鲁教版2018中考数学专题复习 二次根式
中考数学复习指导：二次根式的加减复习及典例分析
二次根式的加减【重点难点点拨】重点：（1）二次根式化简为最简根式．（2）能熟练地进行二次根式的加减运算。
（3）会进行二次根式的混合运算。
难点与关键：（1）会判定是否是最简二次根式．（2）会判断什么样的两个二次根式是同类二次根式．（3）由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．【规律方法指津】1、判断几个二次根式是不是同类二次根式，前提是将其化简成最简二次根式；2、二次根式的加减是把同类二次根式合并，不是同类二次根式则不能合并。
3、加法的运算律仍然适用于二次根式的运算。
【知识详细解读】1、同类二次根式（1）几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如x x 25,2223 和和这样的二次根式都是同类二次根式。
（2）判断同类二次根式的方法：①首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。
②几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
2、合并同类二次根式的方法合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。
3、二次根式的加减法则二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。
4、二次根式的混合运算方法和顺序运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运算。
运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。
5、二次根式的加减法则与乘除法则的区别乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无关，加减法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。
【典型例题感悟】例1、在下列各组根式中，是同类二次根式的有_________。
.=11a a -≠+=，故②正确；==.解：②③点拨：判断两个二次根式是否为同类二次根式，必须先化简，而后判断。
2018中考数学一轮复习 教学设计三(数的开方与二次根式) 鲁教版
⑴__________是错 误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________
四：【课后小结】
布置作业
零的平方根是；没有平方根。
（2）如果x3=a，那么x叫做a的。一个正数有一个的立方根 ；一个负数有一个的立方根；零的立方根是；
2.二次根式
（1）
（2）
（3）
（4）二次根式的性质
① ；③
② ；④
（5）二次根式的运算
①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；
②乘法：应用公式 ；
③除法：应用公式
④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
2. x为何值时，下列各式在实数 范围内有意义
（1） ；（2） ；（3）
3.找出下列二次根式中的最简二次根式：
4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：
5.化简与计算
① ；② ；③ ；④
⑤ ；⑥
三：【课后训练】
1.当x≤2时，下列等式一定成立的是（）
A、 B、
C、 D、
2.如果 那么x取值范围是（）
(二）：【课前练习】
1.填空题
2.判断题
3.如果 那么x取值范围是（）
A、x≤2 B. x＜2 C. x≥2 D. x＞2
4.下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A．
5.在二次根式：① ② ③ ；④ 是同类二次根式的是（）
A．①和③B．②和③C．①和④D．③和④
二：【经典考题剖析】
1.已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足a2－6a+9+ ，试判断△ABC的形状．
鲁教版八年级下册第七章 二次根式复习
例3、 化简: 16x2x0. 思考:
思路启迪：利用 根式化简．
a2 a 可若以x<把0二呢次？
解: x0 4x0
16x2 (4x)2
4x
例4、化简:
把a-3当做整体
(1)、a32a3
解 :原式 a 3 (3 a )3a
3
(2)、 a26a9a3
解 ： 原 式 a32a3a3
方法小结
化简形如 a 2 的二次根式的方法:
4、 a b
a b
(a 0, b 0)
运算
加 、减、乘、除
一、二次根式的意义 二、二次根式的性质 三、二次根式的运算 四、反思提升
一、二次根式的意义
你能说说对二次根式 a 的认识吗?
1.表示a的算术平方根. 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号.
4.a≥0， a ≥0. (双重非负性)
鲁教版八年级下册第七章 二次根式复习
1、能够比较熟练地应用二次根式的性质进行化简.
2、能够比较熟练地进行二次根式的运算.
3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际 问题.
