高考数学第二轮复习精品资料压轴题
2024年高考数学 二轮复习第49讲 洛必达法则解高考导数压轴题
第49讲 洛必达法则解高考导数压轴题确界如果分离参数后相应的函数不存在最值,为了能够利用分离参数思想【解析】决含参不等式恒成立的问题,我们利用如下的函数确界的概念:函数()()y f x x D =∈的上确界为(){}min ,Mf x M x D ∈∣,记作.M 上函数()()y f x x D =∈的下确界为()max{Mf x ∣,}M x D ∈,记作M 下.于是,有如下结论:(1)若()f x 无最大值,而有上确界,这时要使()()f x g a <恒成立,只需()M g a 上. (2)若()f x 无最小值,而有下确界,M 下,这时要使()()f x g a >恒成立,只需()M g a 下. 确界通俗地说就是,知道函数不会超过某个值(这个值其实就是确界),但就是在定义域内取不到这个值,举个【例】子:在()()1,21x f x x a ∈=+>恒成立,求a 的取值范围.x 取不到1,但()f x 为单调递增,()()12f x f ∴>=,即2就是()f x 的下确界,于是我们可以得到2a .可以简单地理解为确界就是函数取不到的最值,需要用极限来逼近,下面举例子来说明.【例1】 设函数()21x f x e x ax =−−−,0x 时,()0f x ,求a 的取值范围. 分析:由()0f x 对所有的0x 成立,可得 (1)当0x =时,a R ∈.(2)当0x >时,21x e x a x −−.设()21x e x g x x −−=,把问题转化为求()g x 的最小值或下确界. ()()2222422,22,x x x x x e xe x xg x h x x e xe x x x'−++==−++令 则()2e 2e 22,0x x h x x x x '=−++>.又()h x 的二阶导数()22x x h x xe x e =+−''()22x e h x +的三阶导数()()240x h x e x x '+'=>',()h x ∴''是增函数.()()00h x h ''''∴>=.()h x ∴'增函数.()()00h x h ''∴>=.()h x ∴是增函数.()()00h x h ∴>=,从而()0g x '>,于是()g x 在()0,+∞上单调递增,故()g x 无最小值. 此时,由于()0g 无意义,分析可知()g x 是有下确界的,运用极限表述为:()g x >()0lim x g x +→,关键是这个极限值或者说确界如何求出呢?这就是本章的重点:洛必达法则.由洛必达法则即可得()0lim x g x +→=2000111lim lim lim 222x x x x x x e x e e x x +++→→→−−−===. 故0x >时,()12g x >,因而12a ,综上知a 的取值范围为1,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦.那什么是洛必达法则呢?洛必达法则(一)型不定式 定理1 设函数()(),f x F x 满足下列条件: (1)()()0lim 0,lim 0x x x x f x F x →→==.(2)()f x 与()F x 在0x 的某一去心邻域内可导,且()0F x '≠. (3)()()limx x f x F x →''存在(或为无穷大),则()()()()00lim limx x x x f x f x F x F x →→''=. 【例1】计算极限01lim x x e x →−.【解析】 该极限属于00型不定式,于是由洛必达法则得001limlim 1.1x xx x e e x→→−== (二)∞∞型不定式定理2设函数()(),f x F x 满足下列条件： (1)()()0lim ,lim x x x x f x F x →→=∞=∞.(2)()f x 与()F x 在0x 的某一去心邻域内可导,且()0F x '≠. (3)()()limx x f x F x →''存在(或为无穷大), 则()()()()00limlimx x x x f x f x F x F x →→''=. 【例2】 计算极限lim nx x x e→+∞【解析】 所求问题是∞∞型不定式,连续n 次实行洛必达法则,有()211!lim lim lim lim0n n n x x xxx x x x n n x x nx n e e e e −−→+∞→+∞→+∞→+∞−=====.使用洛必达法则时必须注意以下几点:(1)洛必达法则只能适用于00型和∞∞型的不定式,其他的不定式须先化简变形成00型或∞∞型才能运用该法则.对于∞−∞型与0⋅∞型的未定式,可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式.对于00型,1∞型与0∞型的未定式,可通过取对数等手段化为00型或∞∞型未定式. (2)只要条件具备,就可以连续应用洛必达法则.(3)洛必达法则的条件是充分的,但不必要,因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在.洛必达法则求参数取值范围洛必达法则求参数取值范围的一般步骤和前面参变分离的解题步骤一致,只不过是最后无法直接求解最值,只能用洛必达法则求解确界.【例1】已知函数()()21x f x x e ax =−−,当0x 时,()0f x ,求a 的取值范围. 【解析】 证明 第一步:分类讨论,参变分离.当0x 时,()0f x ,即()21x x e ax −.①当0x =时,a R ∈.②当0x >时,()21xx e ax −等价于1xe ax −,即1x e a x−.第二步:构造函数,求导,并把分子提出,再次构造函数,求导并研究出原函数单调性.记()()1,0,x e g x x x −=∈+∞,则()g x '=()211x x e x −+.记()()()11,0,x h x x e x =−+∈+∞, 则()e 0x h x x =>',因此()()11x h x x e =−+在()0,+∞上单调递增,且()()00h x h >=,()()20h x g x x ='∴>，()e 1x g x x−=从而在()0,+∞上单调递增.第三步:利用洛必达法则求出函数下确界.()0001lim limlim 1,1x xx x x e e g x x→→→−=== 即当0x →时,()1g x →.()1g x ∴>,即有1a . 综上所述,当1,0a x 时,()0f x 成立.【例2】 设函数()1x f x e −=−,设当0x 时,()1xf x ax +,求a 的取值范围. 【解析】 证明 第一步:必要性讨论,缩小参数范围. 由题设0x ,此时()0f x .①当0a <.时,若1x a>−,则01x ax <+,()1x f x ax +不成立. ②当0a 时,当0x 时,()1x f x ax +,即.1111xx x x e e ax ax −−−−++. 若0x =,则a R ∈.第二步:不等式等价变化并参变分离. 若0x >,则11xx eax −−+等价于111xe x ax −−+,即1x x xxe e a xe x −+−. 第三步:构造函数,并因式分解,把部分因式提出,单独构造函数,并多次求导,结合特殊值最终确定原函数的单调性.记e e 1()e x x x x g x x x −+=−,则()g x '=()()(22222e e 2e 1e e 2e e x x x xx x x x x x x x x −−+=−−+−−)e x − 记2()e 2e x x h x x −=−−+,则()h x '=e 2e ,()e e 20x x x xx h x −−−−''=+−>.因此,()e 2exxh x x −'=−−在(0,)+∞上单调递增,且(0)0,()0h h x '=∴'>,即()h x 在(0,)+∞上单调递增,且(0)0,()0h h x =∴>.因此()2e ()()0exxg x h x x x'=⨯>−,∴()g x 在(0,)+∞上单调递增.第四步:利用洛必达法则求出函数下确界.00e e 1lim ()lim e x x x x x x g x x x →→−+==−00e e e 1lim lim e e 12e e 2x x x x x x x x x x x x x →→+==+−+,即当0x →时,1()2g x →,即有1()2g x >, 1. 2a∴综上所述,a 的取值范围是1,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦. 【例3】若不等式3sin x x ax >−对于x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立,求a 的取值范围。
2020届高考数学二轮复习压轴题八课件文54
1 a98a100
＋
1 a99a101
＝
2×
1 2
×13－51＋15－17＋…＋919－1101＋1×1 3＝13－1101＋13＝139093.
