三垂直模型与全等综合之欧阳学文创编之欧阳家百创编

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(完整版)三垂直模型与全等综合剖析

DPFEBC AF E CB A K 模型图与全等知识点基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ；连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H B CFFEDC BAHFEDCBA【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。

AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。

连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.10ABOMPQx y24．（12分）如图，CODV等腰直角三角形，CA⊥x轴。

全等几何模型讲解之欧阳治创编

欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10常见的几何模型时间 2021.03.10创作：欧阳治一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。

这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。

1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：例题讲解：1. 如图所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个点， PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC 的边长。

2. 如图，O 是等边三角形 ABC 内一点，已知： ∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段 OA、 OB、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.103.如图，P 是正方形 ABCD 内一点，且满足 PA： PD：PC=1：2：3，则∠APD=.4.如图（2-1）：P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为 PA=1， PB=2，PC=3。

求此正方形 ABCD 面积。

（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形：例题讲解：1. 已知△ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF( 按 A,D,E,F 逆时针排列），使 ∠DAF=60°,连接 CF.(1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证： ① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.(2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10(3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系。

三垂直模型与全等综合剖析.docx

K模型图与全等知识点基本图形本题 8 分）如图，在等腰Rt △ABC中，∠ACB=90 °，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，求证：AF＝CF．22 ．边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 中点，连CE，过 B 作 BF⊥ CE 交 AC 于 F，求AF.D CFHA EB 【例 8】CFEA D B【例 9 】等腰 Rt △ABC 中∠ACB ＝ 90 °，AC=BC ； F 是 BC 上的中点，连AF ，作 CD ⊥ AF 于 E，交 AB 于 D；连 FD. 求证： AD ＝2BD ；【例 3 】已知△ABC 中 ,∠C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点,EP⊥ CB,PF⊥ AC,E、F为垂足 ,CFE求证 :△DEF 是等腰直角三角形.A D P B【例 4 】如图， D 为线段 AB 的中点，在AB 上取异于 D 的点 C，分别以 AC、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与 BCF，连结 DE、 DF、 EF，求证：△ DEF 为等腰直角三角形。

DFEHEAA C D BBFC【例 5 】如图，分别以△ ABC 的边 AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰 Rt △ACE；连接 DE。

AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点 H ，求证： DE＝ 2AF【例 6 】如图，在正方形ABCD 中，点 N 是 BC 边上的点。

连接AN ，MN ⊥ AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。

求证： AN ＝ MN9、如图，直线AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点B（0， b），且 a 、b 满足 a 4+ |4 －b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于 E，求证∠BDO=∠EDA；yBEFO D A x（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt△PBM ，其中 PB= PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x轴上运动时，线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.yM BO A PxQ 1024 ．（ 12分）如图， VCOD 等腰直角三角形， CA ⊥ x 轴。

三大国外离职模型之欧阳学文创编之欧阳家百创编

摘要：离职模型的构建是许多雇员离职研究学者研究的重点，主要从个体层面来研究雇员离职的决定因素，进而试图揭示雇员作出离职决策的过程。

雇员离职研究史上有三大主流离职模型，他们是Mobley(1979)扩展的中介链模型、Steers Mowday(1981)模型和Price-Mueller （2000）模型。

对三大主流离职模型进行了介绍和归纳，并总结了这些模型对我国雇员离职研究的启示。

关键词：雇员离职；主流模型；Price-Mueller模型1 三大主流离职模型简介1.1 扩展的Mobley中介链（1979）模型Mobley和他的同事在1979年构造出一个较为复杂和全面的雇员离职过程模型——扩展的莫布雷中介链模型（见图1），它将March和Simon模型、Price模型和Mobley中介链模型进行了结合，以尽可能地捕捉影响雇员离职的各种复杂因素。

该模型认为，雇员打算辞职继而从组织中真正流出，主要取决于四个因素:（1)工作满意与否。

企业雇员对其工作的满足感既是一个绝对概念又是一个相对概念。

前者是指一个工作由于符合某个员工的价值观，而给他的带来的满足程度。

如，一个热爱书籍、但不善交际的雇员可能对资料管理员的工作比较满意，而对公关部经理的工作却十分恐惧和厌恶;后者是指雇员在综合评价各种工作带给他的满足程度之后，所得到的感觉。

