求角度 (20)圆周角与圆心角求长度 (22)垂径定理的推论 (26)内接四边形 (28)证明综合....................................................................................................................................................31圆的认识【例1】下列结论正确的是（ ）A ．半径相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．半径是弦D ．弧是半圆【解答】解：A 、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B 、半圆是弧，原结论正确；C 、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．【变式训练2】下列说法错误的是（ ）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半圆是圆中最长的弧【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）A．无数个B．3个C．2个D．1个【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，故选：A．圆的相关概念【例2】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）A．3cm B．6cm C．1.5cm D【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．【变式训练1】已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 6 厘米．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为12厘米，∴⊙O的直径是12厘米．∴⊙O的半径是6厘米．故答案为：【例3】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【变式训练1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．求相关角度【例4】如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）A．38°B．52°C．76°D．104°【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故选：C．【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为（ ）A．150°B．120°C．100°D．60°【解答】解：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝60°，∴∠ACO＝180°﹣60°＝120°．故选：B．【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O 于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【解答】解：（1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E ，∴∠E ＝2∠A ，∴∠DOE ＝∠A +∠E ＝3∠A ＝60°．求相关长度【例6】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则⊙C 的半径为（ ）A ．B ．8C ．6D ．5【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5故选：D ．【变式训练1】如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12 BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【变式训练2】如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）A．6B．5C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，∴OC＝OA10，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C ．【变式训练3】如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，∵点B 和M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴M 在以A 圆心，3为半径的圆上，∴当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，∵AC =5，AM ＝AB ＝3，∴CM ＝5﹣3＝2，故选：A ．有关证明【例7】已知，如图，在⊙O 中，C 、D 分别是半径OA 、BO 的中点，求证：AD ＝BC ．【解答】解：∵OA 、OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO ，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，AO=BO∠O=∠O，OD=OC∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【变式训练1】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB 于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连接OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，OE=OFOC=OD，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE＝∠DOF，∴AC=BD，∴AC＝BD．垂径定理的计算【例8】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的半径为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：连接OC ，∵AB ⊥CD ，AB 过圆心O ，CD ＝8，∴CP ＝DP ＝4，设⊙O 的半径为R ，∵AP ＝8，∴OP ＝8﹣R ，在Rt △COP 中，由勾股定理得：CP 2+OP 2＝OC 2，即（8﹣R ）2+42＝R 2，解得：R ＝5，∴⊙O 的半径为5，故选：C．【变式训练1】如图，CD 是圆O 的弦，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝12，BE ＝3，则四边形ACBD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，∵AB ＝12，BE ＝3，∴OB ＝OC ＝6，OE ＝3，∵AB ⊥CD ，在Rt △COE 中，EC =∴CD ＝2CE ＝∴四边形ACBD 的面积=12AB ⋅CD =12×12×=故选：A ．【变式训练2】如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的顶点分别在半圆O 的直径和圆周上，若BG ＝4，则半圆O 的半径是（ ）A．4+B．9C．D．【解答】解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC=，在Rt△FEO中，OF=∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝则半圆O的半径是故选：C．【变式训练3】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）A ．1个B ．3个C ．6个D ．7个【解答】解：∵CD 是直径，∴OC ＝OD =12CD =12×10＝5，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC ＝∠AMD ＝90°，∵AM ＝4.8，∴OM ==1.4，∴CM ＝5+1.4＝6.4，MD ＝5﹣1.4＝3.6，∴AC =8，AD ==6，∵AM ＝4.8，∴A 点到线段MD 的最小距离为4.8，最大距离为6，则A 点到线段MD 的整数距离有5，6，A 点到线段MC 的最小距离为4.8，最大距离为8，则A 点到线段MC 的整数距离有5，6，7，8，直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有6个，故选：C ．垂径定理的应用【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝48cm ，水的最大深度为16cm ，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm ．A ．10B ．14C ．26D ．52【解答】解：如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD=12AB=12×48＝24（cm），设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（ ）A．12πcm B．2πcm C．πcm D．2cm【解答】解：连接OA，OB，如图，根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，∴cos∠AOC=OCOA=36=12，∴∠AOC ＝60°，则∠AOB ＝120°，∴AC ＝，AB ＝2AC ＝，∴S 阴影＝S 扇形OAB ﹣S △OAB =120π×62360−12××3=cm 2）．设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h （cm ），依题意得：62πℎ=，∴ℎ故选：B ．【变式训练2】往直径为78cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝72cm ，则水的最大深度为（ ）A ．36cmB ．27cmC ．24cmD ．15cm【解答】解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C 交⊙O 于D ．∵OC ⊥AB ，∴AC ＝CB ＝36（cm ），∵OA ＝OB ＝39cm ，∴OC ==15（cm ），∴CD ＝39﹣15＝24（cm ），故选：C ．【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm ，假设球的横截面与水面交于A ，B 两点，AB ＝8cm ．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s ，则球体下落的平均速度为（ ）A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s 【解答】解：设圆心为O，连接OB，则OB＝5，过点O作OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D，则BD=12AB=4cm，在Rt△BOD中，OD=3cm，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2cm，∴从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为2÷4＝0.5cm/s．故选：A．【例10】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．【解答】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：如图，连接ON、OA．