20．设函数 f(x)＝ln x－2mx2－n(m，n∈R)． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有最大值－ln 2，求 m＋n 的最小Байду номын сангаас．
∵函数 f(x＋2)是偶函数，∴函数 f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴函数关于 x＝2 对称，又∵81f(x)＜e3，即 f(x)＜f(3)，又 f(x)在[2，＋∞)上为增函数，∴2≤x ＜3，由函数关于 x＝2 对称可得 1＜x＜3，故选 A.
16．(2019·沈阳第三次质量监测)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an＋1＝2(n ＋1)(n∈N*)，则 a2020－a2018＝________，a11a3＋a21a4＋a31a5＋a981a100＋a991a101＝ ________.
答案 A
解析 设 h(x)＝x3f(x)，则 h′(x)＝x3f′(x)＋3x2f(x)＝exx，∴x3f′(x)＝exx－ 3x2f(x)，
化简得 f′(x)＝xe4x－3fxx＝ex－x34hx， 设 g(x)＝ex－3h(x)，∴g′(x)＝ex－3xex＝exxx－3， ∴x∈[2,3)时，g′(x)＜0，因此 g(x)为减函数， ∴x∈(3，＋∞)时，g′(x)＞0，因此 g(x)为增函数， ∴g(x)≥g(3)＝e3－3h(3)＝e3－34f(3)＝0， ∴f′(x)≥0，∴f(x)在[2，＋∞)上为增函数．
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1x－4mx＝1－4xmx2，
压轴25 直线的方程 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴25 直线的方程一、单选题1. 若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P (1,1)平分，则AB 所在直线的方程为A. 9x +4y −13=0B. 4x +9y −13=0C. x +2y −3=0D. x +3y −3=0 【答案】B【解析】解：设过点A(1,1)的直线与椭圆相交于两点，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，由中点坐标公式可知：{x 1+x 22=1y 1+y22=1， 则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)9+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，∴y 1−y2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的方程为：y −1=−49(x −1)，整理得：4x +9y −13=0， 故选B ．2. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F(−c,0)，上顶点为A ，离心率为√32，直线FA 与抛物线E:y 2=4cx 交于M ，N 两点，则|MA|+|NA|=A. 2√3aB. 5aC. 4√3aD. 10a【答案】D 【解析】解：如图，离心率为√32，即c a =√32，解得a =2b ，c =√3b ，由F(−c,0)，A(0,b)，则k AF =bc =√33，∴直线FA 的方程y =√33x +b ，又y2=4cx，即y2=4√3bx与y=√33x+b联立消去y得，x2−10√3bx+3b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，∴x1+x2=10√3b，则|MA|+|NA|=(√33)1+x2)=√310√3b=20b=10a．故选D．3.下列四个命题：①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示；②经过任意两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2−x1)(x−x1)=(y2−y1)(y−y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示；④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：经过定点P0(x0,y0)，且斜率存在的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示，①故为假命题；把直线的两点式方程变形，即(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)，故②为假命题；不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程xa +yb=1表示，故③为假命题；经过定点A(0,b)，且斜率存在的直线都可以用方程y=kx+b表示，故④为假命题；故选A．4.已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为P，若点Q为直线l3:x−y+3=0上的一个动点，则|PQ|的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：易知直线l1:mx−y+m=0过定点A(−1,0)，直线l2:x+my−1=0过定点B(1,0)，当m=0时l1⊥l2，当m≠0时，l1与l2斜率乘积为m·(−1m)=−1，所以l1⊥l2，所以点P 在以AB 为直径的圆上，圆的方程为x 2+y 2=1， 圆心(0,0)到直线x −y +3=0的距离为√2=3√22， 所以|PQ|的最小值为圆心到直线x −y +3=0的距离减去半径，即32√2−1， 故选B ．5. 如已知点A(−1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y =kx +b(k >0)将三角形ABC 分割成面积相等的两个部分，则b 的取值范围是A. (1−√22,12) B. (1−√22,12] C. [13,12)D. (0,12]【答案】A【解析】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为12⋅AB ⋅OC =1， 由于直线y =kx +b(k >0)与x 轴的交点为M(−b k ,0)，由直线y =kx +b(k >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b >0， 故−bk <0，故点M 在射线OA 上．设直线y =kx +b 和BC 的交点为N ，则由{y =kx +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b k+1,k+bk+1)．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N (12,12)， 把A 、N 两点的坐标代入直线y =kx +b ，求得k =b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b >13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+bk )·k+bk+1=12，可得k =b 21−2b >0，求得b <12 ， 故有13<b <12．③若点M 在点A 的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−bk <−1，求得b >k ． 设直线y =kx +b 和AC 的交点为P ，则由{y =kx +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b k−1,k−b k−1)，此时，由题意可得，△CPN 的面积等于12，即12⋅(1−b)⋅|x N −x P |=12， 即12(1−b )·|1−bk+1−1−bk−1|=12，化简可得2(1−b)2=|k 2−1|． 由于此时b >k >0，0<k <1，∴2(1−b)2=|k 2−1|=1−k 2 ．