裂项放缩法与函数放缩法研究
放缩法与裂项相消胡应用
例 5.证明： 1 1 1 1
23 33
n3 4
裂项相消法与放缩法 复习应用 知识梳理 考考点点突突破破 内容提升 总结与扩展
考点1
考点2
规律方法 (1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只 剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开 的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
a2＝6.(1)求 c 的值及数列{an}的通项公式；(2)证明a11a2＋a21a3＋…＋ana1n＋1<18.
裂项相消法与放缩法 复习应用 知识知识梳梳理理 考点突破 内容提升 总结与扩展
2.常见的裂项公式
(1)n（n1＋1）＝1n－n＋1 1。推广：
1 n(n
k
)
=
；
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
由已知 C1 b22 b12 a2a3 a1a2 2d a2 2d (a1 d ) 4d 2
将 C1 4d 2 代入（*）式得 Tn 2d 2n(n 1)
∴
n1 T k 1 k
1 2d
2
n
1
k1 k(k 1)
= 1 (1 1 1 1 1 1 )
2d 2 2 2 3
裂项相消法与放缩法 复习应用 知识梳理 考点突破 内容提升 拓展总结提与升扩展
（2016 年天津高考）已知an 是各项均为正数的等差数列，公差
为 d ，对任意的 n N, bn 是 an 和 an1 的等比中项.
(Ⅰ)设 cn
b2 n1
bn2, n N* ，求证：
cn
是等差数列；
(Ⅱ)设
数列及函数不等式放缩如何一步到位
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6
高三数学数列不等式证明——裂项相消与放缩法总结
高三数学数列不等式证明——裂项相消与放缩法总结一、裂项相消法通项特征：通项一般是分式，分母为偶数个因式相乘，且满足a是常数，a-=原分子分母大的因式分母小的因式2.解题思路类型①⎪⎭⎫⎝⎛+-=+knnkknn111)(1类型②()nknknkn-+=++11类型③⎪⎭⎫⎝⎛+--=-121121211412nnn类型④()()⎪⎭⎫⎝⎛++--=--121121114412nnnn nn类型⑤kkkk nnnnn+-+=++++112121)2)(2(2类型⑥kakakakaaannnnn+-+=++⎪⎭⎫⎝⎛-++1111))((11二、错位相减法错位相消法三种思维求法：以下三种思维，但还是建议练熟第一种。
如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。
1.思维结构结构图示如下2.公式型记忆：1(),n S=n+)q,,11n nn nC a n b q A B ca b AB C Bq q-=⋅++-==---则其前项和（其中A=3.可可裂项为如下11(),q1),[(1))](),((())k=pq-pp tb=pqnnn n nn n n na knb qa p n t q pn t q C C C pn t qtq t++=+≠=++-+=-=+⎧⎨+-⎩（则其中可通过方程组计算出、值：11=a()n=a[( )( )( )...( )]n=1 n=2 n=3 n=n-++++=⇑⇑⇑⇑原式分母小的因式分母大的因式前项和化简放缩模型——平方型与指数型证明下列不等式：1、、2、)(21......31211222*∈<++++Nnn3、)(471......31211222*∈<++++Nnn4、)(351......31211222*∈<++++Nnn)(21)12()12(1......751531311*∈<+⨯-++⨯+⨯+⨯NnnnnnS + + +...+n=1 n=2 n=3 n=nqS + + +...+q-=⇑⇑⇑⇑=①②①的基础上左右同时乘，即在①式中指数加1①②代入通项公式，等差数列当等比数列的系数在n-+k( )=+k( )=-S=--n得（1q)S①中的第一项指数函数相加②的最后一项①中的第一项等比求和公式②的最后一项化简两边同时除以（1q)即得平方型：分母是两项积可放缩到裂项相消模型指数型：可放缩为等比模型5、)(45)12(1......51311222*∈<-++++N n n6、),2(32121......121121121432*∈≥<-++-+-+-N n n n7、)(23231......231231231332211*∈<-++-+-+-N n nn8、)(342 (3232221211)432*+∈<-++-+-+-N n n n n一、单选题1．已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且()1231n n S S n n N *+=++∈，设()2log 3n n c a =+，若存在常数k ，使不等式()()116n nc k n N n c *-≥∈+恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,36⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且1231n n S S n +=++（*N n ∈），设()2log 3n n c a =+，若存在常数k ，使不等式()116n n c k n c -≥+（*N n ∈）恒成立，则k 的最小值为（ ）A ．19B ．116C ．125D ．136二、填空题3．已知数列{}n a 中，112a =，()1n n n n a a a +-=，*n ∈N ，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n S .若对于任意的*n ∈N ，不等式n S t <恒成立，则实数t 的取值范围是________.4．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，数列2112n n n n a a a +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()110n n T λ++-⋅>，且λ∈Z ，则λ=___________.三、解答题5．已知数列{}n a 中11a =，)2n a n =≥.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若21n n c a -=，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：21211n n n a T a +--<≤.6．已知数列{}n a 满足1222n n a a a a =-，*n N ∈．(1)证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记12n n T a a a =，*n N ∈，22212n n S T T T =++．证明：当*n N ∈时，11243n n S a +>-．7．已知函数()()3log 1(0)1x f x x x +=>+的图像上有一点列()()*,n n n P x y n N ∈，点n P 在x 轴上的射影是(),0n n Q x ，且(1322n n x x n -=+≥，且)*1,2n N x ∈=.(1)求证：{}1n x +是等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-吋，不等式239181n y t mt <-+恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是n T ，求证：1211132nT T nT +++<.8．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和nS 满足)2n a n ≥. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式24n T a a <-恒成立，求实数a 的取值范围.9．已知数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+,n S 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.