函数与二次根式
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中一个重要的知识点。
在学习二次根式之前，我们首先来了解一下根式的定义。
一、根式的概念根式是代表求根运算的一种表示方法。
其中，被开方数叫做被开方数，开方的次数叫做指数，开方的运算叫做根号运算。
开方的基本性质有三个：非负性、唯一性、封闭性。
1. 非负性：对于任意的实数a，当a≥0时，a的平方根存在且唯一。
2. 唯一性：对于任意的实数a，其平方根是唯一的。
3. 封闭性：平方根的运算封闭在非负实数集合内。
二、二次根式的定义二次根式是指指数为2的根式，也即平方根。
如果a≥0，那么二次根式√a就是等于非负实数b的平方根。
例如，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。
三、二次根式的化简在计算二次根式时，有时需要对二次根式进行化简。
化简的目的是为了得到最简形式的二次根式。
二次根式的化简原则如下：1. 提出因式：如果二次根式中有完全平方因子，可以将其提出根号外部。
2. 合并同类项：如果根式中有相同的根号，则可以将其合并并进行运算。
3. 分解质因数：如果根式中的被开方数可以分解为质因数的乘积，那么可以在根号内部进行分解。
化简二次根式的过程需要掌握一定的分解质因数的技巧，并且需要熟练掌握平方数的求法。
四、二次根式的运算规则在二次根式的运算过程中，需要掌握以下几个基本的运算规则。
1. 加减运算：二次根式之间可以进行加减运算，但要求被开方数、指数相同。
2. 乘法运算：二次根式之间可以进行乘法运算，运算后仍然是二次根式。
3. 除法运算：二次根式之间可以进行除法运算，运算后仍然是二次根式。
4. 有理化：如果二次根式中含有分母，可以通过有理化的方法将其变为无理数的形式。
掌握了这些运算规则，我们可以在计算中利用它们进行简化和优化，使得计算更加方便和高效。
五、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛应用，在解决实际问题时也经常会用到。
1. 几何应用：在几何中，二次根式常常用来表示长度、距离等概念。
二次根式的意义一次函数超全基本内容
知识点1 二次根式的意义 形如a ( a≥0) 的代数式叫二次根式.一般的, a ( a≥0) 是一个非负数.二次根式中的被开方数a 既可以 表示一个数，也可以表示一个代数式。
如)1(1,1,32,51,32≥-+x x x 等，都是二次根式 注意：① 二次根式都含有二次根号""；② 在二次根式中，被开方数a 必须满足0≥a ，当0<a 时，根式无意义；③ 在二次根式中，a 可以是数也可以是一个代数式；④ 二次根式)0(≥a a 是a 的算术平方根，所以0≥a 。
知识点2 二次根式的性质 性质：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：性质a a =2表明：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，需注意的是2a 不是等于a ，而是等于a ，再根据a 的正、负确定最后的结果。
知识点3 2)(a 与2a 区别与联系1、联系：（1）当0≥a 时，2)(a =2a =a （2）2)(a 与2a 都是非负数2、区别：实数a 的取值范围不同，2)(a 中的a 的取值范围是0≥a ，2a 中的a 的取值范围是全体实数。
知识点4 二次根式的乘除法法则1、一般地，对二次根式的乘法规定)0,0(≥≥=∙b a ab b a 。
对二次根式的除法规定)0,0(>≥=b a b a b a 。
2、二次根式的乘法法则的逆用 把)0,0(≥≥=∙b a ab b a 反过来，就得到)0,0(≥≥∙=b a b a ab 把)0,0(>≥=b a b a b a 反过来，就得到)0,0(>≥=b a ba b a知识点5 最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式。
例如50可化简为25，32可化简为36等，而b a ，()2b a +，248ab ，x 1就不是最简二次根式．化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．知识点6 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
中考数学考点,二次函数的应用,数的开方与二次根式,精品系列
第六节二次函数的应用，精品系列课标呈现指引方向会利用二次函数解决简单的实际问题考点梳理夯实基础1．二次函数的实际应用问题(1)利用顶点坐标来求最值(2)最值不在顶点处取得(3)分段函数求最值问题2．解决二次函数的实际应用问题的关键在于：(1)理解问题；(2)分析问题中变量之间的关系；(3)建立二次函数模型，得到解析式：(4)运用二次函数的有关性质求解；(4)将所得结果结合实际情况进行检验．考点精析专项突破考点一二次函数与几何问题【例1】（2016四川内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．解题点拨：二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值．在此类实际问题中，最大（小）值有时会在顶点处取得，此时达到最大（小）值时的x即为顶点横坐标值，最大（小）值也就是顶点纵坐标值；有时会在端点取得．因此，对于实际问题中的最值问题要特别注意自变量的取值范围．解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米．依题意可列方程x( 30-2x)= 72，即x2-15x+36=0.解得x1 =3，x2 =12．∵当x=3时，30-2x =24>18，∴x=12.(2)依题意，得8≤30-2x≤18.解得6≤x≤11．面积S=x(30-2x)= -2(x-152)2+2252(6≤x≤11)．①当x=152时，s有最大值，s最大=2252；②当x =11时，S有最小值，S最小=11x(30-22)=88.(3)令x(30-2x)= 100，得x2-15x+50=0.解得x1=5，x2=10．∴x的取值范围是5≤x≤10．考点二二次函数与利润问题【例2】（2016湖北随州）九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下:已知商品的进价为30元／件，设该商品的售价为y （单位：元／件），每天的销售量为p （单位：件），每天的销售利润为W （单位：元）．(1)求出W 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．解题点拨：(1)此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，建立函数并运用函数的性质是解题的关键；(2)分段函数的分类讨论是本题的考查重点，因此本题要分段考虑．解：(1)当o ≤x ≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y =kx +b （k 、b 为常数且k ≠0）， ∵y =kx +b 经过点(0，40)、(50，90)，405090b k b =⎧⎨+=⎩，解得：140k b =⎧⎨=⎩， ∴售价y 与时间x 的函数关系式为y =x +40；当50<x ≤90时，y =90． ∴售价y 与时间x 的函数关系式为40050905090x x y x x x +≤⎧=≤<≤⎨⎩（，且为整数）（，且为整数） ’由题意可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为P=mx +n （m 、n 为常数，且m ≠0），∵P=mx +n 过点(60，80)、(30，140)， ∴608030140m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2200m n =-⎧⎨=⎩，∴P =-2x +200（0≤x ≤90，且x 为整数），当0≤x ≤50时，W =（y -30）•p=（x +40-30）（-2x +200）=-2x 2+180x +2000；当50<x ≤90时，W =(90-30)（-2x +200）=-120x +12000．