（2)对在组织内部改变工作角色及收益的预期。

雇员在对现有的工作感到绝对不满，或觉得其它企业具备更合适的工作而感到相对不满时，仍然有可能会从原有企业流失。

因为他会考虑自己将来在本企业的发展，是否还有比外界更大的空间，或者说是否会更加满足。

如果是，而且实现内部流动或晋升的机会比较大，那么他就不会从原企业流失。

而相反，如果一个雇员对现有的工作感到满意，但对企业内部未来的预期却不甚理想，则他也会积极在外界寻找新的机会,或者在本企业暂时停留，消极怠工，形成雇员的隐性流失。

（3)对在组织外部改变工作角色及收益的预期。

三垂直模型与全等综合

D P FE BCA K 模型图与齐等之阳早格格创做知识面基原图形原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ．22．边少为1的正圆形ABCD 中，E 是AB 中面，连CE ，过B 做BF ⊥CE 接AC 于F ，供AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC上的中面，连AF ，做CD ⊥AF 于E ，接AB 于D ；连FD.供证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中面,E 是BC 上任一面,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂脚, 供证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中面，正在AB 上与同于D的面C ，分别以AC 、BC 为斜边正在AB 共侧做等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，供证：△DEF 为等腰直角三角形.【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 背中做等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；对接DE.AF是△ABC的中线，FA的延少线接DE于面H，供证：DE＝2AF【例6】如图，正在正圆形ABCD中，面N是BC边上的面.对接AN，MN⊥AN接∠DCB的中角仄分线于面M.供证：AN＝MN9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴.⑴若面C 的坐标是（—2，—4），供D 面的坐标.（4分） ⑵连结CD ，面E 为CD 的中面，供证：AE ⊥BE ；（4分） ⑶如图，面P 是y 轴正半轴是一面，OP=AB ，当面A 、B 正在x 轴上疏通时，∠APB+∠CPD 的值是可爆收变更？若并证明缘由.（4分）“K”为过二顶面做该直线垂线. 例：已知等腰RT △ABC 中，过面A △ABE ≌△CAF衍死：仄里直角坐标系中A （1,3），以OA 为边做正圆形OABC ，供B 、C 坐标.变式：仄里直角坐标系中，面A （4,1），过面O 做一条直线与OA 夹角为45°，供该直线剖析式.衍伸：仄里直角坐标系中直线3:2OA l y x =与单直线k y x=接于面A ，以OA 为边做等腰RT △OAB ，面B 刚刚佳降正在单直线上.供k.原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ． ABC 的直角顶面C 正在x 轴上，面B 正在y 轴上.（1）如图1，若面C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），供面B 的坐标.（2）如图2，直角边BC 正在坐标轴上疏通，使面A 正在第四象限内，过面A 做AD ⊥y 轴于D ，供CO AD BO -的值. 八年级数教每日一题（041-045）P —041如图，如图，正在仄里直角坐标系中，面A 战面B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 谦脚330a b -+=.（1）供面A 、面B 的坐标；（2）面C 是第三象限内一面，以BC 为直角边做等腰直角D yx A O C B O C B A△BCD，∠BCD=90º，过面A战面D分别做直线CO的垂线，垂脚分别是面E、F.试问线段AE、DF、CO之间是可存留某种决定的数量闭系？为什么？P—042 如图，正在仄里直角坐标系中，面A、面C分别正在y轴的正半轴战背半轴上，面B正在x轴正半轴上，∠ABC=90º.面E正在BC延少线上，过面E做ED∥AB，接y轴于面D，接x轴于面F，DO–AO=2CO.（1）供证：AB=DE；（2）若AB=2BC，供证：EF=EC；（3）正在（2）的条件下，若面B的坐标是（2，0），供面E 的坐标.9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.10如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．。

三垂直模型精编版

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一线三等角模型一 .一线三等角观点“一线三等角” 是一个常有的相像模型，指的是有三个等角的极点在同一条直线上组成的相像图形，这个角能够是直角，也能够是锐角或钝角。

