第一章集合与函数概念(教师用书)

第一章集合与函数概念§1.1集合1.1.1 集合的含义与表示（一）1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．1．元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．对点讲练集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是()A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数答案 D集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－32.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－32.规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．解∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.m＝0不合题意，舍去．经验证m＝3符合题意，∴m只能取3.元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．分析解答本题首先要理解∈与D/∈的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A中的元素．解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝2，b＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A是由形如m＋3n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断12－3是不是集合A中的元素．解∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z，∴2＋3∈A，即12－3∈A.1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、选择题1．下列几组对象可以构成集合的是()A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人答案 D2．下列四个说法中正确的个数是()①集合N中最小数为1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A．0 B． 1 C．2 D．3答案 A3．由a2 ，2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1 B．－2 C．6 D．2答案 C解析验证，看每个选项是否符合元素的互异性．4．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案 D解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∉M B．2∈M C．－4∉M D．4∈M答案 D解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，∴4∈M.二、填空题6．用“∈”或“∉”填空(1)－3______N；(2)3.14______Q；(3)13______Z；(4)－12______R；(5)1______N*；(6)0________N.答案(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案①④⑤三、解答题9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x . 解 当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0， 则x ＝－2或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2. 经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个． 【探究驿站】11．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴A 不可能为单元素集．1.1.1集合的含义与表示(二)自主学习1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 3．不等式x －7<3的解集为{x |x <10}．4．所有偶数的集合可表示为{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }。

5．方程(x ＋1)(x －3)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,3}对点讲练用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合：(1)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |61＋x ∈Z ，求M ； (2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0的解集；(3)由|a |a ＋b|b |(a ，b ∈R )所确定的实数集合．分析 解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．解 (1)∵x ∈N ，且61＋x ∈Z ，∴1＋x ＝1,2,3,6，∴x ＝0,1,2,5，∴M ＝{0,1,2,5}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，故方程组的解集为{(1,1)}．(3)要分a >0且b >0，a >0且b <0，a <0且b >0，a <0且b <0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}．规律方法 (1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然． 变式迁移1 用列举法表示下列集合：(1)A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }； (2)B ＝{x |(x －1)2(x －2)＝0}；(3)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}； (4)已知集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z |x ∈N ，求C .解 (1)∵|x |≤2，x ∈Z ，∴－2≤x ≤2，x ∈Z ， ∴x ＝－2，－1,0,1,2. ∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)∵1和2是方程(x －1)2(x －2)＝0的根， ∴B ＝{1,2}．(3)∵x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(4)结合例1(1)知，61＋x ＝6,3,2,1，∴C ＝{6,3,2,1}．用描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x 2＋2＝0的解的集合；(3)不等式4x －6<5的解集； (4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集． 解 (1)文字描述法：{x |x 是正偶数}． 符号描述法：{x |x ＝2n ，n ∈N *}． (2){x |x 2＋2＝0，x ∈R }． (3){x |4x －6<5，x ∈R }．(4){(x ，y )|y ＝2x ＋3，x ∈R ，y ∈R }．规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的性质．变式迁移2 用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合； (3)不等式x －3>2的解集．解 (1){(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4. (3){x ∈R |x －3>2}．列举法和描述法的灵活运用【例3】 用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数； (2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集； (3)二次函数y ＝x 2－10图象上的所有点组成的集合．分析 对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． (2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为 (x －2)2＋(y ＋3)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}． (3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}． 