综上所示，每天的销售利润W 与时间x 的函数关系式是221802000050120120005090x x x x x x w x -++≤≤-+<≤⎧⎪=⎨⎪⎩（，且为整数）（，且为整数） (2)当0≤x ≤50时，W =-2x 2+180x +2000 =-2（x -45）2+6050， ∵a =-2<0且0≤x ≤50．∴当x =45时，W 取最大值，最大值为6050元． 当50<x ≤90时，W =-120x +12000， ∵k =-120<0，W 随x 增大而减小，∴当x = 50时，W 取最大值，最大值为6000元．∵6050>6000．∴当x=45时，W最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．课堂训练当堂检测1．函数y=x2 +2x+3的最小值为( )A．-2 B．2 C．1 D．-1【答案】B2．已知0≤x≤1，那么函数y= -2x2+8x-6的最大值是( )2A．- 10.5 B．2 C．-2.5 D．-6【答案】C3．（2016四川成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树，橙子的总产量为W．则W与x的关系式为．【答案】W=-5x2+100x+600004．（2016云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函教关系图象．(1)求y 与x 的函数解析式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值， 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ． 根据题意，得：2030030280k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2340k b =-⎧⎨=⎩,∴y 与x 的函数解析式为y =-2x +340，(20≤x ≤40)． (2)由已知得：W =（x -20）（-2x +340） = -2x 2+380x -6800 = -2（x -95）2+11250， ∵-2<0．∴当x ≤95时，W 随x 的增大而增大， ∵20≤x ≤40．∴当x =40时，W 最大， W 最大值=-2(40-95)2+11250=5200(元) 中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．当x取( )时，二次函数y= -x2+1有最大值．B．0 C．1 D．2A．12【答案】B2．如果二次函数y= x2-2x+m的最小值为非负数，则m的取值范围是( )．A．m<1B．m>1C．m≤1D．m≥1【答案】Ｄ3．如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y( m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-1（x-4）2+3，由此可知铅12球推出的距离是（）A．3mB．7mC．10mD．14m【答案】C4．如图，重庆某长江大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需()秒．A ．12B ．18C ．24D ．36 【答案】Ｄ 二、填空题5．已知二次函数y =-x 2+4x +5，其中-2≤x ≤1，则y 有最小值为，最大值为．【答案】-7 86．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x ≤30，且x 为整数）出售，可卖出（40一x ）件．若使利润最大，每件的售价应为元． 【答案】307．（2016浙江丽水改编）如图，地面BD 上两根等长立柱AB ,CD 之间悬挂一根近似成抛物线y =2143105x x -++3的绳子，则绳子最低点离地面的距离为m ．【答案】1.4 三、解答题8．（2016山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出：当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少l辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，由50x-1100>0,解得x>22．又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元：(2)设每辆车的净收入为y元，当0<x≤100时，y1= 50x-1100，∵y随x的增大而增大，∴当x=100时，y1的最大值为50x100-1100= 3900；当x>100时．x ) x-1100y2=(50-1005=-1x2+70x-11005(x-175)x2+5025，=-15当x =175时，y 2的最大值为5025， 5025>3900．故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元． 9．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，记作△ABC ，它的边BC = 120mm ，高AD = 80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm ?小颖解得此题的答案为48mm ．小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加T 的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ?请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.解：(1)设矩形的边长PN = 2ymm ，则P Q=ymm ，由条件可得△APN ∽△ABC ． ∴PN AEBCAD =，即2120y =8080y -，解得y=2407，∴PN=2407×2=4807 ( mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ；(2)设PN =xmm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴PN BC=AE AD，即120x=8080PQ -， 解得PQ= 8023x -．∴S=PN ·PQ=x(8023x -)=23x -2+80x=22(60)3x -- +2400，∴S 的最大值为2400mm 2，此时PN= 60mm ，PQ=802603-⨯ =40(mm)．B 组 提高练习10．（2016山东青岛改编）如图，需在一面长度为l0m 的墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax 2+bx （a ≠0）表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34m ， 到墙边OA 的距离分别为12m ，32m ．