不一样地域对此有不一样的称号，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二 .一线三等角的分类全等篇CD CA P BA P锐角直角D DA AB PBC C相像篇CDCA PB A P锐角直角DDDDCBA PB 同侧钝角DAPP BC异侧D DCBA PB 同侧钝角DAPB AB C CABPCP异侧三、“一线三等角”的性质1.一般状况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC∽△ BDE.2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图 3-1 ，若 CE=ED，则△ AEC≌△ BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2 ，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE.4. “中点型一线三等角“的变式(认识)如图 3-3 ，当∠ 1=∠2 且BOC 90 1BAC 时，点O是△ABC的心里.能够考虑构2造“一线三等角”.如图 3- 4“中点型一线三等角”往常与三角形的心里或旁心有关，BOC 90 1BAC 这是心里的性质，反之未必是心里.在图 3-42BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . （右图）中，假如延伸5.“一线三等角”的各样变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延伸 DC 反而好理解 . 相当于双侧型的，不延伸理解，认为是一种新式的，同侧穿越型？不论怎么变，都是由三等角确立相像三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种状况 .a.图形中已经存在“一线三等角”，直策应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”结构模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”结构模型解题.领会：感觉最后一种状况出现比许多，特别是压轴题中，常常会有一个特别角或指导该角的三角函数值时，我常常结构“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，结构一线三等角是基本手段，特别是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也能够是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上结构一线三等角解决问题更是重要的手段 .3.结构一线三等角的步骤：找角、定线、构相像坐标系中，要讲究“线”的特别性如图 3-6 ，线上有一特别角，就考虑结构同侧型一线三等角自然只加这两条线往常是不够的，为了利用这个特别角导线段的关系，过 C 、D两点作直线 l 的垂线是必不行少的。

5第五章三垂直全等模型

CD E BA图21图4图B A E C D 图3C D E BA C D EB AEDC B A 第五章三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE 。

模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。

图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。

模型实例例1．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE 。

求证：AB+CD=BC 。

例2．如图，∠ACB-90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点D ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm 。

求DE 的长。

A B C O x y (-1,0)(0,3)图21图(0,3)(-2,0)y x OC B A A B CDE F cb aAB C D E 例3．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。

热搜精练1．如图，正方形ABCD ，BE=CF 。

求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF 。

2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是。

P A BC EFE D C BA3．已知，△ABC 中，∠BAC-90°，AB=AC ，点P 为BC 上一动点（B P<CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于点E 、CF ⊥AP 于点F 。

（1）求证：EF=CF-BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。

4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D 为旋转中心，将腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE 。

三垂直模型证明过程

三垂直模型证明过程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠那个超有趣的三垂直模型的证明过程，就像探索一个神秘的宝藏一样好玩。