∵OC⊥AB，AB＝7.2m，∴AD=12AB＝3.6（m），设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得：r＝3.∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面1.5m，∴CH＝2.4﹣1.5＝0.9（m），∴OH＝3.9﹣0.9＝3（m），在Rt△OHN中，HN2＝ON2﹣OH2＝3.92﹣32＝6.21（m2），∴HN=m），∴MN＝2HN＝m）＞3m，∴货船能顺利通过这座拱桥．【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【解答】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．圆周角圆心角相关概念【例11】下列说法中，正确的个数为（ ）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；故选：B．【变式训练1】下列说法正确的是（ ）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．所对圆心角相等的弧是等弧C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，本选项符合题意；B、所对圆心角相等的弧是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；C、弧长相等的弧一定是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；D、平分弦的直径必垂直于弦，错误此弦不能是直径，本选项不符合题意．故选：A．【变式训练2】下列说法中，正确的是（ ）A．同心圆的周长相等B．面积相等的圆是等圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．平分弧的弦一定经过圆心【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．B、正确，本选项符合题意．C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．故选：B．【变式训练3】下列说法中，正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径也平分弦所对的弧，本小题说法错误；③能够重合的两条弧是等弧，本小题说法错误；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，本小题说法正确；故选：A．圆周角与圆心角求角度【例12】如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）A．158°B．58°C．64°D．116°【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．【变式训练1】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）A．25°B．50°C．65°D．75°【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC=23×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【变式训练3】如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）A．100°B．110°C．115°D．120°【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC=12×(360°−130°)=115°．故选：C．圆周角与圆心角求长度【例13】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）A．5B．6C．7D．8【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式训练1】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）A．10B．13C．12D．11【解答】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为15，∴OF＝OA=15 2，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE=9 2，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==6，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故选：C．【变式训练2】如图，在半径为⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）A．B．C．4D．2【解答】解：连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，∴∠EPF＝90°，∴四边形OFPE是矩形，∴OE＝FP，EP＝OF，∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，∴AF＝BF＝4，由勾股定理得：OF==2，同理OE＝2，即FP＝OE＝2，在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP==故选：B．【变式训练3】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）A．10B．13C．15D．16【解答】解：如图，连接OF．∵DE ⊥AB ，∴DE ＝EF ，AD =AF ，∵点D 是弧AC 的中点，∴AD =CD ，∴AC =DF ，∴AC ＝DF ＝12，∴EF =12DF ＝6，设OA ＝OF ＝x ，在Rt △OEF 中，则有x 2＝62+（x ﹣3）2，解得x =152，∴AB ＝2x ＝15，故选：C ．垂径定理的推论【例14】如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于M ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AM ＝BMB ．CM ＝DMC ．AC =BCD ．AD =BD【解答】解：∵弦AB ⊥CD ，CD 过圆心O ，∴AM ＝BM ，AC =BC ，AD =BD，即选项A、C、D都正确，当根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，故选：B．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC D．AD=BD【解答】解：∵AB⊥CD，CD过圆心O，∴AE＝BE，AC=BC，AD=BD，不能推出OE＝DE，所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；故选：B．【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条件是（ ）A．AB⊥CD B．AC=AD C．BC=BD D．OE＝ED【解答】解：当AB⊥CD时，CE＝DE．故A正确；当BC=BD或AC=AD时，CE＝DE，故BC都正确；故选：D．【变式训练3】如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC=AD；②BC=BD；③EO＝EB；④EC＝ED．其中一定成立的是（ ）A ．①③B ．①④C ．①②④D ．①②③④【解答】解：∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴AC =AD ，BC =BD ，EC ＝DE ，故①②④正确．故选：C ．内接四边形【例15】如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接OA ，OC ．若∠ABC ＝108°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．72°B ．108°C ．144°D ．150°【解答】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠D +∠ABC ＝180°，∵∠ABC ＝108°，∴∠D ＝72°，∴∠BOC ＝2∠D ＝144°，故选：C ．【变式训练1】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线BD 垂直平分半径OC ，若∠ABD ＝50°，则∠ADC的大小为（ ）A．130°B．120°C．110°D．100°【解答】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，∵BD垂直平分OC，∴OE=12OC=12OD，∠OED＝90°，∴∠ODE＝30°，∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵∠ABD＝50°，∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD=12（180°﹣∠AOD）＝40°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，故选：D．【变式训练2】如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）A．85°B．75°C．70°D．65°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【变式训练3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是AD上一点，则∠APD等于（ ）A．120°B．125°C．135°D．150°【解答】解：连接OC，AC．∵弦CD垂直平分OB，∴OE=12OB=12OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COB＝60°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝30°，∴∠ACD＝60°．∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，故选：A．证明综合【例16】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．（1）求证：CG＝AG；（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．【解答】（1）证明：∵AC∥DF，∴∠CDF＝∠ACD，∵CF=CF，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CAF，∴AG＝CG；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴AC=AD，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴AD=CF，∴AC=AD=CF，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（AG）2+9，∴AG＝∴GE=∴DG＝【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．（1）求∠EBA的度数．（2）求证：AE=．（3）若DE＝1，求⊙O的面积．【解答】解：（1）连接AC，∵AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠CAB＝45°，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；（2）由（1）知，OC垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴BD＝sin45°BE，∴BE=，∴AE=；（3）∵DE＝1∴BD＝DE＝1，∴AE＝BE=∴AD=+1，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（2OA）2，）2+1＝4OA2，∴OA2∴圆的面积为πOA2=一．