直线与平面所成的角

α
例题讲解：
(课本例2).如图所示, 在正方体ABCD A1B1C1D1中, 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1
C1
A1
D
B1
O
C
A
B
练习：已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形， PA=AB。
1)求PC和平面ABCD所成的角
2）求PC和平面PAD所成的角
3)求PC和平面PAB所成的角 P
A
B
C
α
D P
巩固练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在Leabharlann BaiduA1B1CD中的射影
（2）AB1在面CDD1C1中的射影
（3）AB1在面BB1D1D中的射影
A1 D1
线段B O 1 C
1
B1
D
O
C B
A
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
P
PA PB OA OB
B
射影长定理：从平面外一点引的 斜线段、垂线段中：相等的斜线 段对应的射影长相等、长的斜线 段对应的射影较长。
α
A
O
思考、如图，过平面α 内一点P引平面α 的 两条斜线PA、PB，这两条斜线段在平面α 内的射影分别为PC、PD，如果PA>PB，那么 PC与PD的大小关系确定吗？
A D C
α
思考4:反映斜线与平面相对倾斜度的平面 角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另 一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？
P
α
A
B
定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面 所成的角.
P
α
A
B
特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为 90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们 所成的角为0°.
比较
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
1
O

A
B
思考2、两条平行直线与同一个平面所成的 角的大小关系如何？反之成立吗？一条直 线与两个平行平面所成的角的大小关系如 何？
文字语言
符号语言
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面. 关键：线不在多，相交则行
m n mn P l l m α l n
图形语言 l m
P
n
3：如图，已知PA⊥平面ABC， AB⊥BC. AE⊥PB. 求证：PC⊥AE P
斜线 斜足
α
l P
射影、过斜线上斜足外一点向平面引垂线， 连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个 平面上的射影.那么斜线l在平面α内的射影有 几条？ P l A α B 思考1、两条平行直线、相交直线、异面直线 在同一个平面内的射影可能是哪些图形？
思考2、如图，过平面α 外一点P引平面α 的 两条斜线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P 引平面α 的垂线，垂足为O，如果PA>PB，那 么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？
复习回顾
直线与平面垂直的定义：
文字表示： 如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， l 则称这条直线与这个平面垂直.记作
平面α的垂线
王新敞
奎屯 新疆
l
直线l的垂面
图形表示：
α
P
画法：直线画成与表示平面的平
行四边形的一边垂直。
垂足
符号表示：任意a ，都有l a l
直线与平面垂直的判定定理：
强调:任何一条直线和一个平面的相对倾斜度 都可以用一个角来反映，那么直线与平面所 成的角的取值范围是什么？
[0 ,90 ]
思考1、比较异面直线所成的角、直线与平面 所成的角
1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别 引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 做这条直线和这个平面所成的角。
P
O
A
a

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面 的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直
P
O
A
a

知识探究（二）：直线和平面所成的角
思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一 个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反 映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与 平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点 宜选在何处？
l
α
思考2:如图，AB为平面α 的一条斜线，A为斜 足，AC为平面α 内的任意一条直线，能否用 ∠BAC反映斜线AB与平面α 的相对倾斜度？为 什么？
B
A
α
C
思考3:如图，∠BAD为斜线AB与平面α 所成的 角，AC为平面α 内的一条直线，那么∠BAD与 ∠BAC的大小关系如何？
B
∠BAC >∠BAD
A B
D
C
拓展： 如图，AB为平面α 的一条斜线，B为 斜足，AO⊥平面α ，垂足为O，直线BC在平 面α 内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求 斜线AB和平面α 所成的角.
A
B
O
D
α
C
C
A
B
1.如图，直四棱柱ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时AC B D ？
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
知识探究（一）：平面的斜线
斜线、当直线与平面相交时，它们可能垂 直，也可能不垂直，如果一条直线和一个 平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.那 么过一点作一个平面的斜线有多少条？