2019-2020学年福建师大附中高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|2x <1}，则( ) A.A ∩B ={x|x <0} B.A ∪B =R C.A ∪B ={x|x >1} D.A ∩B =⌀

2. 设向量a →

=(1, −2)，b →

=(0, 1)，向量λa →

+b →

与向量a →

+3b →

垂直，则实数λ＝（ ）

A.1

2

B.1

C.−1

D.−1

2

3. “a ＝1”是“直线(2a +1)x +ay +1＝0和直线ax −3y +3＝0垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3−S 2＝6，则S 5＝（ ） A.15 B.30 C.40 D.60

5. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A.若l // α，m // α，则l // m B.若l // α，m ⊥l ，则m ⊥α C.若l ⊥α，m ⊥l ，则m // α D.若l ⊥α，m ⊥α，则l // m

6. 已知函数f(x)=√3sin ωx +cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移π

6个单位长度得到函数g(x)的图象，有下列四个结论： p 1:g(x)在(−π6

, π

3)单调递增；

p 2:g(x)为奇函数；

p 3:y ＝g(x)的图象关于直线x =

5π6

对称；

p 4:g(x)在[0, π

2]的值域为[−1, 1]． 其中正确的结论是（ ） A.p 1，p 3 B.p 1，p 4

C.p 2，p 3

D.p 3，p 4

7. 已知曲线C 1:x 2+y 2−4y +3＝0与y 轴交于A ，B 两点，P 为C 2:x −y −1＝0上任意一点，则|PA|+|PB|的

最小值为（ ） A.2 B.2√5 C.2√2 D.4

8. 已知直线x +2y +√5=0与直线x −dy +11√5=0互相平行且距离为m ．等差数列{a n }的公差为d ，且a 7⋅a 8＝35，a 4+a 10<0，令S n ＝|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |，则S m 的值为（ ） A.36 B.44 C.52 D.60

9. 函数f(x)=

e |x|2x

的部分图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

10. 已知函数f(x)＝2sin (ωx +π4

)在区间(0, π

8

)上单调递增，则ω的最大值为（ ）

A.1

2 B.1 C.2 D.4

11. 玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积（单位：cm 3）为（ ）

A.256+14π

B.256+16π

C.256−29π

D.256−22π

12. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)＝f(−x)，且当x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x −cos x ，则下列结论正确的是（ ） A.f(

20203

)

20192

)

)

20192

)

C.f(2018)

)

20203

) D.

20192

)

20203

)

二、填空题：每小题5分，共20分.

13 若x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0

x −y −2≤02x −y −2≥0 ，则z ＝x +2y 的最小值为________．

14若直线y ＝x +1与函数f(x)＝ax −ln x 的图象相切，则a 的值为________．

15已知函数f(x)=2x

2x−1+3sin (x −1

2)+1

2，则f(1

2019)+f(2

2019)+……+f(2018

2019)的值为________．

16 已知三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90∘，AD ＝2，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A −BCD 的侧面积的最大值为________．

三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17数列{a n }满足：

a 12+

a 23

+⋯+

a n n+1

=n 2+n ，n ∈N ∗．

(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =1a n

，数列{b n }的前n 项和为S n ，求满足S n >

9

20

的最小正整数n ．

18在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2√3cos α

y =2sin α ，其中α为参数，在以坐标原点O 为极点，x

轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(2√2, π

4)，直线l 的极坐标方程为ρsin (α−π

4)+4√2=0． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；

（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点．求点M 到直线l 的距离的最大值．

19 已知函数f(x)＝|x −5|−|x +3|． （1）解关于x 的不等式f(x)≥x +1；

（2）记函数f(x)的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ⋅e 4b ＝e 2ab−m ，求ab 的最小值．

20 在如图所示的多面体中，面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形．

（1）求证：AE // 平面BFC

（2）若AD ⊥DE ，AD ＝DE ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60∘，求三棱锥F −AEC 的体积．

21 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2

=b sin A ．

(1)求B ；

(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．

22 已知函数f(x)＝xe x −a

2x 2−ax ． （1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x ≥−1时，f(x)+a

2x 2−a +1≥0，求a 的取值范围．