选择题（共8小题）1．下列说法正确的是( )A ．直径是圆中最长的弦，有4条B ．长度相等的弧是等弧C ．如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的8倍D ．已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上【解答】解：A 、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；B 、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C 、如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的16倍，故该选项不符合题意；D 、已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上，故该选项符合题意．故选：D ．2．小明在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，下列测量结果中一定是错误的是( )A ．4B ．5C ．10D ．11【解答】解：Q 半径为5的圆，直径为10，\在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，AB 的取值范围是：010AB <…，\弦AB 的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D ．3．如图，O e 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE OB =，已知72DOB Ð=°，则E Ð等于( )A ．36°B ．30°C ．18°D ．24°【解答】解：如图：CE OB CO ==，得1E Ð=Ð．由2Ð是EOC D 的外角，得212E E Ð=Ð+Ð=Ð．由OC OD =，得22D E Ð=Ð=Ð．由3Ð是三角形ODE D 的外角，得323E D E E E Ð=+Ð=Ð+Ð=Ð．由372Ð=°，得372E Ð=°．解得24E Ð=°．故选：D ．4．如图，O e 的直径12AB =，弦CD 垂直AB 于点P ．若2BP =，则CD 的长为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，12AB =Q ，6OC OB \==，2PB =Q ，4OP \=，在Rt OPC D 中，CP ==，CD AB ^Q ，CP DP \=，2CD PC\==．故选：C．5．已知Oe的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则Oe上到弦AB所在直线的距离为2的点有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：过O点作OC AB^，交Oe于P，如图，3OC\=，而5OA=，2PC\=，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，\在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．故选：B．6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面2AB m=，拱高3CD m=，则该拱门的半径为( )A．53m B．2m C．83m D．3m【解答】解：如图，取圆心为O ，连接OA ，设O e 的半径为r m ，则OC OA r ==m ，Q 拱高3CD m =，(3)OD r m \=-，OD AB ^，2AB m =Q ，112AD BD AB m \===，222OA AD OD =+Q ，2221(3)r r \=+-，解得：53r =，\该拱门的半径为53m ，故选：A ．7．如图，在Rt ACB D 中60ACB Ð=°，以直角边AB 为直径的O e 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 的中点，OM 交AC 于点D ，O e 的半径是6，则MD 的长度为( )A B ．32C ．3D ．【解答】解：90ABC Ð=°Q ，60ACB Ð=°，30A \Ð=°，M Q 为弧AE 的中点，OM 过圆心O ，OM AD \^，90ADO \Ð=°，116322OD OA \==´=，633MD OM OD \=-=-=，故选：C ．8．如图，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是( )A ．2AC CD =B ．2AC CD <C ．2AC CD >D ．无法比较【解答】解：如图，连接AB 、BC ，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，AB BC CD \==，在ABC D 中，AB BC AC +>．2AC CD \<．故选：B ．二．填空题（共4小题）9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于125p 米，则跑道的宽度为 65 米．【解答】解：设运动场上的小环半径为r 米，大环半径半径为R 米，根据题意得：122()5R r p p -=，解得：65R r -=，即跑道的宽度为65米．故答案为：65．10．大圆的半径是R ，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大 234R p ．【解答】解：由题意得，大圆面积为2R p ，小圆面积为21()24R R p p ×=，1344R R R p p p -=，\大圆面积比小圆面积大234R p ，故答案为：234R p ．11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径就是圆的“等分线段” )．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度x 的取值范围是 x …【解答】解：如图，①等边三角形的高AD 是最长的“等分线段”，4AD ==；②当//EF BC 时，EF 为最短“等分线段”，此时，21()2EF BC =，即4EF =，解得EF =．所以，它的“等分线段”长x …故答案为：x …．12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，若该圆向x 轴正方向滚动2022圈（滚动时在x 轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为 (40441,1)p + ．【解答】解：如图，点(1,1)P ，点(1,0)A ，该圆向x 轴正方向滚动2022圈，点A 移动过的距离为2120224044p p ´´=，这点到原点O 的距离为40441p +，因此点P 的对应点的坐标为(40441,1)p +，故答案为：(40441,1)p +．三．解答题（共3小题）13．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于(r r 为常数），到点O 的距离等于r 的所有点组成图形G ，ABC Ð的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．求证：AD CD =．【解答】证明：根据题意作图如下：BD Q 是圆周角ABC 的角平分线，ABD CBD \Ð=Ð，\¶¶AD CD =，AD CD \=．14．如图，O e 的半径OC AB ^，D 为¶BC上一点，DE OC ^，DF AB ^，垂足分别为E 、F ，3EF =，求直径AB 的长．【解答】解：OC AB ^Q ，DE OC ^，DF AB ^，\四边形OFDE 是矩形，3OD EF \==，6AB \=．15．已知：如图，BD 、CE 是ABC D 的高，M 为BC 的中点．试说明点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．【解答】证明：连接ME 、MD ，BD Q 、CE 分别是ABC D 的高，M 为BC 的中点，12ME MD MC MB BC \====，\点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一圆上．。
浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质(含答案)
浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．三个点可以确定一个圆B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的弧是等弧2．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）A．24B．22C．12D．63．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=40∘，则∠AOB的度数是（ ）A．50∘B．60∘C．70∘D．80∘4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B．5C．25D．65．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）A．28°B．30°C．36°D．56°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为（ ）A ．103πB ．109πC ．59πD ．518π7．如图， AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若 ∠ABC =50° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．130°D ．140°8． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．3B ．6C ．3D ．239．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程：①作直径AF ；②以点F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接AM ，MN ，AN ．结论Ⅰ：△AMN 是等边三角形；结论Ⅱ：从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E （0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）A．3B．412C．72D．5二、填空题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝ °．12．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若四边形ABCD的外角∠DCE=65°，则∠BAD的度数是 ．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 ．的面积，可得π的估计值为33216．如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心5为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则A D2+B D2的最大值为 ．三、解答题17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，AD=BD，∠CAB=32°．求∠ACD的度数．18．