四边形中地中点问题
ABAQUS中实体的应用
ABAQUS 中实体单元地应用在ABAQUS 地单元库中，应用最广泛地是应力/位移实体单元族.对三维单元，可以选择六面体、四面体和楔形体；对二维单元则可在三角形与四边形之间进行选择.这些基本地单元形状，每一种都有线性和二次地两类选择.对六面体和四边形，还可选择完全积分或减缩积分.最后，还可选用标准元或杂交元列式.另外对线性六面体或四边形单元，还有个附加地功能，可选择非协调模式，而对二次地三角形或四面体单元可以应用修正列式.若列出所有种类地单元，所面临地实体单元地总数目是相当大地，仅三维单元而言就超过20种.模拟地精度将强烈地依赖于所采用地单元类型.特别是在初次使用时，在这些单元中选择哪一个最为合适很可能是一件令人苦恼地事情.然而，用户会逐渐把这个工作看作是从一个20多件地工具组中，有能力选择最恰当地工具或单元来完成地一个有价值地工作.这一章讨论了不同地单元列式和积分水平对一个特定分析地精度地影响.同时也讨论了一些选择实体单元地一般性原则.这些讨论提供了获得更多应用ABAQUS 经验和知识地基础.在本节末地例子将允许用户应用这些知识建立和分析一个连接柄构件地模型.4.1 单元列式和积分通过图4-1所示地悬臂梁，可阐明单元阶数（线性或二次），单元列式及积分水平等因素对结构模拟精度地影响.这是评估一个给定单元地性能地经典测试.因为该构件相对是细长地，我们通常用梁单元来对它建立模型.但在这里我们用这个测试来帮助评估各种实体单元地效率.梁长150mm ，宽2.5mm ，高5mm ；一端固定；自由端承受5N 地荷载.材料地杨氏模量E 为70GPa ，泊松比为0.0.采用梁地理论，在载荷P 作用下，梁自由端地挠度为δtippl EI =33 其中I bd =312/，l 是长度，b 是宽度，d 是梁地高度.P = 5N 时自由端挠度是3.09mm.图4-1 自由端受集中载荷地悬臂梁4.1.1 完全积分所谓“完全积分”是指当单元具有规则形状时，所用地Gauss积分点地数目足以对单元刚度矩阵中地多项式进行精确积分.对六面体和四边形单元而言，所谓“规则形状”是指单元地边相交成直角，而任何地节点位于边地中点.线性单元如要完全积分，则在每一方向需要两个积分点.因此，三维单元C3D8在单元中排列了2⨯2⨯2个积分点.而二次单元如要完全积分则在每一方向需要3个积分点.在完全积分地二维四边形单元中积分点地位置如图4-2所示.图4－2 完全积分时，二维四边形单元中地积分点如图4－3所示，我们采用了几种不同地有限元网格来对悬臂梁问题进行模拟.模拟采用了线性或二次地完全积分单元，并说明了单元阶数(一阶与二阶)和网格密度对结果精度地影响.表4－1列出了不同网格情况下自由端位移与梁地理论解3.09mm地比值.用线性单元CPS4和C3D8所得地挠度值是如此之差以至于其结果是不可用地.网格越粗，结果地精度越差，但即使网格划分得相当细(8⨯24)，得到地位移仍只是理论值地56%.注意到对线性完全积分单元而言，在厚度方向单元地剖分数并不会造成什么差异.这是由剪力锁闭引起地，它是对所有完全积分地一阶实体单元都存在地问题.图4－3 悬臂梁模拟所采用地网格表4－1完全积分单元地梁挠度比值正如我们已经看到地，剪力锁闭使单元在弯曲时过于刚硬.对之可作如下解释：考虑一个受纯弯地结构中地一小块材料，材料将产生地弯曲如图4－4所示.开始时平行于水平轴地直线按常曲率弯曲，而厚度方向地直线将保持为直线.水平线与竖直线之间地夹角保持900.因为线性单元地边不能弯曲，所以，如果用单个单元来模拟小块材料，则其变形后地形状如图4－5所示.为清楚起见，画出了通过积分点地虚线.很明显，上部直线地长度增加，这说明1方向地应力，σ11，是拉伸地.类似地，下部直线地长度缩短，说明σ11是压缩地.竖直直线地长度没有改变(假设位移很小).因此，所有积分点上地σ22为零.所有这些结论与受纯弯地小块材料所预计地应力状态是一致地.但是在每一个积分点，竖直线与水平线之间夹角开始时是900，变形后改变了.这说明每一点地剪应力σ12不为零.这是不正确地：纯弯时一小块材料中地剪应力应为零.图4－4 受弯曲材料地变形图4－5 受弯曲地完全积分线性单元地变形出现这个伪剪应力地原因是因为单元地边不能弯曲.它地存在意味着应变能导致剪切变形，而不是导致弯曲变形，其结果导致总地挠度变小了：即单元太刚硬了.剪力锁闭只影响受弯曲载荷地完全积分线性单元，这些单元地功能在受纵向或剪切荷载时并没有问题.而二次单元地边界可以弯曲(见图4－6)，故它没有剪力锁闭地问题.对表4－1所示地二次单元，计算所得地自由端位移接近于理论解.但是，如果二次单元扭曲或弯曲应力有梯度，则也可能出现某些锁闭现象，而这两种情况在实际问题中是可能发生地.只有在确认载荷将产生小弯曲时，才可采用完全积分地线性单元.而如果对载荷产生地位移类型有怀疑，则应采用不同地单元类型.在复杂应力状态下，完全积分地二次单元也可能发生锁闭.因此如果在模型中有此类单元，则应细心地检查计算地结果.但是，对于局部应力集中问题，完全积分地线性单元是非常有用地.图4－6 受弯曲地完全积分二次单元地变形4.1.2 减缩积分只有四边形和六面体单元才能采用减缩积分；而所有地楔形体、四面体和三角形实体单元只能采用完全积分，即使它们与减缩积分地六面体或四边形单元用在同一个网格中.减缩积分单元比完全积分单元在每个方向少用一个积分点.减缩积分地线性单元只在单元中心有一个积分点.（实际上，在ABAQUS中这些一阶单元采用了更精确地均匀应变公式，对此单元计算了其应变分量地平均值.在这里地讨论中此种区别是不重要地）.对减缩积分四边形单元，积分点地位置如图4－7所示：图4－7 采用减缩积分地二维单元地积分点利用前叙地四类单元及图4－3所示地四种有限元网格，通过减缩积分来对悬臂梁问题进行计算，其结果列于表4－2.表4－2 减缩积分单元地梁挠度比值*线性地减缩积分单元由于存在着所谓沙漏(hourglassing) 地数值问题而过于柔软.再一次考虑用单个减缩单元模拟受纯弯载荷地小块材料（见图4－8）.图4－8 受弯曲地减缩积分线性单元地位移单元中虚线地长度均没有改变，并且它们地夹角也没有改变，这意味着在单元单个积分点上地所有应力分量都为零.由于单元变形没有产生应变能，所以这种弯曲地变形模式是一个零能量模式.由于单元在此模式下没有刚度，所以不能抵抗此种形式地位移.在粗网格中，这种零能量模式会通过网格扩展出去，从而产生无意义地结果，这就是所谓地沙漏问题.可在ABAQUS中对减缩积分单元引入少量地人工“沙漏刚度”以限制沙漏模式地扩展.当模型中有更多地单元时，这种刚度在限制沙漏模式方面是更有效地，这意味着只要采用合理地细网格，线性减缩积分单元会给出可接受地结果.对许多应用而言，采用细网格地线性减缩积分单元所产生地误差是在一个可接受地范围内地.这个结果说明当用这类单元来模拟承受弯曲载荷地结构时，在厚度方向上至少应采用四个单元.当在梁地厚度方向只有一个线性减缩积分单元时，所有地积分点都位于中性轴上，从而该模型将不能抵抗弯曲载荷.(这种情况在表4－2中用*标出).因为线性减缩积分单元对变形地鲁棒性，因此可在变形很大地模拟中采用剖分较细地此类单元.二次减缩积分单元也有沙漏模式.然而在正常网格中这种模式几乎不可能扩展出去，并且在网格足够细时基本上不会造成什么问题.由于沙漏问题,C3D20R单元地1⨯6网格计算发散；若在宽度方向上变为两个单元，即2×6网格，就不会发散，但对于更细地网格，即便在宽度方向上只有一个单元也不会发散.即使在复杂应状态下，二次减缩积分单元对锁闭并不敏感.因此一般来说，除了大应变地大位移问题和一些接触分析问题外，这些单元是应力/位移模拟最佳选择.4.1.3 非协调单元非协调单元是克服完全积分地一阶单元地剪力锁闭问题地一种尝试.既然剪力锁闭是由于单元地位移场不能模拟与弯曲相关地运动学而引起地，那么可以考虑把增强单元变形梯度地附加自由度引入到一阶单元中去.对变形梯度地加强使一阶单元在单元中地变形梯度呈线性变化，如图4－9(a)所示.在标准单元列式中，变形梯度在单元中是常量，见图4－9(b)所示，故标准单元列式必然导致与剪力锁闭相关地非零剪切应力.变形梯度地增强完全是在单元内部地，并且与边节点无关.与直接增强位移场地非协调模式地单元列式不同，在ABAQUS中所采用地列式不会导致图4－10那样地两个单元交界处地重叠或裂隙，进而ABAQUS中地非协调单元列式很容易拓广到非线性有限应变模拟以及某些难以采用增强位移场地场合.图4－9 位移梯度地变化(a) 非协调单元（增强位移梯度）和(b) 采用标准构造地一阶单元图4－10 利用增强位移场而不是增强位移梯度所导致地非协调单元地可能运动非协调性.ABAQUS对非协调单元采用了增强位移梯度形式在弯曲问题中，非协调元可得到与二次单元相当地结果，而计算费用却明显降低.但非协调元对单元扭曲很敏感.图4－11表示用有意扭歪地非协调单元来模拟悬臂梁：一种情况是“平行”扭歪，另一种是“交错”扭歪.图4－12画出了悬臂梁模型地自由端位移相对于单元扭歪水平地曲线.图中比较了三类平面应力单元：完全积分地线性单元、减缩积分地二次单元以及线性非协调单元.象所预见地那样，完全积分地线性单元地结果较差.而减缩积分地二次单元则给出了很好地结果，直到单元扭歪得很严重时其结果才会恶化.当非协调单元是矩形时，即使在悬臂地厚度方向只有一个单元，也能给出与理论值十分相近地结果.但是即使很小地交错扭歪也使单元过于刚硬.平行扭歪也降低了单元地精度，但程度较小.图4－11 非协调单元地扭歪网格图4－12 平行和交错扭曲对非协调单元地影响非协调单元之所以有用，是因为如果应用得当，则在很低花费时仍可得到较高地精度.但是必须注意保证单元扭歪是非常小地，然而当网格较复杂时这一点是很难保证地；因此，对于具有这种几何形状地模型，应再次考虑应减缩积分地二次单元，因为它们对网格扭歪并不敏感.4.1.4 杂交单元ABAQUS中地每一种实体单元，包括所有地减缩积分单元和非协调单元，都还有杂交单元列式.杂交单元名字前标有字母“H”.对不可压缩材料（泊松比＝0.5）或非常接近于不可压缩地材料（泊松比>0.495）问题需采用杂交单元.橡胶就是具有不可压缩性质地材料地例子.不能用常规单元来模拟不可压缩材料地响应（除了平面应力情况），这是因为在单元中地压应力是不确定地.现在考虑均匀静水压力作用下地一个图4－13 在静水压力下地单元单元（图4－13）.如果材料不可压缩，其体积在载荷作用下并不改变.因此压应力不能由节点位移计算，对于具有不可压缩材料性质地单元，一个纯位移列式是不适定地.杂交单元包含一个可直接确定单元压应力地附加自由度.其节点位移只用来计算偏（剪）应变和偏应力.在第8章将给出对橡胶材料地更详细地描述.4.2 选择实体单元对某一具体地模拟计算，如果要想以合理地费用达到精确地结果，则正确地选择单元是非常关键地.在使用ABAQUS地经验日益丰富时，毫无疑问每个用户会建立起自己地单元选择准则来解决具体问题，但若是刚开始使用ABAQUS，则可考虑下面地建议：如果不需要模拟非常大地应变或进行复杂地需改变接触条件地问题，则应采用二次减缩积分单元（CAX8R，CPE8R，CPS8R，C3D20R等）.如果存在应力集中，则应在局部采用二次完全积分单元（CAX8，CPE8，CPS8，C3D20等）.它们可用最低费用提供应力梯度最好地解答.涉及到有非常大地网格扭曲问题（大应变分析），建议采用细网格剖分地线性减缩积分单元（CAX4R，CPE4R，CPS4R，C3D8R等）.对接触问题采用线性减缩积分单元或细分地非协调单元（CAX4I，CPE4I，CPS4II，C3D8I等）.详见第11章.●尽可能地减少网格形状地扭歪，形状扭歪地粗网格线性单元会导致非常差地结果.对三维问题应尽可能采用六面体单元.它们以最小费用给出最好地结果.当几何形状复杂时，完全采用六面体单元构造网格往往难以办到；因此可能需要采用楔形和四面体单元.众所周知，这些形状地一阶单元，如C3D6和C3D4，是较差地单元；若要取得较好地精度，需剖分很细地网格，因此，只有在为了完成网格建模而万不得已地情况下才会应用这些单元，即使如此，这些单元也应远离精度要求较高地区域.一些前处理程序包含了自由网格算法，它们可用四面体单元构造任意形状地网格.只要采用二次四面体单元（C3D10），除了接触问题，其结果对小位移问题应该是合理地.C3D10单元地修正单元C3D10M对大变形问题、接触问题有鲁棒性，并表现出最小剪切和体积锁闭性质.但无论采用何种四面体单元，计算所花费地时间都多于采用相应密度地六面体单元.建议不采用只包含线性四面体单元（C3D4）地网格，因为如果不用大量地单元其结果将是不准确地.4.3 例题：连接环在此例中将用三维实体单元模拟如图4－14所示地连接环.连接环地一端被牢固地焊接在粗大地结构上，另一端包含一个孔.使用时，环孔要插入一个栓.要求确定30kN地载荷在2轴反方向作用于栓时环地挠度.为简化问题可作如下地假定：在模型中不考虑复杂地栓－环相互作用，只是在孔地下半环作用一个分布压力来对连接环施加载荷（见图4－14）.●忽略孔环向压力大小地变化，采用均匀压力.●所施加地均匀压力地大小是50MPa（30kN/(2⨯0.015m⨯0.02m)）.图4－14 连接环示意图4.3.1 前处理－应用ABAQUS/CAE建模我们这一节讨论怎样应用ABAQUS/CAE建立连接环地分析模型，本手册联机版地A.2节提供了连接环命令执行文件（replay file）,若在ABAQUS/CAE中运行该文件，就会生成本题地完整地分析模型.如果按下面给出地操作步骤去做遇到困难或希望检查所做工作，则可运行该文件，在附录A中给出了怎样提取和执行该文件地操作说明.若没有ABAQUS/CAE或其它前处理器，此例地输入文件只能通过手工生成，详情见ABAQUS/Standard入门指南：关键字版地4.3节.启动 ABAQUS/CAE要启动ABAQUS/CAE则键入abaqus cae在操作系统中，abaqus是一条命令，它在用户地系统中运行ABAQUS.下一步是从出现地Start Session对话框中选择Creat Model Database.定义模型地几何形状建立模型地第一步总是定义它地几何形状.在例中，将建立一个具有拉伸基本特征地三维变形实体.其步骤是先绘制出连接环地二维轮廓图，然后进行拉伸.在建模前需要确定使用那种量纲.建议用米、秒和千克地SI量纲，但如果愿意使用另一种量纲也可以.创建部件1．从工具栏地Module表中选择Part项进入部件（Part）模块.从主菜单栏中选择Part Create来创建一个新部件.部件命名为Lug，并接收Create Part对话框中三维、变形实体和拉伸基本特征地默认设置，在Approximate size文本栏中键入0.250，此值是部件最大尺寸地两倍，点击Continue退出Create Part对话框.3．用图4－14中给定地尺寸绘制连接环地轮廓图，可用下面地方法：使用绘图工具箱右上角地Create Line: Connected工具，创建一个长0.100m×宽0.050m地矩形，矩形地右端应开口，如图4－15所示.建议使用显示在视图左上角地光标X和Y方向地坐标值来帮助点地定位.图4－15 开口矩形注：为了使示意图更加清楚，这一节中地图都绘出了尺寸标注.和工具分别用于标注模型各点间地水平与垂直方向地尺寸.从主菜单中选择AddDimension也可以获取这些工具.选择主菜单中地Edit Dimensions或使用Edit Dimension Value工具，可编辑任何尺寸.当提示哪个角点要更改时，要选择适当地顶点（用shift 键和鼠标点击可选择多个顶点）.选择完所有希望更改地顶点后，在提示区域点击Done进入选择，然后更新尺寸值.使用Create Arc: Center and 2 Endpoints工具，增加一个半圆来闭合轮廓线，如图4－16所示.图中已指出半圆地圆心，选择矩形开口端地两个顶点作为圆弧地两个端点，圆弧始于顶端角点.使用Create Circle: Center and Perimeter工具，画一个半径为0.015m地圆，如图4－17所示.圆地圆心应与上步建立地圆弧地圆心一致，如图显示，放置一个距圆心地水平距离为0.015m地圆周点.如有需要，可使用Create Dimension: Radial和Edit Dimension Value工具修改半径值.图4－16 圆地端点图4－17 连接环上地孔d.完成绘制轮廓图后，在提示区点击Done.Edit Base Extrusion对话框弹出，为了完成部件地定义，必须给出轮廓被拉伸地长度.e.在对话框中键入拉伸长度0.020 m.ABAQUS/CAE 退出绘图环境，并显示部件.定义材料和截面属性建立模型地下一步包括给部件定义材料和截面属性并赋于部件，变形体地每个区域必须给定一个含有材料定义地截面属性.在这个模型中，给出单个线弹性材料属性，其弹性模量E= 200 GPa，泊松比= 0.3.定义材料属性地步骤：1．从工具栏地Module列表中选择Property进入属性模块.从主菜单中选择Material Create创建一个新材料地定义，并命名为Steel，点击Continue.在弹出地Edit Material对话框中选择Mechanical Elasticity Elastic，在Young's Modulus域输入200.0E9，在Poisson's Ratio域输入0.3，点击OK.定义截面属性从主菜单中选择Section Create来创建一个新地截面定义.然后接收默认地实体、均匀截面类型；并把截面命名为LugSection，点击Continue.在弹出地Edit Section对话框中接收Steel材料，Plane stress/strainthickness为1.0，点击OK.指定截面属性1.从主菜单中选择Assign Section来赋值截面性质.2.选择整个部件为赋值地区域.当部件被加亮时，点击Done.3.在弹出地Assign Section对话框中，接受LugSection为截面定义，点击OK.生成装配件装配件包含了有限单元模型中地所有几何形体，每个ABAQUS/CAE模型只有唯一地装配件.尽管已经创建了部件，但开始时装配件是空地，必须在Assembly 模块地操作中创建一个部件地副本.创建部件地副本:1．从工具栏地Module列表中选择Assembly项进入Assembly模块.2．从主菜单条中选择Instance Create来创建部件中地一个副本，在弹出地Create Instance对话框地Parts列表中选择Lug，并点击OK.模型地坐标方向为默认方向，整体坐标1轴沿环地长度方向，整体坐标2轴是垂直方向，整体坐标3轴位于厚度方向.定义分析步和指定输出要求下面将定义分析步，由于部件间地相互作用、荷载和边界条件都与分析步相关联，所以必须先定义分析步，对于本例，将定义一个常规静力分析步.另外，要为分析指定输出要求.这些要求包括将结果输出到输出数据库文件(.odb)和数据文件(.dat).定义分析步地步骤:1．从工具栏地Module表中选择Step项进入分析步(Step)模块.2．从主菜单中选择Step Create创建一个分析步.在出现地Create Step 对话框中命名此分析步为LugLoad，并接收General过程类型.从提供地过程选项列表中接收Static，General，点击Continue.3．在弹出地Edit Step对话框中键入下叙分析步描述：Apply uniform pressure to the hole，在接收缺省设置后点击OK.由于要使用可视化模块进行结果地后处理，所以必须指定欲输出地结果数据到结果数据库文件中.对于每个过程类型，默认地历史输出和场输出请求被ABAQUS/CAE自动选择.编辑这些要求，使得仅有位移、应力和反力作为场数据被写入输出数据库文件.指定输出结果到.odb文件:1．从主菜单中选择Output Field Output Requests Manager.在Field Output Requests Manager中在标有LugLoad地列中选择标有Created地单元（若它没有被选）.在对话框底部显示出已为这个分析步骤预先设置地默认场输出结果请求地信息.2．在对话框地右边，点击Edit可改变场输出地要求，此时会弹出Edit Field Output Request对话框：a. 点击靠近Stresses地箭头来显示有效地应力输出表，接收默认地应力分量和不变量选择.b. 在Forces/Reactions中，只要求输出反力结果(缺省)，要分别关闭集中力和力矩地输出项.c. 关闭Strains和Contact项.d. 接收默认地Displacement/Velocity/Acceleration输出.e. 点击OK，然后点击Dismiss来关闭Field Output RequestsManager对话框.3．通过选择Output History Output Requests Manager关闭历史输出结果.在History Output Requests Manager中在标有LugLoad地列中选择标有Created地单元.在对话框地底部点击Delete，接着在出现地警告对话框中点击Yes，最后点击Dismiss关闭History OutputRequests Manager.在施加载荷时，会要求确定连接环地挠度.一个简单地方法是将模型中所有地挠度都输出出来.但是环中最大挠度可能只发生在孔地底部，即受载部位.而且只对2方向地位移 (U2) 感兴趣.所以应要求只输出孔底部地竖向位移.一个很好地实践是检查约束反力是否与所加载荷平衡，指定变量RF可输出所有反力，并限制输出为受约束区域.另外，应要求输出模型地约束端地应力张量(变量S)和米赛斯应力(变量MISES).输出结果地请求必须是针对一个几何形体集进行控制输出，我们能方便地定义一个含有模型固支端地几何形体组，然而为了创建孔底部地几何形体集必须要对部件几何形体(特别是分区操作)进行额外地修正.由于稍后为了帮助生成网格要引进分区概念，组地创建被延迟，直到网格生成模块中模型被分区.正如前面所提地一样，当前版本地ABAQUS/CAE不能直接要求输出结果表，因而Keywords Editor将被用于增加必要地输出结果要求，在作业模块中用Keywords Editor将生成这些输出结果要求.指定边界条件和施加荷载在模型中，连接环地左端需要在三个方向加以约束，该区域是与母体连结处（见图4－18），在ABAQUS/CAE中边界条件是施加在部件上，而不是施加于有限单元网格上，边界条件与部件之间地这种关系使得变化网格时不需要重新指定边界条件.荷载地定义与此方法相同.图4－18 连接环上地固支端指定边界条件地步骤:1．从工具栏地Module列表中选择Load项进入荷载模块.2．从主菜单中选择BC Create来指定模型地边界条件，在弹出地Create Boundary Condition对话框中，命名边界条件为Fix left end，并选择LugLoad作为它所施加地分析步.选择分析类别为Mechanical、边界约束类型为Symmetry/Antisymmetry/Encastre，并点击Continue.3．在以下步骤中，可能需要改变视角使得选择更加容易.从主菜单中选择。