则最多可以连续绘制( )个这样的抛物线型图案？ A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第10题【答案】(提示：根据题意得：B(12，34)，C(32，34)，把B ，C 代入y =ax 2+bx 得311442393442a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=-x 2+2x ；令y=0，即-x 2+2x=0，∴x 1=0．x 2=2，∴l0÷2=5，∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．选B ）1 1．（2016浙江台州）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．【答案】（提示：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y=a （t-l.l ）2+h ，由题意a （t-l.l ）2+h=a （t-l-l.l ）2+h ，解得t=1.6．故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．）12．（2015年江苏南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单元：元）、销售价 y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元． (2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1， ∵y 1=k 1x+b 1的图象过(0，60)与(90，42)，∴111609042b k b =⎧⎨+=⎩，解得110.260k b =-⎧⎨=⎩∴线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1=- 0.2x+60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2 =k 2x+b 2， ∵y 2=k 2x+b 2的图象过(0，120)与(130，42)，∴22212013042b k b =⎧⎨+=⎩，解得220.6120k b =-⎧⎨=⎩,第12题∴y 2与x 之间的函数表达式为y 2 =-0.6x+120(0≤x ≤130)． 设产量为xkg 时，获得的利润为W 元， 当0≤x ≤90时．W=x[(-0.6x+120)-（-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250 ∴当x= 75时，W 的值最大，最大值为2250． 当90≤x ≤130时．W=x[(-0.6x+120)-42]= -0.6(x-65)2+2535,由-0.6<0知，当x>65时，W 随x 的增大而减小，因此当x= 90咐，W 的值最大，最大值为W=-0.6(90-65)2+2535= 2160． ∴90≤x ≤130时．W ≤2160．因此，当该产品产量为75kg 时获得的利润最大，最大利润是2250元．第四节数的开方与二次根式，精品系列了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算，1(a≥0)的式子叫做二次根式．其中a叫被开方数．2．二次根式的性质：(1) a≥0）具有双重非负性，一是a≥00．(2)2()0a a=≥(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩3．二次根式的有关概念(1)最简二次根式：满足下列两个“不含”条件的二次根式是最简二次根式．①被开方数中不含分母，分母中也不含二次根式：②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．4．二次根式的运算：(1)加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是合并同类二次根式．(2)0,0)0)，b，=≥≥=≥>ab b a oa b a(3)运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．考点一根式的性质【例1】(1)（2015x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( )【答案】C(2)已知2-+=，则x+y的值为（）x y(3)0A．0 B．-1 C．1 D．5解题点拨：本题考查的知识点为：二次根式有意义则二次根式的被开方数是非负数．【答案】C考点二根式的运算【例2】(1)（2016龙岩）与（）A B C D．【答案】C(2)（2016南充）下列计算正确的是 ( )A =B 2=C =D x = 【答案】Ａ(3)下列运算中，错误的有 ( )个①5112=3=±2=1194520=+=. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C(4)（2016解题点拨：先化简成最简根式，再合并，【答案】解：原式== 考点三 根式的化简【例3】(1)当l<x<4(2)a 、b 、c a b +解题点拨：利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算．【答案】解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0,∴4125x x x =--+=-+．(2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1， ∴-a<0，a+b<0，c<0∴a a b c a b b c =--+=+-+.A 组 基础训练1．（2016白贡）若代数式x有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥l B ．x ≤1且x ≠0 C ．x ≠1 D ．x ≠0 【答案】A2．（2016巴中）下列二次根式中，是同类二次根式的是 ( )A.B. C D 【答案】B3．若2y =-则()yx y += .【答案】144．计算：(1)【答案】解：原式9=．(2) 2【答案】解：原式=0．(3) 2．【答案】解：原式= 30-(4)22(7(7-【答案】解：原式=2．一、选择题1．下列运算中错误的是 ( )AB C 2= D ．2 (3= 【答案】A2．化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于 ( ) A ．a-2 B ．a+2 C ．2 3a a -- D ．32a a --【答案】B3．已知x y =，则22x xy y ++的值为( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．7 【答案】B4．（2015孝感）已知2x =2(7(2x x ++值是 ( )A ．0B ．石C ．2+再D ．2 -万 【答案】C 二、填空题 5．在函数y =x 的取值范围是 ． 【答案】x>-26．（20153x =-，则x 的取值范围是【答案】3x ≤7．已知12x x =，则2212x x += ．【答案】10 三、解答题8．计算：01-)603π°．【答案】解：原式= 412--= 4-1-3 =0．(2) 1)． 【答案】解：原式=221)]1)3(21)321=-=--=-+=(3)0111)-+- 【答案】解：原式=11+=9．