如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为__________；（2）BC与B1C1的位置和数量关系为___________；（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(−1,−2)，B2(1,−3)，C2(0,−5)，则旋转中心的坐标为___________．20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求∠ACB的度数；（2）求BC的长；（3）求AD，BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，C是⏜BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF．（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．22．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由.（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积(结果保留π).23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A､B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．（1）求CD的长．（2）若CP=PQ，直接写出AP的长．（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ．②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】3512．【答案】513．【答案】65°14．【答案】15°15．【答案】316．【答案】49217．【答案】61°18．【答案】1619．【答案】（1）(2,2)；（2）平行且相等；（3）(0,−1)．20．【答案】（1）∠ACB=90°（2）BC=8cm（3）BD=AD=52cm21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB=90°-∠ABC，又∵C 是BD 的中点，∴CD =BC ，∴∠DBC=∠A ，∴∠ECB=∠DBC ，∴CF= BF ；（2）解：∵BC =CD ，∴BC=CD=6．在Rt △ABC 中，AB= BC 2+AC 2=62+82=10，∴⊙O 的半径为5；∵S △ABC = 12AB×CE= 12BC×AC ，∴CE= BC ×AC AB =6×810=245.22．【答案】（1）解：如图所示，连接OD ，∵D 为BC 的中点，∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD ，∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∴OD ∥AE.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥EF.∴OD 的长是圆心O 到EF 的距离.∵AB=90 cm ，∴OD=12AB=45 cm.（2）解：如图所示，过点O 作OG ⊥AD 交AD 于点G.∵DA=DF ，∴∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD ，∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG=OA2−O G2=33，AD=23，S△AOD=1×63×3=93.2+93=6π+93.∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×6236023．【答案】（1）解：连接OD，∵直径AB=10，AE=8，∴BE=2.∴OE=5-2=3.又∵AB⊥CD，在Rt△PED中，P D2=P E2+E D2∴ED=52−32=4∴CD=2ED=8（2）解：若CP=PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合．所以AP=5或8（3）解：①连接AC，由图可知∠ACQ=∠ADQ，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，所以CE=DE，即AB是CD的垂直平分线，所以AC=AD，PC=PD，因为AP=AP，所以∠ACP=∠ADP，所以∠ADP=∠ADQ．②∠ADP+∠ADQ=180°．理由如下：连接AC，因为AB是直径，AB⊥CD，所以AC=AD，CE=DE，所以△ACP≌△ADP（SSS），所以∠ACP=∠ADP，因为∠ACP=12ADQ，∠ADQ=12ACQ，所以∠ACP+∠ADQ=12（ADQ+ACQ）=180°．。
第24讲 圆的基本性 含答案
第24讲圆的基本性质1. (16，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )第1题图第2题图第3题图例1题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心2. (15，河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是( )A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE3. (12，河北)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( )A. AE>BEB. »AD＝»BCC. ∠D＝12∠AEC D. △ADE∽△CBE圆的有关概念例1 (2019，扬州邗江区一模)如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线相交于点E，且CE＝OB.已知∠DOB ＝72°，则∠E的度数为( )A. 36° B. 30° C. 18° D. 24°训练1题图训练2题图训练3题图例3题图针对训练1如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是( )A. 1 cmB. 2 cmC. 4 cmD. πcm针对训练2 (2019，海口模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC.若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为( )A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°确定圆的条件例2 (2019，北京)在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．例2题图针对训练3 (10，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M针对训练4 (2019，绥化)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB 于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为（）.圆的基本性质例3 (19，沈阳)如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD.若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是( )A. 1213 B.125 C.512 D.513针对训练5 (2019，绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为»BD的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ；(2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．训练5题图垂径定理及其应用 例4 (2019，梧州)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A. 2 6 B. 210 C. 211 D. 4 3例4题图训练6题图针对训练6 (19，黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(»AB )，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，C 是»AB 的中点，D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为( )A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m1. (2019，广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC于点D ，连接BD ，BC ，且AB ＝10，AC ＝8，则BD 的长为( )A. 2 5 B. 4 C. 213 D. 4.81题图2题图3题图4题图5题图2. (2019，吉林)如图，在⊙O 中，»AB 所对的圆周角∠ACB ＝50°.若P 为»AB 上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°3. (2019，白银)如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°4. (19镇江如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DC CB ＝.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数为( )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°5. (2019，贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，»»AB CD ＝.若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°6. (2019，聊城)如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长相交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )A. 35° B. 38° C. 40° D. 42°7. (2019，安顺)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为( )A. 13 B. 2 2 C. 223 D. 248. (2019，天水)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC的度数为( )A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°第6题图第7题图第8题图第9题图9. (2019，通辽)如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于( )A. π3 B.2π3 C.4π3 D. 2π10. (19，菏泽)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( ) A. OC∥BD B. AD⊥OC C. △CEF≌△BED D. AF＝FD11. (2019，陕西)如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB相交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( )A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°第10题图第11题图第12题图第13题图12. (2019，赤峰)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( )A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°.13. (2019，宁夏)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧»AB沿弦AB折叠交于OC的中点D.