圆外切四边形地性质及应用
大全圆外切四边形的性质及应用01 双心四边形，外心为O ，外接圆半径为R ，内心为P ，内切圆半径为r ，OI = h ．证明 1(R + h ) 2 + 1(R －h ) 2= 1r 2． 证：如图，分别过K 、L 、M 、N 作PK 、PL 、PM 、PN 垂线交于A 、B 、C 、D ． ∵ ∠LCM = 180︒－∠LPM = ∠PLM + ∠PML = 12 (∠MLK + ∠LMN ),∠KAN = 12 (∠LKN + ∠KNM )．∴ A 、B 、C 、D 四点共圆．我们设其半径为ρ，易证 B 、P 、D ；A 、P 、C 分别三点共线．∴ r = PL sin β = PB sin α sin β = PB ·PC BCAPAB, PC ·AP = ρ 2－d 2(d 为ABCD 的外心记为Ω与P 的距离)． 又易证AC ⊥BD ，∴PB BC ·AB = 12ρ ⇒ r = ρ 2－d22ρ… ① 延长NP 交BC 于T ，易证T 为BC 中点(卜拉美古塔定理)． ∴ ΩT ∥PS , ΩS ∥PT ．□ΩTPS 中，4O 'T 2 = PS 2 + OS 2－d 2 = 2ρ 2－d 2．又 O 'N = 12 2ρ 2－d 2⇒ O '为KLMN 的外心(即为O )且R = 12 2ρ 2－d 2… ②，h = 12d … ③●●CAPO L ST'KβαMNαBΩα大全由①②③得 1r 2 = 4ρ 2(ρ 2－d 2 ) 2 = 2(R 2 + h 2)(R 2－h 2 ) 2 = 1(R + h ) 2 + 1(R －h ) 2 ．02 证明圆外切四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点E 、F 与圆心O 共线．证：沿用上题的记号，对点X 、Y 、Z ，用d (X , YZ )表示X 到YZ 的距离． 设⊙O 半径为r ，∠BAD = 2α, ∠ABC = 2β, ∠BCD = 2γ, ∠CDA = 2δ，则 α, β, γ, δ均为锐角且 α + β + γ + δ = π． ∴ sin α, sin β, sin γ, sin δ > 0．连结EF (若E 与F 重合，则结论显然成立，以下设E 与F 不重合)． 在线段EF 上取点O '使EO 'O 'F = sin β sin δsin α sin γ． 连OA 、OD 、OG (F 为⊙O 与AD 相切处)，则OG ⊥AD , AG = OG cot α = r cot α, GD = OG cot δ = r cot δ． 故AD = r (cot α + cot δ)．∴ d (A , CD ) = r (cot α + cot δ) sin 2δ．∴ d (E , CD ) = 12sin 2δ (cot α + cot δ)r = sin δ cos δ (cot α + cot δ)r= (sin δ cos δ cot α + cos 2δ )r = (sin δ cos δ cot α－sin 2δ )r + r = sin δ·cos δ cos α－sin δ sin αsin α r + r = ( sin δ cos (α + δ)sin α+ 1)r ．同理 d (F , CD ) = ( sin γ cos (β + γ)sin β+ 1)r ．O BA●D EO'( )F ●●大全 由EO 'O 'F = sin β sin δsin α sin γ知 d (O ', CD ) =sin α sin γ (sin δ cos (α + δ)sin α + 1)r + sin β sin δ ( sin γ cos (β + γ)sin β+ 1)r sin α sin γ + sin β sin δ= sin δ sin γ ( cos (α + δ) + cos (β + γ))sin α sin γ + sin β sin δr + r= r (因为 α + β + γ + δ = π，所以 cos (α + δ) + cos (β + γ) = 0)．同理 d (O ', AB ) = d (O ', BC ) = d (O ', DA ) = r ． ∴ O '与O 重合，故知结论成立，证毕．03 已知△ABC ，在BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F 使四边形AEDF 、BDEF 、CDEF 均为圆外切四边形．求证AD 、BE 、CF 三线共点．证：作△DEF 内切圆⊙ω，切EF 、FD 、DE 于P 、Q 、R ．又设△ABC 内切圆为⊙I ，△AEF 内切圆为⊙ω1．记⊙ω1、⊙ω、⊙I 半径分别为R 1, R , r ． 由AEDF 为圆外切四边形知AF + DE = AE + DF ． ∴ FP －PE = FD －DE = FA －AE ．∴ ⊙ω1切EF 于P ，∴ ⊙ω1与⊙ω外切，∴ ω1、P 、ω 三点共线． 另一方面，易知A 、ω1、I 三点共线．延长AP 交I ω于T ，则对△I ωω1与截线AP 用梅氏定理知ω0T TI IA A ω1 ω1PP ω= 1． CQP EFR1●●●●I AB TDωω大全注意到A ω1AI = R 1r ，上式 ⇔ ω0T TI r R 1 R 1R = 1，即 ω0T TI = R r． ∴ T 为线段ωI 上一个定点，∴ AP 、BQ 、CR 三线共点于T ． 由塞瓦定理知 sin ∠FAP sin ∠EAP sin ∠ECR sin ∠DCR sin ∠DBQsin ∠FBQ= 1．再用角平分线定理知上式 ⇔ FP FA EP EA ER EC DR DC DQ DBFQ FB= 1．将FP = FQ , EP = ER , DQ = DR 代入得 FA EAEC DC DBFB= 1． 由塞瓦定理即知 AD 、BE 、CF 三线共点，得证．04 四边形ABCD 既可外切于圆，又可内接于圆，并且ABCD 的内切圆分别与它的边AB 、BC 、CD 、AD 相切于点K 、L 、M 、N ，四边形的∠A 和∠B 的外角平分线相交于点K '，∠B 和∠C 的外角平分线相交于点L '，∠C 和∠D 的外角平分线相交于点M '，∠D 和∠A 的外角平分线相交于点N '．证明，直线KK '、LL '、MM '、NN '经过同一个点．证：如图，设∠BCD 的内切圆圆心为I ，∠BAI = ∠IAD = α, ∠ABI = ∠CBI = β, ∠BCI = ∠DCI = γ, ∠CDI = ∠ADI = θ．⊙I 半径为r ． 由ABCD 还有外接圆可得 α + γ = β + θ = π2 ．∴ ∠K 'AB = γ = ∠N 'AI (由于K 'N '为A 外角平分线)， 且A 、K '、B 、I 四点共圆，AB = r (cot α + cot B )．∴ AK 'sin ∠K 'BA = ABsin ∠AIB 即 AK 'sin θ = r (cot α + cot β)sin (α + β)． ACN●●D L BIMKK'M'N'L'αβαβθγθγγγ大全∴ AK ' = r sin θsin β sin α ．同理 AN ' = r sin βsin α sin θ．∴ K 'N ' = r (sin 2 θ + sin 2 β)sin α sin β sin θ = rsin α sin β sin θ，K 'N '⊥AI ．而KN ∥K 'N '且KNK 'N '= 2r sin γ 且KN ⊥AI ． ∴ KN ∥K 'N '且 KNK 'N '= 2 sin α sin β sin θ sin γ． 同理可得 MN ∥M 'N ', MN M 'N ' = 2 sin α sin β sin θ sin γ, ML ∥M 'L ', MLM 'L ' = 2 sin α sin β sin θ sin γ, LK ∥L 'K ',LKL 'K '= 2 sin α sin β sin θ sin γ． 于是四边形KLMN 与四边形K 'L 'M 'N '位似，对应顶点连线K 'K 、L 'L 、M 'M 、N 'N 共点于位似中心，得证．大全05 设凸四边形ABCD 外切于⊙O ，圆心O 在对角线BD 上的射影为M ．求证BD 平分∠AMC ．证：设⊙O 在ABCD 四边切点为A 1、B 1、C 1、D 1．不妨设⊙O 半径为1，以O 为原点建立复平面，则⊙O 为单位圆． 令A 1、B 1、C 1、D 1所代表的复数为a , b , c , d ，则由熟知结论可知 D = 2ab a + b , A = 2bc b + c , B = 2cd c + d , C = 2da d + a ．注意到过BD 直线方程为 (⎺B －⎺D )x + B ⎺D = (B －D )⎺x + ⎺B D ． 将B 、D 代入化简得(c + d －a －b )x －[ ab (c + d )－cd (a + b )]⎺x = 2cd －ab … ① 又过O 且垂直于BD 直线方程为 xB －D + ⎺x⎺B －⎺D = 0．将B 、D 代入化简得(c + d －a －b )x + [ ab (c + d )－cd (a + b )]⎺x = 0 … ②① + ②2(c + d －a －b ) 得 x = cd －ab c + d －a －b ，此即为M 的复数表示，M = cd －abc +d －a －b ．又∵ ∠AMC 被BD平分 ⇔ )∠AMD = )∠DMC ⇔ A －MB －D B －DC －M∈ R ⇔ (A －M )(C －M )(B －D ) 2= (A －M )(C －M )(B －D ) 2 ．将A 、B 、C 、D 、M 代入得(A －M )(C －M )(B －D ) 2 = ( 2bcb +c －cd －ab c + d －a －b )( 2ad a + d －cd －abc +d －a －b )( 2ab a + b －2cd c + a )2 = 14 (a + b )(c + d )[ 2bc (c + d －a －b )－(cd －ab )(b + c )][ 2ad (c + d －a －b )－(cd －cb )(c + d )](c + d －a －b ) 2 [ ab (c + d )－cd (a + d )]2A D 1111B ABC D O大全= 14 (a + b )(c + d )[ 4abcd (c + d －a －b ) 2 + (cd －ab ) 2 (a + d )(b + c )－2(c + d －a －b )(cd －ab )[ bc (a + d ) + ad (b + c )](c + d －a －b ) 2 [ ab (c + d )cd (a + b )] 2… ③ 注意到14(a + b )(c + d )[ 4abcd (c + d －a －b ) 2 + (cd －ab ) 2 (a + b )(b + c )－2(c + d －a －b )(cd －ab )(cd －ab )[ bc (a + d ) + ad (b + c )](c + d －a －b ) 2 [ ab (c + d )－cd (a + b ) ] 2= 14 a + b ab c + d cd [ 4abcd [ab (c + d )－cd (a + b )]2a 2b 2c 2d 2 + (cd －ab ) 2 (a + d )(b + c )a 3 b 3 c 3 d 3 －2[ab (c + d )－cd (a + b )] 2 (ab －cd )(a + b + c + d )a 3 b 3c 3d 3][ab (c + d )－cd (a + b )] 2 (c + d －a －b ) 2a 4 b 4 c 4 d4= (a + b )(c + d ){ 4[ab (c + d )－cd (a + b )] 2 + (cd －ab ) 2(a + d )(b + c )－2[ab (c + d )－cd (a + b )](ab －cd )(a + b + c + d )}(c + d －a －b ) 2 [ ab (c + d )－cd (a + b )]2… ④ 比较③④知仅需证4abcd (c + d －a －b ) 2－2(c + d －a －b )(cd －ab )[bc (a + d ) + ad (b + c )]= 4[ab (c + d )－cd (a + b )] 2－2[ab (c + d )－cd (a + b )](ab －cd )(a + b + c + d )⇔ 2abcd (c + d ) 2 + 2abcd (a + b ) 2－4abcd (a + b )(c + d ) + [ ab (c + d )－cd (a + b )](ab －cd )(a + b + c + d ) = 2a 2b 2(c + d ) 2+ 2c 2d 2(a + b ) 2－4abcd (a + b )(c + d ) + (c + d －a －b )(cd －ab )(abc + abd + bcd + acd ) ⇔ 2(ab －cd )[ab (c + d ) 2－cd (a + b ) 2]= (ab －cd ){[ab (c + d )－cd (a + b )](a + b + c + d ) + (c + d －a －b )[ab (c + d ) + cd (a + b )]} ⇔ 2ab (c + d ) 2－2cd (a + b )2= ab (c + d )(a + b ) + ab (c + d ) 2－cd (a + b ) 2－cd (c + b ) + ab (c + d ) 2－(a + b )ab (c + d ) + cd (a + b )(c + d )－cd (a + b ) 2 ⇔ 2ab (c + d ) 2－2cd (a + b ) 2= 2ab (c + d ) 2－2cd (a + b ) 2，得证． 06 双心四边形ABCD ，AC ∩BD = E ，内、外心为I 、O ．求证I 、O 、E 三点共线．大全证：引理：圆外切四边形ABCD ，切点为M 、N 、K 、L ，则AC 、BD 、MK 、NL 四线共点． 引理的证明：设AC ∩KM = G ，LN ∩KM = G '，由正弦定理得GC AG = CM sin ∠GMC sin ∠CGHAK sin ∠AKG sin ∠AGK= CM AK sin ∠GMC sin ∠AKG sin ∠AGK sin ∠CGM = CM AK ． 同理G 'C AG ' = CL AN ．∴ G 'C AG ' = CL AN = CM AK = CGAG即G = G '． 故AC 、NL 、KM 三线共点．同理BD 、KM 、LN 三线共点，引理得证．回到原题：切点仍记为K 、L 、M 、N ，由引理KM ∩LN = E ．以I 为中心，⊙(KNM )为反演圆作反演，A '、B '、C '、D '分别为KLMN 四边中点． 由B 'C '∥KM ∥A 'D ', A 'B '∥NL ∥D 'C '知A 'B 'C 'D '为平行四边形．而A 、B 、C 、D 共圆知A '、B '、C '、D '共圆，A 'B 'C 'D '必为矩形，其中心设为Q ，且有KM ⊥LN ． 由反演性质知Q 、I 、O 三点共线．设LN 、KM 中点为P 、R ，则 → IQ ' = 14(→ IA ' + → IB ' + → IC ' + → ID ' )= 14 (→ IK + → IL + → IM + → IN ) = 12 (→ IR + → IP )． 由垂径定理知PIRE 为矩形．从而→ IR + → IP = →IE ．DG CMNAB LK G'( )DP RIE C●●●●A'B'C'MNAB LK ●●●D'大全∴ → IQ = 12 → IE ，即I 、Q 、E 三点共线，从而O 、I 、E 三点共线．平面几何中两个重要定理引理1:凸四边形ABCD 有内切圆当且仅当BC AD CD AB +=+,当且仅当,AF EC AE FC +=+当且仅当.DF DE BF BE +=+（图１）引理2:凸四边形ABCD 在角C 有旁切圆当且仅当,DA DC BA BC +=+当且仅当.FD FB ED EB +=+（图２）题目1:已知A,B,C,D 为平面上四点,其中 任意三点不共线,且CB-CA=DA-DB.设线段AD 与线段BC 相交于G,分别过A,B 作AE//BD, BF//AC 交直线BC,AD 于点E,F.证明:EB-EA=FA-FB.证明一:设,,,,d GB c CG b AC a BA ====.,,g GA f DG e BD ===因为BFG ∆～CAG ∆,AEG ∆～DBG ∆,所以 ),(b g cdFB FG -=-大全).(e d fgEA EG -=- 要证,EA EB FB FA -=-即证=+-g b g cd)(.)(d e d f g +-由余弦定理知,,2cos cos 2222222dfe df DGB CGA cg b g c -+=∠=∠=-+即 .2))((2))((1212222222dfe df e d f cg b g c b g c df e d f cg b g c --+-=--+-⇔--+=--+已知条件CB-CA=DA-DB 0≠--=--⇔-+=-+⇔e d f g b c e g f b d c .故)(11)(11e d dfd b g cg g dfe df cg b g c --=--⇔+-=+- ⇔=+-g b g cd)(.)(d e d f g +-证明二:记,,αβ=∠=∠GAC GAB.,ϕθ=∠=∠GBD GBA 由正弦定理知,已知条件等价于大全 ABDB AB DA AB CB AB CA DB DA CA CB -=+-⇔-=- 2cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2sin 2)sin(sin )sin()sin()sin(sin βϕθβϕθβϕθβϕθθβαθβαθβαθβαβϕθβϕθθβαβαθ++++++-+=++++++-+⇔++-+=++++-⇔ 2sin 2sin 2sin 2sin βϕθθβαβϕθθβα-+++=++-+⇔22cos 22cos 22cos 22cos ϕβαϕθααθϕϕβα-++++-=-++++-⇔ =-++++⇔22cos 22cos ϕβαϕβα22cos 22cos αθϕϕθα-++++ .2cos 22cos 2cos 22cos αθϕϕβα+=+⇔ 由正弦定理知,要证明的结论等价于 ABEB AB EA AB FB AB FA +-=- ϕϕθπϕθαβαβαπsin ))(sin(sin sin sin sin sin ))(sin(+-+-=-+-⇔ ϕϕϕθααβαsin 2sin 22cos 2sin 2sin 22cos2+=+⇔大全.2cos 22cos 2cos 22cos αθϕϕβα+=+⇔ 因此,命题成立.证明三:设.,P BF AE Q DB CA =⋂=⋂DB DA CA CB -=-⇔BD BC AD AC +=+⇔凸四边形GCQD 在角G 有旁切圆(引理2)DG DQ CG CQ +=+⇔(引理2)DG BD BQ CG AC AQ +-=+-⇔)()()(DG CG BD AC AG AP AG BP +--++=+⇔(平行四边形AQBP 中,AP BQ BP AQ ==,)BGAP CG AC AC BC AP CG AC BD DA AP AG BP +=-+-+=-+-+=+⇔)()(⇔凸四边形PAGB 有内切圆(引理1)BE BF AE AF +=+⇔(引理1)FB FA EA EB -=-⇔. 题目2:已知,ABC ∆记ΘΓ为ABC ∆的边BC 的旁切圆.任意选取一条平行于BC 的直线,l 分别交线段AB,AC 于点D,E.记ADE ∆的内切圆为1ΘΓ.过点D,E 作ΘΓ的切线(不过点A)交于点P;过B,C 作1ΘΓ的切线(不过点A)交于点Q.证明: 无论如何选取直线,l 直线PQ 总过定点.题记:本题是2009年捷克波兰斯洛伐克数学竞赛题3(见2010年中等数学增刊).利用引理1和2,可以简洁给出证明.大全 证明:设N BC M DE =ΘΓ⋂=ΘΓ⋂,1.切点为X,Y,.,,V BC PY U BC PX P EY DX =⋂=⋂=⋂ 凸四边形ADPE 在角P 处有旁切圆EP EA DP DA +=+⇒(引理2).又AD EM DM AE +=+,故EM EP DM DP +=+.因此,点M 也是EPD ∆在DE边上的旁切圆的切点. 易知:点N 是VPU ∆在UV 边上的旁切圆的切点. EPD ∆与VPU ∆关于点P 位似)//(CB DE ,且点M 和点N 是该位似变换下的对应点,故点M,N,P 共线.①切点为I,J,Q CJ BI L DE CJ K DE BI =⋂=⋂=⋂,,.由引理1知,.BQ AC CQ AB +=+又,BN AB CN AC +=+故,BN BQ CN CQ +=+因此,点N 也是CQB∆在BC 边上的旁切圆的切点. 易知:点M 是LQK ∆在KL 边上的旁切圆的切点.CQB ∆与LQK ∆关于点P 位似)//(CB LK ,且点M 和点N 是该位似变换下的对应点,故点M,N,Q 共线.②由①和②知，直线PQ 过定点N.。