你看啊，这三垂直模型就像是三个并肩作战的超级英雄。

首先，我们有三个角都是直角，这直角啊，就像是房子的墙角一样，方方正正，稳稳当当，一点儿也不歪。

那这三个直角的存在就像是给整个模型打了一个坚实的地基。

想象一下，我们有两条直角边就像两个小火车轨道，平行又笔直。

其中一条轨道上的一个点出发了一个线段，这个线段就像一个调皮的小猴子，蹦跶着去和另一条轨道上的某个点连线。

然后呢，我们要开始证明一些三角形全等啦。

这就好比是要找出这几个超级英雄之间隐藏的亲属关系一样。

我们通过角边角或者角角边这些规则来判断。

比如说，那几个直角肯定是相等的呀，这就像大家都知道太阳是圆的一样明显。

然后呢，还有那些锐角，就像是小饼干的碎角一样，通过一些巧妙的角度关系，发现它们也是相等的。

在这个证明过程中，那些线段的长度关系就像是一群小蚂蚁排着队，规规矩矩的。

一条线段和另一条线段相等，就像两个双胞胎小蚂蚁，长得一模一样。

我们利用已知条件的时候，就像是从一个装满魔法道具的口袋里掏出宝贝一样。

已知的角度、线段长度都是我们的宝贝，能帮助我们一步步解开这个三垂直模型的秘密。

当我们终于证明出三角形全等的时候，就像是找到了打开宝藏大门的钥匙。

那种感觉，就像是在黑暗的山洞里突然看到了闪闪发光的金子一样兴奋。

而且啊，这个三垂直模型证明出来之后，就像是掌握了一种魔法咒语，可以在好多几何问题里大显身手。

它就像一把万能钥匙，能打开许多看似复杂无比的几何迷宫的大门。

总之呢，三垂直模型的证明过程虽然有点小复杂，但就像一场有趣的冒险。

我们在这个充满直角、线段和三角形的世界里穿梭，像探险家一样不断发现惊喜，最后成功证明的时候，就像英雄凯旋而归，超有成就感的呢！。

三垂直模型与全等综合之欧阳学文创编

D P FE BCA K 模型图与全等欧阳歌谷（2021.02.01）知识点基本图形本题8分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ；连FD.求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足,求证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。

AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。

连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y 轴正半轴于点B（0，b），且a 、b满足4a+ |4－b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。

立体几何垂直证明之欧阳语创编

欧阳语创编类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线②菱形（正方形）的对角线互相垂直③勾股定理中的三角形④ 直角梯形例：在正方体1111ABCD A B C D 中，O 为底面ABCD 的时间：2021.03.01 创作：欧阳语授课教师：吴福炬欧阳语创编中心，E 为1CC 中点,求证：(1) 1A O OE ⊥(2)1A O BDE ⊥平面（2）异面垂直（利用线面垂直来证明）例1 在正四面体ABCD 中，求证：AC BD ⊥变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，欧阳语创编已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A .求证:'A D EF ⊥； BE 'A DF G欧阳语创编变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形， ∠PAC =∠PBC =90º证明：AB ⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明方法○1利用线面垂直的判断定理例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90°.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .欧阳语创编 P CB AD E求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；变式3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =6BC =E例:如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，2AD DE AB==，F为CD的中点.(1) 求证：//AF平面BCE；(2) 求证：平面BCE⊥平面CDE；例2 如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，60AB AD AC CD ABC⊥⊥∠=，，°，PA AB BC==，AB CDPE欧阳语创编E是PC的中点．（1）证明CD AE⊥；（2）证明PD⊥平面ABE；变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，ABC，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，∠60=︒且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；类型三：平面与平面垂直证明1.AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，欧阳语创编M是圆周上任意一点，AN⊥PM，点N为垂足，求证：平面PAM⊥平面PBM2．如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线ＡＣ的中点。

立体几何中垂直的证明之欧阳理创编

与直线'AA垂直的平面有.4.在正方体''''ABCD A B C D-中，求直线'A B和平面''''A B C D所成的角.题型一、线面垂直的判定与性质1、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC求证：AC PBD⊥平面2、已知，如图，四面体A-BCD中，,,AB CD AD BC H BCD⊥⊥为的垂心。

求证：AH BCD⊥平面3、如图，,,PA ABCD ABCD M N AB PC⊥平面，是矩形，点分别为的中点，求证：MN AB⊥4、如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE ＝1，F为CD中点．(1)求证：EF⊥面BCD；5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD-中，,AB AC PA ABCD⊥⊥平面，且PA AB=,点E是PD的中点。

⑴求证：AC PB⊥；⑵求证：PB AEC∥平面；ADCBPHBCDA6、如图，在四棱锥P －ABCD 中， PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE.题型二、面面垂直的判定与性质1、如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC 垂直平面PBC 。

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；3、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点1C，且1C ABD O AB在平面上的射影恰好在上。

11(2).BDC⊥⊥11（）求证：AD BC求证：面ADC面4、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M15、已知四面体ABCD中，CDBDACAB==,,平面⊥ABC平面BCD,E为棱BC的中点。

立体几何的解题技巧之欧阳体创编

立体几何大题的解题技巧——综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角： “六个距离”：1两点间距离221221221)()()(d z z yy x x -+-+-= 2点P 到线l 的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量）3两异面直线的距离d =（P 、Q 分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量） 4点P到平面的距离d =（Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】 “三个角度”：1异面直线角【0，2π】cos θ=2121v v v v 【辨】直线倾斜角范围【0，π）2线面角【0，2π】sin θ=nv vn n v =,cos 或者解三角形3二面角【0，π】cos 2121n n n n ±=θ 或者找垂直线，解三角形不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