若AB＝210，则⊙O的半径为（）.14. (2019，盐城)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且»AB所对的圆心角为50°，则∠E＋∠C＝°.第14题图第15题图第16题图第17题图15. (2019，安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D.若⊙O的半径为2，则CD的长为（）.16. (2019，广元)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（）.17. (2019，嘉兴)如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（）.18. (2019，包头)如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝23，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.(1)求⊙O的半径；(2)求证：AB＋BC＝BM.(1)解：如答图①，连接OA，OC，过点O作OH⊥AC于点H.第18题图19. (2019，荆门)如图，已知锐角三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为R. (1)求证：ACsin B＝2R；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．第19题图1. (2019，湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分AB )可以求解．现已知弦AB ＝8 m ，半径等于5 m 的弧田，按照上述公式计算出弧田面积为 m 2.第1题图第2题图2. (2019，潍坊)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2……半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 ．(n 为正整数)3. (2019，福建)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF ＝DC ，连接AF ，CF .(1)求证：∠BAC ＝2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值．第3题图4. (2019，温州)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在BC 边上，且CA ＝CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连接DE 并延长交AB 于点G ，连接CD ，CF .(1)求证：四边形DCFG 是平行四边形； (2)当BE ＝4，CD ＝38AB 时，求⊙O 的直径． 第4题图第24讲圆的基本性质1. (16，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)第1题图第2题图第3题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心【解析】由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是△ABC的外心．2. (15，河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是(B)A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.3. (12，河北)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)A. AE>BEB. »AD＝»BCC. ∠D＝12∠AEC D. △ADE∽△CBE 【解析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，∴AE＝BE，»».AC BC＝∴选项A，B错误．∵∠AEC不是圆心角，∴∠D≠12∠AEC. ∴选项C错误．∵∠AED＝∠CEB＝90°，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE.∴选项D正确．圆的有关概念例1 (2019，扬州邗江区一模)如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线相交于点E，且CE＝OB.已知∠DOB ＝72°，则∠E的度数为(D)A. 36° B. 30° C. 18° D. 24°【解析】如答图，连接CO.可知CE＝OB＝CO，得∠E ＝∠1.由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E＋∠1＝2∠E.由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E.由∠3是△ODE的外角，得∠3＝∠E＋∠D＝∠E＋2∠E＝3∠E.由∠3＝72°，得3∠E＝72°.解得∠E＝24°.1题图1答图训练1题图训练2题图针对训练1如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是(C)A. 1 cmB. 2 cmC. 4 cmD. πcm 【解析】∵AB＝2 cm，∴圆的直径是4 cm.针对训练2 (2019，海口模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC.若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为(D)A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°【解析】∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAO＝70°.又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°.∴∠AOD＝180－70°－70°＝40°.确定圆的条件例2 (2019，北京)在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．(1)证明：如答图．∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴»»AD CD＝.∴AD＝CD. (2)解：如答图，连接OD.∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM.∵DF⊥BC，∴BC垂直平分DM.易得BC为直径．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝∠ABD.∴OD∥AB.∵DE ⊥AB ，∴OD ⊥DE .∴DE 为⊙O 的切线．∴直线DE 与图形G 的公共点个数为1.2题图 例2答图训练3题图 训练3答图针对训练3 (10，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B )A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M【解析】 如答图，连接BC ，作AB 和BC 的垂直平分线，它们相交于点Q ，则点Q 即为圆心．针对训练4 (2019，绥化)半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，连接OB ，OC ，延长CO 交弦AB 于点D .若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为（ 53或5 2 ）. 【解析】 如答图①，当∠ODB ＝90°时，CD ⊥AB ，∴AD ＝BD.∴AC ＝BC.∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∴∠DBO ＝30°.∵OB ＝5，∴BD ＝32OB ＝532.∴BC ＝AB ＝2BD ＝5 3.如答图②，当∠DOB ＝90°时，∠BOC ＝90°.∴△BOC 是等腰直角三角形．∴BC ＝2OB ＝5 2.综上所述，若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为53或5 2.训练4答图例3图训练5图训练5答图圆的基本性质 例3 (19，沈阳)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD .若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是(D )A. 1213 B. 125 C. 512 D. 513【解析】 ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.∵⊙O 的半径是13，∴AB ＝2×13＝26.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝10，∴sin B ＝AD AB ＝1026＝513.∵∠ACD ＝∠B ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝513. 针对训练5 (2019，绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为»BD的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ；(2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．(1)证明：∵C 是»BD的中点，∴»»CD BC ＝.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴»»BC BF ＝.∴»»CD BF ＝.∴CD ＝BF . 在△BFG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG (AAS)．(2)解：如答图，连接OC ，交BD 于点H ，连接OD ，BC .∵C 是»BD的中点，∴DC ＝BC .∵OD ＝OB ，∴OC 垂直平分BD .∴OC ⊥BD .∴DH ＝BH .∵OA ＝OB ，∴OH ＝12AD ＝1.∵OC ＝OB ，∠COE ＝∠BOH ，∠OEC ＝∠OHB ＝90°，∴△COE ≌△BOH (AAS)．∴OE ＝OH ＝1.∴OB ＝OE ＋BE ＝1＋2＝3.∴OC ＝3.∵CF ⊥AB ，∴CE ＝EF .在Rt △OEC 中，CE ＝OC 2－OE 2＝32－12＝22，∴EF ＝2 2.在Rt △BEF 中，BF ＝BE 2＋EF 2＝22＋()222＝2 3.垂径定理及其应用 例4 (19梧州)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是(C )A. 2 6 B. 210 C. 211 D. 43 【解析】 如答图，过点O 作OF ⊥CD于点F ，OG ⊥AB 于点G ，连接OB ，OD ，OE ，则DF ＝CF ，AG ＝BG ＝12AB ＝3.∴EG ＝AG －AE ＝2.在Rt △BOG 中，OG ＝OB 2－BG 2＝13－9＝2，∴EG ＝OG .∴△EOG 是等腰直角三角形．∴∠OEG ＝45°，OE ＝2OG ＝2 2.∵∠DEB ＝75°，∴∠OEF ＝30°.∴OF ＝12OE ＝ 2.在Rt △ODF 中，DF ＝OD 2－OF 2＝13－2＝11，∴CD ＝2DF ＝211. 