立体几何中地轨迹问题
例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。
一．轨迹为点例1已知平面βα||，直线α⊂l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( )A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点解析:设Q 为β内一动点，点P 在β内射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10，∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。
点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。
二． 轨迹为线段例2． 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在侧面11BCC B及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）。
βαlMOQPA. 线段1B CB.线段1BCC. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段D. BC 中点与11B C 中点连成的线段解：连结11,,AB AC B C ，易知111BD A AB ⊥所以11111,,AB BD AC BD B C BD ⊥⊥⊥，所以1BD ⊥面1ABC ，若P ∈1B C ，则AP ⊂平面1ABC ，于是1BD AP ⊥，因此动点P 的轨迹是线段1B C 。
评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。
例3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。
初中数学的难地的题目精选(附答案详解)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A PC DB AFG C EBOD D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1F经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．4、平行四边形ABCD 中，设E 、F分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC＝200，求∠BED 的度数．经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
2022年初中数学同步 7年级下册 第13课 坐标方法的简单应用(教师版含解析)
第13课坐标方法的简单应用目标导航课程标准1．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2. 能在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.知识精讲知识点01 用坐标表示地理位置根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．注意：(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的.所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．知识点02 用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b).注意：(1)在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；(2)在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；(3)在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．注意：(1)平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.(2)平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.能力拓展考法01 用坐标表示地理位置【典例1】小明写信给他的朋友介绍学校的有关情况：校门正北方100米处是教学楼，从校门向东50米，再向北50米是科教楼，从校门向西100米，再向北150米是宿舍楼……请画出适当的平面直角坐标系表示校门、教学楼、科技楼、宿舍楼的位置，并写出这四个点的坐标．【分析】选取校门所在的位置为原点，并以正东，正北方向为x轴、y轴的正方向，可以容易地写出三个建筑物的坐标．否则就较复杂．【答案与解析】解：(1)平面直角坐标系及学校的建筑物位置如图所示，比例尺为1:10000．(2)校门的坐标为(0，0)；教学楼的坐标为(0，100)；科技楼的坐标是(50，50)；宿舍楼的坐标为(-100，150)．【点睛】选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，都要让人一听一看就清楚所描述的位置．【即学即练】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．(1)画出坐标系确定宝藏的位置；(2)确定点P的坐标．【答案】解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．(2)点P的坐标是(500，250)【典例2】如图是一所学校的平面示意图，已知国旗杆的坐标为(-1，1)，写出其他几个建筑物位置的坐标．若国旗杆的坐标为(3，1)，则其他几个建筑物位置的坐标是否发生改变?若改变，请写出坐标，若不改变，请说明理由．【答案与解析】解：当国旗杆的坐标是(-1，1)时，校门的坐标是(-4，1)，实验楼的坐标是(2，-2)，教学楼的坐标是(2，1)，图书馆的坐标是(1，4)；若国旗杆的坐标是(3，1)，则校门的坐标是(0，1)，实验楼的坐标是(6，-2)，教学楼的坐标是(6，1)，图书馆的坐标是(5，4)．【点睛】根据已知点确定平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标．【即学即练】如图，是象棋棋盘的一部分．若位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，则位于点上．【答案】(﹣2，1)．解：∵位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，∴位于点(﹣2，1)上．考法02用坐标表示平移【典例3】如如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2)．(1)写出点A、B的坐标：A(，)、B(，)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(，)、B′(，)、C′(，)．(3)△ABC的面积为．【分析】(1)A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象限，横纵坐标均为正；(2)让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；(3)△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．【答案与解析】解：(1)写出点A、B的坐标：A(2，﹣1)、B(4，3)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(0，0)、B′(2，4)、C′(﹣1，3)．(3)△ABC的面积=3×4﹣2××1×3﹣×2×4=5．【点睛】用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示．【即学即练】已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0)．三角形ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0+5，y0+3)．将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1：(1)求A1B1C1的坐标．(2)求三角形ABC和△A1B1C1的面积大小．【答案】解：(1)A 1(3，6)，B 1(1，2)，C 1(7，3)．(2)ABC A B C S S '''=△△11124246143222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝24-4-3-6＝11． 考法03 综合应用【典例4】在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【分析】当台风中心移动到据B 点200千米时，B 市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．【答案与解析】解：∵台风影响范围半径为200km ，∴当台风中心移动到点(4，6)时，B 市将受到台风的影响．所用的时间为：50×(10-4)÷40=7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【点睛】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．【即学即练】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是()A．(﹣1，1)B．(﹣1，﹣2)C．(﹣1，2)D．(1，2)【答案】A【解析】【详解】试题分析：已知将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为(﹣1，1)．故选A．分层提分考点：坐标与图形变化-平移．的值为()2．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a bA．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A(2，0)的对应点A1(4，b)知向右平移2个单位，由点B(0，1)的对应点B1(a，2)知向上平移1个单位，△a=0+2=2，b=0+1=1，△a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(–1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(–4，–1)的对应点D的坐标为()A．(1，2)B．(2，9)C．(5，3)D．(–9，–4)【答案】A【解析】【详解】△线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，△由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2).4．如图， ,A B 的坐标为()()1,0,0,2,若将线段AB 平移至11A B ，则-a b 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】 直接利用平移中点的变化规律求解即可．【详解】解：由B 点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B 点向上平移了2个单位，由A 点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A 点向右平移了2个单位，由此得线段AB 的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所以点A 、B 均按此规律平移，由此可得a=0+2=2，b=0+2=2，△a -b=2-2=0，故选：B ．【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5．已知A (3，﹣2)，B (1，0)，把线段AB 平移至线段CD ，其中点A 、B 分别对应点C 、D ，若C (5，x )，D (y ，0)，则x ＋y 的值是( )A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由对应点坐标确定平移方向，再由平移得出x，y的值，即可计算x+y．【详解】△A(3，﹣2)，B(1，0)平移后的对应点C(5，x)，D(y，0)，△平移方法为向右平移2个单位，△x＝﹣2，y＝3，△x+y＝1，故选：C．【点睛】本题考查坐标的平移，掌握点坐标平移的性质是解题的关键，点坐标平移：横坐标左减右加，纵坐标下减上加．6．在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比()A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位【答案】D【解析】【分析】根据向下平移，纵坐标相减，横坐标不变解答．【详解】△将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，△所得图形与原图形相比向下平移了3个单位．故选D.【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】已知线段AB ，BC ，AC ，分别以三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断．【详解】如果以线段AB 为对角线，AC ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限；如果以线段AC 为对角线，AB ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限；如果以线段CB 为对角线，AC ，BA 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第三象限．故不可能在第一象限．故选A.【点睛】考查了平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．8．如图，一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点(00)，运动到(0)1，，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是( )A ．(0，9)B ．(9，0)C ．(0，8)D ．(8，0)【答案】C【解析】【详解】 【分析】由题目可以知道，质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒，这样可以先确定，第80秒钟时所在的点所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．【详解】质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒， △当n=8时，n 2+n=82+8=72，△当质点运动到第72秒时到达(8，8)，△质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，△此时质点的横坐标为8-8=0，△此时质点的坐标为(0，8)，△第80秒后质点所在位置的坐标是(0，8)，故选C.【点睛】本题考查了规律题——点的坐标，解决本题的关键是读懂题意，并总结出一定的规律，难度较大．题组B 能力提升练9．将点()1,24P m m -+向上平移2个单位后落在x 轴上，则m =___．【答案】-3【解析】【分析】点坐标向上平移2个单位，就是纵坐标加上2，落在x 轴上，就是纵坐标为0，求出m 的值．【详解】解：点()1,24P m m -+向上平移2个单位得()1,26P m m '-+，△平移后落在x 轴上，△260m +=，解得3m =-．故答案是：-3．【点睛】本题考查点坐标的平移，解题的关键是掌握点坐标平移的方法．10．已知直线AB△x 轴，点A 的坐标为(1，2)，并且线段AB ＝3，则点B 的坐标为________【答案】(4，2)或(﹣2，2).【解析】【详解】分析：AB△x 轴，说明A ，B 的纵坐标相等为2，再根据两点之间的距离公式求解即可．详解：△AB△x 轴，点A 坐标为(1，2)，△A ，B 的纵坐标相等为2，设点B 的横坐标为x ，则有AB=|x -1|=3，解得：x=4或-2，△点B 的坐标为(4，2)或(-2，2)．故本题答案为：(4，2)或(-2，2)．点睛：本题主要考查了平行于x 轴的直线上的点的纵坐标都相等．注意所求的点的位置的两种情况，不要漏解．11．已知点A(a ，0)和点B(0，5)两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是______.【答案】±4【解析】【详解】试题分析：根据坐标与图形得到三角形OAB 的两边分别为|a|与5，然后根据三角形面积公式有：15102a ⋅⋅=， 解得a=4或a=-4，即a 的值为±4．考点：1.三角形的面积；2.坐标与图形性质．12．在平面直角坐标系中，若点M (1，3)与点N (x ，3)之间的距离是5，则x 的值是____________．【答案】－4或6【解析】【详解】分析：点M 、N 的纵坐标相等，则直线MN 在平行于x 轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x -1|=5，从而解得x 的值．解答：解：△点M(1，3)与点N(x ，3)之间的距离是5，△|x -1|=5，解得x=-4或6．故答案为-4或6．13．如图，点,A B 的坐标分别为(2,0),(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为_____．【答案】2【解析】【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．【详解】由题意可知：a=0+(3-2)=1；b=0+(2-1)=1；△a+b=2．故答案为：2.【点睛】此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．14．把点A(a，-2)向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，则a等于____.【答案】1.5【解析】【详解】试题解析：由题意，得a+(a-3)=0，解得a=1.5.点睛：对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．(1)把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．(2)把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，则点B的坐标是_______．(3)把点P(2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．【答案】(4，-3) (-2，-6) (-2，7)【解析】【分析】(1)根据点向右平移2个单位即横坐标加2，纵坐标不变求解即可；(2)根据点向下平移3个单位即横坐标不变，纵坐标减3求解即可；(3)根据点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位即横坐标减4，纵坐标加4求解即可．