二次根式
概念
最简二次根式
同类二次根式
二 次 根
1、 a2aa0
aa0 性质 2、 a2 a aa0
式
3、 a ba b a 0 ,b 0
1 3
51 33
5
5 3 53 5
3
3
(2)9
1 3 48 2
3 4
912492 14611 4833 3483 36
点评：也可以用“除以一个数，等于乘以这个数 的倒数”的法则进行计算．
三、二次根式的运算 ——加减
在进行二次根式的加减运算时，首先 要正确识别同类二次根式，关键是准确地 化成最简二次根式，然后观察被开方数是 否相同，对于被开方数相同的最简二次根 式可以类似合并同类项的方法，即把根号 外的因式相加减，根指数和被开方数都不 变。
中考数学专题《二次根式》复习试卷含答案解析
2018年中考数学专题复习卷: 二次根式一、选择题1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.2.下列四个数中，是负数的是( )A. B. C. D.3.函数y= 中自变量x的取值范围是（）A. x≥-1且x≠1B. x≥-1C. x≠1D. -1≤x＜14.下列各式化简后的结果为3 的是（）A. B. C. D.5.下列计算正确的是（）A. a5＋a2＝a7B. × ＝C. 2-2＝－4D. x2·x3＝x66.计算|2﹣|+|4﹣|的值是（）A. ﹣2B. 2C. 2 ﹣6D. 6﹣27.计算之值为何（）A. 5B. 33C. 3D. 98.下列运算正确的是（）A. B. C. D.9.已知，则代数式的值是（）A. 0B.C.D.10.如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个11.化简为（）A. 5﹣4B. 4 ﹣lC. 2D. 112.下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13.函数y＝的自变量x的取值范围是________．14.计算：＝________．15.计算：________。
16.当x=2时，二次根式的值为________．17.计算的结果是________.18.计算（+1）2016（﹣1）2017=________．19.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________．20.若实数a、b满足|a+2|+ =0，则=________．21.计算：=________．22.观察下列等式：第1个等式：a1= = ﹣1，第2个等式：a2= = ﹣，第3个等式：a3= =2﹣，第4个等式：a4= = ﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n=________；（2）a1+a2+a3+…+a n=________．三、解答题23.24.计算：（）﹣1﹣6cos30°﹣（）0+ ．25.在平面直角坐标系中，点P（- ，-1）到原点的距离是多少？26.若b为实数，化简|2b-1|- 。
初中数学 中考复习二次根式专题练习(含答案)
二次根式复习一、知识归纳 （一）二次根式定义1注意：（12，（2）被开方数是非负数2、二次根式在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。
（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性≥0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含 的因数或因式。
满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来 （2）根号内每个因式或因数的指数都小于根指数2，如果根号内含有因式或因数的指数大于根指数2，就利用，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（3）分母内不含有根式，如果分母内含有根号，则利用分母有理化，将根号划去。
（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，是最简二次根式.22a b +无法变成一个数（或因式）式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似. 对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算0)=≥，≥0a b=≥，＞00)a b≥，≥0a b0)=≥，＞00)a b二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。
鲁教版《二次根式》
( a ) 2 a(a 0)
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
议一议：
(1)正方形的面积为2，它的边长是多少？面积为3呢？ 面积为S呢？
2
3
S
(2)正方形的面积为S，如果把它的面积增加1，新正方
形的边长是多少？
S 1
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ 它们都是形如 a 的式子，并且被开方数都是非负数.
