(高二期末)2018-2019学年高二第一学期期末考试数学

宿迁市2018~2019学年度第一学期期末考试高 二 数 学（考试时间120分钟，试卷满分160分)注意事项:1．答题前，请您将自己的座位号填写在答题卡上规定的地方，准考证号的条形码粘贴在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色 中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．参考公式：])()()([1,)(122221221x x x x x x nS x x x n x n n -++-+-=+++= 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 写出命题“2,1x x N $?”的否定： ▲ .2. 某中学生一周内每日睡眠时间分别是6，6，7，x ，7，8，9(单位：小时)，若该组数据的平均数为7，则该组数据的方差为 ▲ .3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)M 到抛物线22(0)=>y px p 准线的距离为4， 则p 的值为 ▲ .4. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5. 如图，圆O 和其内接正三角形ABC ，若在圆面上任意取一点形ABC 外的概率为 ▲ .6. 如图是某算法流程图，则程序运行后输出S 的值为 ▲ ．7. 一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球. 若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为 ▲ . 8. 若曲线3=+y x ax 在=1x 处切线的斜率为2，则实数a 的值为 ▲ .（第5题）S ←1For I From 1 To 5 step 2 S ←S +2I End For Print S（第4题）9. 已知双曲线2222:=1(>0,>0)x y C a b a b-的一个焦点坐标为(2,0)，且它的一条渐近线与直线l ：0x =垂直，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .10. 若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为 ▲ .11. 若直线y x t =+与方程1x -所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数t 的取值范围为 ▲ .12. 已知椭圆2222+=1(>>0)x y a b a b的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .若点F 到直线AB，则该椭圆的离心率为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:()4,C x y t +-=圆222:(2)14C x y -+=.若圆1C上存在点P ，过点P 作圆2C 的切线，切点为Q ，且PO ，则实数t 的取值范围为 ▲ .14. 已知函数()e x f x ax =+(a 为常数，e 为自然对数的底数)，若对任意的[1,2]x ?，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.命题p ：指数函数=(3)x y m a -+是减函数；命题q ：m $?R ，使关于x 的方程2=0x x m -+有实数解，其中,a m ÎR .(1)当0a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； (2)当2a =-时，若p 且q 为假命题，求m 的取值范围.16．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了(2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？17．在平面直角坐标系xOy 中，已知∆ABC 的顶点坐标分别是(0,0)A ，(2,2)B，(1,C -，记∆ABC 外接圆为圆M . (1)求圆M 的方程；(2)在圆M 上是否存在点P ，使得224PA PB -=？若存在，求点P 的个数；若不存在， 说明理由．18. 如图，已知A 、B 两个城镇相距20公里，设M 是AB 中点，在AB 的中垂线上有一高铁站P ，PM 的距离为10公里.为方便居民出行，在线段PM 上任取一点O （点O 与P 、M 不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O 处，再铺设快速路分别到A 、B 两处.因地质条件等各种因素，其中快速路PO 造价为1.5百万元/公里，快速路OA 造价为1百万元/公里，快速路OB 造价为2百万元/公里，设(rad)OAM θ∠=,总造价为y (单位：百万元).(1)求y 关于θ的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)求总造价的最小值，并求出此时θ的值.（第18题）19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,在椭圆M ：22221(0)y x a b a b+=>>上，且椭圆M.(1)求椭圆M 的标准方程； (2)记椭圆M 的左、右顶点分别为12A A 、,点C 是x 轴上任意一点(异于点12A A O ，，)，过点C 的直线l 与椭圆M 相交于,E F 两点.①若点C的坐标为，直线EF 的斜率为1-，求△AEF 的面积;②若点C 的坐标为(1,0)，连结12,A E A F 交于点G ，记直线12,,A E GC A F 的斜率分别为123,,k k k ，证明：132k k k +是定值.20.设函数()ln 1f x x a x =+-()a R ∈，()ln g x x x =-.(1)当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 在[1,e]上的最小值(e 为自然对数的底数)；(3)是否存在实数a ，使得()()f x g x ≥对任意正实数x 均成立？若存在，求出所有满足条件的实数a 的值；若不存在，请说明理由.