规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合． 变式迁移3 用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合；(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；(4)二元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝x 2的解集． 解 (1)列举法：{3,5,7}．(2)描述法：{周长为10 cm 的三角形}．(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}． (4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．课时作业一、选择题1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )A ．{x |x 是不大于9的非负奇数}B ．{x |x ≤9，x ∈N }C ．{x |1≤x ≤9，x ∈N }D ．{x |0≤x ≤9，x ∈Z } 答案 A2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )A ．{(x ，y )|x ＝0，y ≠0}B ．{(x ，y )|x ≠0，y ＝0}C ．{(x ，y )|xy ＝0}D ．{(x ，y )|x ＝0，y ＝0} 答案 C3．下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程(x －1)2(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．正确的是( )A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对 答案 C4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪65－a ∈N *，则A 为( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,6} D ．{－1,2,3,4} 答案 D解析 由65－a∈N *可知，5－a 为6的正因数，所以5－a 可以等于1,2,3,6，相应的a 分别等于4,3,2，－1，即A ＝{－1,2,3,4}． 5．下列集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 B 二、填空题6．下列可以作为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集的是__________(填序号)．(1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}； (3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}； (5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}； (6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}． 答案 (3)(5)(6)7．已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，(1，－4)∉A ，则满足条件的a 的值为________． 答案 0,1,2解析 ∵(2,1)∈A 且(1，－4) ∉A ， ∴2a －1≤3且a ＋4>3， ∴－1<a ≤2，又a ∈Z ，∴a 的取值为0,1,2.8．已知集合M ＝{x ∈N |8－x ∈N }，则M 中的元素最多有________个． 答案 9 三、解答题9．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}； (2){能被3整除，且小于10的正数}； (3){x |x ＝|x |，x <5且x ∈Z }； (4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；(5){－3，－1,1,3,5}． 解 (1){－2，－1,0,1,2}． (2){3,6,9}．(3)∵x ＝|x |，∴x ≥0，又∵x ∈Z 且x <5， ∴x ＝0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}． (4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．(5){x |x ＝2k －1，－1≤k ≤3，k ∈Z }．10．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合．解 用描述法表示为(即用符号语言表示)：⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0.【探究驿站】11．对于a ，b ∈N ＋，现规定：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a 与b 的奇偶性相同)a ×b (a 与b 的奇偶性不同).集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？解 (1)当a ，b 奇偶性不同时，a *b ＝a ×b ＝36，则满足条件的(a ，b )有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M 可表示为： M ＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．(2)当a 与b 的奇偶性相同时a *b ＝a ＋b ＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1， 所以当a ，b 奇偶性相同时这样的元素共有35个．§1.1.2集合间的基本关系自主学习了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A＝B.3．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．4．不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．对点讲练写出给定集合的子集【例1】(1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题.原集合子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n12n数及非空真子集的个数呢？解(1)不含任何元素的集合：∅；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三个元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n n1－1，非空真子集的个数是2n－2.规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．变式迁移1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M.解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．集合基本关系的应用【例2】(1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围；(2)本例(1)中，若将“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解(1)∵B⊆A，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1m ＋1≤42m －1<m ＋1，解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1.(2)显然A ≠∅，又A ⊆B ，∴B ≠∅， 如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1<m ＋12m －1<－3m ＋1>4，解得m ∈∅.规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．变式迁移2 已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M .解 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3.∴A ＝{2,3} 由BA 知B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{2}，则m ＝12；若B ＝{3}，则m ＝13.∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13.