(1)( 7)
2
1 2 (2)(4 ) 5
解: (1)( 7)2 7;
1 2 1 2 1 16 2 (2)(4 ) 4 ( ) 16 . 5 5 5 5
高效上好每节课·快乐上好每天学
4、已知a，b为实数，且满足 a 你能求出a及 a+b 的值吗？
2b 1 1 2b 1
高效上好每节课·快乐上好每天学
3、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
4、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
4
4
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是 二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
解：依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0, 所以b= 把b=
1 代入原式，得a=1, 2
3 2
1 , 2
3 2
所以a+b=
答案：a=1, a+b=
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
（1）二次根式的概念；
（2）根号内字母的取值范围； （3）二次根式的性质： a 0(a 0) ；
中考数学知识点之二次根式
中考数学知识点之二次根式中考数学的二次函数概念是任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
下面是作者给大家带来的中考数学知识点之二次根式，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学：二次根式的3个基本性质1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为-√a;最简情势中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零，即√0=0。
3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是√ai。
二次根式一样地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数(在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根)。
判定一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地视察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再视察。
负根号二究竟是不是二次根式负的根号2是二次根式。
形如√a的代数式都叫做二次根式，负的根号2(-√2)的情势是二次根式的表现情势，其中的负号表明这个代数式是负值，负的根号2(-√2)即表示为一个负值的二次根式。
中考数学：判定式子是不是二次根式形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式。
注意，被开方数不为完全平方数。
当a 0时，根号a表示a的算术平方根，因此根号a 当a=0时，根号a表示0的算术平方根，因此根号a=0。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一样步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
鲁教版初中数学八年级下册《二次根式》复习学案
《二次根式》复习学案学习目标：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．学习重点：含二次根式的式子的混合运算．学习难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．学习过程：一、温故互查自学课本第47页“回顾与思考”的内容，记住相关知识，总结本章知识框架。
二、设问导读探究新知知识点1 二次根式的意义（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．二次根式应满足两个条件：1.形式上必须是a的形式；2.被开方数必须是非负数。
练习一1.11),123a x>+中，是二次根式的是。
2.当a 时，1-a是二次根式。
3.若式子21-+xx有意义，则x的取值范围是。
4.使式子a23-有意义且取得最小值的a的取值是，a23-的最小值是。
知识点2 二次根式的性质⑴2(0)a a=≥⑵||2aa=⑶ab＝a×b( a≥0 ，b≥0)（a≥0，b>0）练习二1.化简：2)2(-= 2)32(-= 2)16.0(=2.若y =xy = 。
3.分解因式：⑴x 2－3=⑵2x 3－10x=4.化简：23)1(--x x = 知识点3 最简二次根式满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：⑴被开方数不含分母； ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
练习三1.最简二次根式是 。
2.若n m b a 5为最简二次根式，则m = ，n = 。
3.化简：⑴34= ，⑵12243+n n b a = ，⑶231+= ， ⑷11)1(---a a = 。
知识点4 二次根式的乘除法1.二次根式的乘法：a ×b ＝ab ( a ≥0 ，b ≥0)2.（a ≥0，b >0） 练习四计算 1. 632⨯= 2. 2123432⋅=3. 2=4.= 知识点5 二次根式的加减 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．练习五1.下列二次根式中，能与2合并的是（ ） A.8 B.12 C.24 D.402.若x +y =3+22，x －y =3－22，则22y x -的值为 。
中考数学专题特训第六讲：二次根式(含详细参考答案)