(1)求n S ；(2)若n T 为数列2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和，求证：232n nT n >>+.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且214n n n S S a ++=+． (1)求n a ；(2)求证：121112111n a a a +++<+++．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，24a =，()112322n n n S S S n +-+=-≥. (1)证明：数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记112n n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11123n T≤<.12．证明：135212462n n -⨯⨯⨯⋯⨯13．已知数列{}n a 是等差数列，23a =，数列{}n b 是等比数列，18b =，公比3q >，且3q a =，2213b a a =.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设24log n n n b c a =，n *∈N ，求证：1212nc c c ++⋅⋅⋅+<.14．已知各项为正的数列{}n a 满足：113a =，()*134N n n n a a n a +=∈+． (1)设0a >，若数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列，求a 的值；(2)设数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明4543n S n ≤<+．参考答案：1、 通项公式为： ()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=1211212112121n n n n a n2、通项公式为： ()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-<=≥n n n n n a n n 111111,22 3、通项公式为： ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=≥111121111,222n n n n a n n 4、通项公式为： ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<==≥1211212144441,2222n n n n n a n n 5、通项公式为： ()⎪⎭⎫⎝⎛--=-<+-=-=≥n n n n n n n a n n 111414411441121,2222 6、通项公式为：()11111123121211221221121,2---++⋅=≤≤=-=-<-=≥n n n n n n n a a a n 7、通项公式为：11313231231--=⋅-<-=n n n n n n a 8、通项公式为：nn n n n nn n n n a n 2222,21<-+=-=≥+ 1．C 【详解】由1231n n S S n +=++，则当2n ≥时，得123(1)1n n S S n -=+-+， 两式相减得123n n a a +=+，变形可得：132(3)n n a a ++=+，又134a +=，122123116a a S S +==+⨯+=，所以25a =，2132(3)a a +=+， ∴数列{}3n a +是以4为首项、2为公比的等比数列，故113422n n n a -++=⨯=，所以2log (3)1n n c a n =+=+，所以2111116(16)(16)(1)17168172517n n c n n n c n n n n n n -===≤=++++++++， 当且仅当4n =时等号成立，故125k ≥.故选：C. 2．C 【详解】当2n ≥ 时，由1231n n S S n +=++可得-123-2n n S S n =+，两式相减得：123n n a a +=+ ，即132(3)n n a a ++=+，而134a +=，2121224,5a a S S a +==+=， 故2132(3)a a +=+ ，所以{3}n a + 是以134a +=为首项，2q为公比的等比数列，则11342,23n n n n a a -++=⨯=- ，故()122log 3log 21n n n c a n +=+==+，所以()111616(16)(1)17n n c n n c n n n n -==+++++，而16N ,8n n n*∈+≥ ，当且仅当4n = 时取等号， 故()11116162517n n c n c n n-=≤+++，当且仅当4n = 时取等号， 所以若存在常数k ，使不等式()116n n c k n c -≥+（*N n ∈）恒成立，则k 的最小值为125，故选：C 3．[)4,+∞【详解】由()1n n n n a a a +-=得11n n a n a n++=，则有 312412321234112321n n n n a a a a a n n a a a a a n n ----⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯--，化简得1n a n a =，即2n n a =， 所以1114114()1(1)122n n n n a a n n n n +===-+⋅++⨯， 所以111114(1)4(11)4223341111111n S n n n n n ---=-+-+-+++=-++<， 所以不等式n S t <恒成立，则有4t ≥.故答案为：[)4,+∞ 4．0【详解】由()12n n nS n S +=+，得()1()2n n n n S a n S ++=+， 即12n n na S +=，当1n =时，2122a S ==，21021a a -=；可知当2n ≥时，12n n na S +=，()112n n n a S --=， 两式相减整理，得101n na a n n，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，0为公差的等差数列，所以1na n=，n a n =，所以()()21111211221221n n n n n n n a n a a n n n n ++++++==-⋅⋅+⋅⋅+，所以()12231111111()()()21222223221n n n T n n +=-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⋅⋅+()111221n n +=-⋅+， ()110n n T λ++-⋅>等价于()()11111212n n n λ++-⋅>-⋅+；当n 是正奇数时，()111212n n λ+>-⋅+，因为()12111132122228n n +-≤-⨯=-⋅+，所以38λ>-； 当n 是正偶数时，()111221n n λ+<-⋅+，因为()1311111122122324n n +-≥-=⋅+⨯，所以1124λ<； 综上所述，λ的取值范围为311824λ-<<，则整数λ的值为0.故答案为：0. 5．(1)n a =证明见解析【解析】(1)将)2n a n =≥两边同时平方，整理得()22112n n a a n --=≥， 所以数列{}2n a 是首项为211a =，公差为1的等差数列，所以()2111n a n n =+-⨯=.由题知0n a >，所以n a(2)因为n a =21n n c a -==1n c =. 先证21n n T a -≤：当1n =时，11a =，11T =，满足21n n T a -≤； 当2n ≥时，1n c ==所以)(21112n n T n a -<++++-==.故21n n T a -≤得证.再证211n n T a+>-：因为1nc ==>=所以)(211211n n T n a +>++++==-.故不等式21211nn n a Ta +--<≤成立.