例4题图例4答图训练6题图训练6答图针对训练6 (19黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(»AB )，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，C 是»AB 的中点，D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为(A ) A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m【解析】 如答图，连接OD.由题意可知点O ，D ，C 共线，且OC ⊥AB ，AD ＝DB ＝12AB ＝20 m ．在Rt △AOD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2.设这段弯路所在圆的半径为r ，得r 2＝(r －10)2＋202.解得r ＝25(m )．∴这段弯路所在圆的半径为25 m .1. (2019，广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，BC ，且AB ＝10，AC ＝8，则BD 的长为(C )A. 2 5 B. 4 C. 213 D. 4.8【解析】 ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6.∵OD ⊥AC ，∴CD ＝AD ＝12AC ＝4.在Rt △CBD 中，BD ＝42＋62＝213. 第1题图第2题图第3题图第3题答图2. (2019，吉林)如图，在⊙O 中，»AB 所对的圆周角∠ACB ＝50°.若P 为»AB 上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为(B )A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°【解析】 ∵∠ACB ＝50°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝100°.∵∠AOP ＝55°，∴∠POB ＝45°.3. (19白银)如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB 的度数是(C )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60° 【解析】 如答图设圆心为O ，连接OA ，OB.∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍，即AB ＝2OA ，∴OA 2＋OB 2＝AB 2.∴△OAB 为等腰直角三角形，即∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°. 4. (19镇江如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DCCB ＝.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数为(A )第4题图第4题答图第5题图A. 55°B. 60°C. 65°D. 70° 【解析】 如答图，连接AC.∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB ＝180°－∠BCD ＝70°.∵»»DCCB ＝，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝35°.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝55°. 5. (2019，贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，»»AB CD ＝.若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是(B )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70° 【解析】 ∵»»AB CD ＝，∠AOB ＝40°，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°.∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＝180°，∴∠BOC ＝100°.∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°. 6. (2019，聊城)如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长相交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为(C )A. 35° B. 38° C. 40° D. 42°【解析】 如答图，连接CD.∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC ＝90°.∴∠ACD ＝90°－∠A ＝20°.∴∠DOE ＝2∠ACD ＝40°第6题图第6题答图第7题图第7题答图7. (2019，安顺)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为(D )A. 13 B. 2 2 C. 223 D. 24【解析】 如答图，设⊙A 与x 轴负半轴相交于点D ，连接CD.∵∠COD ＝90°，∴CD 是直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，∴OD ＝CD 2－OC 2＝4 2.∴tan ∠CDO ＝OC OD ＝24.由圆周角定理得∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24. 8. (2019，天水)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为(C )A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°第8题图第9题图第9题答图第10题图【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形，∠D ＝80°，∴∠ACB ＝12∠DCB ＝12(180°－∠D)＝50°.∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEC ＝180°－∠D ＝100°.∴∠EAC ＝180°－∠AEC －∠ACB ＝180°－100°－50°＝30°.9. (2019，通辽)如图，等边三角形ABC 内接于⊙O .若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于(C )A. π3B. 2π3C. 4π3D. 2π 【解析】 如答图，连接OC.∵△ABC 为等边三角形，∴∠AOC ＝120°，S △AOB ＝S △AOC .∴阴影部分的面积＝S 扇形AOC ＝120·π×22360＝4π3. 10. (2019，菏泽)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论不一定成立的是(C )A. OC ∥BDB. AD ⊥OCC. △CEF ≌△BEDD. AF ＝FD【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD ，∴∠ADB ＝90°，∠OBC ＝∠DBC.∴AD ⊥BD.∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC.∴∠DBC ＝∠OCB.∴OC ∥BD ，选项A 成立．∴AD ⊥OC ，选项B 成立．∵OA ＝OB ，OC ∥BD ，∴AF ＝FD ，选项D 成立．∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立．11. (2019，陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 相交于点C ，连接OF .若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是(B )A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°第11题图第11题答图第12题图【解析】 如答图，连接FB.∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°－40°＝140°.∴∠FEB ＝12∠FOB ＝70°.∵EF ＝EB ，∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°.∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°.∴∠EFO ＝∠EFB －∠OFB ＝35°.12. (2019，赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为(D )A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【解析】 ∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，∴»»AC BC ＝.∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 13. (2019，宁夏)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，将劣弧»AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D .若AB ＝210，则⊙O 的半径为（ 3 2 ）.第13题图第13题答图第14题图第14题答图【解析】 如答图，连接OA.设⊙O 的半径为x.∵将劣弧»AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，∴OC ＝23x.∵OC ⊥AB ，∴AC ＝12AB ＝10.∵OA 2－OC 2＝AC 2，∴x 2－⎝⎛⎭⎫23x 2＝10.解得x ＝3 2.∴⊙O 的半径为3 2. 14. (2019，盐城)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且»AB 所对的圆心角为50°，则∠E ＋∠C ＝ 155 °. 【解析】 如答图，连接EA.∵»AB 所对的圆心角为50°，∴∠BEA ＝25°.∵四边形DCAE 为⊙O 的内接四边形，∴∠DEA ＋∠C ＝180°.∴∠DEB ＋∠C ＝180°－25°＝155°.15. (2019，安徽)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为2，则CD 的长为（ 2 ）.【解析】 如答图，连接CO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，则∠E ＝∠A ＝30°，∠EBC ＝90°.∵⊙O 的半径为2，∴CE ＝4.∴BC ＝12CE ＝2.∵CD ⊥AB ，∠CBA ＝45°，∴CD ＝22BC ＝ 2. 第15题图第15题答图第16题图第16题答图16. (2019，广元)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是（ 6＋3 3 ）.解析】 如答图，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，延长MO 交⊙O 于点P ，则此时点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值＝PM.∵OM ⊥AC ，∠A ＝∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，∴OP ＝OA ＝6.