两边开方可得√2(1−b )=√1−k 2<1，∴1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是(1−√22,12) ，故选A ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)向圆C:(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点A. (−12,1)B. (−1,32)C. (−12,32)D. (−1,12)【答案】B【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)，向圆C ：(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，则切线长为√PC 2−r 2=√42+(m −1)2−(m 2+5)=√12−2m ，∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为(x −1)2+(y −4)2=12−2m ， ∴直线AB 的方程为[(x −m)2+y 2]−[(x −1)2+(y −4)2]=(m 2+5)−(12−2m)， 整理得：(x +4y −5)−m(1+x)=0． 令{x +4y −5=0x +1=0，解得{x =−1,y =32． 所以直线AB 过定点(−1,32)． 故答案为(−1,32)． 故选B ．7. 已知直线2x +y +2+λ(2−y)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(0,+∞)时，S(λ)的最小值是A. 12B. 10C. 8D. 4【答案】C【解析】解：如图，由直线2x +y +2+λ(2−y)=0，分别可得与坐标轴的交点(−1−λ,0)，(0,2+2λλ−1)，λ∈(0,+∞)，则S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选C ．8. 已知直线(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0恒过定点P ，则与圆C:(x −2)2+(y +3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为A. (x −2)2+(y +3)2=36B. (x −2)2+(y +3)2=25C. (x −2)2+(y +3)2=18D.(x −2)2+(y +3)2=9【答案】B【解析】解：因为(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0，所以λ(2x +3y −1)+3x −2y +5=0， {2x +3y −1=03x −2y +5=0，解得{x =−1y =1，即P(−1,1)，C:(x −2)2+(y +3)2=16的圆心为(2,−3)， 则所求圆的半径为√(2+1)2+(1+3)2=5， 故所求圆的方程为，故选B ．9. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)，直y =kx +m (k >0)将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是A. (0,1)B. (13,12]C. (13,4−√102] D.【答案】D【解析】解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)， 如图，四边形的面积为12×(4+2)×1=3，①若直线在第一象限与CD 相交，设交点为F ， 则直线必与OA 交于一点，设为E ， 连接BF ，DE ，要使直线平分梯形， 只须CF +BE =DF +AE =3，设BE =t ，则E 点坐标为(2−t,0)，F 点坐标为(t −2,1)，EF 关于(0,12)对称，此时m=12②若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y=2．此时直线与AB相交，或者与AD相交，(1)若与AB相交，设交点为E点坐标为(t,0)，则BE=2−t，∴三角形BEF在BE边上的高为32−t ≤1，F点横坐标为(2−32−t,32−t)，其中−2≤t≤−1，经计算，m=3(−t−1t)+4(−2≤t≤−1)，当t=−1时，m有最大值12，t=−2时，m有最小值613，(2)若两交点分别在AD和BC上，如图，此时，过A点时，m最大，为617，当斜率k→0时，有最小值(取不到)4−√102，综上，m∈(4−√102,1 2 ]故选D．二、填空题10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为______．【答案】3√2【解析】解：因为点A(−4,0)，B(0,4)， 所以直线AB 的方程为x −y +4=0． 设P (x 0,y 0)，因为P 是直线AB 上一点，所以y 0=x 0+4.①又因为以AP 为直线的圆的方程为：x (x −x 0)+y (y −y 0)=0， 即x 2+y 2−xx 0−yy 0=0．由{x 2+y 2=4x 2+y 2−xx 0−yy 0=0两式相减得xx 0+yy 0=4，② 即直线CD 的方程为xx 0+yy 0=4．又因为线段CD 的中点为M ，所以直线OM 的方程为：xy 0−yx 0=0.③ 联立①②③消去x 0，y 0得点M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12．又因为 A(−4,0)，所以|AM |max =√(−4+12)2+(12)2+√22=3√2．故答案为3√2．11. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=72，且2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)，直线√S n+1x +√S n y =1与两坐标轴围成的三角形的面积为T n ，则T 1+T 2+T 3+...+T 2159的值为__________． 【答案】21592160【解析】解：由2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)可得， √S n+2−√S n+1=√S n+1−√S n ，则{√S n }为等差数列， 又 S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，∵√S n 为等差数列，∴a 1=d2，又a 4=72，a 4=a 1+3d ， 则a 4=a 1+3d =d2+3d =72d =72， 故d =1，S n =n 22，√S n =√n 22,√S n ⋅S n+1=√n 22⋅(n+1)22=n⋅(n+1)2，因直线√S n+1x +√S n y =1， 当x =0时，y =S ， 当y =0时，x =S ，T n=2S√S =12⋅1n⋅(n+1)2=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，T1+T2+T3+⋯+T2159=1−12+12−13+13−14+⋯+12159−12160=1−12160=21592160．12.若动点P在直线a：x−2y−2=0上，动点Q在直线b：x−2y−6=0上，记线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，则x02+y02的取值范围为________．【答案】[165,16]【解析】解：由题意知，直线a：x−2y−2=0与直线b：x−2y−6=0平行，因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上，设该直线为l，则直线l的方程为x−2y−4=0．因为线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，所以点M(x0,y0)在圆(x−2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上，设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．