集合相等关系的应用【例3】 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值． 解 方法一 ∵A ＝B ，∴集合A 与集合B 中的元素相同，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y2y ＝2x，解得x ，y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎨⎧x ＝14y ＝12验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x ，y 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12.方法二 ∵A ＝B ，∴A 、B 中元素分别对应相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋y 2，x ·y ＝2x ·y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y (y －1)＝0， ①xy (2y －1)＝0. ②∵集合中元素互异，∴x 、y 不能同时为0.∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝12.当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)；当y ＝12时，由①得x ＝14.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12.规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a ，b .解 由集合相等得：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，易知a ≠0，∴ba＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a 2≠a ，∴a ＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0.1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B ，而不能是{1}B .3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面： (1)当A ⊆B 时，A ＝B 或AB .(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论． (3)解数集问题学会运用数轴表示集合． (4)集合与集合间的关系可用Venn 图直观表示．课时作业一、选择题 1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A 时，则A ≠∅.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 仅④是正确的．2．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅ 答案 B解析 ∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5∴3≤a ≤4.3．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A 答案 D解析 ∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .4．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∈B 答案 A5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 答案 B 二、填空题6．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________． 答案 7解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，共23－1＝7个．7．设M ＝{x |x 2－1＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，则a 的值为________． 答案 ±1或08．若{x |2x －a ＝0，a ∈N }⊆{x |－1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为________________． 答案 {0,1,2,3,4,5} 三、解答题9．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a 、b 的值． 解 ∵A ＝B 且1∈A ，∴1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a ≠1. 若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍)． ∴A ＝{1，－1，b }，∴b ＝ab ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)．故a ＝－1，b ＝0即为所求．10．已知集合A ＝{x |－2k ＋3<x <k －2}，B ＝{x |－k <x <k }，若A B ，求实数k 的取值范围． 解 ∵AB ，①若A ＝∅，且B ≠∅，则k >0，且－2k ＋3≥k －2⇒0<k ≤53；②若A ≠∅，且B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0－2k ＋3<k －2－k ≤－2k ＋3k ≥k －2且－k ＝－2k ＋3与k ＝k －2不同时成立，解得53<k ≤3.由①②可得实数k 的取值范围为{k |0<k ≤3}． 【探究驿站】11．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系．解 M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }．N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }．P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }．∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z ，∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P . 而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1， ∴M N ＝P .1.1.3集合的基本运算(一)1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力．3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．2．一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3．A∩A＝__A__，A∪A＝__A__，A∩∅＝__∅__，A∪∅＝A.4．若A⊆B，则A∩B＝__A__，A∪B＝__B__.5．A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆A∪B，A∩B⊆A∪B.对点讲练求两个集合的交集与并集【例1】求下列两个集合的并集和交集．(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．解(1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,3}．(2)结合数轴(如图所示)得：A∪B＝R，A∩B＝{x|－5<x<－2}．规律方法求两个集合的交集、并集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集、并集．变式迁移1(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2} (2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B，A∩B.(1)答案 A解析画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．(2)解如图所示，当a<－2时，A∪B＝A，A∩B＝{x|－2<x<2}；当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|a<x<2}；当a≥2时，A∪B＝{x|－2<x<2或x>a}，A∩B＝∅.已知集合的交集、并集求参数【例2】已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝R，求a的取值范围．解(1)由A∩B＝∅，①若A＝∅，有2a>a＋3，∴a>3.