【点睛】关键的点睛：本题考查等差数列的证明，以及放缩法证明不等式，本题的第二问的难点是对通项公式的放缩，放缩后，再进行裂项相消法求和，1n c==<=1n c ==>= 6．(1)证明见解析；()*12n n a n N n +=∈+(2)证明见解析 【解析】(1)当1n =时，1122a a =-，123a =，当2n ≥时，1222n n a a a a =-；121122n n a a a a --=- 相除得11(2)1n n n a a n a --=≥-，整理为：1111(2)111n n n n a n a a a -==-≥---，即1111(2)11n n n a a --=≥--， 11n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭为等差数列，公差1d =，首项为1131a =-；所以()13121n n n a =+-=+-，整理为：()*12n n a n N n +=∈+，经检验，符合要求. (2)由（1）得：()*12n n a n N n +=∈+．1222n n T a a a n ==+， 2244114(2)(2)(3)23n T n n n n n ⎛⎫∴=>=- ⎪+++++⎝⎭，22212111112441342333n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=++>-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，112224333n n n S a n ++∴>-=-+， 所以，当*n N ∈时，11243n n S a +>-．7．(1)证明见解析，31nn x =-(2)()(),22,∞∞--⋃+(3)证明见解析【解析】(1)因为2n ≥，且*1,32n n n N x x -∈=+，所以()1131n n x x -+=+，即1131n n x x -+=+（常数）； 因为113x +=，所以{}1n x +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n n n x -+=⨯=，即31n n x =-；数列{}n x 的通项公式为31n n x =-.(2)由题可知()()3*log 10,1n n nn x y xn N x +=>∈+，由（1）可得3log 3033n n n n n y ==>，所以1113n ny n y n ++=<，即1n n y y +<，数列{}n y 为单调递减数列.所以n y 最大值为113y =；因为当[]1,1m ∈-吋，不等式239181n y t mt <-+恒成立，所以29180t mt ->恒成立.所以2291809180t t t t ⎧->⎨+>⎩，解得2t <-或2t >.所以t 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.(3)四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是()()114123n n n n n y y x x n T +++-+==.因为()()331134111n n n n n n ⎛⎫<=- ⎪+++⎝⎭，所以1211111111111313122233411n T T nT n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为*n ∈N，所以13313311n n ⎛⎫-=-< ⎪++⎝⎭；所以121113.2nT T nT +++<8．(1)21n a n =-；(2)1a ≤-或2a ≥.【解析】(1)当2n ≥时，n a=∴1nn S S --=1=1=， 所以数列是首项为1，公差为1n ，又由n a 121n n n =+-=-（2n ≥），当1n =时，11a =也适合，所以21n a n =-. (2)∴()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+，∴11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 又∴对任意的*N n ∈，不等式24n T a a <-恒成立，，∴22a a ≤-，解得1a ≤-或2a ≥.即所求实数a 的范围是1a ≤-或2a ≥. 9．(1)21n nS n =+(2)证明见解析 【解析】(1)∴11n n a a n +-=+，∴212a a -=，323a a -=，…1n n a a n --= 由上述1n -个等式相加得12n a a n -=++，∴()1122n n n a a n +=+++=， ∴11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.(2)令()()22221441112n n S b n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===>⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴11111111244233412222n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为()22221411441111n n S b n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===<=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且11b =∴11111111414143323341211n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，综上，232nn T n >>+，得证. 10．(1)()12n n a n -*=∈N (2)证明见解析【解析】(1)解：由214n n n S S a ++=+得24n n a a +=． 所以，当()21n k k *=-∈N 时，21214k k a a +-=，所以数列{}21k a -是首项为11a =，公比为4的等比数列， 故11211414k k k a a ---=⨯=⨯，即()211222122k k k a ----==． 当()2n k k *=∈N 时，则2224k k a a +=，所以，数列{}2k a 是首项为22a =，公比为4的等比数列，所以，1121224242k k k k a a ---=⨯=⨯=．所以()12n n a n -*=∈N ．(2)证明：由（1）知11111212n n n a --⎛⎫=< ⎪+⎝⎭，所以0121121111111111221111122221122nn n a a a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++<++++=<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--.故原不等式成立.11．(1)证明见解析，122n n a -=+(2)证明见解析【解析】(1)解：当2n ≥时，由11232n n n S S S +-+=-可变形为()1122n n n n S S S S +--=--， 即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-，所以()12222n n a n a +-=≥-，又因为13a =，24a =，可得1221,22a a -=-=，所以21222a a -=-，所以数列{}2n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，所以122n n a --=，所以数列{}n a 的通项公式为122n n a -=+.(2)解：由122n n a -=+，可得()()11111221122222222n n n n nn n n n b a a ----+===-++++， 所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1111111111134466102222322n n n-=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++，因为1022n >+，所以1113223n -<+，即13n T <，又因为()11322n f n =-+，n *∈N 单调递增， 所以()()111212212n T b ≥==++，所以11123n T ≤<. 