（2016桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式一海伦公式s （其中a ，b ，c 是三角形的三边长，2a b cp ++=，s 为三角形的面积） 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3,b=4,c=5. ∴ 2a b cp ++==6 ∴6s ===． 如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9， (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆半径r ．【答案】解：(1) ∵BC=5，AC=6，AB=9， ∴5691022BC AC AB p ++++===∴s =故△ABC 的面积：(2) ∵1()2s r AC BC AB =++,∴()15692r =++，解得：r =故△ABC 的内切圆半径r =B 组提高训练10．(2016乐山)在数轴上表示实数a 的点如图所示，2a -的结果为 ( )A ．-7B ．-3C ．7D ．3（提示：由圈可知2<a<5，原式=-(n-5)+a-2=3．） 【答案】D11．当a<1的结果是 ．（提示：∵a<1, ∴a<0，原式==-）【答案】-12．观察下列运算1=-+==…，=利用上面的规律计算⋯++. 【答案】解∵1=-===∴原式(2--2-1＝2013。
初中二次根式的知识点归纳
初中二次根式的知识点归纳一、定义1、二次根式：又称二次多项式，指的是二次项不为零的多项式，即具有ax^2 + bx + c 的多项式，其中a≠o。
二、概念1、二次项：又称“平方项”，形式为 ax^2，指的是以被平方的变量为指数的多项式，一般用系数a来表示，a可以是实数或复数。
2、一般式：指具有ax^2 + bx + c 的二次多项式，其中 a、b、c可以是实数或复数，此式也叫二次根式。
3、系数：指二次根式 ax^2 + bx + c 中的 a、b、c，称为它的系数。
三、展开1、运用乘积平方公式，可把二次根式拆分展开：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b^2)/(4a) + c2、如果二次根式没有复数系数，可以使用完全平方公式，将二次根式展开为两项，形式为：ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1。
四、解决方式1、平方根法：指将平方根和立方根准确到小数点后两位加减法，称之为平方根法。
2、完全平方公式：将ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1 方法，此方法可将一般式Ax^2+bx+c转换为(x+a1)^2+c1的形式，采用此方法可以直接求出根式的解。
3、因式分解法：此方法适用的几何平均数，多次乘方求和，解析求根，其中包含了一些基本算术技巧，比如乘法交换律，变乘法公式等。
五、配套计算器的使用1、计算机的完成二次根式的算子运算，是根据一般式 ax^2 + bx + c = 0 这种二次根式，采用特定的算子运算，得到根式的解及解的类别。
2、计算机在进行算子运算时，根据具体情况采用不同的算子算法，从而得出不同的解，如采用二次公式，可以得出根式的解及解的类别。
3、计算机给出的结果即为根式的解，如配套的计算器能够得到，ax^2+bx+c=0的两个实数根，或有2个复根的情况。
六、实际应用1、二次根式的实际运用比较广泛，它可以用来准确表达物理现象，例如平抛运动中的受力，圆锥曲面等物理现象等。
九年级数学上二次根式、一元二次方、二次函数的归纳复习
复习一 二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
考点：会求其取值范围、2、最简二次根式 ：分母不含有根号（若有的话要分母有理化)、被开方数必须开尽 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a)0(≥a a（2）==a a 2)0(<-a a（3）)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）)0,0(≥≥=b a bab a 5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号） 1．计算22-）（，结果是（ ）A ．－2B ．2C ．±2D ．4 2．下列计算正确的是（ ）A ．12-3=B ．523=+C ． 23222=+D ．22-22=1. 下列计算中正确的是（※）（A ） 2(5)5-=- （B ）1222= （C ） 235+= （D ）1832=±1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ） （A ）8a （B ）5a （C ）3a（D ）22a a b +2.如果3a -有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）0a ≥ （B ）0a ≤ （C ）3a ≥ （D ）3a ≤6．下列同类二次项的是（ ） Ａ.23 Ｂ．12 Ｃ．32 Ｄ. 24 1.下列计算中，正确的是（ ）A.164=±B.32221-=C.2464÷= D.2623⨯= 2. .如果2(21)12a a -=-，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥1212．使式子3-x 有意义x 的取值范围是 . 1、=--1)112a a （，化简＜若11. 计算:(23)(23)a a +-= . 2、实数a,b 在数轴上的位置如图所示，化简的结果2a b a --3、若=+--+-y x y x y x 互为相反数，则与392--4、已知的值则xy x x y 2,32-552-+-=5、若n 20是整数，则正整数n 的最小值为_______3、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2－6a+9+，则△ABC的形状是 三角形．(3). 17.计算：)23)(23()13(2+--- （2）11383322+-+；一元二次方程 一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
例谈含二次根式的函数值域的常用求法
例谈含二次根式的函数值域的常用求法含二次根式的函数值域的求法可以通过以下几种常用方法来进行。
首先，我们需要明确值域的定义：对于函数$y=f(x)$，值域是指$y$的所有可能值的集合。
1.图像法：对于二次根式函数，可以先绘制函数的图像，通过观察图像来判断值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，当$x$取非负的实数时，$y$有意义，所以值域为非负的实数集合，即$[0,+\infty)$。
类似地，对于函数$y=\sqrt{a-x}$，可以通过绘制图像，观察$x$的取值范围，以及函数图像的上下界来确定值域的范围。
2.代数法：通过代数方法来求解函数的值域，主要利用一些基本的代数性质和不等式。
a) 对于含有单个二次根式的函数，可以利用平方的性质，将根号去掉，然后再进行值域的判断。
例如，对于函数$y=\sqrt{ax+b}$，可以通过平方等式$x=ky^2+m$来求解。
首先令$y=kx+m$，然后进行平方运算得到$x=k(y-m)^2$。
通过观察得到，当$k>0$时，函数的值域为$(m,+\infty)$；当$k<0$时，函数的值域为$(-\infty,m)$。