中考数学专题复习第六讲：二次根式【基础知识回顾】 一、二次根式式子a （ ）叫做二次根式【赵老师提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b ≥0）(a ≥0, b ≥0)【赵老师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和的大小，可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【赵老师提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 】 【重点考点例析】考点一：二次根式有意义的条件（a ≥o ）（a ＜o ）例1 （2012•潍坊）如果代数式43x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 解：要使代数式43x -有意义， 必须x-3＞0， 解得：x ＞3． 故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0． 对应训练1．（2012•德阳）使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 1．C1．解：由题意得：2x-1≠0，x≥0， 解得：x≥0，且x≠12， 故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 （2012•张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ． 故选C ．点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练为 ． 1．-b2．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|，=|a+b|+a =-a-b+a =-b ，故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键． 对应训练4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0，(1)1)4x x x +=本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．804．D分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可．=80， 故选D ．点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算，本题主要考查学生的思维能力和应变能力，题目比较好，是一道具有代表性的题目．【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）下列运算正确的是（ ）A 5=-B ．21()164--=C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 5 1．B ．2.（2012•临沂）计算：= ． 2．03．7【备考真题过关】一、选择题A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2D ．x≤2 1．DA B ．5 C ．2 D ．22．AA ．3BC ．D ．3．C ．A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．-5＜m ＜-4D ．-6＜m ＜-5 4．A即5＜m ＜6， 故选A ．5．（2012•南充）下列计算正确的是（ ）A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3=D = 5．D6．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（ ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=6．B7．（2012•广西）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ． x ≥﹣1B ． ﹣1≤x ≤2C ． x ≤2D ．﹣1＜x ＜2 考点： 二次根式有意义的条件。
鲁教版初三数学第五节第2节二次根式性质课时2
3 x
y 8x3
4 n1 1
n1
我们知道当 a 0时，a2 a。反过来，
当a 0时，a a2。即一个非负数可
平方后退进根号内
3=
32
9
2 3
2 2
4
3
9
x2 1 (x2 1)2
你能用另一个方法化简下面各式吗？
1 3 2 ,
3
2 a 1 ,
a
课下作业
例1 已知，a、b为实数，且 2a6b 2 0
a a(a0,b0) bb
运用这条性质可以化去根号内的分母。
自主学习课本P129的例题4，仔细思考解题思路和步骤， 然后考考你自学的成果
1 3 2 9 3 a 3
25
4
9b 2
1 2 2 b 2 3 45a 2
25
4a 2
169 b 2
尝试应用
如何化去 1 根号内 的分母？ 2
化去下列根号内的分母：
回顾 & 思考 ☞
1、二次根式的性质已学了四条，分别是什么？
1双非负 a0性 (a0： )2 公 (a )式 2 a (a 0 )
32、公 用心式 算a2一算a:aaaa
0
0
4积的算术平方根
ab a• b(a0,b0)
1
2
2x
2 2x2x0
3 8 3 6 4 72x3y5
514m 31m 621m 62
1 2
5
2 1
x
3 b
a
1
3 。 。。3
25
5
观察下面这5个式子， 比照化简结果和原式， 这5个化简后的式子
2 4a52 。。 3a。5 有什么共同特征？
鲁教版初三数学第五章二次根式第2节二次根式的性质1
已知
1 a
有意义,那A(a,
a
)
在 二
象限.
?
下列式子 取值范围是
2x 6
1 2x
中字母 x 的
3 x _0 __________
?
已知 y 则 y x
2x
5
x 2 5,
____ 2
?
12 n 为一个整数 求自然数 n 的值 .
,
若a.b为实数,且
5、在实数范围内分解因式： （1）a2-3 ；（2）16b2-11 6、在△ABC中，a、b、c是三角形的三边， 化简
a b c
2
2cab
x 199 y 199 x y
7、若m适合关系式
3x 5 y 2 m 2x 3y m
试求m的值
3
2
2
4 x 3 (2 x)
3
2
( 2 x 3 )( 2 x 3 )
?
练一练: 把下列各式分解因式:
(1) x2 – 2
2
(2) x2 – 9
解 ： （1） 原 式 x x
2
2
2
x
3
2
3
（ 2） 原 式 x 3 x 3 x 3 x
2 2
2a
b2 0
求 a b 2 b 1的值
?
( 2003年· 河南省)实数p在数轴上
的位置如图所示，化简
(1 p )
2
2 p
2
1 p (2 p ) p 1 2 p 1
2018中考数学二次根式取值范围知识点总结
2018中考数学二次根式取值范围知识点总结新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
二次根式取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。
知识点三：二次根式a(a0)的非负性。
(名师整理)最新鲁教版数学冲刺中考《二次根式》经典题型随堂练精品课件
3．若1<x<2，则|x－3|＋
A．2x－4
B．－2
C．4－2xD．2 Nhomakorabea的值为( )
4．若y＝
－6，则xy＝____.
5．已知(a＋6)2＋
＝0，则2b2－4b－a的值为____． －3
0
考点三 二次根式的运算 (5年0考)
例3 (2019·肥城二模)
＝．
【分析】利用二次根式的运算法则即可求出答案．
【自主解答】根据题意得|x2－4x＋4|＋
＝0，
∴x2－4x＋4＝0，2x－y－3＝0，
解得x＝2，y＝1，
∴x＋y＝3.故选A.