高二数学参考答案与评分标准1. *2, 1≤∀∈x x N2.873.24.195.14π- 6，417.415 8.1- 9.2213y x -= 10.56 11.(1,2]-- 12.1313.⎡-⎣ 14.1[e,]e -15.解（1）当0a =时，指数函数(3)x y m a =-+化为(3)x y m =-因为指数函数(3)x y m =-是减函数，所以031m <-< ..................4分 即23m <<所以实数m 的取值范围为(2,3).......................................6分 (2)当2a =-时，指数函数(3)x y m a =-+化为(1)x y m =-若命题p 为真命题，则011m <-<，即01m <<所以p 为假命题时m 的取值范围是0m ≤或1m ≥......................8分 命题q 为真命题时，即关于x 的方程20x x m -+=有实数解， 所以140m ∆=-≥，解得14m ≤， 所以命题q 为假命题时m 的取值范围为14m >........................10分 因为p 且q 为假命题，所以p 为假命题或者q 为假命题................12分所以实数m 满足0m ≤或1m ≥或14m >，即0m ≤或14m > 所以实数m 的取值范围为(]1,0,4⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭..........................14分16.解:(1)37a =，0.1b =，0.32c =....................................3分(2)10.05+30.1+50.37+70.32+90.16=5.88⨯⨯⨯⨯⨯...................9分 (3)()250.050.10.3713⨯++=.....................................13分 答：(1)表格中的37a =，0.1b =，0.32c =；(2)估计用户的满意度评分的平均数为5.88；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为13 .................................................................14分17.解:(1)设ABC ∆外接圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将(0,0),(2,2),(1,A B C代入上述方程得：0228040F D E D ⎧=⎪++=⎨⎪+=⎩ ............2分解得 400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.............................................4分则圆M 的方程为2240x y x +-= ..................................6分 (2)设点P 的坐标为),(y x ，因为422=+PB PA ，所以2222(2)(2)4,x y x y +----=化简得：30x y +-=...............................................8分 即考察直线30x y +-=与圆C 的位置关系 ............................10分 点M 到直线30x y +-=的距离为2d =< ...............12分 所以直线30x y +-=与圆M 相交，故满足条件的点P 有两个。

.........14分 18.解：(1)OAM θ∠=,PM AB ⊥,cos 10θBO AO ==10tan OM θ=，10-10tan OP θ=....................2分101012(1010tan ) 1.5cos cos y θθθ∴=⨯+⨯+-⨯30=15tan 15cos θθ-+2=15tan +cos （）15θθ-(0)4πθ<<....................................7分（定义域不写扣1分）(2)设22sin ()tan cos cos f θθθθθ-=-=则22cos sin (2sin )()cos f θθθθθ-+-'=22sin 1cos θθ-=....................................................10分 令()=0f θ'，1sin =2θ又04πθ<<，所以=6πθ. 当06πθ<≤,1sin 2θ<,()0f θ'<,()y f θ=单调递减；当6ππθ<<４,1sin 2θ＞,()0f θ'>,()y f θ=单调递增；....................14分所以()f q的最小值为()6f π= (15)分 答：y的最小值为(百万元)，此时6pq =..........................16分19.解:(1)因为222223141a b c a a b c⎧⎪+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=+⎪⎩，得224,1a b ==，所以椭圆的标准方程是2214x y +=.....................................2分 （2）设E F 、的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，①直线l:0x y +=代入椭圆方程得：2510y --=，所以121215y y y y +=-12y y -=分 所以1A EF1212∆=∙∙-S AC y y12)2=∙................................................6分②直线 11:(2)AG y k x =+，联立方程组122(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩得：1122221(41)161640k x k x k +++-=则2211112211164822,4141k k x x k k ---∙==++所以，1121441ky k =+ 所以2112211824(,)4141k k E k k -++ .....................................8分 同理可得： 2332233824(,)4141k k F k k --++ ....................................9分又因为,,C E F 三点共线，所以ECFC k k =，即E F CECF C Cy yy y x x x x --=--，将,,C E F 三点坐标 代入上式得：2122312213221344004141=2882114141k k k k k k k k ---++----++，化简得3122134411243k k k k -=--整理得： 1313(3)(14)0k k k k -+=，因为130k k >，所以1330k k -=即133k k =..11分又联立{A E 11A F 11:(2):(2)l y k x l y k x =+=-得131331312()4(,)k k k kG k k k k +-- ......................12分 所以1323113121131313140412212()261GG k k yk k k k k k k x k k k k k k k --=====-++--所以13121422k k k k k +==...............................................14分 当11x =时，点(1,E F G或(1,(4,E F G ，均满足1322k k k +=.所以132k k k+为定值......................................... ........ 16分20.解:(1)因为函数()ln 1f x x a x =+-，且1a =， 所以()ln 1f x x x =+-，()0,.x ∈+∞ 所以()f x x11'=+....................................................1分所以()11f =，().f '=12所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程是()y x 21=-，即x y 220--=....2分 (2)因为函数()()ln 10f x x a x x =+->，所以().a x a f x x x1+'=+= 1°当≥a 0时，()f x 0'>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.所以函数()f x 在[]1,e 上的最小值是()10.f =............................4分 2°当a <0时，令()f x 0'>，即x a 0+>，所以.x a >- 令()f x 0'<，即x a 0+<，所以.x a <-（i ）当a 01<-≤，即a 1≥-时，()f x 在[]1,e 上单调递增， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()10.f =（ii ）当a e 1<-<，即e a 1-≤≤-时，()f x 在[]1,a -上单调递减，在(],a e -上单调递增，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()ln 1.f a a a a -=-+-- （iii ）当a e -≥，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()1f e e a =+-............................7分 综上所述，当a 1≥-时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()10.f =当e a -≤≤-1时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()()ln 1.f a a a a -=-+-- 当a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()1f e e a =+-...................8分 (3)令()()()h x f x g x =-，则()2ln 1ln h x x x x x =--+，且(1)h =0若'(1)0h =，即2ln10a ++=，得2a =-.................................9分若2a =-时，()2ln 1ln h x x x x x =--+，2'()2ln h x x x=-+ 令2()2ln s x x x =-+，则221'()+s x x x=0>，则()s x 在(0,)+∞上是增函数， 而'(1)0h =，则有当01x <<时，'()'(1)0h x h <=，当1x >时，'()'(1)0h x h >=，所以当1x =时，()h x 有极小值，也是最小值，则有()()()(1)0h x f x g x h =-≥=成立........................................10分当2a <-时， ()ln 1ln h x x a x x x =+-+，（0x >），'()2l n ah x x x=++则'(1)20h a =+<，111'()22ln()ln()0222h a a a -=-+-=->所以在1(1,)2a -内存在0x ，使0'()0h x =，即当01x x <<时，有'()0h x <，则()h x 在0(1,)x 是减函数，则有()(1)0h x h <=，即()()f xg x <这与()()f x g x ≥不符，则2a <-不成立；……………………………………………………………………14分当20a -<<时，'()2ln ah x x x=++'(1)20h a =+>，111'()22ln()ln()0222h a a a -=-+-=-<则()h x 在0(,1)x 是增函数，则有()(1)0h x h <=，即()()f x gx <这与()()f xg x ≥不符；当0a ≥时，则1111111()ln()1ln()110h a a a e e e e e e e=+-+=---=--<，则有11()()f g e e<，这与()()f x g x ≥不符合.绽上所述，当且仅当2a =-时，()()f x g x ≥在定义域上恒成立. ………………16分。