二次根式和一元二次方程知识点.docx

二次根式

1. 二次根式的概念： 形如 的式子叫做二次根式．

2. 二次根式的性质：

（1） ( a )

2

（ ≥ ）；（ ） a

；（ ） a 2

___(a 0)

0(a ≥

0) ____ ___(a

0)

a 02

3

___(a 0)

3. 二次根式的乘除：

乘法运算： a

b ___(a 0,b

0)

计算公式：

除法运算： a

___(a

0,b 0)

b

最简二次根式： (1)

(2)

(3)

4. 概念： 1.

2.同类二次根式：

5. 二次根式的加减： ( 一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式．

6. 二次根式化简求值步骤： (1) “一分”：分解因数（因式） 、平方数（式）；(2) “二移”：

根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； (3) “三化”：化去被开方数中的分母．

7. 二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

一元二次方程

1.一元二次方程：

1)一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程．

2)一元二次方程的一般形式： ax 2 bx c 0(a 0) ．

它的特征：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零．

ax 2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常

数项．

2.一元二次方程的解法：

1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．

直接开平方法适用于解形如( x a) 2 b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，

x a 是 b 的平方根，当 b 0 时，x a b ， x a b ，当b<0时，方程没有实数根．

2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式 a 22ab b2(a b) 2，把公式中的a看

做未知数 x，并用 x 代替，则有x22bx b 2( x b)2．

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上

1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．

3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

一元二次方程 ax 2bx c 0(a0) 的求根公式： x bb 24ac (b24ac 0)

2a

4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里

指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．

3.一元二次方程根的判别式：

一元二次方程ax 2bx c0(a0) 中，b24ac 叫做一元二次方程ax 2bx c0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即 b 24ac ．

1)当△ >0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；

2)当△ =0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；

3)当△ <0 时，一元二次方程没有实数根．

4.韦达定理：

如果方程 ax 2bx c 0(a0) 的两个实数根是x，x，那么x

1b，c．也

12x2x1x2

a a

就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．

5.一元二次方程的二次函数的关系：

其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当 y=0 的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了．