若几个非负数之和等于0，则每个非负数均为0.由此建立方程组，即 可求得相关字母的值．我们学过的非负数有三类：|a|，a2， (a≥0)．三者常常借助 其非负性求解字母的值．
【自主解答】原式＝
故答案为
6．(2019·南京中考)计算 7．(2019·滨州中考)计算： ＝．
24 3
的结果是 0 ．
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
光读书不思考也许能使平庸之辈知识 丰富，但它决不能使他们头脑清醒。
—— 约·诺里斯
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个 二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须 保证分母不为零．
1．(2019·黄石中考)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范
围是( )
A．x≥1且x≠2
B．x≤1
C．x＞1且x≠2
D．x<1
2．(2019·东平一模)已知x，y为实数，y＝
，
中考数学复习《二次根式》专项训练（含答案）
~数学中考专项：二次根式【沙盘预演】1.函数y=自变量的取值范围是（）A．x≠﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3【解析】解：根据题意得到：x+3＞0，解得x＞﹣3，故选B．2.下列运算正确的是（）A．﹣=13 B．=﹣6C．﹣=﹣5 D．=±3【解析】解：A、=﹣13，故错误；B、=6，故错误；C、=﹣5，正确；D、=3，故错误；故选：C．3.与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【解析】解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；B、与﹣的被开方数不同，故B错误；C、与﹣的被开方数相同，故C正确；D、与﹣的被开方数不同，故D错误；故选：C4.下列运算正确的是（）A．﹣a•a3=a3B．﹣（a2）2=a4C．x﹣x=D．（﹣2）（+2）=﹣1【解析】解：A、﹣a•a3=﹣a4，故选项错误；B、﹣（a2）2=﹣a4，选项错误；C、x﹣x=x，选项错误；D、（﹣2）（+2）=（）2﹣22=3﹣4=﹣1，选项正确．故选D．5.若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2 D．a≠2【解析】解：∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2，则a的范围是a≥2，故选A6.在函数y＝34xx--中，自变量x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4【解析】欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．∴x的取值范围是30,40.xx-⎧⎨-⎩≥≠解得x≥3且x≠4．故选D．7.要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1 【解析】解：要使式子有意义，故x﹣1≥0，解得：x≥1．则x的取值范围是：x≥1．故选：C．8.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是（）A．﹣2a＋b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【解析】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|＋＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a＋b．故选：A．9.若式子1-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【解析】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．10.下列算式①＝±3；②＝9；③26÷23＝4；④＝；⑤a＋a＝a2．运算结果正确的概率是（）A．B．C．D．【解析】解：①＝3，故此选项错误；②＝＝9，正确；③26÷23＝23＝8，故此选项错误；④＝，正确；⑤a＋a＝2a，故此选项错误，故运算结果正确的概率是：．故选：B．11.若式子1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．-【解析】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．12.若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．【解析】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．【真题演练】1.（•张家界）下列运算正确的是（）A．a2+a=2a3B．=aC．（a+1）2=a2+1 D．（a3）2=a6【解析】解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、=|a|，故原题计算错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，故原题计算错误；D、（a3）2=a6，故原题计算正确；故选：D．2.（•聊城）下列计算正确的是（）A．3﹣2=B．•（÷）=C．（﹣）÷=2D．﹣3=【解析】解：A、3与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、•（÷）=•==，此选项正确；C、（﹣）÷=（5﹣）÷=5﹣，此选项错误；D、﹣3=﹣2=﹣，此选项错误；故选：B．3.（•扬州）使有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3D．x≠3【解析】解：由题意，得x﹣3≥0，解得x≥3，故选：C．4.（•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5=B．（a+b）2=a2+b2C．2+=2D．（a3）2=a5【解析】解：A、a﹣2÷a5=，正确；B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；C、2+，无法计算，故此选项错误；D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：A．5.（•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【解析】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、a﹣2=，故此选项错误；C、3﹣2=，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．6.（•泰州）下列运算正确的是（）A．+=B．=2C．•=D．÷=2【解析】解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式=3，所以B选项错误；C、原式==，所以C选项错误；D、原式==2，所以D选项正确．故选：D．7.（•郴州）计算：=3．【解析】解：原式=3．故答案为：38.（•泸州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【解析】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．。
鲁教版2018初四中考专题复习 二次根式专项训练
鲁教版2018初四中考专题复习二次根式专项训练一、选择题
1.有（）
2.