七年级三角形四大模型之欧阳体创编

2016年01月07日liwei的初中数学组卷一．选择题（共5小题）1．（2015春•扬中市校级期末）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不动，△AOB 绕着O点逆时针旋转α°（0°＜α＜180°）（1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC=；（2）若0°＜α＜90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值；（3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由；（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）．2．（2014•赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．3．（2013秋•微山县期中）如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°4．（2013春•连云区校级月考）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）A．120B．150C．240D．3605．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是（）A．67°B．84°C．88°D．110°二．填空题（共3小题）6．（2007•遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．7．（2013秋•和县期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A nBC的平分线与﹣1∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）∠A1=；（2）∠A2=；（3）∠A n=．8．（2013秋•綦江县校级期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于．三．解答题（共9小题）9．（2009春•江阴市校级月考）一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．10．（2014春•相城区月考）如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．11．（2015春•建湖县校级月考）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度40°60°90°120°数∠BIC的度数∠BDI的度数12．（2007•福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．13．（2013春•常熟市期末）已知△ABC中，∠A=60°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=°．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=°．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．14．（2013春•徐州期末）如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．15．（2008春•临川区校级期末）如图，BD、CD分别是∠ABC 和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．16．（2013春•工业园区期末）如图，已知AB∥DE，BF，EF 分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE=140°，求∠BFE的度数．17．（2013春•海陵区期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，①图2中共有个“8字形”；②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．2016年01月07日liwei的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2015春•扬中市校级期末）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不动，△AOB 绕着O点逆时针旋转α°（0°＜α＜180°）（1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC=120°；（2）若0°＜α＜90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值；（3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由；（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质．【分析】（1）∠BOD=60°，△AOB旋转了30°（2）若0°＜α＜90°，∠AOC=∠COD+∠AOD，∠BOD+∠AOC=（∠BOD+∠AOD）+∠COD=90°+90°=180°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值不变化（3）若90°＜α＜180°，∠BOD+∠AOC=360°﹣（∠COD+∠AOB）=180°【解答】解：（1）∵∠BOD=60°，△AOB绕着O点旋转了30°，即∠AOD=30°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=30°+90°=120°；（2）若0°＜α＜90°，∵∠AOD=α，∠AOC=∠COD+∠AOD，∴∠BOD+∠AOC=（∠BOD+∠AOD）+∠COD=90°+90°=180°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值不变化，∠BOD+∠AOC=180°；（3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立理由：若90°＜α＜180°，∵∠AOB=∠COD=90°；又∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠COD=360°∴∠BOD+∠AOC=360°﹣∠AOD﹣∠COD=360°﹣90°﹣90°=180°；（4）α=90°、60°、45°、105°、150°、135°时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直．【点评】本题考查了三角形旋转的性质，注意旋转角相等，旋转前后的图形不变．2．（2014•赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．【考点】平行线的性质．【专题】阅读型；分类讨论．【分析】（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；②根据图形猜想得出所求角度数即可；③猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．【解答】解：（1）①∠AED=70°；②∠AED=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，证明：延长AE交DC于点F，∵AB∥DC，∴∠EAB=∠EFD，∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；（2）根据题意得：点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．3．（2013秋•微山县期中）如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【分析】根据角平分线定义求得∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=50°，∴∠DBC=∠ABC=25°．又∠DBC=∠D，∴∠BCD=180°﹣25°×2=130°．故选C．【点评】此题综合运用了角平分线定义和三角形的内角和定理．4．（2013春•连云区校级月考）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）A．120B．150C．240D．