联立直线l与圆的方程，得{x−2y−4=0,(x−2)2+(y+1)2=5,解得A(4,0)，B(0,−2)．因为x02+y02=|OM|2，x02+y02表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x02+y02的最小值为(()22=165，当M与A重合时，x02+y02取得最大值，且最大值为42+02=16，即x02+y02的最大值为16，所以x02+y02的取值范围是[165,16]．13.已知直线l：恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为______．【答案】4√5【解析】解：直线l：，即为，可得时，，即直线l恒过定点，取BC的中点M，连接AM，OM，OB，圆O：的半径，设，则，由，可得， 由，可得，设，则，再由cosα⩽1，即，，解得5⩽a 2⩽20，即√5⩽a ⩽2√5，可得a 的最大值为2√5，此时A ，M ，O 三点共线， 则弦长BC 的最大值为4√5， 故答案为：4√5．三、解答题14. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.求证：直线l 经过定点． 【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则{c =11b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 1,x 2)， 由{x 22+y 2=1y =kx +t, 消去y 得：(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0，由韦达定理得： x 1+x 2=−4kt2k 2+1，x 1x 2=2t 2−22k 2+1，……① ∵A(0,1)，P(x 1,y 1)， ∴直线AP 的方程为：y =y 1−1x 1x +1，∴M(−x 1y 1−1,0)，同理：N(−x 2y 2−1,0)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴x 1x 2y 1−1y 2−1=1，化简得x 1x 2−y 1y 2+(y 1+y 2)−1=0，∴(1−k 2)x 1x 2+(k −kt )(x 1+x 2)−t 2+2t −1=0， 将①代入并化简有：t 2+2t −3=0， ∴t =−3或t =1(舍)，∴直线l 的方程为：y =kx −3，经过定点(0,−3)．15. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP|=1，记动点C 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过G(2,0)的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG =6S △SHN ，求直线MN 的方程． 【答案】解：(1)由题意可知，|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |=2|CP |+|AB |=4>|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 设曲线E 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,y ≠0)，则c =1，2a =4， ∴a =2，b 2=a 2−c 2=3， 即曲线E 的方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；(2)∵HA ⊥x 轴，∴H (−1,32)，设S(0,y 0)，则−y 0−2=−323，∴y 0=1，即S(0,1)． ∵a =2c ，∴|SG |=2|SH |，∴S △SMGS △SHN=12|SM ||SG |sin∠MSG 12|SN ||SH |sin∠NSH =2|SM ||SN |=6，∴|SM ||SN |=3，即SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3SN⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)，SN⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)，∴x1=−3x2．①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0，此时|SM||SN|=√3+1√3−1=2+√3，不符合条件；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+1．联立{y=kx+1x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x2+8kx−8=0，∴{x1+x2=−8k3+4k2x1x2=−83+4k2，将x1=−3x2代入得：{−2x2=−8k3+4k2−3x22=−83+4k2,∴3(4k3+4k2)2=83+4k2，解得：k=±√62，故直线MN的方程为y=√62x+1或y=−√62x+1．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行．(1)求直线l的斜率；(2)已知圆C：x2+y2−4x=0与直线l相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；(3)在(2)的圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行，∴直线l的斜率k=k AB=2−01−(−1)=1．(2)∵圆C：x2+y2−4x=0，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，圆心C(2,0)，半径为2，由(1)知直线l的斜率k=1，设直线l的方程为x−y−m=0，则圆心C到直线l的距离d=√2=√2，∵MN=AB=√22+22=2√2，而CM2=d2+(MN2)2，∴4=(2+m)22+2，解得m=0或m=−4，故直线l的方程为x−y=0或x−y+4=0．(3)假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，整理，得x2+y2−2y−3=0，即x2+(y−1)2=4，∵|2−2| <√(2−0)2+(0−1)2<2+2，∴圆(x −2)2+y 2=4与圆x 2+(y −1)2=4相交，∴点P 的个数为2．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2,4)，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．(1)若直线l 与y 轴交于D ，且DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16，求直线l 的方程； (2)设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1+k 2的值；(3)设AB 的中点为M ，点N(43,0)，若MN =√133OM ，求△QAB 的面积． 【答案】解：(1)若直线l 垂直于x 轴，则其方程为x =2，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为：y −4=k(x −2)，即：kx −y −2k +4=0， 则圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以d =√k 2+1<2，解得k >34． 