【详解】解：(1)△把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，△横坐标加2，纵坐标不变，△点P'的坐标是(4，-3)；(2)△把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，△横坐标不变，纵坐标减3，△点B 的坐标是(-2，-6)；(3)△把点P (2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P '，△横坐标减4，纵坐标加4，△点P '的坐标是(-2，7)．故答案为：(4，-3)；(-2，-6)；(-2，7)．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律．向左平移，点的横坐标减小，纵坐标不变；向右平移，点的横坐标增大，纵坐标不变；向上平移，点的横坐标不变，纵坐标增大；向下平移，点的横坐标不变，纵坐标减小．16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，则D 的坐标为_______，连接AC ，BD ．在y 轴上存在一点P ，连接P A ，PB ，使PAB S =△S 四边形ABDC ，则点P 的坐标为_______．【答案】 (4，2) (0，4)或(0，-4)【解析】【分析】根据B 点的平移方式即可得到D 点的坐标；设点P 到AB 的距离为h ，则S △P AB =12×AB ×h ，根据S △P AB =S 四边形ABDC ，列方程求h 的值，确定P 点坐标；【详解】解：由题意得点D 是点B (3，0)先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，△点D 的坐标为(4，2)；同理可得点C 的坐标为(0，2)，△OC =2，△A (-1，0)，B (3，0)，△AB =4，△=8ABDC S AB OC ⋅=四边形，设点P 到AB 的距离为h ，△S △P AB =12×AB ×h =2h ，△S △P AB =S 四边形ABDC ，得2h =8，解得h =4，△P 在y 轴上，△OP =4，△P (0，4)或(0，-4)．故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题主要考查了根据平移方式确定点的坐标，坐标与图形，解题时注意：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 题组C 培优拔尖练17．在平面直角坐标系中，P(1，4)，点A 在坐标轴上，且S 三角形PAO ＝4，求点A 的坐标．【答案】A(2，0)或(－2，0)或(0，8)或(0，－8)【解析】【详解】试题分析：由于点A 的坐标不能确定，故应分点A 在x 轴上和点在y 轴上两种情况进行讨论．试题解析：当点A 在x 轴上时，设A(x ，0)，△S △PAO =4，A(1，4) △12|x|×4=4，解得x=±2，△A(-2，0)或(2，0)；当点A 在y 轴上时，设A(0，y)，△S △PAO =4，A(1，4)△12|y|×1=4，解得x=±8，△A(-8，0)或(8，0)．综上所述，A 点坐标为(-2，0)或(2，0)或(-8，0)或(8，0)．点睛：本题考查的是平面直角坐标系中的三角形的面积，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，3)，B(－5，1)，C(－2，0)，P(a ，b)是△ABC 的边AC 上任意一点，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，点P 的对应点为P 1(a ＋6，b －2)．(1)直接写出点C 1的坐标；(2)在图中画出△A 1B 1C 1；(3)求△AOA 1的面积．【答案】(1)(4，-2)；(2)作图见解析，(3)6.【解析】【分析】(1)根据点P 的对应点为P 1(6,2a b +-)确定出平移规律为向右6个单位，向下2个单位，，由此规律和C(－2，0)即可求出C 1的坐标；(2)根据(1)中的平移规律确定点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；(3)利用△AOA 1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】(1)△点P(a ，b)的对应点为P 1(a+6，b -2)，△平移规律为向右6个单位，向下2个单位，△C(-2，0)的对应点C 1的坐标为(4，-2)；(2)△A 1B 1C 1如图所示；(3)△AOA1的面积=6×3-12×3×3-12×3×1-12×6×2=18-92-32-6=18-12=6．考点：图形的平移变换.19．如图，一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(﹣1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1)图中A→C(______，_____)，B→C(______，_____)，D→_____(﹣4，﹣2)；(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为(+2，+2)，(+2，﹣1)，(﹣2，+3)，(﹣1，﹣2)，请在图中标出P的位置；(3)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．【答案】(1) (3，4)；(2，0)；A；(2)答案见解析；(3)10．【解析】【分析】(1)根据规定及实例可知A→C记为(3，4)B→C记为(2，0)D→A记为(﹣4，﹣2)；(2)按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；(3)根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长．(1)规定：向上向右走为正，向下向左走为负△A →C 记为(3，4)B →C 记为(2，0)D →A 记为(﹣4，﹣2)；(2)P 点位置如图所示．(3)据已知条件可知：A →B 表示为：(1，4)，B →C 记为(2，0)C →D 记为(1，﹣2)；该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2=10．故答案为(3，4)；(2，0)；A ；【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．20．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ．连接AC ，BD ．(1)写出点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积.(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S 三角形PAB ＝S 四边形ABDC ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由；(3)点Q 是线段BD 上的动点，连接QC ，QO ，当点Q 在BD 上移动时(不与B ，D 重合)，给出下列结论：①DCQ BOQ CQO +∠∠∠的值不变；②DCQ CQO BOQ+∠∠∠的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求值.【答案】(1)C(0，2)，D(4，2)，S 四边形ABCD ＝8；(2)存在，点P 的坐标为(0，4)或(0，－4)；(3)结论①正确，DCQ BOQ CQO+∠∠∠=1. 【解析】(1)根据点平移的规律：左减右加，上加下减，即可得到点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式计算面积即可；(2)设点P的坐标为(0，y)，根据三角形的面积公式底乘以高的一半列式计算即可得到答案；(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E，利用平行线的性质：两直线平行内错角相等证得△DCQ＋△BOQ ＝△CQO，由此得到结论①正确【详解】(1)△将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，△C(0，2)，D(4，2)，AB△CD且AB=CD=4，△四边形ABDC是平行四边形，△S四边形ABCD＝4×2＝8.(2)存在，设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得12×4×|y|＝8.解得y＝4或y＝－4.△点P的坐标为(0，4)或(0，－4).(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E.△AB△CD，△QE△CD.△△DCQ＝△EQC，△BOQ＝△EQO.△△EQC＋△EQO＝△CQO，△△DCQ＋△BOQ＝△CQO.△DCQ BOQCQO∠∠∠＝1.【点睛】此题考查点平移的坐标规律，利用面积求点的坐标，平行线的性质，(2)中利用面积求点坐标时，高度为点纵坐标的绝对值，得到纵坐标为两个值，这是题中易错点。
初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型地构造(倍长中线法;构造中位线法)
学生姓名学生年级学校上课时间辅导老师科目教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格新课导入知识点归纳1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）；2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.新课内容做辅助线思路一：倍长中线法经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围.【课堂训练】1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④第1题图第2题图2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 53.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF ＝CG ．5.如图所示，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AE ＝EF ，求证：AC ＝BF.6.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ，F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE ＝2AF ；②FG ⊥DE ．FGE D B C AF DB C AE GFB C A D E7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？8.四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上的中点，△ABE 沿着直线AE 翻折，点B 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G ，请探究线段AB 、AG 、G C 之间的关系．9.如图所示，△ABC 中，点D 是BC 的中点，且∠BAD ＝∠DAE ，过点C 作CF//AB ，交AE 的延长线于点F ，求证：AF ＋CF ＝AB.FD A B C EG F E D B C A FD B C A E做辅助线思路二：构造中位线法经典例题2：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是________.【课堂训练】1.已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.求证：∠AME＝∠DNE.2.已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AD、BC 的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.求证：OM＝ON.AB F CDNMEDA BCOE FM NP3.BD、CE分别是的△ABC外角平分线，过A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，易证FG=21（AB+BC+AC）。
专题09 几何探究题(原卷版)(1)-2021年中考数学专项训练(河南专用)
专题09 几何探究题1.（2020牡丹江）如图,四边形ABCD是正方形,点E在直线BC上,连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠,点B地对应点是点B′,连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1）,易证：DF+BE=AF（不需证明）。
（2）当点F在DC地延长线上时如图（2）,当点F在CD地延长线上时如图（3）,线段DF，BE，AF有怎样地数量关系？请直接写出你地猜想,并选择一种情况给予证明．2．（2020•金华）如图,在△ABC中,AB＝42,∠B＝45°,∠C＝60°．（1）求BC边上地高线长．（2）点E为线段AB地中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP地度数．②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP地长．3.（2020重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A 逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE．点F是DE地中点,连接CF．AD。
（1）求证：CF=22（2）如图2所示,在点D运动地过程中,当BD＝2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在地数量关系,并证明你猜想地结论。
（3）在点D运动地过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC地值最小．当PA+PB+PC地值得到最小值时,AP 地长为m,请直接用含m地式子表示CE地长．4.（2020牡丹江）如图,四边形ABCD是正方形,点E在直线BC上,连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠,点B地对应点是点B′,连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1）,易证：DF+BE=AF（不需证明）。
（2）当点F在DC地延长线上时如图（2）,当点F在CD地延长线上时如图（3）,线段DF，BE，AF有怎样地数量关系？请直接写出你地猜想,并选择一种情况给予证明．5．（2020枣庄）在△ABC中,∠ACB＝90°,CD是中线,AC＝BC,一个以点D为顶点地45°角绕点D旋转,使角地两边分别与AC，BC地延长线相交,交点分别为点E，F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N．（1）如图1,若CE＝CF,求证：DE＝DF。
梯形几何重心计算公式百科
梯形几何重心计算公式百科梯形是一种特殊的四边形，它有两对平行边，其中一对边长较长，另一对边长较短。
计算梯形的几何重心可以帮助我们更好地理解和分析梯形的性质和特点。
梯形的几何重心是指在梯形内部，通过梯形两对平行边中点连线的交点。
在计算梯形的几何重心时，我们可以使用以下公式：梯形的几何重心坐标为(x,y)，其中:x = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4y = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)、(x4, y4) 分别是梯形的四个顶点坐标。
通过梯形的几何重心计算公式，我们可以快速准确地计算出梯形的几何重心坐标。
几何重心是梯形内部的一个点，它具有以下性质：1. 几何重心位于梯形两对平行边中点连线的交点上，因此它一定在梯形内部。
2. 几何重心将梯形划分为两个面积相等的三角形，即梯形的两个对角线将几何重心分割成四个小三角形，这四个小三角形的面积相等。
3. 几何重心是梯形内部各点到四个顶点距离之和最小的点。
梯形的几何重心在许多几何问题中具有重要的应用。
例如，在工程设计中，通过计算梯形的几何重心，可以确定物体的平衡点，并帮助设计合适的支撑点。
在建筑设计中，通过计算梯形的几何重心，可以确定梯形的质心位置，从而对建筑物的结构和稳定性进行评估。
除了计算公式外，我们还可以通过几何方法来计算梯形的几何重心。
具体步骤如下：1. 绘制梯形的四个顶点，并标记为A、B、C、D。
2. 连接AB和CD，得到梯形的两对平行边。
3. 在AB和CD上分别取中点E和F，连接EF。
4. 在AC和BD上分别取中点G和H，连接GH。
5. 连接EF和GH，得到交点O，即为梯形的几何重心。
通过几何方法计算梯形的几何重心，可以更好地理解梯形的性质和特点。
同时，这种方法也可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。
梯形的几何重心是一种重要的几何性质，通过计算公式或几何方法可以准确地确定梯形的几何重心坐标。
精品解析：福建省宁德市部分达标中学2022-2023学年高一下学期期中联合考试数学试题(解析版)
2020—2021学年宁德市部分达标中学第二学期期中联合考试高一数学试题一单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地选项中,有且仅有一个选项是正确地1. 若复数11iz i -=+,则z =A. 1B. 1-C. iD. i-【结果】C【思路】【详解】由已知21(1)1(1)(1)ii z i i i i --===-++-,则z = i .故选C.2. 一梯形地直观图是如图所示地等腰梯形,且直观图O A B C ''''地面积为1,则原梯形地面积为（ ）A 1C. 2D. 【结果】D【思路】【思路】依据斜二测画法地规则将图还原,平面图是一个直角梯形,从而可求出其面积【详解】解：把该梯形地直观图还原为原来地梯形,如图所示,设原来梯形地上底为a ,下底为b ,高为h ,则直观图中等腰梯形地高为'1sin 452h h =︒,因为直观图地面积为'111()()sin 451222a b h a b h +=+⋅︒=,所以1()2a b h +==,所以原梯形地面积为故选：D .【点睛】此题考查了平面图形地直观图地画法与应用问题,掌握斜二测画法地作图规则是解题地关键,属于基础题3. ABC ∆地三个内角A ,B ,C 地对边分别为,,a b ,c ,2220a c b ac +--=,则B =（ ）A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π【结果】B【思路】【思路】依据2220a c b ac +--=,利用余弦定理求解.【详解】因为2220a c b ac +--=,即222a c b ac+-=所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,因为(0,)B π∈,所以3B π=．故选：B ．4. 阿基米德（Archimedes ,公圆前287年—公圆前212年）是古希腊伟大地数学家，物理学家和天文学家．他推导出地结论“圆柱内切球体地体积是圆柱体积地三分之二,并且球地表面积也是圆柱表面积地三分之二”是其毕生最满意地数学发现,后人按照他生前地要求,在他地墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,圆柱地底面直径与高都等于球地直径,若球地体积为36π,则圆柱地表面积为（ ）A. 36πB. 45πC. 54πD. 63π【结果】C【思路】【思路】首先理解题意,直接求解圆柱地体积,即可得圆柱底面地半径,再求圆柱地表面积.【详解】由题意可知,2=3V V 内切球圆柱,=54V π∴圆柱,设圆柱底面半径为r ,则2254r r ππ⨯=,得3r =,则圆柱地表面积222254S r r r πππ=⨯+=.故选：C5. 如图所示,在四边形ABCD 中,13DC AB = ,E 为BC 地中点,且=AE x AB y AD + ,则32x y -=A. 12 B. 32C. 1D. 2【结果】C【思路】【详解】E 为BC 地中点,12BE BC ∴＝， 而23BC BA AD DC AB AD ++=-+ ＝1121122332BE BC AB AD AB AD ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭＝＝，则2132AE AB BE AB AD ++ ＝＝且AE x AB y AD + ＝ ,2132x y ∴＝，＝,则321x y ，-= 故选C ．6. △ABC 三个内角A ,B ,C 对边分别为a b c 、、,已知sin 2sin B C =,且78a A ==,则ABC 地面积等于（）的C. 2D. 3【结果】A【思路】【思路】由sin 2sin B C =结合正弦定理可得2b c =,利用余弦定理求得2,4c b ==,再依据三角形面积公式求得结果.【详解】由sin 2sin B C =可得：2b c = ,故22222567cos 248b c a c A bc c +--=== ,解得2,4c b == ,故11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯= ,故选：A7. ABC ∆是边长为1地等边三角形,点,D E 分别是边,AB BC 地中点,连接DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则·AF BC 地值为（ ）A. 58- B. 18 C. 14 D. 118【结果】B【思路】【详解】试题思路：设BA a = ,BC b =,∴11()22DE AC b a ==- ,33()24DF DE b a ==- ,1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+ ,∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+= .【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量地数量积问题,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积。