b) 对于含有多个二次根式的复合函数，可以通过合并根号，并运用不等式来求解值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}+\sqrt{9-x}$，可以合并根号并利用不等式$x^2-4\geq 0$以及$9-x\geq 0$。
然后再利用不等式来求解函数的值域。
3.求解不等式：对于含有二次根式的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。
例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}$，可令$y\geq 0$，然后通过求解$x^2-4\geq 0$来确定$x$的范围。
根据不等式的求解，可以得到$x\leq -2$或$x\geq 2$。
所以该函数的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。
综上所述，含二次根式的函数值域的常用求法有图像法、代数法和求解不等式。
二次函数及二次根式-二次根式有意义的条件习题
15、若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k += .16、抛物线23(1)5y x 的顶点坐标为__________．17、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．18、抛物线2y x bx c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为 ．19、函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．20、图为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）21．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）22、已知关于x 的函数y=(m+6)x 2+2(m-1)x+m+1的图像总有交点（1）求m 的取值范围；（2）当函数图像与两个交点的横坐标的倒数和等于-4时，求m23.如图，二次函数y=x 2+px+q （p<0）的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），△ABC 的面积为45，求该二次函数的关系式（二）二次函数的实际应用1. 边长为4米的正方形的中间挖去一个边长为x 的小正方形，剩下四方框形的面积为y,y 与x 之间的函数关系式为 。
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 不是二次根式；(2）是一个重要的非负数,即；≥0.2．重要公式：(1))0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=。
3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。
4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：(1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
8．常用分母有理化因式:a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式。
9．最简二次根式:（1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母；(3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．二次根式化简题的几种类型：(1)明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算:（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如:化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a (,a ≥的式子,叫做二次根式（1)二次根式中，被开方数必须是非负数。
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
沪科版八年级数学下册教学设计《第16章二次函数16.2二次根式的运算(第2课时)》
沪科版八年级数学下册教学设计《第16章二次函数16.2二次根式的运算(第2课时）》一. 教材分析《第16章二次函数16.2二次根式的运算(第2课时）》这一节的内容，主要是对二次根式的运算进行深入的讲解和练习。
在前一课时，学生已经了解了二次根式的定义和性质，本课时将在此基础上，进一步学习二次根式的加减乘除运算，以及混合运算的法则。
教材通过具体的例题和练习题，使学生掌握二次根式的运算方法，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式的概念和性质有一定的了解。
但学生在进行二次根式运算时，容易出错，对混合运算的法则理解不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、交流，发现二次根式运算的规律，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会运用二次根式的加减乘除法则进行计算，解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、思考、交流，发现二次根式运算的规律，提高他们的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够感受到数学与生活的联系，增强他们对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握二次根式的加减乘除运算方法，解决一些简单的实际问题。
2.教学难点：学生对混合运算的法则的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用引导发现法、讨论法、练习法等教学方法。
通过引导学生观察、思考、交流，发现二次根式运算的规律，提高他们的数学思维能力。
同时，我将运用多媒体教学手段，展示二次根式的运算过程，使学生更加直观地理解二次根式的运算方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习上一课时所学的内容，引导学生回顾二次根式的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.教学新课：讲解二次根式的加减乘除运算方法，通过具体的例题，使学生掌握二次根式的运算规律。
3.巩固练习：学生进行一些相关的练习题，巩固新学的知识。
4.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学的内容，使学生对二次根式的运算有一个清晰的认识。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。
在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。
本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
让我们从最基础的概念开始。
所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。
