信号与系统 于敏慧(第二版)第二周作业答案

y0(t)
1
t
0
2
4
(6) x(t) = dx0 (t) , h(t) = dh0 (t) 。
dt
dt
x(t) * h(t) = dx0 (t) * dh0 (t) = d 2 y0 (t)
dt dt
dt 2
x(t) ∗ h(t) = 0.5δ(t) − 0.5δ(t − 2)
2.10 求 y[n] = x1[n]* x2[n]* x3[n] 。 其 中 x1[n] = (0.5)n u[n] ， x2[n] = u[n + 3] 和
（2）利用（1）的结果，求系统的逆系统的单位样值（脉冲）响应。
（3）利用（2）的结果，结合卷积性质，求一信号 x[n]，使之满足
x[n]* h[n] = 2n (u[n] − u[n − 4])
解：（1） h[n] − Ah[n −1] = δ [n]，其中 h[n] = (1 )n u[n] ， 2
（通项： an = a1q n−1 ）
n
∑ 此题： a1 = 1, q = 2 ； x[n]* h[n] = 2nu[n]*u[n] = ( 2k )u[n] = (2n+1 −1)u[n] k =0
2.6 计算图 2-45（b）与（c）所示信号 x(n)与 h(n)的卷积和,注意：N＝4。 解：（b）利用脉冲信号δ(n)的卷积性质以及卷积的延时性质计算：
k =−∞
+ 3] =
u[n + 3] 0.5k
k =0
；
= 2(1 − 0.5n+4 )u[n + 3]
（2） x1[n]* x2[n]* x3[n] = 2(1 − 0.5n+4 )u[n + 3]* (δ [n] − δ [n −1]) ； = 2(1 − 0.5n+4 )u[n + 3] − 2(1 − 0.5n+3 )u[n + 2]
由图可知： x[n] = δ [n +1] + 2δ [n] + δ [n −1] + δ [n − 2]
h[n] =−δ[n −1] − δ[n − 4] + δ[n − 5]
y[n] = x[n]* h[n] = {δ[n +1] + 2δ[n] + δ[n −1] + δ[n − 2]}* h[n] = h[n +1] + 2h[n] + h[n −1] + h[n − 2] =-δ[n] − 2δ[n −1] − δ[n − 2] − 2δ[n − 3] − δ[n − 4] + δ[n − 5] +δ[n − 7]
k =−∞
k =−∞
k =−∞
∑ ∑ 0
当 0 ≤ t ≤ 3 时，有 y(t) = e−(t−3k)
k =−∞
0
= e−t e3k
k =−∞
=
1
e−t −e
−3
=
Ae −t
，其中
A
=
1
1 − e−3
；
2.7 考虑一离散时间系统，其单位样值（脉冲）响应为 h[n] = ( 1 )n u[n] 2
（1）求 A 以满足 h[n] − Ah[n −1] = δ [n]
（5） h(t) = e−6 t ；
（7） h(t) = (−2e−t − e(t−100) /100 ) ⋅ u(t) 。
解：
（3）非因果，稳定；非因果很显然；因为
0
2
4 t
图 1-72（c）
y1(t) 2
t 0 12
图 1-72（b）
x3(t) 2 1
-1 0 1 2
t
图 1-72（d）
解：（1）由图 1-72（c）知： x2 (t) = x1 (t) − x1 (t − 2)
由于是 LTI 系统，便有 y2 (t) = y1 (t) − y1 (t − 2) ，图见 1-72（c’）；
y(t) = e j3t
x(t) = e − j2t S
y(t) = e − j3t
(1) 若 x1 (t) = cos 2t ，求系统的输出 y1 (t) ；
(2) 若 x2 (t) = cos(2t − 1) ，求系统的输出 y2 (t) 。
解：（1） x1 (t)
=
cos 2t
=
1 (e j2t 2
=
1 2
(e− je
j 3t
+
e
ej − j3t
)
=
cos(3t
− 1)
1.22 一 个 LTI 系 统 ， 当 输 入 x1(t) = u(t) 时 ， 输 出 为 y(t) = e−tu(t) + u(−1− t) ，求该系统对图 1-71 所示的输入 x(t)的 解：由题意知： x(t) = u(t) 时， y(t) = e−tu(t) + u(−1− t)