又D(0,−2k +4)，Q(2,0)，所以DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k −4)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k)， 所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2k(2k −4)=16， 解得k =3或k =−1(舍去)，所以直线l 的方程为：y =3x −2；(2)由题意可知，联立{y −4=k(x −2),x 2+y 2=4,, 得(1+k 2)x 2−4k(k −2)x +(2k −4)2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4k(k−2)1+k 2,x 1·x 2=(2k−4)2−41+k 2,,所以k 1+k 2=y 1x 1−2+y2x 2−2 =k(x 1−2)+4x 1−2+k(x 2−2)+4x 2−2=2k +4x 1−2+4x 2−2 =2k +4(x 1+x 2−4)x 1x 2−2×(x 1+x 2)+4=2k +4×[4k(k −2)1+k 2−4](2k −4)2−41+k 2−2×4k(k −2)1+k 2+4 =2k −4×(8k +4)16 =2k −2k −1=−1．即k 1+k 2的值是−1；(3)设中点M(x 0,y 0)，则由(2)知{x 0=x 1+x 22=2k(k−2)1+k 2,y 0=k(x 0−2)+4=−2(k−2)1+k 2,(∗) 又由MN =√133OM ，得(x 0−43)2+y 02=139(x 02+y 02)， 化简得：x 02+y 02+6x 0−4=0， 将(∗)代入上式并解得：k =3． 因为圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1=10， 所以AB =2√4−d 2=65√10，Q 到直线l 的距离：ℎ=25√10， 所以S △ABQ =12AB ·ℎ=125，即△QAB 的面积为125．。
12洛必达法则巧解高考压轴题-解析版-2023届高考数学二轮复习
第12讲 洛必达法则巧解 高考压轴题知识与方法数压轴题第2问中，如果是不等式恒成立来求参数的取值范围问题，我们可以用洛必达法则来处理．先给大家介绍一下什么是洛必达法则： 法则1：若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）lim ()0x af x →=及lim ()0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()()()lim lim x a x a f x f x l g x g x →→'=='．法则2：若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）lim ()x af x →=∞及lim ()x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()()()lim lim x a x a f x f x l g x g x →→'=='．了解了什么是洛必达法则，那么，什么情况下可以使用它去解 决问题呢？ 首先，先逐条诠释一下洛必达法则需要满足的条件．对于（1），这样给大家解 释，我们用洛必达法则处理的式子形式为00或∞∞的形式，也是唯一判定标准．对于（2），我们在高中阶段几乎不研究不可导函数，所以大家不用担心． 对于（3），高中阶段，当出现00或∞∞的时候，对分子分母分别求导，若值存在，则值不变，洛必达法则可以在一个式子中多次使用，直到可以求出定值为止．典型例题【例1】 设函数2()1xf x e x ax =---． （1）若a =0，求()f x 的单调区间；（2）若当x ≥0时，()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】 (1)0a =时,()e 1,()e 1x x f x x f x =--'=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加.(2)【解法1】 ()e 12x f x ax '=--,由(1)知e 1x x +,当且仅当0x =时等号成立.故()f x x '-2(12)ax a x =-,从而当120a -,即12a 时,()0(0)f x x ',而(0)0f =,所以当0x 时,()0f x .由e 1(0)xx x >+≠可得e 1(0)x x x ->-≠.因此当12a >时,(()e 12e x x f x a -'<-+()()1)e e 1e 2x x x a --=--,故当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x '<,而(0)0f =,所以当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <.综合得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解法2】 当0x =时,()0f x =,对任意实数a ,均在()0f x ；当0x >时,()0f x 等价于2e 1x x a x--, 令2e 1()(0)x x g x x x --=>,则3e 2e 2()x x x x g x x -++'=,令()e 2e 2(0)x x h x x x x =-++>,则()e e 1,()e 0x x x h x x h x x '=-+''=>,知()h x '在(0,)+∞上为增函数,()(0)0h x h '>'=;知()h x 在(0,)+∞上为增函数,()(0)0;()0,()h x h g x g x >=∴'>在(0,)+∞上为增函数.由洛必达法则知,2000e 1e 1e 1lim lim lim 222x x x x x x x x x +++→→→---===,故12a , 综上,知a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【例2】 已知函数ln ()=1a x f x x xb++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. (1)求,a b 的值；(2)当0x >,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围.【解析】 (1)221ln ()(1)x x b x f x x x α+⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+. 由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过.点(1,1),故(1)1,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩故1,122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解 得a 1,1b ==.(2)【解法1】 由(1)知ln 1()1x f x x x =++,所以2ln 1()(2ln 11x k f x x x x x ⎛⎫-+=+ ⎪--⎝⎭()2(1)1k x x⎫--⎪⎪⎭，考虑函数()2(1)1()2ln (0)k x h x x x x--=+>,则()22(1)12()k xxh x x -++'=.①设0k ,由()2221(1)()k x x h x x +--'=知,当1x ≠时,()0,()h x h x '<递减.而(1)0h =,故当(0,1)x ∈时,()0h x >,可得21()01h x x >-； 当(1,)x ∈+∞时,()0h x <,可得21()01h x x>-, 从而当0x >,且1x ≠时,ln ()01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭,即ln ()1x k f x x x >+-.②设01k <<.由于()22(1)12(1)2k x k k x x -++=-+1k +-的图象开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴111x k =>-.当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()2(1)120k x x -++>,故()0h x '>,而(1)0h =,所以当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()0h x >， 可得21()01h x x <-,与题设矛盾.③设1k .