3.估计7-的值在().
A. 1到2之间
B. 2到3之间
C. 3到4之间
D. 4到5之间
4.的运算结果是().
5.
(第5题)
A. 2a+b
B. -2a+b
C. b
D. 2a-b
6.一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足().
A. 3<a<4
B. 5<a<6
C. 7<a<8
D. 9<a<10
7.下列各式(题中字母均为正实数)中化简正确的是().
二、填空题
8.
9.
三、解答题
10.先化简,再求值:
11.计算:
12.先化简,再求值:
13.先化简,后计算:
14.计算:
15.先化简,再求值:
16.先化简，再求代数式
参考答案与解析
1. B[解析]二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同就叫同类二次根式.
2. C[解析]原式=a-2+a-3=2a-5.
5. C[解析]原式=-a+(a+b)=b.
6. A[解析]解题的关键是注意找出和10最接近的两个能完全开方的数.
7. D[解析]考查二次根式的相关性质.。
近年中考数学二轮复习专题训练5二次根式(无答案)鲁教版(2021年整理)
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1 0234 N M Q P 专题训练5 二次根式 1. 估算272-的值( )A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间D ．在4到5之间 2。
2的倒数是（ )A ．2- B ．2 C ．22- D ．223. 下列运算正确的是( )A ．3273-=B ．0(π 3.14)1-=C ．1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．93=±4。
若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( ） A ．a 2 B ．b 2 C ．b a + D ．b a -5．下列计算正确的是（ )A ． 22-=- B.523-= C. 325a a a ⋅= D.22x x x -=6.如图,在数轴上表示实数15的点可能是( ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N7．下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.21a +B.12 C.8 D 。
278. 若11x x ---=（x ＋y ）2,则x －y 的值为( ）A.－1B.1 C 。
2 D.39. 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在( )A 。
4cm~5cm 之间 B. 5cm ～6cm 之 C. 6cm ～7cm 之间 D. 7cm~8cm 之间10. 若2(3)3a a -=-,则a 与3的大小关系是( )A ． 3a <B ．3a ≤C 。
二次根式-鲁教版
双重非负性： a 0 （a≥0）
( a )2 a（a≥0）
例1
a 0,a 0
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1
(2) 1 3a
解:(1)由题意得 a ＋1 ≥ 0， 得a≥﹣1.
当a≥ ﹣1时， a 1 在实数范围内有意义.
(2)由题意得 1 －3a ≥ 0， 得a≤ 1 . 3
计算：
(1)( 5m )2 (m 0);
(3)( x y )2(x y)
(2)(3 1 )2 2
解：
(1)( 5m)2 5m(m 0)
(2)(3 1 )2 (3)2 ( 1 )2 9 1 9
2
2
22
(3)( x y)2 x y(x y)
课本P33 随堂练习 2 P34习题2、3
4
22
议一议
填空：-22 =2 -0.12 = 0.1
2
-
2 3
2
=
3
当 a 0时，二次根式 a2 的值是什么？：
a2 a(a 0)
当a为任意实数时，
a2
a
aa aa
0 0
例题讲解
例1 化简：
(1 ) 36 ;
解：
(2 ) 9 . 4
解(1) 36 62 6;
(2) 9 ( 3 )2 3 .
