2021-2022年高考数学一轮复习阶段测试卷(第13周)理

2021年高考数学一轮复习阶段测试卷（第13周）理

54.18．[xx·北京卷] 已知函数f(x)＝xcos x －sin x ，x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤

0，π2.

(1)求证：f(x)≤0；

(2)若a

⎛⎭⎪⎫

0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．

55.20．[xx·福建卷] 已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2

(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x2

57.22．[xx·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f(x)＝ln x

x

的单调区间；

(2)求e3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

(3)将e3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

58.22．[xx·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数 f(x)＝ln(1＋ax)－

2x x ＋2

. (1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a 的取值范围．

59.18．[xx·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x(b ∈R)． (1)当b ＝4时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．

60.11．[xx·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 61.22．[xx·全国卷] 函数f(x)＝ln(x ＋1)－

ax

x ＋a

(a>1)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设a1＝1，an ＋1＝ln(an ＋1)，证明：2n ＋2

n ＋2

.

62.11．[xx·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－1)

63.21．、[xx·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x ＋bex －1

x ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))

处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ；

(2)证明：f(x)>1.

64.21．[xx·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex －e －x －2x. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x ＞0时，g(x)＞0，求b 的最大值；

(3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)． 21．解：(1)f′(x)＝ex ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x －e －2x －4b(ex －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x)＝2[e2x ＋e －2x －2b(ex ＋e －x)＋(4b －2)] ＝2(ex ＋e －x －2)(ex ＋e －x －2b ＋2)．

(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.

(ii)当b>2时，若x 满足2

(3)由(2)知，g(ln 2)＝3

2

－22b ＋2(2b －1)ln 2.

当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－3

12>0.692 8；

当b ＝32

4＋1时，ln(b －1＋b2－2b)＝ln 2，

g(ln 2)＝－3

2

－22＋(32＋2)ln 2<0，

ln 2<18＋228

<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.

65.20．[xx·山东卷] 设函数f(x)＝ex x2－k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的

底数)．

(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．

66.21．[xx·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．

(1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明．

67.20．[xx·天津卷] 设f(x)＝x －aex (a∈R)，x∈R.已知函数y ＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1

(1)求a 的取值范围；

(2)证明：x2

x1

随着a 的减小而增大；

(3)证明：x1＋x2随着a 的减小而增大．

68．22．[xx·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x －a|(a∈R)．

(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)； (2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．

69.20．[xx·重庆卷] 已知函数f(x)＝ae2x －be －2x －cx(a ，b ，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c. (1)确定a ，b 的值；

(2)若c ＝3，判断f(x)的单调性； (3)若f(x)有极值，求c 的取值范围．