此时()2212,(1)120()0x x k x x h x +-++>⇒'>,而(1)0h =,故当(1,)x ∈+∞时,()0h x >,可得21()01h x x <-,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(,0]-∞.【解法2】由题设可得,当0,1x x >≠时,22ln 11x xk x <+-恒成立.令22ln ()1(0,1)1x xg x x x x =+>≠-,则()()22221ln 1()21x x x g x x +-+'=⋅-, 再令()22()1ln 1(0,1)h x x x x x x =+-+>≠,则1()2ln ,()2ln 1h x x x x h x x x '=+-''=+-21x,易知21()2ln 1h x x x ''=+-在(0,)+∞上为增函数,且(1)0h ''=;故当(0,1)x ∈时,()h x ''<0,当(1,)x ∈+∞时,()0h x ''>;∴()h x '在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数;故()(1)0,()h x h h x '>'=∴在(0,)+∞上为增函数.∵(1)0,h =∴当(0,1)x ∈时,()0h x <,当(1,)x ∈+∞时,()0,h x >∴当(0x ∈,1)时,()0g x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0,()g x g x '>∴在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数. ∵由洛必达法则法2111ln 1ln 1lim ()2lim 12lim 1210,122x x x x x x g x k x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+=∴ ⎪--⎝⎭0,即k 的取值范围为(,0]-∞.【例3】设函数sin ()=2cos xf x x+.(1)求()f x 的单调区间;(2)如果对任何0x ,都有()f x ax ,求a 的取值范围. 【解析】(1)22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++. 当2222()33k x k k ππππ-<<+∈Z 时,1cos 2x >-,即()0f x '>;当2422()33k x k k ππππ+<<+∈Z 时,1cos 2x <-,即()0f x '<.因此()f x 在每一个区间222,2()33k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 内是增函数, ()f x 在每一个区间(2k π+24,2()33k k πππ⎫+∈⎪⎭Z 内是减函数. (2)应用洛必达法则和导数sin ()2cos xf x ax x=+,若0x =,则a ∈R ;若0x >,则sin 2cos xax x+等价于sin (2cos )x ax x +.即sin ()(2cos )x g x x x =+, 则222cos 2sin sin cos ()(2cos )x x x x x xg x x x --+'=+. 记()2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+,2()2cos 2sin 2cos cos 212sin cos 212sin 2sin 2sin h x x x x x x x x x x x x x '=---+=--+=-=(sin )x x -.因此,当(0,)x π∈时,()0,()h x h x '<在(0,)π上单调递减,且(0)0h =,故()0g x '<,所以()g x 在(0,)π上单调递减,而000sin cos 1lim ()limlim (2cos )2cos sin 3x x x x x g x x x x x x →→→===++-. 另一方面,当[,)x π∈+∞时,sin 111()(2cos )3x g x x x x π=<+,因此13a .【例4】 设函数()(1)ln(1)f x x x =++,若对所有的0x 都有()f x ax 成立,求实数a 的取值范围. 【解析】【解法1】 令()(1)ln(1)g x x x ax =++-,对函数()g x 求导数:()ln(1)1g x x a '=++-,令()0g x '=,解 得1e 1u x -=-.(1)当1a 时,对所有0,()0x g x >'>,所以()g x 在[0,)+∞上是增函数.又(0)0g =,所以对0x ,有()(0)g x g ,即当1a 时,对于所有0x ,都有()f x ax . (2)当1a >时,对于10e 1,()0u x g x -<<-'<,所以()g x 在()10,e 1α--是减函数.又(0)0g =.所以对10e 1a x -<<-,有()(0)g x g <,即()f x ax <.所以当1a >时,不是对所有的0x ,都有()f x ax 成立. 综上a 的取值范围是(,1]-∞. 【解法2】 令()(1)ln(1)g x x x ax =++-,于是不等式()f x ax 成立即为()(0)g x g 成立.对()g x 求导数得()ln(1)1g x x a '=++-,令()0g x '=,解得1e 1a x -=-,当1e 1a x ->-时,()0,()g x g x '>为增函数,当11e 1u x --<<-时,()0,()g x g x '<为减函数.要对所有0x 都有()(0)g x g 充要条件为1e 10a --.由此得1a ,即a 的取值范围是(,1]-∞.。
2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练(新高考通用)专题2-5函数与导数压轴小题归类-2
凸凹翻转型常见思路，如下图转化为两个函数的最值问题是关键.2ln nb b⎛⎫)()x g x 恒成立，则12(2x λ=−的可能的取值是（ ） C ．1e⎫+∞⎪⎭)()9+∞,() 9,21)ln 2x x ax 有两个极值点B ．22a ≥2,∞π⎤⎡⎫+⎪⎥⎢⎦⎣⎭1][1,)+∞,2π∞⎤⎡⎫+⎪⎥⎢⎦⎣⎭（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）解，则的取值范围是（()1,e e ⎫−⎪⎭2ln t ，(g x参考答案：x∈f x时(1,f x在()21,n e所以()令12,ax t x t==，则()(1f x f x =①当12x x =时，,at t a t==，成立，所以②当x x ≠时，由()(f x f x =【详解】对任意正实数)()x g x 恒成立问题即二次0∆且0a >1c a ，分1c a =和ca222b c+的最大值．cx ，所以,()2f bx c f x ax ''+=+)()x g x 恒成立，所以2bx c ax b ++恒成立，即0b 恒成立，所以)0b 且0a >2244b ac a −20a ，所以0c a >，所以1c a ，令t =1t .①当t =2220b a c =+；②当1t >222222244444(1)4(1)4422221(1)2(1)2222(1)21(c ac a t t a a c t t t c t t a −−−−====−++−+−++⎛⎫−+++ ⎪⎝⎭21+时，取得最大值为22−. 【详解】解：12(x x λ=111)(ln ln 2ex x x −，又12(0,x x ∈，()122t e −−21e t t −+⇒)+∞上单调递增又2()ln eg e =在(0,)e 上，则在(0,)e 上，()max f t f =1e⇒≤f x，所以()0'=得x=x1⎫⎪上递增，f x，解得()x在12aba⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝21)ln 2xx ax 有两个极值点21)ln 2x x ax 的定义域为(0,∞+10ax ++=由两个不同的正根，且0>，120x x a +=−>，对任意的实数a 和b ，总存在等价于求()f x 最大值里的最小值根据图像知：当9,2a b ==−f x在[≤②当1x ()=f x，y f于是得到图象交点横坐标之和为：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.