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x 0 x
(5) x3 x 0
(6)
1 x2
x0
例2 计算： ( 2.1)2
=2.（11）
( a )2 a（a≥0）
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鲁教版2018中考数学专题复习 二次根式
1. 4 的平方根是（ ）A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16
2.设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A ．1和2
B ．2和3
C ．3和4
D ．4和5
3.实数a
化简后为 A ． 7 B ． －7 C ． 2a －15 D ． 无法确定 4.若0)3(12=++-+y y x ，则y x -
的值为 （ ）A ．1
B ．－1
C ．7
D ．－7
5. (-2)2
的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 6.下列运算正确的是（ ）A.25=±5 B.43-27=1 C.18÷2=9 D.24·3
2
=6 7.在实数0
、
2-中，最小的是（ ）A ．2- B
． C ．0
D
8.
12a -，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12
9．下列各式中，正确的是（ ）A ．
3- B
．3- C
3± D
3± 10.已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为A.9 B.±3 C.3 D. 5 11.计算75147-＋27之值为何（ ）A ．53 B ．33 C ．311 D ． 911
12.．计算
63125412
9⨯
÷之值为何（ ）A ．123 B ．63 C ．33 D ．433
13. 8的立方根是（ ）A ．2
B ．-2
C ．3
D ．4
14.下列各式计算正确的是A
．2
．
15.下面计算正确的是（ ）
A.3
32
35
= D.2-
16.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞3 17．
）A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．
18.计算221－63
1＋8的结果是（ ）A ．32－23 B ．5－
2
C ．5－3
D ．22 19.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
． 20.
已知y 2xy 的值为（ ）A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152
21.下列计算正确的是（ ）
4 22.已知a 、b
为两个连续的整数，且a b ，则a b += 23.计算：28-=
24.
当x =2
211x x x
---=____________．25.
x 的取值范围是 ．
26. 实数x ，y 满足x +1y y ---1)1(=0，那么x
2011
-y
2011
= ．27.
计算的结果是 ．
第2题图
28.先化简再计算：22121x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪
+⎝⎭
，其中x 是一元二次方程2
220x x --=的正数根. 29.若
m 54322011m m m --的值是 ．
30.已知263(5)36m n m -+-=-，则m n -= ．31.计算1)(2=____________．
32.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示521amn bn +=，则2a b += 。
33. ()0201112=-++y x 则y
x = 34.计算=
35.有意义，则a 的取值范围为 36．若等式1)23(0=-x 成立，则x 的取值范围是 .
37.对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※,a ※b =b
a b a -+，3※5=
38.化简，求值： 1
11(1122
+---÷-+-m m m m m m ）
，
其中m =3．． 39.先化简，再求值：（a a a a -+-112）÷a ，其中a =12+.
40.先化简，再求值：（a －1＋1
2+a ）÷（a 2
＋1），其中a=2－1.
41. 解方程组⎩⎨
⎧=+=+8361063y x y x ，并求xy 的值． 42. 先化简，再求值：12)113(2--÷--+x x x x x x ，其中23=x .
43.计算：2011
0)1(5
15
20)3(3-+---π
44.先化简，再求值：231839x x ---，其中3x =.
45. 先化简，再求值：)12(1)1(2
2
x x x x x --÷-+ 其中x ＝2 46.先化简，再求值：（a a a a -+-112）÷a ，其中a =12+.
47．计算：
0(3)1
- 48.计算：（12）-2 - |22-3 | +38
49.先化简，后求值：（
2222444y xy x y y x ++-）·（x y x xy +-24），其中⎪⎩⎪⎨
⎧+=-=1
212y x
50.化简：、)2
12(8-⨯
51.先化简，再求值: 2
2
121(1)1x x x x -+-÷-,其中x 52.先化简再求值()1
2111
2222+--+
+÷-+a a a a a a 其中1
53.先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫
⎝⎛-+-+--14224412
2a a a a a a a ，其中a =2－3 54.先化简，再求值：)1
11(+-x x x ，其中15-=x .。