360【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，求得边数，即可求解．【解答】解：360÷15=24，则一共走了24×10=240m．故选C．【点评】本题考查了正多边形的外角的计算，第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形是关键．5．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是（）A．67°B．84°C．88°D．110°【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=138°，再由∠B和∠C的三等分线可得∠DBC+∠DCB，即可求得∠BDC的度数．【解答】解：∵∠A=42°，∴∠ABC+∠ACB=180﹣42=138°，∴∠DBC+∠DCB=×138°=92°，∴∠BDC=180°﹣92°=88°．故选C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．二．填空题（共3小题）6．（2007•遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为26cm2．【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质．【专题】压轴题．【分析】根据平移的性质可知：AB=DE，BE=CF；由此可求出EH和CF的长．由于CH∥DF，可得出△ECH∽△EFD，根据相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长．已知了EH、EC，DE、EF的长，即可求出△ECH和△EFD的面积，进而可求出阴影部分的面积．【解答】解：由平移的性质知，DE=AB=8，CF=BE=4，∠DEC=∠B=90°∴EH=DE﹣DH=5cm∵HC∥DF∴△ECH∽△EFD∴===，又∵BE=CF，∴EC=，∴EF=EC+CF=，∴S阴影=S△EFD﹣S△ECH=DE•EF﹣EC•EH=26c m2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．7．（2013秋•和县期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A nBC的平分线与﹣1∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）∠A1=；（2）∠A2=；（3）∠A n=．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）与（1）同理求出∠A2；（3）根据求出的结果，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．【解答】（1）解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=θ，∴∠A1=，故答案为：；（2）同理可得∠A2=∠A1=，故答案为：；（3）同理可得∠A2=∠A1=×=，所以∠A n=故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．8．（2013秋•綦江县校级期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于2cm2．【考点】三角形的面积．【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解答】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，高相等；∴S△BEF=S△BEC，D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，S△EBC=S△ABC，∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=8cm2，∴S△BEF=2cm2，即阴影部分的面积为2cm2，故答案是：2cm2．【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．三．解答题（共9小题）9．（2009春•江阴市校级月考）一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．【考点】多边形内角与外角．【分析】先根据截去一个角后的图形是三角形、四边形或五边形画出图形，再根据三角形及多边形的内角和定理即可解答．【解答】解：锯掉一个角时可能出现以下几种情况，如答图因此剩下的图形可能是五边形、四边形、三角形，内角和可能为540°、360°、180°．外角和无变化，外角和为360°．【点评】此题比较简单，考查的是多边形的外角和及内角和定理，解答此题时要熟知：（1）任意多边形的外角和为360°；（2）多边形的内角和=（n﹣2）•180°．10．（2014春•相城区月考）如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．【考点】三角形内角和定理．【专题】几何图形问题．【分析】先根据∠A=65°，∠ACB=72°得出∠ABC的度数，再由∠ABD=30°得出∠CBD的度数，根据CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，根据∠BEC=180°﹣∠BCE﹣∠CBD即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=65°，∠ACB=72°∴∠ABC=43°∵∠ABD=30°∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=13°∵CE平分∠ACB∴∠BCE=∠ACB=36°∴在△BCE中，∠BEC=180°﹣13°﹣36°=131°．故答案为：131°【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．11．（2015春•建湖县校级月考）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．【专题】探究型．【分析】（1）通过画图、度量，即可完成表格；（2）先从上表中发现∠BIC=∠BDI，再分别证明∠BIC=90°+∠BAC，∠BDI=90°+∠BAC．【解答】解：（1）填写表格如下：∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数110°120° 135°150°∠BDI的度数110°120°135°150°（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．【点评】本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质以及垂线的性质，比较简单．12．（2007•福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．【考点】平行线的性质；角平分线的性质．【专题】动点型；探究型．【分析】（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．【解答】解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．【点评】此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路．13．（2013春•常熟市期末）已知△ABC中，∠A=60°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=120°．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=100°．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】规律型．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C．（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n 等分线的定义求得∠O nBC+∠O n﹣1CB，即可求出∠BO n﹣1C．﹣1（4）依据（3）的结论即可求出n的值．