微积分一练习题及答案

《微积分（1）》练习题

一•单项选择题

1 •设广（心）存在，则下列等式成立的有（）

A.

B . liin /（Vo-Ax ）-/（A o ） =

AD Ax AtO zkv 07

C •亦/仇+2力）-/仇）

D .曲心+2"）-/仇）=丄 D h

» h 2 2・下列极限不存在的有（）

丄 C . lim e x

.YT U

3 •设/（Q 的一个原函数是厂二贝IJ/W =（）

A . —2E 亠

B .广”

C ・ 4水"

D . - 2xe^lx

2y ［x. 0 < X < 1

4 •函数/（A-）= 1, X = 1在［O,P ）上的间断点兀=1为（）间断点。

1 +X. X > 1

A.跳跃间断点；

B.无穷间断点；

C.可去间断点；

D.振荡间断点 5 .设函数/⑴在［o,b ］上有定义，在b ）内可导 则下列结论成立的有（）

A .当 f （a ）f （b ）< 0 时，至少存在一点

使/（^） = 0 ；

B . 对任何壮（“）,有lim ［/M-/（^）］ = O ； C. 当/⑷=/0）时，至少存在一点歹5）,使/W=o ；

D .至少存在一点弘（“）,使 ；A . lim xsin XT （）

B . lim 亘女 VTg X + 1 1

(1)

七•单项选择题

(3) lim ln(1 + A -2) i (> xsin 3x

(5) e xy + y 3-5x = O 又x = 0=> y = —1

. 亠 一。\ 「b(l + sinx) + o + 2, xhO 亠 —

九.试确疋"，》使函数f(x) = \ 心 在x = 0处连续且可导。

e -1, x < 0

(8分)

解:/(0 + 0)= liin [/?(1 + sin x)+a + ?] = a + h + 2 /(o-o)= lim 『_lj = o, 函数/(x)在x = 0处连续/(O + O )= /(O-O) a + b + 2 = 0,

函数/(x)在龙=0处可导昇(O) = /J(o).故a = b

⑵ 由(1) (2)知“="=一1 十.试证明不等式：当兀>1时，e-x

1

1 r ".1) arcsin — k x)

1 \x\ylx

2 -1 J 2 . y ⑹=0

3 . y = 2x +1

4 . y = 一2 , X = 0

5 . 广(x)=l + * /(x) = x + e x +c

三,计算题：⑴吧

lim x-2

(4) y = [in (1 一 2x)]2 求 dy

求加

1 T -1

证：(法一)设f(t) = e'则由拉格朗曰中值定理有

整理得：e x

2

法二：设/(A)=e x-ex

f\x) = e x -e>0(x > 1)故f(x)=e x -ex在x>l 时，为增函数，

f(x)= e x -ex> /(1) = 0,即e x > ex 设= " - £(加+e)

f z(x) = e x - -(6»1 + xe x ) = - ^v (1 - x) < 0 (x > 1)故/(兀)=『一丄(xe，+e)在x>l 时，为

2 2 2

减函数，

f(x) = e x --(e x +xe x)< /(l) = 0,即e51

2 2

综上，e-x

H■—•设F(x)=丿⑴二2"(工>a),其中/⑴在［"，代)上连续，广'⑴在仏也)

x-a

内存在且大于零，求证F⑴在仏加3)内单调递増。(5分)

证.尸,(打_广(*_“)_m)

故F(x)在(匕七)内单调递增。