12．证明见解析 【详解】证明：212221n n n n -<+，∴135212452246235721n nn n -⨯⨯⨯⋯⨯<⨯⨯⨯⋯⨯+．213521135212421()()()24622462352121n n n n n n n --∴⨯⨯⨯⋯⨯<⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯⋯⨯=++．∴135212462n n -⨯⨯⨯⋯⨯()f x x x -，x ∈当4π，∴cos cos 4x π>∴()10f x x '->()f x x x ∴-在上递增，()(0)0f x f ∴>=x x >，=∴综上：135212462n n -⨯⨯⨯⋯⨯< 13．(1)1n a n =+ ，212n n b +=(2)证明见解析【解析】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，23a =，数列{}n b 是等比数列，18b =，公比3q >， 设{}n a 的公差为d ，由()()23833q d q d d =+⎧⎪⎨=-⋅+⎪⎩可得()()()28333d d d +=-+，∴3d =-或1d =±，33q d =+>，∴1d =，∴4q =可得：()()223211n a a n d n n =+-=+-⨯=+, 11211842n n n n b b q --+==⨯=.(2)()()()()2124443log 2212221111n n n n c n n n n +++==<=++++ 且()()()3112n n n n +>++∴()()()()()21112112n c n n n n n n n <=-+++++∴()()()121111111122323341122n c c c n n n n ++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-<⨯⨯⨯⨯+++，故不等式得证. 14．(1)2(2)证明见解析 【解析】(1)因为()*134N n n n a a n a +=∈+，所以111141n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭等式两边同时取以a 为底的对数可得111log 1log 1log 4a a a n n a a +⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()*N n ∈又数列1log 1a n a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是公差为2的等差数列可知log 42a =，即2a =(2)由（1）可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为4的等比数列，可得11111414n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 的通项公式为()*1N 14n n a n =∈- 记1n n n a b a +=可求得其通项公式为()1*4141N n n n b n +-=∈- 显然{}n b 为正项数列，因此()11*N 5n S S b n ≥==∈另一方面，构造数列{}n c 满足()*N 4n n c b n =-∈可得其通项公式为()*1N 34n n c n =∈- 注意到1113134414n n n n c ---⎛⎫=≤ ⎪⋅+-⎝⎭，记{}n c 的前n 项和为n T ，可得11441314n n T -≤<-， 而由于4n n c b =-，因此()*4N n n T S n n =-∈，从而443n S n <+，综上所述，4543n S n ≤<+.。
放缩法技巧全总结
放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析n35 (12) 11)1()1()1)(1(23--+⋅⎪⎪⎭ ⎝+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(21112131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i nin1+例解所以当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.n++-m k 11]例例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++ΛΛ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ解析例-in i n -取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案题) 例13.证明:)1*,()1(ln 4ln 3ln 2ln >∈-<++++n N n n n n Λ 例解析即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(kg x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k kk k k f k f k g -=-==-+=即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+令,,b x k a x=-=则.b a k +=例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x)n x +令2)1(n x n +=,有 所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a mb a b记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:121211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 ⇒例2)21n n > 例{}n B 满足OA . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n +=∴=∈,又直线nnA B 在x 轴上的截距为n a 满足 显然，对于1101nn >>+，有*14,nn a a n N +>>∈(2)证明：设*11,n n nb c n N b +=-∈，则设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当()*221k n k N =->∈时，212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=L 。
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤a n n a )2111(⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
放缩法技巧全总结
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。
裂项求和与不等式放缩
ｉ ～
ｌ
ｆ ｌ
农 — 虿 ～—— 项 求 一 和 与 —
一
等 ’ 彭 缩 式
级 中擘 ’
时， ＋ ，所 以 的最小｛ Ｅ￣
５ ７
．
冯蓉 波 （ 四川 省攀枝 花市第
放 缩 法 是 不 等 式 证 明 最 重 要 的 方 法 之 一 ， 由于 其 方 法 的 灵
—
４．
ａ 时 ， ） ＝０ ＝１ ／（ ． （ ） ： 由 ％＋ ＝ ４ ％＋ 一丁 Ⅱ 解 ｚ － １％ 得 ％＋ 一 １％＋ － ＝ ２
，
例 ９ 已知函数 ｆ（ ＝ ） —ｌ（ ＋ａ 在 ＝１ ｎｘ ） 处取得极值 ，
ห้องสมุดไป่ตู้
（Ｉ） 求实数 ａ的值 ；
＋ ｌ～
（ ） 关于 方 ， ＋ｘ ＋ 在『 ， ］恰有 Ｉ 若 的 程 （） ２＝：６ Ｉ ２上 Ｉ １ ＿
＋
一