∴OM ＝32OA ＝32×6＝3 3.∴PM ＝OP ＋OM ＝6＋3 3.∴点P 到AC 距离的最大值是6＋3 3.17. (2019，嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为（ 12）.【解析】 如答图，连接OD.设⊙O 的半径为r.∵CD ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°.∴CD ＝OD 2－OC 2＝r 2－OC 2.∴当OC 的值最小时，CD 的值最大．∴当OC ⊥AB 时，OC 最小，此时OC ＝r 2－⎝⎛⎭⎫12AB 2.∴CD 的最大值为r 2－⎝⎛⎭⎫r 2－14AB 2＝12AB ＝12×1＝12.第17题图第17题答图三、 解答题 18. (2019，包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC ＝120°，弦AC ＝23，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC .(1)求⊙O 的半径；(2)求证：AB ＋BC ＝BM . (1)解：如答图①，连接OA ，OC ，过点O 作OH ⊥AC 于点H .第18题图第18题答图∴AH ＝HC ＝12AC .∵OA ＝OC ，∴∠AOH ＝∠COH ＝12∠AOC .∵∠ABC ＝120°∴∠AMC ＝180°－∠ABC ＝60°.∴∠AOC ＝2∠AMC ＝120°.∴∠AOH ＝12∠AOC ＝60°.∵AC ＝23，∴AH ＝12AC ＝ 3. 在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH OA ，∴OA ＝AH sin 60°＝2.∴⊙O 的半径为2. (2)证明：如答图②，在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE .∵∠ABC ＝120°，BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ＝12∠ABC ＝60°.∵BE ＝BC ，∴△EBC 是等边三角形．∴∠BEC ＝60°，BC ＝EC .∴∠MEC ＝120°.∴∠ABC ＝∠MEC .∵∠BAC ＝∠BMC ，∴△ACB ≌△MCE (AAS)．∴AB ＝ME .∵ME ＋EB ＝BM ，∴AB ＋BC ＝BM .19. (2019，荆门)如图，已知锐角三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R . (1)求证：AC sin B＝2R ； (2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．第19题图第19题答图第1题图(1)证明：如答图①，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ，则∠DCA ＝90°，∠B ＝∠ADC .在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC 2R ， ∴sin B ＝AC 2R .∴AC sin B＝2R . (2)解：由(1)同理可得AC sin B ＝AB sin C ＝BC sin A ＝2R . ∵AC ＝3，∠B ＝60°，∴2R ＝3sin 60°＝2.∴BC ＝2R ·sin A ＝2sin 45°＝ 2.如答图②，过点C 作CE ⊥AB 于点E .在Rt △BCE 中，BE ＝BC ·cos B ＝2cos 60°＝22.在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·cos A ＝3cos 45°＝62.∴AB ＝AE ＋BE ＝6＋22.∵AB sin ∠ACB＝2R ，∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.1. (2019，湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分AB )可以求解．现已知弦AB＝8 m ，半径等于5 m 的弧田，按照上述公式计算出弧田面积为 10 m 2. 【解析】 ∵AB ＝8，OC ⊥AB ，∴AD ＝4.∴OD ＝OA 2－AD 2＝3.∴OC －OD ＝2.∴弧田面积＝12×(8×2＋22)＝10(m 2)． 2. (2019，潍坊)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2……半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 (n ，2n ＋1) ．(n 为正整数)【解析】 如答图，连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1，l 2，l 3与x 轴分别交于点A 1，A 2，A 3.在Rt △OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2，∴A 1P 1＝OP 21－OA 21＝22－12＝ 3.同理A 2P 2＝32－22＝5，A 3P 3＝42－32＝7.∴点P 1的坐标为(1，3)，点P 2的坐标为(2，5)，点P 3的坐标为(3，7)．按照此规律可得点P n 的坐标是(n ，()n ＋12－n 2)，即(n ，2n ＋1)．3. (2019，福建)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF ＝DC ，连接AF ，CF .(1)求证：∠BAC ＝2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值．2题图2题答图3题图3题答图(1)证明：∵AB ＝AC ，∴»»AB AC ＝，∠ABC ＝∠ACB .∴∠ABC ＝∠ADB ，∠ABC ＝12(180°－∠BAC )＝90°－12∠BAC .∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°－∠DAC .∴12∠BAC ＝∠DAC .∴∠BAC ＝2∠DAC . (2)解：∵DF ＝DC ，∴∠DFC ＝∠DCF .∴∠BDC ＝2∠DFC .∴∠BFC ＝12∠BDC ＝12∠BAC ＝∠DAC ＝∠FBC . ∴CB ＝CF ＝4 5.又∵BD ⊥AC ，∴AC 是线段BF 的垂直平分线．∴AB ＝AF ＝10.∴AC ＝10. 设AE ＝x ，则CE ＝10－x .由AB 2－AE 2＝BC 2－CE 2，得100－x 2＝80－(10－x )2.解得x ＝6.∴AE ＝6，CE ＝4.∴BE ＝EF ＝8.设DE ＝y ，则CD ＝DF ＝8－y .在Rt △CDE 中，CD 2＝DE 2＋CE 2，即(8－y )2＝y 2＋42.解得y ＝3，即DE ＝3.∴BD ＝BE ＋DE ＝8＋3＝11.如答图，过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H .∵12AB ·DH ＝12BD ·AE ，∴DH ＝BD ·AE AB ＝11×610＝335.在Rt △BDH 中，BH ＝BD 2－DH 2＝445.∴AH ＝AB －BH ＝10－445＝65.∴tan ∠BAD ＝DH AH ＝33565＝112. 4. (2019，温州)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在BC 边上，且CA ＝CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连接DE 并延长交AB 于点G ，连接CD ，CF .(1)求证：四边形DCFG 是平行四边形； (2)当BE ＝4，CD ＝38AB 时，求⊙O 的直径． 第4题图第4题答图(1)证明：如答图，连接AE .∵∠BAC ＝90°，∴CF 是⊙O 的直径．∵AC ＝EC ，∴CF ⊥AE .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°.∴GD ⊥AE .∴CF ∥DG .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＋∠BAC ＝180°.∴AB ∥CD .∴四边形DCFG 是平行四边形． (2)解：由CD ＝38AB ，设CD ＝3x ，则AB ＝8x .由(1)知四边形DCFG 是平行四边形，∴CD ＝FG ＝3x .∵∠AOF ＝∠COD ，∴AF ＝CD ＝3x .∴BG ＝8x －3x －3x ＝2x .∵GE ∥CF ，∴BE EC ＝BG GF ＝23.∵BE ＝4，∴CE＝6.∴AC＝CE＝6，BC＝6＋4＝10.在Rt△ABC中，AB＝102－62＝8＝8x.∴x＝1.在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝32＋62＝3 5.∴⊙O的直径为3 5.。
中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)
圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。
【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。
圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。
以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。
初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)
第三讲圆的有关性质及有关的角一、知识要点：1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。
2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的心，它是三角形的的交点。
3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。
4、垂径定理的条件是，结论是。
5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都。
重、难点：圆的基本性质，垂径定理。
基础知识圆的有关性质和计算①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．②弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。
2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。
3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。
二、例题讲解（1）圆的认识1、（2005•扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、下列命题中，正确的是（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4、下列命题中，正确的个数是（）（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）垂径定理及推论例1、1．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．练习1、（2019•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．变式题1：（2010•襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。
专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
(典型题)浙教版九年级上册数学第3章 圆的基本性质含答案