开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。
二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。
这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。
在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。
在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。
对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。
开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。
开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。
在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。
3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。
还有一些常见的运算法则需要注意。
如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。
设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。
所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。
初二下册数学二次根式知识点
初二下册数学二次根式知识点
一、二次根式的定义
二次根式是一种常见的函数，是表示二次函数y = ax2+ bx+ c (a≠ 0) 的根的简写形式。
它一般由一个未知数 x 和一些常数 a、b、c 组成，它的形式如：ax2+ bx+ c= 0。
二次根式又称二次方程根，二次根式中的常数 a、b、c 可以推倒出
二次函数 y = ax2+ bx+ c，这时 x 可以表示为 ax2+ bx+ c = 0中它的解，也就是 y 轴上的两个变化点，这样 x 就变成了 ax2+ bx+ c = 0 中
一个变量，而不是一个常数。
二、二次根式的解法
1、求根公式法
即已知二次根式 ax2+ bx+ c = 0，求解 x 的一般解法，首先用根公
式法，即设 x1、x2 是该方程的根，则有：
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
根据以上两式可求出：
x1 = [-b + √(b2- 4ac)]/2a x2 = [-b - √(b2- 4ac)]/2a
2、分部分求根法
即将二次根式分成两部分，一部分是首项与其系数之积 ax2，另一部
分是常数项 c，将两部分分别化简。
(1) 首先将 ax2 化简为 A，求出 bx + c = 0 的解 x1；
(2) 然后将 A + bx = 0 化简为 ax2 + bx = -c，求出其解 x2
二次根式的解有一般解和特殊解，当a、b、c中有变数时，可以用一般解；当a、b、c中有常数时，可以用特殊解。
三、二次根式的应用
1、二次根式可以用来求解一元二次方程，根据一元二次方程 y = ax2+ bx+ c = 0 的特点，可以求出两个不同的解，分别为 x1、x2。
考点02 二次根式(解析版)
考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b ab a b =≥≥；除法法则：(0,0)a aa b bb=≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．1．在函数12x y x -=-中，自变量x 的取值范围是（）A ．0x ≥且2x ≠B ．2x >C ．1x ≥且2x ≠D ．1x >且2x ≠【答案】C【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得．【详解】解：在函数12x y x -=-中，．B．．D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．-【答案】2a-【答案】（1）5；（2）2a(1)______的解法是错误的；(2)当2a =时，求26911a a a -++-的值．【答案】(1)小亮OA=__________(1)填空：210(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：(133+(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分正方形(3)把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点的数为______．【答案】(1)4cm(1)则原来大正方形的边长为号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少2 1.414,3 1.732,≈≈【答案】(1)42；2A．20cm B．5【答案】A【分析】本题考查二次根式的应用，出关系式，去括号合并即可得到结果．。
二次根式深度理解-概述说明以及解释
二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。
它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。
二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。
例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。
本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。
在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。
然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。
最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。
通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。
二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。
2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。
具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。
2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。
2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。
二次根式与一元二次方程与二次函数
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：2、a b=ab（a ≥0，b >0） 数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根一元二次方程和二次函数知识点汇总2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x (y 轴)(0,0) k ax y +=20=x (y 轴) (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是高中数学中的重要知识点，主要涉及到二次方程、二次函数和根的性质等内容。