＋． ． ‘
１
＜ｎ ｌ婀
・
运算的准确性 ．
（Ｉ） ： ） Ｔ 解 ，（
立 ，即 。≥ 丁
≥ ０在［ ，＋ 上恒成 ｏ ∞）
，
所 ｓ ［＋ （ －（ ＝ （ ＋ 以 （ ） ） ２一乒）ｎｎ ） ＝ｎ 一 】 ２ ＋
ｎ＋２
筹
，因为雨１ ∈（ １ ，所以 。≥ １ ｏ ］ ．
＋Ｉ ：
（ 求数列 ｛ Ｉ ｂ Ｉ Ⅱ） ，｛ 的通项公式 ；
ｊ 一 ： １ ｌ ＿＿ ＋＿ ｌ ：２＋（ １ ＿ ｌ ｎ一 ）：ｎ＋ １
＝ （ －／ ， Ｘ－７ ， ）
（） 数 ｛｝足 ｌｃ ｃ１ ）求 ： 瓯 ＝ Ⅲ 若 列ｃ ｃ ，一＝ １ ， 证 ｃ 满 ： ＜
(完整版)裂项相消和放缩法解数列专题
数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：11+•n n a a ， }{n a 是0≠d 的等差数列。
常用裂项形式有： ；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ； ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ； )(11b a ba b a --=+； )(11n k n k n k n -+=++特别地：n n nn -+=++111 二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。
1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①1n i i ak =<∑（k 为常数）；②1()n i i a f n =<∑；③1()n i i a f n =<∏；④1ni i a k =<∏（k 为常数）. 放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(（2）将分子或分母放大（或缩小） ①n n n n n 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>n n n n n（程度大） ②)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n )2(≥n （程度小） ③1111111121312111<+=++++++≤+++++++n n n n n n n n n 或21221212121312111==+++≥+++++++n n n n n n n n n ④n n n n n n n ==+++>++++111131211 ⑤平方型：)121121(2144441222+--=-<=n n n n n ； )111(41)1(41441)12(122nn n n n n n --=-=-<- ⑥立方型：])1(1)1(1[21)1(1123+--=-<n n n n n n n )2(≥n ⑦指数型： )1()(111≥>-≤--b a b a a b a n n n ；)1()(111≥>-≤--b a b a a b a n n ⑧kk k k k 21111<++=-+； ⑨利用基本不等式，2)1()1(++<+n n n n ，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如：（1）求证：)(121212121*32N n n ∈<++++ .（2）求证：)(1121121121121*32N n n ∈<++++++++ .（3）求证：)(22323222121*32N n n n n ∈<++++++++ .总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1n i i a =∑可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项n a 放缩后再求和.问题是将通项n a 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的n b 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，n b 大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.（2）先放缩再求和例如：求证：)(2131211*222N n n∈<++++.例如：函数x x x f 414)(+=，求证：)(2121)()2()1(*1N n n n f f f n ∈-+>++++ .例2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列． （1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．总结：一般地，形如n n n b a a -=或b a a n n -=（这里1≥>b a ）的数列，在证明k a a a n<+++11121。
分式不等式放缩、裂项、证明
分式不等式放缩、裂项、证明第一篇：分式不等式放缩、裂项、证明放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。
（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。
（6）构造等比数列进行放缩。
（7）构造裂项条件进行放缩。
（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。
使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。
先介绍工具柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）均值不等式调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数绝对值三角不等式定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|．推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．常用放缩思想这几个务必牢记不常见不常用的不等式这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了下面就是常用思路了，主要就是裂项部分二项平方和f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于01.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩解析：步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令t=1/（x+2）第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单，看似简单实则难2.构造+三角形★★★★平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，AC=b，BC=a，求解析：构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。
高考数学 压轴题 放缩法技巧全总结(最强大)
高考数学压轴题放缩法技巧全总结（最强大）高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结（最强大）变焦技术（高考数学备考资料）证明级数不等式由于其思维跨度大、建构性强，充满了思考和挑战。
它可以全面全面地测试学生的潜能和后续学习能力。
因此，它已成为高考最后一道题和各级各类竞赛题命题的优秀材料。