浙教版九年级上册数学第3章圆的基本性质含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.90°2、如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（）A. B. C. D.3、如图，如果为的直径，弦，垂足为，那么下列结论中，错误的是（）A. B. C. D.4、如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A.6B.6C.8D.85、如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（）A. B. C. D.6、下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧.其中真命题的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个7、如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（）A.50°B.80°C.100°D.130°8、如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（）A.30°B.35°C.45°D.70°9、下列命题中，正确的是（）A.圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B.三点确定一个圆C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D.弦的垂直平分线必经过圆心10、已知⊙O的半径是3，OP=3，那么点P和⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定11、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.65°12、如图，已知在⊙O中，AB=4， AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.13、如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（）A.2B.3C.D.414、如图，半径为10的圆中，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB的长为（）A.5B.C.10D.15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.30°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，半径OB的长为3，则AB的长为________．17、如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为________．18、如图，正五边形和正六边形有一条公共边AB，并且正五边形在正六边形内部，连接AC并延长，交正六边形于点D，则∠ADE＝________°．19、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O 的半径是________.20、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转40°到△EFC的位置(点A与点E 是对应点)，若CF⊥AB，则∠F的度数为________.21、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝________.22、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=________23、半径为5的圆中有两条弦长分别为6，8的平行弦，这两条弦之间的距离是________．24、制作一个圆锥模型，要求圆锥母线长9cm，底面圆直径为10cm，那么要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片圆心角度数是________度．25、设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AI•ID＝________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．28、如图，ABCD是圆O的内接四边形，BC是圆O的直径，∠ACB=20°，D为弧的中点，求∠DAC的度数．29、如图，已知A(-2，-3),B(-3，-1),C(-1，-2)是平面直角坐标系中三点．（1）请你画出ABC关于原点O对称的A1B1C1；（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标．若将点A2向上平移h个单位，使其落在A1B1C1内部，指出h的取值范围.30、已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长(直接写出结果).参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、D4、B5、A6、B7、D8、B9、D10、B11、C12、D13、A14、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
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温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的 弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。
圆的基本性质
基础知识回放
考点 1 对称性 圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的 ____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点 2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条 _____⑧___________。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在 3 分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的 辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法， 其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情 况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过 圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点 3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。
常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11 ____________，所对 的弦_____○12 ___________。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13 ___________，所对的弧______ ○14 __________。
方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时， 通常作出直径就能解决问题。
温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个， 这两个圆周角互补。
中考热点难点突破
例 1：如图 1，正方形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 在劣弧 CAD 上不同于点 C 得到任意一点，则
A．5 米
B．8 米
C．7 米
D．5 3 米
8．（09 年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处
水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.4 米
B．0.5 米
C．0.8 米
D．1 米
9．（09 山西省太原市）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，若以点 C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经
（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点 4 圆周角定理及其推论
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15 __________，都等于这条弧所对的圆心角的
1 / 11
______○16 ________。
推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17 ________，90°的圆周角所对的弦是______○18 __________。
（）
A． 3 cm 2
B． 3cm
C． 2 3cm
D． 9cm
4．（09 年安徽）如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD＝ 2 2 ，BD＝ 3 ，则 AB 的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（09 年安徽）△ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度
为（ ）
3 A． cm
2
B． 3cm
C． 2 3cm
D． 9cm
2 / 11
2．（09 年天津市）如图第，1 △题A图BC 内接于第⊙O2，题若图∠OAB＝28第°3，题则图∠C 的大小第为4（题图 ）
A．28° B．56°
C．60° D．62°
3．（09 南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E,∠CDB＝30°, ⊙O 的半径为 3cm ，则弦 CD 的长为
∠BPC 的度数是（
A． 45
）
B． 60
C． 75
D． 90
A
D
O P
B
C
例1图
C
OAB来自E D 例2图CO
A
D
B
例3图
例 2：如图，在 A O 中， AOB 的度数为 m，C 是 AACB 上一点， D，E 是 AAB 上不同的两点（不与
A，B 两点重合），则 D E 的度数为（ ）
A． m
B．180 m 2
过 AB 的中点 D，则 AC 的长等于（ ）
数是（
） A．120°
B．125°
C．135°
D．150°
6．（09 年重庆）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径．若∠BOC＝80°，则∠A 等于（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
C
第 6 题图
第 7 题图
第 8 题图 A
D
B
第 9 题图
7．（09 年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为( )
C． 90 m 2
m
D．
2
例 3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，
路面 AB =10 米，净高 CD =7 米，则此圆的半径 OA =（ ）
A．5
B．7
37
C．
5
37
D．
7
中考效能测试
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．（09 年南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°,⊙O 的半径为 3cm ，则弦 CD 的长