也可直接计算为： x1 (t) * x2 (t) = x1 (t + 5) + x1 (t − 5) ；
（3）
x1 (t )
*
x3 (t)
=
[u(t
+ 1)
−
u(t
− 1)]*[δ
(t
+
1) 2
+
δ
(t
−
1 )] 2
= u(t +1.5) − u(t − 0.5) + u(t + 0.5) − u(t −1.5)
= δ [n] + 3 δ [n −1] + 3δ [n − 2] + 6δ [n − 3] − 4δ [n − 4] 2
2.8 某 LTI 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 为 h0 (t) ， 当 输 入 为 x0 (t) 时 ， 系 统 对 x0 (t) 的 响 应 为
y0 (t) = x0 (t) * h0 (t) （如图 2-46 所示）。现给出以下各组单位冲激响应 h(t) 和输入 x(t) ，分别求
解答：（1）是；因为系统在时刻 n 的输出 y[n]不但取决于 n 时刻的输入，还与时刻 n-2 的输入有
关；
（2） y[n] = Aδ[n]Aδ[n − 2] = A2δ[n]δ[n − 2] = 0
1.18 一连续时间线性系统 S，其输入为 x(t)，输出为 y(t)，有以下关系：
x(t) = e j2t S
2.2 求下列离散序列 x(n)与 h(n)的卷积和。
(1) x[n] = nu[n] Biblioteka h[n] = δ [n − 2] ;
(2) x[n] = 2n u[n] , h[n] = u[n]
解：(1) x[n]* h[n] = nu[n]*δ [n − 2] = [n − 2]u[n − 2]
(2)用到等比数列前 n 项的求和公式： S = a1 (q n − 1) q −1
题 2-45（c）图解
第二次
2.3（1）（3）；2.4；2.7； 2.8（1）、（2）、（6）；2.10；2.14（3）、（5）、（7）；2.17；
2.3
已知 x1(t) = u(t +1) − u(t −1) , x2 (t) = δ (t + 5) + δ (t − 5) ,
x3
(t)
=
δ
(t
+ e− j2t ) ，
y1 (t)
=
1 (e j3t 2
+ e− j3t )
=
cos 3t
（线性系统）；
（2） x2 (t)
=
cos(2t
− 1)
=
1 (e j(2t−1) 2
+ e − j(2t−1) )
=
1 (e− j e j2t 2
+ e je− j2t ) ，
由于是线性系统，有
y2 (t)
x(t) 1
0
12 t
图 1-71 题 1.22 图
响应。
现在输入如图 1-71 所示的信号，即 x(t) = u(t −1) − u(t − 2)
由线性系统的性质可知，此时的系统输出为
y(t) = e−(t−1)u(t −1) + u(−t) − e−(t−2)u(t − 2) − u(1 − t)
1.23 已知一个 LTI 系统对图 1-72（a）所示信号 x1 (t) 的响应 y1 (t) 如图 1-72（b），求该系统对图 1-72
（c），1-72（d）所示信号 x2 (t) 、 x3 (t) 的响应，并画出其波形。
x1(t) 1
0
2
图 1-72（a）
t
图 1-72 题 1.23 图
x2(t) 1
因此
h1[n]
=
δ
[n]
−
1 2
δ
[n
−
1]
（3） x[n]*h[n]信号再串联一个 h[n]的逆系统，则输出为 x[n]，所以
( ) x[n] = x[n]* h[n]* h1[n] =
2n (u[n] − u[n − 4])
* δ [n] − 1 δ [n −1]
2
= 2n (u[n] − u[n − 4]) − 1 2n−1 (u[n − 1] − u[n − 5]) 2
y(t) = x(t) * h(t) （用 y0 (t) 表示），并画出 y(t) 的波形图。
y0(t)
1
t
0
2
图 2-46 2.8 题图
(1) x(t) = 3x0 (t) , h(t) = h0 (t) ;
y0(t) 3