下面将从概念、性质、应用和解题方法等方面详细探讨二次根式相关知识，共计2000字。
第一部分：概念和性质引入二次根式的概念，首先需要明确根的定义。
根，也称为平方根，是指一个非负数b，使得b的平方等于一个给定的数a。
根的符号为√，如√a表示根号下a。
在二次根式中，被开方的数被称为被开方数或者被开方式，√a称为二次根式。
二次根式的性质包括如下几点：1. 二次根式的结果为非负数，即√a≥0。
2. 二次根式的结果可以是一个有限小数，也可以是一个无限循环小数。
3. 二次根式的运算可以进行加、减、乘、除等操作，遵循相应的运算规则。
第二部分：应用二次根式在数学中的应用广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 几何中的长度计算：在三角形或其他几何图形中，二次根式可以用来计算边长、斜边等长度。
例如，在勾股定理中，直角三角形的斜边长度就可以通过二次根式求解。
2. 物理中的速度计算：在物理中，速度的大小通常使用二次根式表示。
例如，某物体从静止开始以匀加速度运动，其速度可以表示为v=a√t，其中a为加速度，t为时间。
3. 统计中的标准差计算：在统计学中，标准差用于衡量数据的离散程度。
标准差的计算中涉及到对平方根的运算。
第三部分：解题方法解决二次根式相关问题需要掌握一些常用的解题方法。
1. 提取公因式法：当二次根式分子、分母都有相同的因式时，可以提取公因式进行简化。
例如，化简√(20/45)，可以提取公因式得到√(4/9)。
2. 平方差公式：平方差公式可以用来化简一些特殊形式的二次根式。
例如，化简√(a-b)(a+b)，可以利用平方差公式得到√(a^2-b^2)。
3. 有理化分母法：当二次根式的分母是一个二次根式时，可以通过有理化分母的方法来进行化简。
例如，化简1/√3，可以将分母有理化为√3/3。
4. 定理运算法：在一些复杂的二次根式运算中，可以通过引入一个合适的定理来进行化简。
二次函数及二次根式-知识新受
三、知识新授（一）二次函数的基本知识1、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）A ．222-=x y B ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y 2、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）3、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）．A ．2B ．1C ．－3D ． 234、抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，5、根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ）A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点6、二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ）A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，7、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定9、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．010、小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个11、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =12、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式（ ）xyO1 1211O1xyOA.()22412+--=x y B. ()42412+-=x yC.()42412++-=x y D. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y13、要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）． A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位14、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是 （） A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b。
根式函数公式汇总
根式函数公式汇总1. 根式函数定义根式函数是指含有根号的数学函数，通常表示为√x，其中x为函数的自变量。
根式函数可以用来表示平方根、立方根等。
2. 常用根式函数公式汇总以下是一些常见的根式函数公式：- 平方根函数：- √(a * b) = √a * √b- (√a)^2 = a- √(a^2) = a，其中a为非负实数- √(a/b) = √a / √b，其中a、b为非负实数- 立方根函数：- ^(3)√(a * b) = ^(3)√a * ^(3)√b- (^(3)√a)^3 = a- ^(3)√(a^3) = a，其中a为实数- ^(3)√(a/b) = ^(3)√a / ^(3)√b，其中a、b为实数且a/b≥0- n次方根函数：- ^(n)√(a * b) = ^(n)√a * ^(n)√b- (^(n)√a)^n = a- ^(n)√(a^n) = a，其中a为实数- ^(n)√(a/b) = ^(n)√a / ^(n)√b，其中a、b为实数且a/b≥0以上公式可以帮助你在计算根式函数的过程中简化求解，并且可以根据需要进行变形。
3. 注意事项在使用根式函数公式时，需要注意以下几点：- 确保根号内的值为非负实数，否则将无法求解实数解。
- 注意乘法和除法运算的顺序，不同的顺序可能导致结果不同。
- 在计算多次方根时，注意区分奇次方和偶次方的不同性质。
4. 示例假设有以下根式函数：- f(x) = √(5x+2)- g(x) = ^(3)√(2x-3)根据上述公式，可以得到以下推导：- f(4) = √(5*4+2) = √(22) ≈ 4.69- g(5) = ^(3)√(2*5-3) = ^(3)√7 ≈ 1.91注意，在计算时应根据具体的函数表达式进行相应的公式运算。
5. 总结本文总结了根式函数的一些常用公式，希望可以帮助你更好地理解和应用根式函数。
在使用根式函数时，需要熟练掌握公式和注意事项，以避免求解错误或出现歧义。
数学二级公式
数学二级公式
数学二级公式是指在数学中的二级方程、二次函数、二次根式等涉及二次项的公式。
二级公式在数学中具有重要的地位和应用价值，它们广泛应用于数学、物理、工程学等领域。
二级方程是指含有二次项的代数方程，一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
解二级方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式法等。
二级方程的解可以是实数或复数，这取决于方程的判别式D=b^2-4ac的正负性。
二次函数是指形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