研究[]0,x π∈内的情况即可：当[)10,x x ∈时，()0g x '<，函数(g x【详解】()f x e =()y f x =在区间1ln 1a <<，解得)0=，且不等式0fx ．处取得最小值，则()f x 时，当ln x a <时，0fx．10f x ．()1,e e ⎫−⎪⎭，故选本题考查函数的极值以及函数的零点问题，结合单调性考查整数解相邻整数点函数值的符号问题，解，考查运算能力与分析问题的能力，属于难题．【详解】1()f x x =1ln(1)x −=1(1)x −①，2222()ln g x x x t ==又x y x e =⋅在[0故由①②得故122()ln x x x −2ln ()h t t t =()0h t '>，解得：0fx或(f x '；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；0fx，得x >上单调递减，在区间(()0x <，0f x，故(f 所以()min f x f =使得02e xx x =+∴a≥0；(2)当x＞0时，0x x ∴＞，()[]g x ∴极大值0k ∴＝时，。
2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)
决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第04讲 发散思维、移花接木-原卷及答案
第04讲发散思维、移花接木我们经常会讲某学生头脑灵活,对数学问题的反应快,对老师的提问有呼应;某学生头脑不灵活,向他提问常是答非所问或根本没有呼应.这种差异是客观存在的,实际上既是对数学概念认识上的差异,更是思维水平上的差异.数学思维是一种极其抽象的逻辑思维,突出体现在研究对象的特征方面,数学对象的特征在于它的抽象是抽象的抽象,没有任何实物(物质的)和能量特征,它只有一个特征:这些对象都处于一定的相互关系之中,处于数量关系、空间关系和类似于这些关系的关系之中,具有思辨性,讲究概念之间相互联系和相互制约,讲究如何理解问题,规划求解步骤,选择最佳解法.数学发现的思维过程是一个相当复杂的过程,不同的人有不同的思维方式,同一个人发现不同的数学命题也可能有完全不同的思维过程,同一个数学问题,不同的人解答的结果常常是不一样的,这是思维品质的高下决定的,所以要重视数学思维品质的培养,而数学思维品质很广泛,主要表现在深刻性、灵活性、创造性、批判性等方面.如果人脑习惯使用一系列被固化的概念、规则、理论和逻辑抽象形式,这种思维是凝固的,碰到压轴题,受思维定式的影响,往往不会灵活地化解难点,解答过程磕磕碰碰,甚至无法解到最后,形象地说是开不出花,结不了果.人的大脑是一个宝库,人的思维需要开发激活才能不断创造出奇迹,才能开出鲜花、结出果实,所以面对难题我们只有突破思维定式,充分挖掘问题的内涵,从题意中捕捉有用的信息(形象信息、符号信息)进行有效的组合,才能提高我们综合运用知识、调动方法的能力.发散思维又称为求异思维或辐射思维,是根据一定的知识或事实求得某一问题的各种可能方案的思维,其特点是开放性,方向不同,结果有异.具体表现在如下3个方面.(1)流畅性.流畅性指心智活动畅通少阻,灵敏迅速,能在短时间内表达较多的概念.流畅性是发散思维的量的指标.（2）变通性.变通性指思考能随机应变,触类旁通,不局限于某个方面,不受消极定式的约束,能产生新的构想,提出不同的新观念.（3）独特性.独特性指用以前所未有的新角度、新观点去认识数学知识、反映数学知识,对数学知识、数学问题表现出超乎寻常的独到见解.变通性与独特性是发散思维的质的指标.通过发散思维,我们可以不断地变更问题,把陌生的问题变更为熟悉的问题,实现知识之间的嫁接,把在这一领域中不易解决的问题变更为另一领域中的问题.我们称之为"移花接木”,从而结出奇异之果.典型例题【例1】若,,x y z 为实数,且226x y z ++=,求222x y z ++的最小值.【例2】在ABC ∆中,D 为边BC 上一点,1,120,22BD DC ADB AD =∠=︒=.若ADC ∆的面积为3,则BAC ∠=________.【例3】在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,),A a a P 是函数1(0)y x x=>图像上一动点,若点P A 、之间最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为________.强化训练1. 函数32()(1)(5)1f x x k x k x =+-++-在区间(0,3)上不单调,求k 的取值范围.2. 已知点(0,1)P ,椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A B 、满足2AP PB =,则当m =________时,点B 横坐标的绝对值最大.第04讲发散思维、移花接木我们经常会讲某学生头脑灵活,对数学问题的反应快,对老师的提问有呼应;某学生头脑不灵活,向他提问常是答非所问或根本没有呼应.这种差异是客观存在的,实际上既是对数学概念认识上的差异,更是思维水平上的差异.数学思维是一种极其抽象的逻辑思维,突出体现在研究对象的特征方面,数学对象的特征在于它的抽象是抽象的抽象,没有任何实物(物质的)和能量特征,它只有一个特征:这些对象都处于一定的相互关系之中,处于数量关系、空间关系和类似于这些关系的关系之中,具有思辨性,讲究概念之间相互联系和相互制约,讲究如何理解问题,规划求解步骤,选择最佳解法.数学发现的思维过程是一个相当复杂的过程,不同的人有不同的思维方式,同一个人发现不同的数学命题也可能有完全不同的思维过程,同一个数学问题,不同的人解答的结果常常是不一样的,这是思维品质的高下决定的,所以要重视数学思维品质的培养,而数学思维品质很广泛,主要表现在深刻性、灵活性、创造性、批判性等方面.如果人脑习惯使用一系列被固化的概念、规则、理论和逻辑抽象形式,这种思维是凝固的,碰到压轴题,受思维定式的影响,往往不会灵活地化解难点,解答过程磕磕碰碰,甚至无法解到最后,形象地说是开不出花,结不了果.人的大脑是一个宝库,人的思维需要开发激活才能不断创造出奇迹,才能开出鲜花、结出果实,所以面对难题我们只有突破思维定式,充分挖掘问题的内涵,从题意中捕捉有用的信息(形象信息、符号信息)进行有效的组合,才能提高我们综合运用知识、调动方法的能力.发散思维又称为求异思维或辐射思维,是根据一定的知识或事实求得某一问题的各种可能方案的思维,其特点是开放性,方向不同,结果有异.具体表现在如下3个方面.(1)流畅性.流畅性指心智活动畅通少阻,灵敏迅速,能在短时间内表达较多的概念.流畅性是发散思维的量的指标.（2）变通性.变通性指思考能随机应变,触类旁通,不局限于某个方面,不受消。
高三数学二轮复习解答题压轴题突破练理新人教版
解答题压轴题突破练(建议用时：30分钟)2 21. 已知椭圆E: /+/二1(a>b >o ),A 为椭圆E 的右顶点,B, C 分别为椭圆E 的上.下顶点.(1) 若N 为AC 的中点,ABAN 的而积为\/2,椭圆的离心率为2 ,求椭圆E 的方程.\CM\_(2) F 为椭圆E 的右焦点，线段CF 的延长线与线段AB 交于点斗与椭圆E 交于点P,求I CP I 的最小值.1 1 1[解析】⑴因为 S.M=2sgc 二2 x 2 x 2bX a=\2cQ所以 ab 二2\2 又a 二 2 , a-b 2=c :,所以可解得 a=2, c 二b=\22 2 x y(2)直线 AB ：y=b-Qx,直线 CF ：y-b+Cx,联立方程解得+ c a + c(lac ab 一 be- _ ------ , ------- + b 设CM“CPa>o ),P (“),则W + c a + c2ac lab - Ab (a + c)所以沪久⑺+ c), y =久(a + c).4c 2[2a-A(a + c)]2把上式代入椭圆方程得几2(a + c)2+ zl 2(a + c)2二1, 即 4c ：+[2a-X (a+c)] =X 2(a +c)2.a 2 + c 2 1+ e 2 2所以 x=a(a + c)二 1 + e 二 @+i )+e + 1-2.