这类问题的解决策略往往是：多角度观察给定序列的通项结构，深入分析其特点，把握其规律，适当放大缩小；主要有以下膨胀和收缩技术：一、裂项放缩例1（1）请问？K1n24k2？124n2？11? n2n值；（2）验证：？1.五2k?1k3解析:(1)因为211，那么n212n 1.2（2n？1）（2n？1）2n？12n？12n？12n？1k？14k？14（2）因为n1111?251?,所以?1?1?2??11????2?2?2???k352n?12n?133??k?114n?1?2n?12n?1?n2?41奇巧积累:(1)1441?? 1.2.2.2.2N4N？1.2n？12n？1.R1r？中国？(2)121112cn?1cn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)（3） t1n！11111 （r？2）rrr！（n？r）！nr！r（r？1）r？1rn（4）（1？1）n？1.1.1.1.氮气？13? 215?n(n?1)21?n?2?nn?2?2n?12n?3?211?n?1(2n?1)?2(2n?3)?2n(5)111? Nnnn2（2？1）2？12(6)21?1(7)2(n?1?n)?1?2(n?n?1)(8)n?n（9）111?111?11,????k(n?1?k)?n?1?kk?n?1n(n?1?k)k?1?nn?1?k?n11??(n?1)!n!(n?1)!(10)(11)1n？2（2n？1？2n？1）？222n？1.2n？1.N211? N22(11)(12)(13)(14)2n？111 （n？2）n2nnnnnnnnnn？1n？1n（2？1）（2？1）（2？1）（2？1）（2？2）（2？1）（2？1）2？12? 11n3？1n？n21111 n（n？1）（n？1）？n（n？1）？？n（n？1）？N1.N一1?n?1?n?1?1n?1?2n?n?111N1n？一2n12n?n?32?132n?1?2?2n?(3?1)?2n?3?3(2n?1)?2n?2n?1?k?211??k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1) !(k?2)!1.NN1（n？2）n（n？1）（15）22(15)i?1?j?1?i2?j2(i?j)(i2?1?j2?1)i?j?i?ji2?1?j2?1?1例2（1）验证：1？11171? 2.（n？2）2262（2n？1）35（2n？1）（2）验证：1？1.1.1.1.12416364n24n（3）验证：1？1.3.1.3.5.1.3.5.（2n？1）？2n？1.一22?42?4?62?4?62nn(4)求证：2(n?1?1)?1?1?11?2(2n?1?1)23分析：（1）因为111?11?,所以2(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?(2n?1)?(2i?1)i?1n12111111?1?(?)?1?(?)232n?1232n 1(2)11111(111)1(111)222416364n42n4n（3）首先证明1？3.5.（2n？1）？2.4.6.2n12n？1.重新连接1n?2?n?2?n进行裂项,最后就可以得到答案（4）首先，再次证明1n1n?2(n?1?n)?2n?1?n22,所以容易经过裂项得到2(n?1?1)?1?1?1123n从平均不平等性来看，很明显这是真的，2(2n12n1)2n12n1n211n22所以1?1?11?2(2n?1?1)23n例3.求证:6n1115？1.2.(n?1)(2n?1)49n31?n21??1?2?214n?12n?12n?1?2?n?414解析:一方面:因为,所以kk？1n1211？25? 11? 1.2.1.2n？12n？1.33? 35另一方面：1？1.1.1.1.1.1.249n2？33? 411n1n(n1)n1n1当n?3时,什么时候？2点，总结一下6n111n6n,当n?1时,?12?(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1)6n111?12,（n？1）（2n？1）49n，6n1115?12?（n？1）（2n？1）49n3案例4（2022年国家第一卷）集合函数f（x）？十、xlnx。
高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
数列的裂项相消法结合放缩法技巧及经典例题讲解
数列的裂项相消法结合放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<21n n n >-，111n n +>2(1)n n n n +>=（3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）2(1)2(1)11n n n n n n n n n n n +=<=<=-++++-（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n +++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n<-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）123n n n n n n+⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（10） 12112-+<<++k k k k k【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列, 所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 例2：【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++即B A An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=B A)(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。
数列常见裂项放缩公式
数列常见裂项放缩公式1. 引言在数学中，数列裂项放缩是常见的一种技巧。
当我们需要证明一些数列的性质时，常常会用到这个技巧。
本文将介绍数列裂项放缩公式的定义、应用和一些例子，以帮助读者更好地理解和应用这个技巧。
2. 数列裂项放缩公式的定义数列裂项放缩是指利用数列中的一些项的性质，对数列进行变形，以求得更简单或更有用的形式。
数列裂项放缩可以分为以下几类：2.1 基本裂项公式假设有一个数列$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$，其中$i$为奇数，则有：$$a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}(a_i+a_{n-i+1})$$其中$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$表示$n$的整数部分。
2.2 迭加裂项公式假设有一个数列$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$和$b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n$，则有：$$\sum_{i=1}^na_i\cdotb_i=\frac{\sum_{i=1}^n(a_i+a_{i+1})\cdot(b_i+b_{i+1})-\sum_{i=1}^{n-1}(a_i+a_{i+1}+a_{i+2})\cdot b_{i+1}-a_1\cdot b_1-a_n\cdot b_n}{2}$$2.3 特殊数列裂项公式对于斐波那契数列$F_n$，有：$$F_{n+m}=F_{m+1}\cdot F_{n}+F_{m}\cdot F_{n-1}$$对于调和数列$H_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$，有：$$H_{2n}=H_{n}+\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}$$3. 数列裂项放缩公式的应用数列裂项放缩可以应用于很多数学问题，下面列举其中一些：3.1 证明不等式当我们需要证明一些不等式时，可以利用数列裂项放缩，将不等式中的一些项转化为其他已知的项，以便于求证。
裂项放缩法与函数放缩法研究
数学讲座：裂项放缩法与函数放缩法研究一、研究意义1.近年来广东高考不等式综合题，尤其是函数、数列与不等式的综合，有加强的趋势2.两种方法技巧性不算强，但思维含量高，思想方法含量高，而且在课本有迹可循，符合广东高考命题者的口味。
其中，函数放缩法充分体现函数思想方法。