二次函数的性质包括对称性、单调性、最值、零点等，这些性质在实际问题中具有重要的意义。
二次根式是指含有平方根的根式，形式为√(a+b√c)，其中a、b、c 为有理数。
二次根式的化简可以利用共轭、分离平方根、合并同类项等方法进行。
二次根式在几何学、三角学、复数等领域的计算中经常出现，特别是在勾股定理、复数的模等概念中有广泛的应用。
除了上述提到的二级公式，还有一些其他的二级公式，如二次方差、二次平均值不等式、二次剩余等，它们在数学的不同分支中有各自的
应用。
掌握和理解数学二级公式的概念和性质，有助于提高数学解题能力和理解数学的本质。
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八上期末练习（1）
姓名：
一、填空题：
1、下列式子中：3,40,1,,1,2,16222-+++n b a a a ，是二次根式的是 ，若A=42)9(+a ，则A 的算术平方根是 。
2.若a 为正整数，a -5为整数，则a 的值可以是 ；已知t=212x --，当x= 时， t 的最大值是 。
3.已知有理数a,b 满足等式,33
2
235a b a -+
=-则a= ；b= 。
4.如果x 是任意实数，则2x = ；()2
2a a =
成立的条件是 ；当a 时，
12=a a ；当a 时，12
-=a
a ； 5
2
690y y -+=则xy= ； 6．已知直线1y x =，2113y x =
+，24
55
y x =-+的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值，则y 的最大值为 。
7．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，
C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是______________．
8．已知直线y=- 3x+ 3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，在坐标轴上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角
形，则符合条件的点P 有（ ）个． A 、4 B 、6 C 、7 D 、8
9．如图所示，直线OP 经过点P （4
，，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11…分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2…Sn ，则Sn 关于n 的函数关系式是
第6题图
第9题
10.如图，直线y=-
43x+4与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线44
55
y x =+与x 轴交于点C ，则△ABC 的面积为 ．
11.如图，在直角坐标系中，直线
4y x =+分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，且∠B=30°，AB=4，将△ABO 绕原点O 顺时针转动一周，当AB 与直线MN 平行时点A 的坐标为
12、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根，其中正确的是----------（ ）
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
13、若a 不等于0，a,b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是-（ ） A b a 与 B.22b a 与 C.33b a 与 D.3333b a 与 14、方程2001=+
y x 的整数解有--------------------------（ ）
A.不存在
B.仅有一组
C.仅有两组
D.至少有4组 15．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积这和是 （ ）
A ．1
B ．3
C ．3(1)m -
D ．
3
(2)2
m - 16.如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y=ax ，y=（a+1）x ，y=（a+2）x 相交，其中a ＞0．若图中阴影部分的面积是75a ，则a 为
17.已知：如图，直线y=-x+4分别与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）
A
、 B 、6 C 、
D 、
4+ 第10题 第11题
第17题
三、解答题： 1、计算： ①12＋24
3
－
212
②2)21(-+2
)32(-+(
)
2
22008
2007)43(-++-
③()
12007)2006
200713
412
311
21(+++++
++
+
2、设a,b 为实数，且
022=-+-b a 。
①求2
2
22b a a +-的值；
②若满足上式的a,b 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积。
3.已知直角三角形的两边长分别为53和，求这个直角三角形的面积。
4.已知的值。
求12423,132
22-+--+=
x x x x x 3.已知b a b a b a ab b a -+>>=+，求，且0622。
5.化简① ② ③ 7
5210
2-+)231()169()2(22<<+--x x x x 2
221244x x x x ++++-
6.把根号外的因式适当变形后移入根号内： （1）a
a
1
263--）；（ ； （3）4)3(--+a a
7.写出下列等式成立的条件：
（1）12)12(2-=-x x ； （2）x x 21)12(2-=-；
（3）21)2)(1(-∙+=-+a a a a ； （4）
8.化简下列各式：
（1）)2()2(2≥-x x （2）)2()2(2≤-x x （3
）
9.如图，为了测量树的高度AB ，一个人在离树15米E 处，测得∠ACD=60°，此人的身高CE 为1.62米，求树高。
10、如图，飞行员在飞机B 上用雷达测得飞机与目标城市A 的距离c 为m 2
105.4⨯，且侧得对这个目标得俯角α=45°，设地面是平的，求飞机此时的高度。
a C
B 2
323++=++x x x x
2
)2(x -
11.计算： （1）27482
1
3153122-+- （2）5)0,0)(31(23≥>--b a b a a a a
12.先化简，再计算：2232234
141ab b a a ab b a a +++++，其中a=9,b=5.
13.已知：147=+
y x ，且x,y 都是正整数，求x+y 的值。
14．如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,直线BD 平分∠OBA,交x 轴于D 点．
（1）连接AB 的中点M 交BD 于N,求证：ON=OD ．
（2）如图2，过点A 作AE ⊥BD,垂足为E,猜想AE 与BD 间的数量关系,并证明你的猜想； （3）如图3,在x 轴上有一个动点P （在A 点的右侧）,连接PB,并作等腰直角三角形BPF,其中∠BPF=90°,连接FA 并延长交y 轴于G 点,当P 点在运动时,OG 的长是否发生改变,若改变,请求出它的变化范围；若不变,求出它的长度．
出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第15题图
备用图1。