裂项放缩法与函数放缩法研究

数学讲座：裂项放缩法与函数放缩法研究

一、研究意义

1.近年来广东高考不等式综合题，尤其是函数、数列与不等式的综合，有加强的趋势

2.两种方法技巧性不算强，但思维含量高，思想方法含量高，而且在课本有迹可循，符合广东高考命题者的口味。其中，函数放缩法充分体现函数思想方法。 选修2-2 P32 B 组第1题：

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1）sin ,(0,)x x x π<∈；（2）20,(0,1)x x x ->∈；（3）1,0x e x x >+≠；（4）ln ,0x x x e x <<> 3.两种方法充分体现了数学美

4.两种方法经常同时在一道题中出现。放缩后的进一步证明，经常要构造函数。

二、一道经典题目

（09广东理21题）已知曲线22:20(1,2,

)n C x nx y n -+==．

从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

（２）证明：13521n n n

x

x x x x y -⋅⋅⋅

⋅<

< （1）（解略）1+=

n n x n

，n y =（２）即证明

135

21

246

2n

n

-⨯⨯⨯⨯

<

<11321213521n n n -=⨯⨯⨯+

+（乘法的裂项！要注意项数与左边相等，首项与末项是什么），故只需证明

21

2n n -< 121

21

4)12(4)12(2122

222+-=--<-=

-n n n n n n n n ，或用分析法证明。

x =，只需证明当x x sin 2<在某区间恒成立即可。

考虑构造函数x x x f sin 2)(-=，∵4311210π

<≤+<

n ，则40π<

设函数x x x f sin 2)(-=，04

x π

≤< 则x x f cos 21)(-='，4

0π

<

∵ 在区间⎪⎭

⎫

⎝⎛4,

0π上x x f cos 21)(-='为增函数，

∴当40π<

⎫

⎝⎛4,0π上为单调递减函数，∴ x x x f sin 2)(-=0)0(=

4

0π

<

三、裂项放缩法的特征与思路

特征：将一个式子分成n 个式子的代数和（或积），然后累加（或累乘）抵消掉中间的许多项，构造一条恒等式，为后面的不等式证明铺垫。 思路主要有：

1.熟悉常见的裂项形式： （1）)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

如：

)1(1+n n =n 1－11+n 、 2211111()1211k k k k <=---+、211111111(1)(1)1k k k k k k k k k

-=<<=-++-- （2）

1

n k k => =

<<

=

（3）n ·n ！=(n+1)!－n!、

)!1(+n n =!1n －)!

1(1

+n

（4）111r r r

n n n C C C ---=-

（5）3ln (ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln ln(1))ln 2ln ln 21

n

n n n n =-+-++--=+++-

（6）()()()12132121321||||||n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-+-≤

-+-+-

（7）乘法的裂项，如：

1121123n n n -=⨯⨯⨯⨯，11321

213521

n n n -=⨯⨯⨯++，……

2.式子的“齐整”——数学美的体现

要证明的不等式左边为n 项之和（或积），右边只有一项，可以考虑将右边化为n 项之和（或积）。 要注意项数与左边相等，首项与末项是什么。还要注意是从第几项开始放缩。

3.有时还需要对不等式进行加强（当然放缩法本身就是加强的过程，但有时仍需要二次加强）

四、函数放缩法的特征与思路

特征：构造与所证不等式相关的函数，研究函数的单调性（主要用导数），最值，利用单调性与最值的紧密联系，得出不等式，水到渠成。 思路：

1.先将不等式的一端移项（有时也可能除以一边），另一端剩下0（或某个常数），构造函数，将0（或某个常数）看成某个函数值，由单调性得出不等式。

2.为了更清晰的看出所要构造的函数，有时需要换元，当然要求出新元的范围。

1111()()n n k k n n k =-++、1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++1

a b =-

五、例题

例1. (08年福建)已知函数x x x f -+=)1ln()(.若)(x f 在区间*)](,0[N n n ∈上的最小值为n b , 令n n b n a -+=)1ln(.求证:1122642125314

2312

1-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+-n

n

n a a a a a a a a a a a a a a a .

分析:首先:可以得到

n a n =.即证明113135(21)

12

242462n n

⨯⨯⨯⨯⨯-++

+

⨯⨯⨯⨯⨯

1=1)...+++， 只需证135(21)

2462n n

⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯

⨯

>=

， 需证明加强不等式135(21)

2462n n

⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯

⨯09年广东的题目。

例 2.（06广东）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有

)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<

（1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ；

(2)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的；

(3)设A x ∈)(ϕ,任取1(1,2)x ∈,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式

121||||1k k p k L x x x x L

++-≤--。

解：（1）略 (2)反证法，略。

(3)分析：右边可以看成等比数列求和，左边也需要相应裂项。

()()()11211121||k p k k p k p k p k p k k k p k p k p k p k k x x x x x x x x x x x x x x +++-+-+-+++-+-+-+-=-+-+

-≤

-+-+-

由于121223)2()2(x x L x x x x -≤-=

-ϕϕ，所以1121k k k x x L x x -+-≤-

故()()

()

1121||k p k k p k p k p k p k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-+

-k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211

≤123

122

x x L

x x L

p k p k -+--+-++…+121

x x L

k --1

211k L x x L

-=

--

例3.求证:n

n n 12

11)1ln(1

13

12

1+++<+<++++

分析:1212ln(1)ln ln ln ln

1

1

1

1

n n n n n n

n n

n +++=⋅⋅⋅=++

+--，只需证111

ln 1n n n n

+<<+