选修2-2 P32 B 组第1题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1）sin ,(0,)x x x π<∈；（2）20,(0,1)x x x ->∈；（3）1,0x e x x >+≠；（4）ln ,0x x x e x <<> 3.两种方法充分体现了数学美4.两种方法经常同时在一道题中出现。
放缩后的进一步证明，经常要构造函数。
二、一道经典题目（09广东理21题）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< （1）（解略）1+=n n x n，n y =（２）即证明135212462nn-⨯⨯⨯⨯<<11321213521n n n -=⨯⨯⨯++（乘法的裂项！要注意项数与左边相等，首项与末项是什么），故只需证明212n n -< 121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-n n n n n n n n ，或用分析法证明。
x =，只需证明当x x sin 2<在某区间恒成立即可。
考虑构造函数x x x f sin 2)(-=，∵4311210π<≤+<n ，则40π<<x ，故只需证明当40π<<x 时，x x sin 2<恒成立即可。
裂项相消与放缩法解数列专题
裂项相消与放缩法解数列专题数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：11+∙n na a ， }{na 是0≠d 的等差数列。
常用裂项形式有： ；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ；)(11b a ba b a --=+；)(11n k n kn k n -+=++特别地：nn nn -+=++111二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。
1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①1nii a k =<∑（k 为常数）；②1()nii a f n =<∑；③1()nii a f n =<∏；④1nii a k=<∏（k 为常数）.放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( （2）将分子或分母放大（或缩小）①n n n n n 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>n n n n n（程度大） ②)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n )2(≥n （程度小）③1111111121312111<+=++++++≤+++++++n n n n n n n n n或21221212121312111==+++≥+++++++n n n n n n n n n ④nnnn n nn==+++>++++111131211⑤平方型：)121121(2144441222+--=-<=n n n n n ； )111(41)1(41441)12(122nn n n n n n --=-=-<-⑥立方型：])1(1)1(1[21)1(1123+--=-<n n n n n n n )2(≥n⑦指数型： )1()(111≥>-≤--b a b a a b a n n n；)1()(111≥>-≤--b a b a ab a n n⑧kkk k k 21111<++=-+；⑨利用基本不等式，2)1()1(++<+n n n n ，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如：（1）求证：)(121212121*32N n n∈<++++ .（2）求证：)(1121121121121*32N n n∈<++++++++ .（3）求证：)(22323222121*32N n nnn∈<++++++++ .总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1ni i a =∑可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项na 放缩后再求和.问题是将通项na 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的nb 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，nb 大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2145a a =+(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a++++<.（2）先放缩再求和 例如：求证：)(2131211*222N n n ∈<++++ .例如：函数xx x f 414)(+=，求证：)(2121)()2()1(*1N n n n f f f n ∈-+>++++ .例2.设数列{an}的前n项和为S n，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．总结：一般地，形如nnnb a a -=或b a a nn-=（这里1≥>b a ）的数列，在证明k a a a n<+++11121 （k 为常数）时都可以提取出na 利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型. 练习：1.设数列}{na 满足0≠na ，11=a ，)2()21(11≥+-=--n a a a n a n n n n ，数列}{na 的前n 项和为nS .（1）求数列}{na 的通项公式； （2）求证：当2≥n 时，21<<+nS n n ； （3）试探究：当2≥n 时，是否有35)12)(1(6<<++nS n n n？说明理由.（3）形如1()ni i a f n =<∑例如：设)1(3221+++⋅+⋅=n n Sn，求证：)(2)2(2)1(*N n n n Sn n n∈+<<+.根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：2211222ba b a ab ba+≤+≤≤+注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放缩成1)1(+<+n n n ，则得2)1(2)3)(1(121+>++=+<∑=n n n k S ni i n ，就放过“度”了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学讲座：裂项放缩法与函数放缩法研究一、研究意义1.近年来广东高考不等式综合题，尤其是函数、数列与不等式的综合，有加强的趋势2.两种方法技巧性不算强，但思维含量高，思想方法含量高，而且在课本有迹可循，符合广东高考命题者的口味。
其中，函数放缩法充分体现函数思想方法。
选修2-2 P32 B 组第1题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1）sin ,(0,)x x x π<∈；（2）20,(0,1)x x x ->∈；（3）1,0x e x x >+≠；（4）ln ,0x x x e x <<> 3.两种方法充分体现了数学美4.两种方法经常同时在一道题中出现。
放缩后的进一步证明，经常要构造函数。
二、一道经典题目（09广东理21题）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< （1）（解略）1+=n n x n，n y =（２）即证明135212462nn-⨯⨯⨯⨯<<11321213521n n n -=⨯⨯⨯++（乘法的裂项！要注意项数与左边相等，首项与末项是什么），故只需证明212n n -< 121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-n n n n n n n n ，或用分析法证明。
x =，只需证明当x x sin 2<在某区间恒成立即可。
考虑构造函数x x x f sin 2)(-=，∵4311210π<≤+<n ，则40π<<x ，故只需证明当40π<<x 时，x x sin 2<恒成立即可。