2023年天津市河北区中考三模数学试卷(含解析)
2023年天津市河北区中考三模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、解答题4．如图可以看作是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．三、单选题5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．(1)AB的长等于___________；(2)M 是线段BC 与网格线的交点，P 是ABC 外接圆上的动点，点N 在线段PB 上，且满足2PN BN =．当MN 取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）___________．五、解答题19．解不等式组43,65 3.x x x +≥⎧⎨≤+⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得_______________；（Ⅱ）解不等式②，得_______________；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．20．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位；kg ），绘制出如下的统计图①和图.②请根据相关信息，解答下列问题：(1)图①中m 的值为______ ；图②中鸡的总数为______ ．(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；(3)根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg 的约有多少只？21．已知AB 是O 的直径，AT 是O 的切线，50ABT ∠=︒，BT 交O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交O 于点D ．23．已知甲、乙、丙三地依次在同一直线上，乙地离甲地160km．一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：游轮离开甲地的时间/h61316游轮离甲地的距离/km120260参考答案：【点睛】本题考查了作图和勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，圆周角定理和相似三角形判定与性质确定圆心．19．（Ⅰ）1x ≥-；（Ⅱ）3x ≤；（Ⅲ）把不等式【分析】（1）连接AC ，利用切线的性质得出90BAT ∠=︒，从而得出40T ∠=︒的度数；由AB 是O 的直径，得90CBA ∠=︒，从而得出CAB ∠的度数，进而得出40CDB ∠=︒的度数；（2）连接OC ，利用50ABT ∠=︒，得出65BCE BEC ∠=∠=︒，利用OB OC =得出50BCO ABT Ð=Ð=°，从而得出15CDO OCD ∠=∠=︒．【详解】（1）如图，连接AC ．∵AT 是O 的切线，AB 是O 的直径，∴AB AT ⊥，即90BAT ∠=︒．∵50ABT ∠=︒，∴9040T ABT ∠=︒-∠=︒．由AB 是O 的直径，得90CBA ∠=︒．∴9040CAB ABT ∠=︒-∠=︒．∵ BCBC =∴ 40CDB CAB ∠=∠=︒．故答案为：40T ∠=︒，40CDB ∠=︒．（2）如图，连接OC ．在BCE 中，BC BE =，50ABT ∠=︒，∴65BCE BEC ∠=∠=︒，在BOC 中，OB OC =，∴50BCO ABT Ð=Ð=°，∴655015OCD ∠=︒-︒=︒．根据题意，45ACB ∠=︒COD 绕点O 顺时针旋转3030COE ∴∠=︒，122EC OC ∴==，2OE OC =-(23C ∴-，2)．（2）解：①证明：如图②中，过点90COD AOB ∠=∠=︒ ，AOC BOD ∴∠=∠，OA OB = ，OC OD =，(SAS)AOC BOD ∴ ≌；②解：AOC BOD ≌；AC BD ∴=，过点D 作DF x ⊥轴于F ，过点C 作CE OB ⊥于90BOF COD ∠=∠=︒ ，BOC DOF ∴∠=∠，90CEO DFO ∠=∠=︒ ，OC OD =，(AAS)OEC OFD ∴ ≌，EC DF ∴=，12AOD S OA DF =⋅⋅ ，12BOC S OB CE =⋅⋅ ，OB OA =6AOD BOC S S ∴== ．∵点P在抛物线对称轴上，点A，B是对称点，。
第三章中心对称图形(一)基础知识复习讲义
要点回顾【知识点11旋转地概念:权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理 ，勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理 ，勿用作商业用途地连线所成地角彼此相等1基础回顾〗1、下列现象属于旋转地是（2、在图形旋转中，下列说法错误地是形区别与联系1基础回顾〗第三章 中心对称图形（一）基础知识复习讲义这个定点称为，旋转地角度称为.图形地旋转不改变图形地旋转地性质：（1 ）旋转前后地图形(2)地距离相等,（3 ）每一对对应点与A.摩托车在急刹车时向前滑动B. 飞机起飞后冲向空中地过程C.幸运大转盘转动地过程D.笔直地铁轨上飞驰而过地火车A.图形上各点地旋转角度相同B.旋转不改变图形地大小、形状 C.由旋转得到地图形也一定可以由平移得到D.对应点到旋转中心距离相等【知识点21中心对称：中心对称地性质：成中心对称地两个图形对称点连线都过 ，并且被对称中心中心对称图形: 中心对称图形地作图万法;中心对称与中心对称图形之间地关系; 轴对称图形与中心对称图1、下面扑克中是中心对称地是（£♦?I ■ba®2~“—!'丁叶•B -BL..I.J■T riT'j'"!' 严。
［“叫L 門-I ■-・I十：一丄：1—r* -c'"^T —I"_lr —iA严严•卞TJw■■丰.pIlin■■J■ ■■frii^2、在线段、角、平行四边形、长方形、等腰梯形、圆、等边三角形中，是中心对称图形地文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途3、作出△ ABC关于点0地对称图形△ ABC .【知识点31利用中心对称地特点、性质设计中心对称图案1基础回顾〗图①、图②均为7 6地正方形网格，点A、B、C在格点上.（画一个即可），是轴对称图形地有,既是中心对称图形又是轴对称图形地是.版权在图①，②中分别确定格点 D , E并画出以A B、C、D 和A B、C、E为顶点地四边形，使其为轴对称图形--4A- -r■ ■■ ■ ■ rs:iT !■.-图①图②【知识点41平行四边形地概念:平行四边形地性质（用符号表示）：边___角___对角线B! !-A-1、已知A B C 三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点地平行四边形共有（A 1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、在口ABCD 中，若/ A=3/ B ,则/ A=;/ D=若/ A=/ B+/ D,则/ A=,/ B=3、如图，在 □ ABCD 中, AE ± BC AF 丄CD 垂足分别是 E 、F ,/ ABE=60 , BE=2cm DF=3cm 则各内角地度数为,各边地长为版权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途4、如图，丫 ABCD 中,试求：线段DE 地长.ABEC【知识点5】平行四边形地判定:1基础回顾〗 1能确定四边形是平行四边形地条件是（2、已知：四边形 ABCD 中，AB// CD,要使四边形1、如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是AD 边上地中点.若/ ABE= / EBC , AB=2，则平行四边形 ABCD 地周长是 2、如图，□ ABCD 中，AC.BD 为对角线，BC=6,A. 一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边平行，一组邻角相等D.一组对边平行，两条对角线相等需添加一个条件是: （只需填一个你认为正确地条件即可）3、如图,E, F 是四边形ABCD 地对角线AC 上两点，AF CE , DF BE , DF//BE .求证: (1) △ AFD CEB .【知识点(2) 6】1基础回顾〗 四边形ABCD 是平行四边形.C平行四边形性质与判定地综合运用ABCD 为平行四边形,DBC 边上地高为4,则阴影部分地面积为3、如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD, B D , BC=3 , AB=6求四边形ABCD 地周长. 4、如图，在口ABCD 中, AE1 BD, CF 丄BD,垂足分别是 为什么？ 版权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理 E 、F ,四边形AECF 是平行四边形吗?，勿用作商业用途D自我检测 1.如图（1 ）:△ ABC 和^ ADE 都是顶点为45°地等腰三角形，BC 、DE 分别是两个三角形 地底边•图中地^ ACE 可以看成是由 旋转 得到地.版权文档，请勿用做商 业用途文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途 2、下列条件不能识别一个四边形是平行四边形地是（ A .一组对边平行且相等C.对角线互相平分 3、 平行四边形地对角线长为 A . 8 和 144、 如图（2）: 且口 ABCD D. X 、 在□ABCD 地周长为40,则中, B.两组对边分别相等 一组对边平行，另一组对边相等 y ，一边长为12,则X 、y 地值可能是 （ ） B . 10 和 14 C . 18 和 20 D . 10 和 34 AE 丄 BC 于 E , AF 丄 CD 于 F.若 AE=4 , AF=6 , ABCD地面积为40 D . 48B . 36 E5、平行四边形地一条角平分线将平行四边形地一边分成长为3和5两部分，则这个平行四边形地周长是.版权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途6、如图，在口ABCD 中，点E 、F 是对角线 AC 上两点，且AE=CF .求证：/ EBF= / FDE .版权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理 ，勿用作商业用途7、如图，分别以 Rt △ ABC 地直角边 AC 及斜边AB 向外作等边△ ACD 、等边△ ABE .已知 / BAC =30 °，EF 丄AB ，垂足为F ，边结DF .版权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整 理,勿用作商业用途⑴试说明AC = EF ;⑵求证：四边形 ADFE 是平行四边形.8、在四边形 ABCD 中，AD// BC,且AD> BC , BC=6cm P 、Q 分别从 A C 同时出发,地速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 地速度由C 出发向B 运动，几秒后四边形 行四边形？ 版权文档，请勿用做商业用途文档来源网络及个人整理 ，勿用作商业用途P 以 1cm/s ABQP 是平D版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This article in eludes some parts, in clud ing text, p ictures, and desig n. Cop yright is personal own ersh ip.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途Users may use the contents or services of this articlefor personal study, research or app reciati on, and other non-commercial or non-pr ofit purpo ses, but at the same time, they shall abide by the pro visi ons of cop yright law and other releva nt laws, and shall n ot infringe upon the legitimate rights of this website and its releva nt obligees. In additi on, whe n any content or service of this article is used for other purp oses, writte n p ermissi on and remun erati on shall be obta ined from the person concerned and the releva nt obligee.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改, 并自负版权等法律责任.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途Rep roducti on or quotatio n of the content of this articlemust be reas on able and good-faith citati on for the use of n ews or in formative p ublic free in formatio n. It shall not misi nterpret or modify the original inten ti on of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright. 文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This article in eludes some parts, in clud ing text, p ictures, and desig n. Cop yright is personal own ersh ip.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途Users may use the contents or services of this articlefor personal study, research or app reciati on, and other non-commercial or non-pr ofit purpo ses, but at the same time, they shall abide by the pro visi ons of cop yright law and other releva nt laws, and shall n ot infringe upon the legitimate rights of this website and its releva nt obligees. In additi on, whe n any content or service of this article is used for other purp oses, writte n p ermissi on and remun erati on shall be obta ined from the person concerned and the releva nt obligee.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改, 并自负版权等法律责任.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途Rep roducti on or quotatio n of the content of this articlemust be reas on able and good-faith citati on for the use of n ews or in formative p ublic free in formatio n. It shall not misi nterpret or modify the original inten ti on of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright. 文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途。
连接正方形四边中点所得的四边形
连接正方形四边中点所得的四边形1. 引言本文将介绍一个有趣且有意思的几何问题：连接正方形四边中点所得的四边形。
我们将详细讨论这个四边形的特性、性质和证明，并提供一些实例来帮助读者更好地理解这个问题。
2. 定义首先，让我们明确一下我们要讨论的对象。
假设我们有一个正方形，其中四个顶点依次为A、B、C和D。
我们需要连接正方形的四边中点，这样就会得到一个新的四边形EFGH。
3. 性质3.1 四边形EFGH是一个平行四边形首先，我们可以证明四边形EFGH是一个平行四边形。
为了证明这一点，我们需要考虑两条线段EF和GH是否平行。
根据几何知识，如果两条线段同时与第三条直线平行，则它们之间也是平行的。
在本问题中，我们可以观察到线段EF与线段AB和CD都平行，并且线段GH与线段BC和AD也都平行。
因此，根据平行线的传递性，我们可以得出结论：线段EF与线段GH也是平行的。
同样地，我们可以证明线段FG与线段EH、线段HE与线段FG也都是平行的。
因此，四边形EFGH的四条边都是平行的，它满足了平行四边形的定义。
3.2 四边形EFGH是一个等腰梯形接下来，我们将证明四边形EFGH是一个等腰梯形。
为了证明这一点，我们需要考虑两条对角线EF和GH是否相等。
首先，让我们观察一下正方形ABCD。
由于ABCD是一个正方形，所以它的对角线AC 和BD相等。
现在，让我们回顾一下连接正方形四边中点所得的四边形EFGH。
通过连接正方形的四个顶点和中点可以得到两条对角线：EG和FH。
根据几何知识，如果两个三角形有相等的对应部分，则这两个三角形全等。
因此，在正方形ABCD中，三角形AEB与三角形DHC、三角形BFA与三角形CGE也都全等。
由于全等三角形具有相等的对应边长和对应夹角，所以我们可以得出结论：线段AE与线段DH、线段BF与线段CG也是相等的。