②若A≠∅，如图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1a ＋3≤52a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2或a >3}．(2)由A ∪B ＝R ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤－1a ＋3≥5，解得a ∈∅. 规律方法 出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑． 变式迁移2 已知集合A ＝{x |2<x <4}，B ＝{x |a <x <3a }． (1)若A ∩B ＝∅，试求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，试求a 的取值范围． 解 (1)如图，有两类情况，一类是B ≠∅⇒a >0.此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图B所示；②B在A的右边，如图B′所示．B或B′位置均使A∩B＝∅成立，即3a≤2或a≥4，解得0<a≤2，或a≥4.3另一类是B＝∅，即a≤0时，显然A∩B＝∅成立．综上所述，a的取值范围是{a|a≤2，或a≥4}．3(2)因为A＝{x|2<x<4}，A∩B＝{x|3<x<4}，如图所示：集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时B＝{x|3<x<9}，所以a＝3为所求．交集、并集性质的运用【例3】 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x ||x |<1}，且满足A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B . (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <2a .∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧ 1a≥－12a≤1∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a <x <1a .∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a≥－11a≤1∴a ≤－2.综合(1)(2)(3)知，a 的取值范围是 {a |a ≤－2或a ＝0或a ≥2}．规律方法 明确A ∩B ＝B 和A ∪B ＝B 的含义，根据问题的需要，将A ∩B ＝B 和A ∪B ＝B 转化为等价的关系式B ⊆A 和A ⊆B 是解决本题的关键．另外在B ⊆A 时易忽视B ＝∅时的情况．变式迁移3 设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R }，若A ∩B ＝B ，求a 的值． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a}，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.1．A ∪B 的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的．求A ∪B 时，相同的元素在集合中只出现一次．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ，这两个性质非常重要．另外，在解决有条件A ⊆B 的集合问题时，不要忽视A ＝∅的情况．课时作业一、选择题 1．设集合A ＝{x |－5≤x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－5≤x <1} B ．{x |－5≤x ≤2} C ．{x |x <1} D ．{x |x ≤2} 答案 A2．下列四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆B ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 ②③④正确．3．设A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x <0或x ≥2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x <0或x ≥1} B ．{x |x <0或x ≥3} C ．{x |x <0或x ≥2} D ．{x |2≤x ≤3} 答案 A解析 结合数轴知A ∪B ＝{x |x <0或x ≥1}． 4．已知A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( )A．3≤a<4 B．－1<a<4 C．a≤－1 D．a<－1答案 C解析结合数轴知答案C正确．5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．二、填空题6．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.答案{(2,1)}7．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．答案a≥－1解析由A∩B≠∅，借助于数轴知a≥－1.8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________.答案－4解析如图所示，可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.三、解答题9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.解∵B⊆(A∪B)，∴x2－1∈A∪B.∴x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±2或x＝±6.若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，集合B有两种情况：B＝∅或B≠∅.(1)B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.(2)B≠∅时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.综上，a的取值范围是a≥4.【探究驿站】11．求满足P∪Q＝{1,2}的集合P，Q共有多少组？解可采用列举法：当P＝∅时，Q＝{1,2}；当P＝{1}时，Q＝{2}，{1,2}；当P＝{2}时，Q＝{1}，{1,2}；当P＝{1,2}时，Q＝∅，{1}，{2}，{1,2}，∴一共有9组．1.1.3集合的基本运算(二)自主学习1．理解在给定集合中一个集合的补集的含义，会求给定子集的补集．2．能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.2．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x A}．3．补集与全集的性质(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)∁U(∁U A)＝A；(4)A∪∁U A＝U；(5)A∩∁U A＝∅.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝{2,4}；(∁U A)∩(∁B)＝{6}．U对点讲练补集定义的应用【例1】已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解如图所示，借助Venn图，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．规律方法根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．变式迁移1 设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值．解∵A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x>b或x<a}．又∁U A＝{x|x>4或x<3}，∴a＝3，b＝4.交、并、补的综合运算【例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．规律方法求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．变式迁移2 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}．求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，并指出其中相等的集合．解∁U A＝{x|－1≤x≤3}，∁U B＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|－5≤x≤3}，∁U (A ∩B )＝{x |－5≤x ≤3}， ∁U (A ∪B )＝{x |1≤x ≤3}，相等的集合：(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )， (∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )．利用集合间的关系求参数【例3】 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈U }，求∁U A ；(2)设U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{b,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 和b 的值． (1)解 设x 1、x 2为方程x 2－5x ＋q ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝5，∴x 1≠x 2(否则x 1＝x 2＝52∉U ，这与A ⊆U 矛盾)．而由A ⊆U 知x 1、x 2∈U ，又1＋4＝2＋3＝5，∴q ＝4或q ＝6. ∴∁U A ＝{2,3,5}或∁U A ＝{1,4,5}． (2)分析 由题目可获得以下主要信息： ①全集U 中有元素2，A 中有元素2. ②∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A . ③3∈U 但3∉(∁U A )，∴3∈A .解答本题可根据∁U A ＝{5}，得出⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝53＝b解出a 、b 即可．解由题意，利用Venn 图， 可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3 ①a 2＋2a －3＝5 ②将②式变形为a 2＋2a －8＝0， 解得a ＝－4或a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3为所求． 规律方法 符号∁U A 存在的前提是A ⊆U ，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口，若x ∈U ，则x ∈A 和x ∈∁U A 二者必居其一，不仅如此，结合Venn 图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A .变式迁移3 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁U B )∩A ＝{4}，求A ∪B . 解 ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝022－5×2＋q ＝0，∴p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．课时作业一、选择题1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩∁N B 等于( ) A ．{1,5,7} B ．{3,5,7} C ．{1,3,9} D ．{1,2,3} 答案 A解析 ∵A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}， ∴∁N B ＝{1,2,4,5,7,8，…}．∴A∩∁N B＝{1,5,7}．2．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则()A．(∁U M)⊇(∁U N) B．M⊆(∁U N) C．(∁U M)⊆(∁U N) D．M⊇(∁U N)答案 C解析利用Venn，如图所示：可知(∁U M)⊆(∁U N)．3．已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x<3}，则下列关系正确的是()A．∁U A＝B B．∁U B＝C C．∁U A⊇C D．A⊇C答案 A解析B＝{－1,3}，∁U A＝{－1,3}．4．图中阴影部分可用集合M、P表示为()A．(M∩P)∪(M∪P) B．[(∁U M)∩P]∪[M∩(∁U P)]C．M∩∁U(M∩P) D．P∪∁U(M∩P)答案 B5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是() A．a≤2 B．a<1 C．a≥2 D．a>2答案 C解析 ∵B ＝{x |1<x <2}， ∴∁R B ＝{x |x ≥2或x ≤1}．如图，若要A ∪(∁R B )＝R ，必有a ≥2. 二、填空题6．若A ＝{x ∈Z |0<x <10}，B ＝{1,3,4}，C ＝{3,5,6,7}，则∁A B ＝______，∁A C ＝______. 答案 {2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}解析 ∵A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝{1,3,4}，C ＝{3,5,6,7}， ∴∁A B ＝{2,5,6,7,8,9}，∁A C ＝{1,2,4,8,9}．7．若全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则(∁I M )∩(∁I N )＝________.答案 {(2,3)}解析 集合M ，N 都是点集，集合M 中的关系式可变为y ＝x ＋1(x ≠2)，它的几何意义是直线y ＝x ＋1上去掉点(2,3)后所有点的集合；集合N 表示直线y ＝x ＋1外所有点的集合．可知∁I M ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}∪{(2,3)}，表示直线y ＝x ＋1外所有点及直线上点(2,3)的集合；∁I N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，表示直线y ＝x ＋1上所有点的集合．从而可得(∁I M )∩(∁I N )只有一个元素(2,3)．8．设全集U ＝{x ||x |<4且x ∈Z }，S ＝{－2,1,3}，若∁U P ⊆S ，则这样的集合P 共有________个． 答案 8解析 ∵集合P 与∁U P 个数相同，又∁U P ⊆S ， 而S 的子集个数为8，∴∁U P 个数也为8，∴P 的个数也为8. 三、解答题9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，且B ⊆∁U A ，求实数p 的取值范围．解 ∁U A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.∵B ⊆∁U A ，∴－p4≤－1∴p ≥4，即p 的取值范围是{p |p ≥4}．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <1，或x >2}，集合B ＝{x |x <－3，或x ≥1}，求∁R A ，∁R B ，A ∩B ，A ∪B . 解 借助于数轴，如图可知∁R A ＝{x |1≤x ≤2}；∁R B ＝{x |－3≤x <1}；A ∩B ＝{x |x <－3，或x >2}；A ∪B ＝R . 【探究驿站】11．(1)若实数集R 为全集，集合P ＝{x |f (x )＝0}，Q ＝{x |g (x )＝0}，H ＝{x |h (x )＝0}，则方程f 2(x )＋g 2(x )h (x )＝0的解集是( )A ．P ∩Q ∩(∁R H )B ．P ∩QC ．P ∩Q ∩HD ．P ∩Q ∪H(2)50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为( )A ．20B ．14C ．12D ．10 答案 (1)A (2)B解析 (1)由f 2(x )＋g 2(x )＝0知，f (x )＝0与g (x )＝0同时成立，且h (x )≠0. (2)如图所示，至少会讲英语、日语中一种语言的学生有50－8＝42(人)，不妨设A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，则有card(A)＝36，card(B)＝20，card(A∪B)＝42，故既会讲英语又会讲日语的学生人数为card(A∩B)＝36＋20－42＝14.§1.2函数及其表示1.2.1函数的概念自主学习1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]．(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)．(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．(5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．对点讲练判断对应是否为函数【例1】判断下列对应是否为函数：（1）x→2x，x≠0，x∈R；（2）x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；(3)集合A＝R，B＝{－1,1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？分析函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函。