1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(学、教案)

1. 2 独立性检验的基本思想及其初步应用

课前预习学案

一、预习目标：能用所学的知识对实际问题进行回归分析，体会回归分析的实际价值与基本

思想；了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关指数和残差分析。 二、预习内容

1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.

温度/x C

21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 7

11

21 24 66

115

325

（学生描述步骤，教师演示）

2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.

课内探究学案

一、学习要求：

通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用

学习重点：

对独立性检验的基本思想的理解.

学习难点：

独立性检验的基本思想的应用.

二、学习过程：

知识点详解

知识点一：分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.

知识点二：列联表

为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：

吸烟与患肺癌列联表

不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计

9874

91

9965

像上表这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表. 知识点三：独立性检验

这种利用随机变量K 2

来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.

知识点四：判断结论成立的可能性的步骤

一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为｛x 1，x 2｝和｛y 1，y 2｝，其样

501001502002503003500

10203040

温度

产卵数

本频数列联表（称为2×2列联表）为：

若要推断的论述为

H1：“X与Y有关系”，

可以按如下步骤判断结论H1成立的可能性：

（1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.

①在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积xd与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大.

②在二维条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例

a a＋

b ，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例

c

c＋d

.两个比例的

值相差越大，H1成立的可能性就越大.

（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法是：根据观测数据计算由K2＝n（ad－bc）2

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

给出的检验随机变量K2的值k，其值越大，说明“X 与Y有关系”成立的可能性越大.当得到的观测数据x，b，c，d都不小于5时，可以通过查

五、几个典型例题：

例1 三维柱形图中柱的高度表示的是（A）

A．各分类变量的频数B．分类变量的百分比

C．分类变量的样本数D．分类变量的具体值

例2 分类变量X和Y的列联表如下

X．xd－bc越小，说明X和Y关系越弱

B．xd－bc越大，说明X和Y关系越强

C．（xd－bc）2越大，说明X和Y关系越强

D．（xd－bc）2越接近于0 ，说明X和Y关系越强

例3 研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的18名，不定的42名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用图形和独立性检验的方法判断.

解：根据题目所给数据建立如下列联表

根据列联表中的数据得到K 2

＝170×（22×42－18×88）

110×60×40×130

≈2.158＜2.706

因此没有充分的证据显示“性别与态度有关”.

例 4 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种病症有关.下表是一次调查所得的数

解：根据列联表中数据，得到，

K 2

＝1633×（30×1355－224×24）2

1379×254×54×1579

＝68.033.

因为68.033＞6.635，所以有99%的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关

课后练习与提高

（1（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy =e x .）