因此，对角线EG和FH的长度相等，这意味着四边形EFGH是一个等腰梯形。
3.3 四边形EFGH的对边平行且相等接下来，我们将证明四边形EFGH的对边是平行且相等的。
中考数学专题复习——四边形地折叠剪切旋转
CD EBA 图②中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数（1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950（2）如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.图①2、折叠后求长度（1）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．A 、3B 、2C 、3D 、32（2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）（A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103-（3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm（4）如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.AB CEFN M FEDCBA（5）如图，是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD=（6）如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A ．2m n -B ．m n -C ．2mD ．2n3、折叠后求面积（1）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（2）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．10m nnn（2）（1）（3）如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
最短路径专题 含答案
最短路径专题含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A，B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．问题：某正方形盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．2. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程．3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬一个顶点B，如果正方体棱是2，求最短的路线长．4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．5. 如图，有一半径为2cm，高为10cm的圆柱体，在棱AA1的P点上有一只蜘蛛，PA=3cm，在棱BB1的Q点上有一只苍蝇，QB2=2cm．蜘蛛沿圆柱爬到Q点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π取3.14；结果精确到0.01cm）6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为8cm，底面直径4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?(π≈3)8. 如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45∘，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=√2，求AD的长．10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60∘，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点Dʹ处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCEDʹ是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PDʹ+PB的最小值．11. 已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．12. 已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2−2x−3a，若抛物线C1经过点(0,−3)．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离为√(x2−x1)2+(y2−y1)2）（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x>0，请证明x+1x ≥2，并说明x为何值时才会有x+1x=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90∘，m>0，n<0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．13. 如图，已知：四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，DE，CD=CE=BE，DE∥BC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若BC=6，CE=5，求四边形ADCE的面积．14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．15. 如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．16. 已知圆锥的底面半径为r=20cm，高ℎ=20√15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．17. 已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．18. 已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45∘．（1）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．19. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点B处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC和往墙面BBʹCʹC爬行的最近路线AʹHC，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10dm的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15dm，蜘蛛P 在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围．20. 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C之间相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60∘，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=时，四边形CEDF是矩形；②当AE=时，四边形CEDF是菱形．22. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?23. 实践操作在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF=∘，当点E与点A重合时，∠DEF=∘；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形EPFD的边长．（2）深入探究若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E，F分别在AD，DC边上，请直接写出AP的最小值．（3）拓展延伸若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AM与线段DE的长度相等?若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．24. 如图，已知抛物线y=−x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD，BC，求∠DBC的余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25. 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1,1)，且与直线y=x−2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．他的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90∘得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45∘．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF= BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45∘，若BD=1，EC=2，求DE的长．27. 如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=3√5，cosN=√5．在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，5点A与点M重合，AD与MN重合，矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与点Q重合时停止运动．（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围．的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为28. 如图1，对称轴为直线x=12A .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2√3，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90∘得到△AʹCDʹ，请在备用图中画出旋转后的△AʹCDʹ，连接AAʹ，并求线段AAʹ的长度；（2）在（1）的情况下，将△AʹCDʹ沿CB向左平移的长度为t(0<t<2√3)，设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．30. 如图甲，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/ s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，当四边形PQPʹC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形?31. 如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1>x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1，x2是方程x2−2x−8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+1与y轴相交于点A，点B与点O关于点A4对称．（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k<0与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点Cʹ恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．33. 已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0<t<2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC ?（2）设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，那么是否存在某一时刻，使四边形PQPʹC为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．34. 如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG，CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角(0∘<β<180∘)，如图2，连接AG，CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化?若不变化，求出∠EMB 的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE．设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为(0,−3)，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使EA ?若存在，直接写出P的坐标，若不存在，说明理由．PM=1236. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180∘，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1 中是否存在与AB相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．（2）如图2，当DE=kDF（其中0<k<1）时，若∠A=90∘，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．37. 如图，顶点为C(−1,1)的抛物线经过点D(−5,−3)，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；，求出点Q的坐标；（2）若抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=32（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似?若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点 A 作 AF ⊥BC ，垂足为 F ，得到 ∠AFB =∠BEA ，从而可证 △ABF ≌△BAE （如图 2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF 与 △BAE 全等的条件是 （填" SSS "、 " SAS " 、" ASA" 、 " AAS “或”HL "中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在AC 的延长线上，且 ∠CDF =∠EAC ，若 CF =2，求 AB 的长；（3）如图 4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120∘，点 D ，E 分别在 AB ，AC 边上，且 AD =kDB （其中 0<k <√33），∠AED =∠BCD ，求 AE EC 的值（用含 k 的式子表示）．39. 如图，已知二次函数 y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点 A (3,1)，点 C (0,4)，顶点为点 M ，过点 A 作 AB ∥x 轴，交 y 轴于点 D ，交该二次函数图象于点 B ，连接 BC ．（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m (m >0) 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 △ABC 的内部（不包括 △ABC 的边界），求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P ，点 C ，点 M 所构成的三角形与 △BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．40. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=−1x+b交边OA2于点E．（1）如图（1），求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（2）如图（2），若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（3）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．41. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60∘得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=√3AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）42. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为Bʹ．点Bʹ从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点Bʹ停止移动，连接BBʹ．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点Bʹ的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠ABʹB；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．43. 如图1，△ABC中，∠C=90∘，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图 2 所示（其中0<x≤m，1<x≤m，m<x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．x2+bx−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(−1,0)．44. 如图，抛物线y=12（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．（1）应用：如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（i）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（ii）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．（2）探究：在△ABC中，∠A=30∘，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△AʹCD，若△AʹCD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的1，请直接写出△ABC的面积．446. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为(60,0)，OA=AB，∠OAB=90∘，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0<t<30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90∘，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．47. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B(0,3)，其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．48. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ(0∘<θ<90∘)，连接AC1，BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1= kBD1．请直接写出k的值和AC12+(kDD1)2的值．49. 如图，四边形ABCD为一个矩形纸片．AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C?（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E?（3）求出y与x的函数表达式．50. 如图，以点P(−1,0)为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方），AD=2√3，将△ABC绕点P旋转180∘，得到△MCB．（1）求B，C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB，MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．51. 定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA =13．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；其中真命题有．A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA=OA=1，以O为圆心，OA长为半径画圆，点B是⊙O上任意一点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12，求证：直线BC是⊙O的切线．②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是−2．52. 如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线y=14（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0,1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大?最大值是多少?53. 已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=4．设OP=x，△CPF的面积为y．5（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的自变量x的取值范围；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．x2+bx+c与x轴分别相交于点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，顶54. 如图，抛物线y=−12点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．（i）当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；（ii）是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．55. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=5cm，∠BAC=60∘，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒√3cm 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小?并求出最小值．56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AM，BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（1）【特例探究】如图1，当tan∠PAB=1，c=4√2时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30∘，c=2时，a=，b=；（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3）【拓展证明】如图4，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC= 3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3√5，AB=3，求AF的长．57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O，B，C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60∘方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30∘方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20√2海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15∘的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?58. 如图，在坐标系xOy中，已知D(−5,4)，B(−3,0)，过D点分别作DA，DC垂直于x轴、y轴，垂足分别为A，C两点．动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴59. 如图，抛物线y=−12交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．60. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为小正方形边的中点，C，D为格点，E为BA，CD的延长线的交点．（1）CD的长等于；（2）若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足AN=NM=MC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．62. 如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．63. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8,4)，连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA?（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．64. 将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标是(8,6)，点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．（1）如图①，当点Q恰好落在OB上时，求点P的坐标．。
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法在初中数学的学习中，中点问题是一个常见且重要的题型。
学好中点问题的解题技巧和方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
下面我将介绍一些解题技巧和方法，帮助大家更好地应对七年级上册数学中的中点问题。
首先，我们来了解一下中点的概念。
中点是指一条线段的中心点，它将这条线段平分成两个相等的部分。
对于一条线段AB来说，中点记为M，那么AM=MB。
中点问题通常涉及到线段的长度、中点的坐标等。
解决中点问题的方法之一是使用线段的中点定理。
线段的中点定理指的是，如果M是线段AB的中点，那么AM的长度等于BM的长度，而且AM和BM的中点也是线段AB的中点。
中点定理的应用可以帮助我们快速解决一些中点问题。
例如，如果我们要求一条线段的中点的坐标，我们可以利用中点定理来求解。
假设线段的两个端点的坐标分别是A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么中点的坐标可以通过以下公式求得：中点的x坐标：(x1 + x2) / 2中点的y坐标：(y1 + y2) / 2除了中点定理，我们还可以使用坐标系和直角坐标系中的相关知识来解决中点问题。
在坐标系中，我们可以将线段的两个端点表示为坐标点，然后利用距离公式来计算线段的长度和中点的坐标。
例如，我们要求线段AB的中点的坐标，已知点A的坐标为A(x1, y1)，点B的坐标为B(x2, y2)。
我们可以使用以下公式来计算中点的坐标：中点的x坐标：(x1 + x2) / 2中点的y坐标：(y1 + y2) / 2在解决中点问题时，我们还可以利用平移和对称的性质。
通过平移和对称的变换，我们可以将线段移动或者翻转，从而更好地理解和解决中点问题。
例如，如果我们要求线段AB的中点的坐标，我们可以将线段平移，使得其中一点的坐标为原点(0, 0)，然后通过平移的性质，可以得到中点的坐标为(Ax + Bx) / 2，(Ay + By) / 2。
同样的，我们还可以利用对称的性质，将线段翻转，从而求得中点的坐标。
初中数学理解平行四边形与三角形的关系
初中数学理解平行四边形与三角形的关系在初中数学中，平行四边形和三角形是两个重要的几何概念。
它们之间存在着一定的联系和关系。
通过深入理解平行四边形和三角形之间的关系，我们可以更好地掌握几何知识，进而提高解题的能力。
一、平行四边形的性质平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。
在平行四边形中，我们通常关注以下几个重要的性质。
1. 对角线性质：平行四边形的两条对角线互相等长，且对角线的交点将对角线分成两条相等的线段。
2. 相邻角性质：平行四边形的相邻内角互补，即两个相邻内角的和为180度。
这个性质非常重要，可以用来解决平行四边形相关的角度问题。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即位于平行四边形两对平行边之间的角相等。
二、平行四边形与三角形之间的关系平行四边形与三角形之间存在着密切的联系。
通过理解平行四边形和三角形之间的关系，我们可以更好地解决涉及这两个几何形状的问题。
1. 平行四边形的对角线将其分成两个相似三角形：由平行四边形的对角线分割，可以得到两个相似三角形。
利用三角形的性质，我们可以推导出一些平行四边形的重要性质，如比较边长或角度大小。
2. 平行四边形是三角形的基础：可以将平行四边形看作是由两个相等的三角形组成的。
这样一来，我们可以利用三角形的性质来推导和解决平行四边形的问题。
三、应用示例为了更好地理解平行四边形与三角形的关系，我们来看几个具体的应用示例。
1. 题目：在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边AB和CD的中点，连线EF相交于点G。
证明：三角形AGD与三角形CGB相似。
解析：根据平行四边形ABCD的性质可知，连接对角线AC和BD，可以得到两个相似三角形AEC和BFD。
由于点E和F分别是边AB和CD的中点，可以推导出三角形AGD与三角形CGB相似。
2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的度数为60°，角D的度数为120°。
求出角B、角C各自的度数。
解析：利用平行四边形的性质，我们知道相邻内角互补。
圆外切四边形地性质及应用
1 / 13圆外切四边形的性质与应用01 双心四边形，外心为O ，外接圆半径为R ，内心为P ，内切圆半径为r ，OI = h ．证明1(R + h )2 + 1(R －h )2= 1r 2 ．证：如图，分别过K 、L 、M 、N 作PK 、PL 、PM 、PN 垂线交于A 、B 、C 、D ． ∵∠LCM = 180︒－∠LPM = ∠PLM + ∠PML = 12 (∠MLK + ∠LMN ),∠KAN = 12 (∠LKN + ∠KNM )．∴A 、B 、C 、D 四点共圆．我们设其半径为ρ，易证 B 、P 、D ；A 、P 、C 分别三点共线．∴r = PL sin β = PB sin αsin β = PB ·PC BC APAB,PC ·AP = ρ2－d 2 (d 为ABCD 的外心记为Ω与P 的距离)． 又易证AC ⊥BD ，∴PB BC ·AB = 12ρ ⇒r = ρ2－d 22ρ …①延长NP 交BC 于T ，易证T 为BC 中点(卜拉美古塔定理)． ∴ΩT ∥PS , ΩS ∥PT ．□ΩTPS 中，4O 'T 2 = PS 2 + OS 2－d 2 = 2ρ2－d 2．又 O 'N = 122ρ2－d 2 ⇒O '为KLMN 的外心(即为O )且R = 122ρ2－d 2 …②，h = 12d …③●●CDAPO L ST'KβαMNαBΩα2 / 13由①②③得 1r 2 = 4ρ2(ρ2－d 2 )2 = 2(R 2 + h 2 )(R 2－h 2 )2 = 1(R + h )2 + 1(R －h )2． 02 证明圆外切四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点E 、F 与圆心O 共线．证：沿用上题的记号，对点X 、Y 、Z ，用d (X , YZ )表示X 到YZ 的距离． 设⊙O 半径为r ，∠BAD = 2α, ∠ABC = 2β, ∠BCD = 2γ, ∠CDA = 2δ，如此 α, β, γ, δ均为锐角且 α + β + γ + δ = π． ∴sin α, sin β, sin γ, sin δ > 0．连结EF (假如E 与F 重合，如此结论显然成立，以下设E 与F 不重合)． 在线段EF 上取点O '使EO 'O 'F = sin βsin δsin αsin γ． 连OA 、OD 、OG (F 为⊙O 与AD 相切处)，如此 OG ⊥AD , AG = OG cot α = r cot α, GD = OG cot δ = r cot δ． 故AD = r (cot α + cot δ)．∴d (A , CD ) = r (cot α + cot δ)sin 2δ．∴d (E , CD ) = 12sin 2δ(cot α + cot δ)r = sin δcos δ(cot α + cot δ)r= (sin δcos δcot α + cos 2δ)r = (sin δcos δcot α－sin 2δ)r + r = sin δ·cos δcos α－sin δsin αsin α r + r = (sin δcos (α + δ)sin α+ 1)r ．同理 d (F , CD ) = (sin γcos (β + γ)sin β+ 1)r ．O BA●D EO '( )F ●●由EO'O'F=sinβsinδsinαsinγ知d(O', CD) = sinαsinγ(sinδcos(α + δ)sinα+ 1)r + sinβsinδ(sinγcos(β + γ)sinβ+ 1)rsinαsinγ + sinβsinδ= sinδsinγ(cos(α + δ) + cos(β + γ))sinαsinγ + sinβsinδr + r= r(因为α + β + γ + δ = π，所以cos(α + δ) + cos(β + γ) = 0)．同理d(O', AB) = d(O', BC) = d(O', DA) = r．∴O'与O重合，故知结论成立，证毕．03△ABC，在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．证：作△DEF内切圆⊙ω，切EF、FD、DE于P、Q、R．又设△ABC内切圆为⊙I，△AEF内切圆为⊙ω1．记⊙ω1、⊙ω、⊙I半径分别为R1, R, r．由AEDF为圆外切四边形知AF + DE = AE + DF．∴FP－PE = FD－DE = F A－AE．∴⊙ω1切EF于P，∴⊙ω1与⊙ω外切，∴ω1、P、ω三点共线．另一方面，易知A、ω1、I三点共线．延长AP交Iω于T，如此对△Iωω1与截线AP用梅氏定理知ω0T TIIAAω1ω1PPω= 1．CQPEFR1●●●●IABTDωω3 / 134 / 13注意到A ω1AI = R 1r ，上式⇔ω0T TI r R 1 R 1R = 1，即 ω0T TI = Rr． ∴T 为线段ωI 上一个定点，∴AP 、BQ 、CR 三线共点于T ． 由塞瓦定理知sin ∠F AP sin ∠EAP sin ∠ECR sin ∠DCR sin ∠DBQsin ∠FBQ= 1．再用角平分线定理知上式⇔FP F AEP EAER EC DR DCDQ DB FQ FB= 1．将FP = FQ , EP = ER , DQ = DR 代入得F A EA EC DC DB FB= 1． 由塞瓦定理即知 AD 、BE 、CF 三线共点，得证．04 四边形ABCD 既可外切于圆，又可内接于圆，并且ABCD 的内切圆分别与它的边AB 、BC 、CD 、AD 相切于点K 、L 、M 、N ，四边形的∠A 和∠B 的外角平分线相交于点K '，∠B 和∠C 的外角平分线相交于点L '，∠C 和∠D 的外角平分线相交于点M '，∠D 和∠A 的外角平分线相交于点N '．证明，直线KK '、LL '、MM '、NN '经过同一个点．证：如图，设∠BCD 的内切圆圆心为I ，∠BAI = ∠IAD = α, ∠ABI = ∠CBI = β, ∠BCI = ∠DCI = γ, ∠CDI = ∠ADI = θ．⊙I 半径为r ． 由ABCD 还有外接圆可得 α + γ = β + θ = π2 ．∴∠K 'AB = γ = ∠N 'AI (由于K 'N '为A 外角平分线)，且A 、K '、B 、I 四点共圆，AB = r (cot α + cot B )． ∴AK 'sin ∠K 'BA = AB sin ∠AIB 即 AK 'sin θ = r (cot α + cot β)sin (α + β)．ACN●●D LBIMKK'M'N'L'αβαβθγθγγγ5 / 13∴AK ' =r sin θsin βsin α ．同理 AN ' = r sin βsin αsin θ．∴K 'N ' = r (sin 2θ + sin 2β)sin αsin βsin θ = rsin αsin βsin θ ，K 'N '⊥AI ．而KN ∥K 'N '且KNK 'N '= 2r sin γ 且KN ⊥AI ． ∴KN ∥K 'N '且KNK 'N ' = 2 sin αsin βsin θsin γ．同理可得 MN ∥M 'N ', MN M 'N ' = 2 sin αsin βsin θsin γ, ML ∥M 'L ', MLM 'L '= 2 sin αsin βsin θsin γ, LK ∥L 'K ',LKL 'K '= 2 sin αsin βsin θsin γ． 于是四边形KLMN 与四边形K 'L 'M 'N '位似，对应顶点连线K 'K 、L 'L 、M 'M 、N 'N 共点于位似中心，得证． 05 设凸四边形ABCD 外切于⊙O ，圆心O 在对角线BD 上的射影为M ．求证BD 平分∠AMC ．证：设⊙O 在ABCD 四边切点为A 1、B 1、C 1、D 1．不妨设⊙O 半径为1，以O 为原点建立复平面，如此⊙O 为单位圆． 令A 1、B 1、C 1、D 1所代表的复数为a , b , c , d ，如此由熟知结论可知 D = 2ab a + b , A = 2bc b + c , B = 2cd c + d , C = 2da d + a．注意到过BD 直线方程为 (⎺B －⎺D )x + B ⎺D = (B －D )⎺x + ⎺BD ． 将B 、D 代入化简得(c + d －a －b )x －[ ab (c + d )－cd (a + b )]⎺x = 2cd －ab …①A D 1111B AC CD O又过O且垂直于BD直线方程为xB－D+⎺x⎺B－⎺D= 0．将B、D代入化简得(c + d－a－b)x + [ ab(c + d)－cd(a + b)]⎺x = 0 …②① + ②2(c + d－a－b)得x =cd－abc + d－a－b，此即为M的复数表示，M =cd－abc + d－a－b．又∵∠AMC被BD平分⇔)∠AMD = )∠DMC⇔A－M B－D B－DC－M ∈R⇔(A－M)(C－M)(B－D)2= (A－M)(C－M)(B－D)2．