设函数x x x f sin 2)(-=，04x π≤< 则x x f cos 21)(-='，40π<<x∵ 在区间⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上x x f cos 21)(-='为增函数，∴当40π<<x 时，04cos 21cos 21)(=-<-='πx x f ， ∴x x x f sin 2)(-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上为单调递减函数，∴ x x x f sin 2)(-=0)0(=<f 对于一切40π<<x 很成立， ∴ x x sin 2<，三、裂项放缩法的特征与思路特征：将一个式子分成n 个式子的代数和（或积），然后累加（或累乘）抵消掉中间的许多项，构造一条恒等式，为后面的不等式证明铺垫。
思路主要有：1.熟悉常见的裂项形式： （1）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=如：)1(1+n n =n 1－11+n 、 2211111()1211k k k k <=---+、211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- （2）1n k k => =<<=（3）n ·n ！=(n+1)!－n!、)!1(+n n =!1n －)!1(1+n（4）111r r rn n n C C C ---=-（5）3ln (ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln ln(1))ln 2ln ln 21nn n n n =-+-++--=+++-（6）()()()12132121321||||||n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-+-≤-+-+-（7）乘法的裂项，如：1121123n n n -=⨯⨯⨯⨯，11321213521n n n -=⨯⨯⨯++，……2.式子的“齐整”——数学美的体现要证明的不等式左边为n 项之和（或积），右边只有一项，可以考虑将右边化为n 项之和（或积）。
要注意项数与左边相等，首项与末项是什么。
还要注意是从第几项开始放缩。
3.有时还需要对不等式进行加强（当然放缩法本身就是加强的过程，但有时仍需要二次加强）四、函数放缩法的特征与思路特征：构造与所证不等式相关的函数，研究函数的单调性（主要用导数），最值，利用单调性与最值的紧密联系，得出不等式，水到渠成。
思路：1.先将不等式的一端移项（有时也可能除以一边），另一端剩下0（或某个常数），构造函数，将0（或某个常数）看成某个函数值，由单调性得出不等式。
2.为了更清晰的看出所要构造的函数，有时需要换元，当然要求出新元的范围。
1111()()n n k k n n k =-++、1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1a b =-五、例题例1. (08年福建)已知函数x x x f -+=)1ln()(.若)(x f 在区间*)](,0[N n n ∈上的最小值为n b , 令n n b n a -+=)1ln(.求证:112264212531423121-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+-nnn a a a a a a a a a a a a a a a .分析:首先:可以得到n a n =.即证明113135(21)12242462n n⨯⨯⨯⨯⨯-+++⨯⨯⨯⨯⨯1=1)...+++， 只需证135(21)2462n n⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯>=， 需证明加强不等式135(21)2462n n⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯09年广东的题目。
例 2.（06广东）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ（1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ；(2)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的；(3)设A x ∈)(ϕ,任取1(1,2)x ∈,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式121||||1k k p k L x x x x L++-≤--。
解：（1）略 (2)反证法，略。
(3)分析：右边可以看成等比数列求和，左边也需要相应裂项。
()()()11211121||k p k k p k p k p k p k k k p k p k p k p k k x x x x x x x x x x x x x x +++-+-+-+++-+-+-+-=-+-+-≤-+-+-由于121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-ϕϕ，所以1121k k k x x L x x -+-≤-故()()()1121||k p k k p k p k p k p k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-+-k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211≤123122x x Lx x Lp k p k -+--+-++…+121x x Lk --1211k L x x L-=--例3.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++分析:1212ln(1)ln ln ln ln1111n n n n n nn nn +++=⋅⋅⋅=+++--，只需证111ln 1n n n n+<<+为了更好的看出不等式的结构特征，换元：令11n t n +=>，变成证明11ln 1t t t-<<- 先证右边：即证ln 10t t -+<，构造()ln 1(1)f t t t t =-+≥，则(1)0f =，通过求导易知()f t 在[1,)+∞递减，故当1t >时，()(1)0f t f <=；再证左边：即证1ln 10(1)t t t +->>，构造1()ln 1(1)g t t t t=+-≥，则(1)0g =，通过求导易知()g t 在[1,)+∞递增，故当1t >时，()(1)0g t g >=。
例4. 2ln 2ln3ln 212,(2)232(1)n n n n n n ααααααα--≥+++<≥+求证： 解析:2212(1)n n n --+=111()21n n ---+，1n -看成1n -个1相加，1121n -+=111111()()...()23341n n -+-++-+ 故只需证ln 1n n αα<-111()11(1)n n n n -=-++，两边同时加强，22ln ln n n n n αα≤，21111(1)n n n ->-+，先证22ln ln n n n n αα≤，构造函数ln ()x f x x =,得到22ln ln n n n n αα≤,再证222ln 11n n n ≤-,构造函数ln 1()1x g x x x =+-，得到222ln 11n n n≤-。
例5.求证:23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯⋅+⨯⋅⋅++>分析:两边取自然对数，即证ln(112)+⨯+...ln[(1)1]23n n n +++>-,1111133(1...)2231n n -<--+-++-+，即证加强不等式：ln[(1)1]n n ++>32(1)n n -+，进一步加强：ln[(1)1]n n ++>32(1)1n n -++，即证:3ln 2(3)ln 23(3)ln 230(3)x x x x x x x x x x x >-≥⇔>-≥⇔-+>≥构造()ln 23f x x x x =-+，则()f x 在[3,)+∞递增，(3)3ln330f =->。