【解答】解：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=60°，∴∠BOC=120°；（2）∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=80°，∴∠BO2C=100°；（3）∵点O n是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，﹣1∴∠O n﹣1BC+∠O n﹣1CB=（∠ABC+∠ACB）=×120°，∴∠BO n﹣1C=180°﹣×120°=（1+）×60°；（4）由（3）得：（1+）×60°=90°，解得：n=4．【点评】此题练习角的等分线的性质以及三角形内角和定理．根据题意找出规律是解题的关键．14．（2013春•徐州期末）如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠PAC和∠PCA，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质，∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，∵PA、PC分别是∠DAC和∠ACE的角平分线，∴∠PAC=∠DAC=（∠B+∠ACB），∠PCA=∠ACE=（∠B+∠BAC），在△ACP中，∠P+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠P+（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=180°，∴2∠P+∠B+∠ACB+∠B+∠BAC=360°，在△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，∴2∠P+∠B=180°，∴∠P=90°﹣∠B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键，整体思想的利用也很关键．15．（2008春•临川区校级期末）如图，BD、CD分别是∠ABC 和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】探究型．【分析】先根据角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB与∠A的关系，再根据三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，∴∠BDC=90°+∠A．【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形内角和定理．三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．16．（2013春•工业园区期末）如图，已知AB∥DE，BF，EF 分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE=140°，求∠BFE的度数．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】过点C作CP∥AB，然后利用两直线平行，内错角相等得到∠ABC+∠CED=∠BCP+∠ECP=∠BCE=140°；同理过点F作FM∥DE，则∠BFM=∠ABF，∠MFE=∠DEF，结合角平分线的性质就可求出∠BFE的度数．【解答】解：如图，过点C作CP∥AB，则∠BCP=∠ABC，∠ECP=∠CED，∴∠ABC+∠CED=∠BCP+∠ECP=∠BCE=140°；又∵BF，EF分别平分∠ABC，∠CED，∴∠ABF=∠ABC，∠DEF=∠DEC；∴∠ABF+∠DEF=（∠ABC+∠DEC）=70°，过点F作FM∥DE，则∠BFM=∠ABF，∠MFE=∠DEF，∴∠BFE=∠BFM+∠MFE=∠ABF+∠DEF=70°．【点评】本题主要考查作辅助线构造三条互相平行的直线，然后利用平行线的性质和角的和差关系求解．17．（2013春•海陵区期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，①图2中共有6个“8字形”；②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AEB与∠DEC，再根据对顶角相等可得∠AEB=∠DEC，然后整理即可得解；（2）①根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；②根据（1）的关系式求出∠DCO﹣∠BAO=42°，再根据角平分线的定义求出∠DAM﹣∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；③根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCD﹣∠OAB，再用∠B、∠P表示出∠BAM﹣∠PCM，然后根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠PCM=（∠OCD﹣∠OAB），然后整理即可得证．【解答】解：（1）在△AEB中，∠AEB=180°﹣∠A﹣∠B，在△DEC中，∠DEC=180°﹣∠D﹣∠C，∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），∴180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠D﹣∠C，∴∠A+∠B=∠D+∠C；（2）①交点有点M、N各有1个，交点O有4个，所以，“8字形”图形共有6个；故答案为：6；②∵∠ABC=80°，∠ADC=38°，∴∠OAB+80°=∠DOC+38°，∴∠DCO﹣∠BAO=42°，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=∠DAB，∠PCM=∠OCD，又∵∠DAM+∠P=∠PCD+∠ADC，∴∠P=∠PCD+∠ADC﹣∠DAM=（∠DCO﹣∠BAO）+∠ADC=×42°+38°=59°；③根据“8字形”数量关系，∠OAB+∠B=∠OCD+∠D，∠BAM+∠B=∠PCM+∠P，所以，∠OCD﹣∠OAB=∠B﹣∠D，∠PCM﹣∠BAM=∠B﹣∠P，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠BAM=∠OAB，∠PCM=∠OCD，∴（∠B﹣∠D）=∠B﹣∠P，整理得，2∠P=∠B+∠D．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．时间：2021.02.03 创作：欧阳体。

三角形全等证明题(含答案)之欧阳术创编

如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例 1. 已知：如图1所示，∆ABC中，90，，，。

C AC BC AD DB AE CF∠=︒===求证：DE＝DF分析：由∆ABC是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CD AD=，∠=︒DCF45。

从而不难发现∆∆≅DCF DAE证明：连结CD说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

全等三角形压轴题及分类解析之欧阳体创编

B A OC E 图8 七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ①求证：AN=BM ②求∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

（湘潭·中考题）同类变式：如图a ，△ABC 和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； C B O D 图7 A E A BC M N O P Q(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：CD BE =，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转图9 图10 图11180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE 的面积为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，．（1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．C FG E DB AH求证：（1）AE ＝CD ；（2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．2. （西安中考）如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。