将A、B、C、D、M代入得(A－M)(C－M) (B－D)2=(2bcb + c－cd－abc + d－a－b)(2ada + d－cd－abc + d－a－b)(2aba + b－2cdc + a)2= 14(a + b)(c + d)[ 2bc(c + d－a－b)－(cd－ab)(b + c)][ 2ad(c + d－a－b)－(cd－cb)(c + d)](c + d－a－b)2 [ ab(c + d)－cd(a + d)] 2= 14(a + b)(c + d)[ 4abcd(c + d－a－b)2 + (cd－ab)2(a + d)(b + c)－2(c + d－a－b)(cd－ab)[ bc(a + d) + ad(b + c)](c + d－a－b)2 [ ab(c + d)cd(a + b)] 2…③注意到1 4(a + b)(c + d)[ 4abcd(c + d－a－b)2 + (cd－ab)2 (a + b)(b + c)－2(c + d－a－b)(cd－ab)(cd－ab)[ bc(a + d) + ad(b + c)](c + d－a－b)2 [ ab(c + d)－cd(a + b) ] 2=14a + babc + dcd[ 4abcd[ab(c + d)－cd(a + b)] 2a2b2c2d2+ (cd－ab)2(a + d)(b + c)a3b3c3d3－2[ab(c + d)－cd(a + b)] 2(ab－cd)(a + b + c + d)a3b3c3d3][ab(c + d)－cd(a + b)] 2(c + d－a－b)2a4b4c4d4=(a + b)(c + d){ 4[ab(c + d)－cd(a + b)] 2 + (cd－ab)2 (a + d)(b + c)－2[ab(c + d)－cd(a + b)](ab－cd)(a + b + c + d)}(c + d－a－b)2 [ ab(c + d)－cd(a + b)] 2…④比拟③④知仅需证6 / 134abcd(c + d－a－b)2－2(c + d－a－b)(cd－ab)[bc(a + d) + ad(b + c)]= 4[ab(c + d)－cd(a + b)] 2－2[ab(c + d)－cd(a + b)](ab－cd)(a + b + c + d)⇔2abcd(c + d)2 + 2abcd(a + b)2－4abcd(a + b)(c + d) + [ ab(c + d)－cd(a + b)](ab－cd)(a + b + c + d) = 2a2b2 (c + d)2 + 2c2d2 (a + b)2－4abcd(a + b)(c + d) + (c + d－a－b)(cd－ab)(abc + abd + bcd + acd)⇔2(ab－cd)[ab(c + d)2－cd(a + b)2 ]= (ab－cd){[ab(c + d)－cd(a + b)](a + b + c + d) + (c + d－a－b)[ab(c + d) + cd(a + b)]} ⇔2ab(c + d)2－2cd(a + b)2= ab(c + d)(a + b) + ab(c + d)2－cd(a + b)2－cd(c + b) + ab(c + d)2－(a + b)ab(c + d) + cd(a + b)(c + d)－cd(a + b)2 ⇔2ab(c + d)2－2cd(a + b)2 = 2ab(c + d)2－2cd(a + b)2，得证．06双心四边形ABCD，AC∩BD = E，内、外心为I、O．求证I、O、E三点共线．证：引理：圆外切四边形ABCD，切点为M、N、K、L，如此AC、BD、MK、NL四线共点．引理的证明：设AC∩KM = G，LN∩KM = G'，由正弦定理得GC AG= CM sin∠GMCsin∠CGHAK sin∠AKGsin∠AGK=CMAKsin∠GMCsin∠AKGsin∠AGKsin∠CGM=CMAK．同理G'CAG'=CLAN．∴G'CAG'=CLAN=CMAK=CGAG即G = G'．故AC、NL、KM三线共点．同理BD、KM、LN三线共点，引理得证．DGCMNABLKG'( )7 / 138 / 13回到原题：切点仍记为K 、L 、M 、N ，由引理KM ∩LN = E ．以I 为中心，⊙(KNM )为反演圆作反演，A '、B '、C '、D '分别为KLMN 四边中点． 由B 'C '∥KM ∥A 'D ', A 'B '∥NL ∥D 'C '知A 'B 'C 'D '为平行四边形．而A 、B 、C 、D 共圆知A '、B '、C '、D '共圆，A 'B 'C 'D '必为矩形，其中心设为Q ，且有KM ⊥LN ． 由反演性质知Q 、I 、O 三点共线．设LN 、KM 中点为P 、R ，如此 → IQ '= 14(→ IA '+ → IB '+ → IC '+ →ID ') = 14 (→ IK + → IL + → IM + → IN ) = 12 (→ IR + → IP )．由垂径定理知PIRE 为矩形．从而→ IR + → IP = →IE ．∴→ IQ = 12 → IE ，即I 、Q 、E 三点共线，从而O 、I 、E 三点共线．平面几何中两个重要定理引理1:凸四边形ABCD 有内切圆当且仅当BC AD CD AB +=+,当且仅当,AF EC AE FC +=+当且仅当.DF DE BF BE +=+〔图１〕DP RIE C●●●●A'B'C'MNAB LK ●●●D '9 / 13引理2:凸四边形ABCD 在角C 有旁切圆当且仅当,DA DC BA BC +=+当且仅当.FD FB ED EB +=+〔图２〕题目1:A,B,C,D 为平面上四点,其中AD 与线段BC 相交于G,分别过A,B 作AE//BD, BF//AC 交直线BC,AD 于点E,F.证明:EB-EA=FA-FB.证明一:设,,,,d GB c CG b AC a BA ====.,,g GA f DG e BD ===因为BFG ∆～CAG ∆,AEG ∆～DBG ∆,所以),(b g cdFB FG -=- ).(e d fgEA EG -=- 要证,EA EB FB FA -=-即证=+-g b g c d )(.)(d e d fg+- 由余弦定理知,,2cos cos 2222222dfe df DGB CGA cg b g c -+=∠=∠=-+即10 / 13.2))((2))((1212222222dfe df e d f cg b g c b g c df e d f cg b g c --+-=--+-⇔--+=--+条件CB-CA=DA-DB 0≠--=--⇔-+=-+⇔e d f g b c e g f b d c .故)(11)(11e d dfd b g cg g dfe df cg b g c --=--⇔+-=+- ⇔=+-g b g c d )(.)(d e d fg+-证明二:记,,αβ=∠=∠GAC GAB.,ϕθ=∠=∠GBD GBA 由正弦定理知,条件等价于 ABDBAB DA AB CB AB CA DB DA CA CB -=+-⇔-=- 2cos2sin 22cos2sin 22cos 2sin 22cos 2sin 2)sin(sin )sin()sin()sin(sin βϕθβϕθβϕθβϕθθβαθβαθβαθβαβϕθβϕθθβαβαθ++++++-+=++++++-+⇔++-+=++++-⇔11 / 13 2sin 2sin 2sin 2sin βϕθθβαβϕθθβα-+++=++-+⇔22cos 22cos 22cos 22cos ϕβαϕθααθϕϕβα-++++-=-++++-⇔ =-++++⇔22cos 22cos ϕβαϕβα22cos 22cos αθϕϕθα-++++ .2cos 22cos 2cos 22cos αθϕϕβα+=+⇔ 由正弦定理知,要证明的结论等价于 ABEB AB EA AB FB AB FA +-=- ϕϕθπϕθαβαβαπsin ))(sin(sin sin sin sin sin ))(sin(+-+-=-+-⇔ ϕϕϕθααβαsin 2sin 22cos 2sin 2sin 22cos 2+=+⇔ .2cos 22cos 2cos 22cos αθϕϕβα+=+⇔因此,命题成立.证明三:设.,P BF AE Q DB CA =⋂=⋂DB DA CA CB -=-⇔BD BC AD AC +=+⇔凸四边形GCQD 在角G 有旁切圆(引理2)12 / 13DG DQ CG CQ +=+⇔(引理2)DG BD BQ CG AC AQ +-=+-⇔)()()(DG CG BD AC AG AP AG BP +--++=+⇔(平行四边形AQBP 中,AP BQ BP AQ ==,)BGAP CG AC AC BC AP CG AC BD DA AP AG BP +=-+-+=-+-+=+⇔)()(⇔凸四边形PAGB 有内切圆(引理1)BE BF AE AF +=+⇔(引理1)FB FA EA EB -=-⇔. 题目2:,ABC ∆记ΘΓ为ABC ∆,l ADE ∆的内切圆为1ΘΓ.过点D,E 作ΘΓ的切线(不过点A)交于点P;过B,C 作1ΘΓ的切线(不过点A)交于点Q.证明: 无论如何选取直线,l 直线PQ 总过定点.题记:此题是2009年捷克波兰斯洛伐克数学竞赛题3(见2010年中等数学增刊).利用引理1和2,可以简洁给出证明.证明:设N BC M DE =ΘΓ⋂=ΘΓ⋂,1.切点为X,Y ,.,,V BC PY U BC PX P EY DX =⋂=⋂=⋂ 凸四边形ADPE 在角P 处有旁切圆EP EA DP DA +=+⇒(引理2).又AD EM DM AE +=+,故EM EP DM DP +=+.因此,点M 也是EPD ∆在DE边上的旁切圆的切点. 易知:点N 是VPU ∆在UV 边上的旁切圆的切点.EPD ∆与VPU ∆关于点P 位似)//(CB DE ,且点M 和点N 是该位似变换下的对应点,故点M,N,P13 / 13 共线.①切点为I,J,Q CJ BI L DE CJ K DE BI =⋂=⋂=⋂,,. 由引理1知,.BQ AC CQ AB +=+又,BN AB CN AC +=+故,BN BQ CN CQ +=+因此,点N 也是CQB ∆在BC 边上的旁切圆的切点. 易知:点M 是LQK ∆在KL 边上的旁切圆的切点.CQB ∆与LQK ∆关于点P 位似)//(CB LK ,且点M和点N 是该位似变换下的对应点,故点M,N,Q 共线.②由①和②知，直线PQ 过定点N.。
中点弦坐标公式
中点弦坐标公式中点弦坐标公式是解析几何中的一种重要公式，用于确定平面上两点之间的中点坐标。
通过中点弦坐标公式，我们可以轻松地计算出线段的中点坐标，从而简化解析几何中的计算过程。
中点弦坐标公式的推导基于数学中的坐标系。
在平面直角坐标系中，任意一点的坐标表示为(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们希望求出线段AB 的中点坐标。
根据中点定义，线段AB的中点M满足以下条件：M的横坐标等于A点和B点横坐标的平均值，M的纵坐标等于A点和B点纵坐标的平均值。
因此，中点坐标的计算公式可以表示为：M的横坐标 = (x1 + x2) / 2M的纵坐标 = (y1 + y2) / 2通过这个公式，我们可以快速准确地求出线段AB的中点坐标。
不仅如此，中点弦坐标公式还可以应用于其他几何计算中，例如确定三角形的重心、四边形的对角线交点等。
下面我们通过一个具体的例子来演示中点弦坐标公式的应用。
假设平面上有两个点A(1, 2)和B(4, 6)，我们希望求出线段AB的中点坐标。
根据中点弦坐标公式，我们可以计算出中点M的横坐标和纵坐标：M的横坐标 = (1 + 4) / 2 = 2.5M的纵坐标 = (2 + 6) / 2 = 4因此，线段AB的中点坐标为M(2.5, 4)。
通过中点弦坐标公式，我们成功地求出了线段AB的中点坐标。
中点弦坐标公式的应用不仅限于平面直角坐标系，还可以扩展到其他坐标系，例如极坐标系和参数方程等。
在不同的坐标系中，中点弦坐标公式可能有所不同，但其基本思想和原理是一致的，都是通过计算点的坐标平均值来确定中点的位置。
总结一下，中点弦坐标公式是解析几何中的一种重要公式，用于确定平面上两点之间的中点坐标。
通过这个公式，我们可以快速准确地计算出线段的中点坐标，从而简化解析几何中的计算过程。
无论是在平面直角坐标系还是其他坐标系中，中点弦坐标公式都具有广泛的应用价值。
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四边形中的中点问题
1、已知：AD平分∠BAC，BD⊥AD，E为BC中点，求证：DE//AC；DE=1
2
（AC-AB）
2、已知：AD为∠BAC外角平分线的反向延长线，BD⊥AD，E为BC中点，求证：DE//AC；DE=1
2
(AC+AB)
3、已知：BE、CD分别为△ABC的角平分线，AF⊥CD，AG⊥BE，连FG，求证：FG=1
2
(AB+AC-BC)
B
4、已知：BD、CE分别为△ABC的外角平分线，AD⊥BD，AE⊥CE，连DE，求证：DE=1 2
(AB+AC+BC)
5、已知：CE、BD分别为△ABC的、外角平分线，AD⊥BD，AE⊥CE，连DE，求证：DE=1 2
(AB+BC-AC)
A B
C D E F
B F
C D
E
A 6、已知：RT △ABC 中，CD 为A
B 边上的高，AE 平分∠BA
C ，交C
D 于F ，M 为AC 的中点，N 为F
E 的中点，求证：MN=MD
M
N
F
E
A
7、已知：RT △ABC 中，CD 为AB 边上的高，AE 、BF 分别为角平分线，交CD 于P 、G 两点，M 为PE 的中点，N 为FG 的中点，求证：MN//AB ；MN=
1
2
(AC+BC-AB) M
P
N
G
F
D
8、如图，△AOB 和△A 1OB 1是顶角为100°的两上等腰三角形，K 、L 、M 分别是AB 、BB 1、B 1 A 1的中点，求∠KLM ．
9、如图，在□ABCD 中，BC =2AB ,CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =50°，则∠AFE 为多少？
10、如图，在□ABCD 中，∠ABC =60°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，求∠AED 的度数
11、如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，点M 、N 分别是BC 、DE 的中点．
Q
P N M
F
D
C
B A
（1）求证：MN ⊥DE ；
（2）连ME 、MD ，若∠A=60°，试判断△MED 的形状．
12、如图，△CDE 中，∠CDE=135°，CB ⊥DE 于B ，EA ⊥CD 于A ，求证：
AB 。
13、分别以△FBC 的两边FB 和FC 为斜边在形外作等腰Rt △FBD 和等腰Rt △ACF ，P 是BC 的中点，求证：PD=PA 。
14、四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于E ，且AC=BD ，M 、N 分别为AD 、BC 中点。
求证：EF=EG 。
15、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN
分别交N
M E
D
C
B
A
E
C
BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．
16、如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=
4
1
AE ．
B
17、BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．
B
18、如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112
a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，
则2213
()224
a D E a a =
+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、
E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).
19、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．
B
20、如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )
A．40 B．48 C 50 D．56
21、如图，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( )
A．不能确定 B．23 C．3 D．3
+1
F
22、已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：
①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；
②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；
③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；
④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；
⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；
⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．
以上命题中，正确的是( )
A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④
23、如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2
∠BCE ．
G
E
D
A
B
C
24、如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．
P
F
B C
A
D
E
25、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ． (1)求证：EF ＝FB ；
(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的3
1?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系．
E
D
B
A C
F
26、(2012江汉区期末考) 如图1，分别以矩形ABCD 的边DC 、BC 向外作等边△DCF 、等边△BCE ，M 、N 分别为DF 、BE 的中点，连接MN ，直线MN 交BF 于点S ，交DE 于点T 。
（1）证明：∠NSB ＝∠MTD ； （2）如图2，若把“矩形”改为“平行四边形”，（1）中的结论是否仍然成立？请你做出判断，并说明理由。
27、如图，在△ABC 中，BC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )
A ．15
B ．
255 C ．32 D ．273
D B
C
28、如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．3
29、如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( ) A ．)(23312S S S +=
B ．)(21132S S S -=
C ．)(21312S S S +=
D ．)(2
3
132S S S -=
30、如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．
31、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论．
B A C
O
D
32、已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点． (1)求证：MB=MC ；
(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．
M
B
D
A
C
E
M
B
D
C
E
A
33、如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN ，过A 、B 、C 、D4个顶点分别作MN 的垂线AA 1、BB 1、CC l 、DD l ，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1．
(1)求证AA 1+ CC l = BB 1 +DD l ；
(2)如图乙，直线MN 向上移动，使点A 与点B 、C 、D 位于直线MN 两侧，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD l 之间存在什么关系?
(3)如图丙，如果将MN 再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD 1之间又存在什么关系?。