因为0<e<l,所以l<e+l<2,所以X 22\E-2,当且仅当e+l=j2即e^'2-1时，等号成立，此所以椭圆E 的方程为4 + 2二1.bb2ac ab - bC=X (x, y+b),时X取到最小值27'2-2,\CM\_「即|CP|的最小值为㊁-2.2.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率等于2 ,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4\'§.直线,：y二kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A, B两个点.⑴求椭圆E的方程.(2)若AP二3PB,求的取值范围.2 2n【解析】⑴根据已知设椭圆E的方程为*+b〈i(a>b>0),焦距为2c,口R 2由已知得0= 2，所以c二2 a> b==a:-c==4因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4寸5所以椭圆E的方程为£+4二1.(2)根据已知得P (0, m),设A (x x, kxi+m), B (x2, kx s+m),‘ y = kx + 讥,2 2由14无+ y - 4 = °得，k+4)x：+2mkx+m'-4二0・由已知得A =4m：k-4 (k2+4) (m-4) >0,即k"-m'+4>0,・ 2 km m2一4且XI+XF/ + 4, X1X2=fc2 + 4由AP二3PB得Xi=-3x：.2 2所以3 (xx+xo) C+4X1X：=12X2-12X2=0.12/<2m2 4(m2 - 4)所以(以 + 4) 2+ k2 + 4 =0,即m¥+m-k-4=o.4- m22 当m c=l 时,m:kW-k^4=0 不成立，所以k2=m - 1.因为k:~m2+4>0,4 - m2(4 - m2)7?i22 2“所以m - l-m2+4>o,即rn - 1 >o.所以l<m：<4.所以的取值范围为(1,4).3.已知椭圆C的焦点坐标是几(-1, 0),F=(l, 0),过点F：垂直于长轴的直线1交椭圆C于B,D两点，且BD|=3.⑴求椭圆C的方程.5⑵是否存在过点P(2,1)的直线厶与椭圆C相交于不同的两点M, N,且满足PM・PN二4?若存在,求岀直线厶的方程;若不存在,请说明理由.2 2【解析】(1)设椭圆的方程是Q =l(a>b>0),由题可知c二1,因为BD =3,所以Q二3,又a:-b:=l,所以a=2, b』3,2 2所以椭圆c的方程为4 + 3二1.(2)假设存在直线厶且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k(x-2)+l.y = k(x -2) + 1,由I 4 3 得(3+4k:)x c-8k (2k-l) x+16k:-16k-8=0.因为直线厶与椭圆C 相交于不同的两点见N, 设 M (xi, yi), N(xs, y ：),所以 A = [-8k (2k-l)]M (3+4k s ) (16k 3-16k-8) >0,1所以k>-2,8fc(2/c - 1) 16以-16k - 8X1+x ；= 3 + 4/c 2, X1X;= 3 + 4以， 5—> f因为PM・ PN 二&厂力(x=-2) + (y-l) (y 厂 1)=4,5所以 *-2) (x :-2) (1+F)二4,5即[xiX s -2 (X I +X 3)+4] (1+k 3)二4,1 1 1解得k=±2.因为k>-2,所以k 二2,1故存在宜线厶满足条件，其方程为y=2x.2X4. 已知函数f (x)二apX-3 (x >0),其中e 为自然对数的底数. ⑴当a 二0时，判断函数y 二f (x)极值点的个数.⑵若函数有两个零点x“ x^CxXxc),设t'l,证明:x’+x ：随着t 的增大而增大.2 X【解析】⑴当圧0时,f(x)二-& (x>0),16/<2-16fc-8 所以.3+ 4Q 2.8/C (2/C -1)3 + 4/4 + 4/d 5(i+k=)=3 +4“ 二a,・ 2x-e x - ( - x z\e x x(x 一2) F (x)= (巧二” 令f T (x)=0,则X二2,当xe(0, 2)时,f' (x)<0,y二f(x)单调递减, 当xG(2, +8)时,f1 (x)〉0, y=f(x)单调递增, 所以x 二2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数尸f(x)有一个极值点.2X 3厂~~x 2(2)令f (x)=a\'X-* 二0,则X =ae x,因为函数有两个零点X：, XcCx/x：),3-ji 尢］今勺一所以V\ =aC , =aC ,可得21nxi=lna+xi t321nxc=lna+x：.X2X l=t,则t>l,且X2 = tX lf l ln(.3 2x?-x1 = -Int, , 2解得肿",-tint23(t + l)lnt所以Xx+X:=2 t-1•①(x + l)lnx令h(x)= X — 1,xW(l,+8),1-2lnx + x-一x 则h r (x)= (%_1)2故x:-Xi=2 lnx：-2 lnxi=2 1.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑•欢迎下载支持.16word 版本可编辑•欢迎下载支持.当xe(l,+oo)时,f (x)>0.因此,u(x)在(1, +8)上单调递增. 故对于任意的 xG (1, +8), u(x) >u(l)=0, 由此可得h' (x) >0,故h (x)在(1, +8)上单调递增. 因此，由①可得x,+x ：随着t 的增大而增大.x- a5•已知立义在(0, e)上的函数f (x) =lnx- X . (1) 求此函数的单调区间.(2) 若过点A(b -1)有且仅有一条直线与函数y=f(x)的图象相切，求&的取值范围・x- a【解析】(1)由题意f‘ (x)= X 2当aNe 时,函数f(x)在(0, e)上是减函数：当0〈a<e 时，此时函数f(x)^t(0, a)上是减函数，在(a, e)上是增函数; 当aWO 时，函数f(x)在(0. e)上是增函数.%0 - a勺-a 血。
压轴14 平面向量基本定理及坐标表示 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴14 平面向量基本定理及坐标表示一、单选题1. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√2【答案】A【解析】解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x ) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．故选A ．2. 在△ABC 中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N.若，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，(λ>0,μ>0)，则λ+μ的最小值为A.B.C. 32D. 52【答案】B【解析】解：如图所示，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PC ⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又BP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ ， ∴−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ =14λAM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34μAN ⃗⃗⃗⃗⃗ ；又P 、M 、N 三点共线， ∴14λ+34μ=1， ∴λ+μ=(λ+μ)⋅(14λ+34μ) =(14+34)+(μ4λ+3λ4μ)≥1+2√μ4λ⋅3λ4μ=1+√32， 当且仅当μ4λ=3λ4μ，即λ=√3+14,μ=√3+34时取“=”， ∴λ+μ的最小值为1+√32． 故选B ．3. 在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则S ▵BCD S ▵ACD= A. 16B. 12C. 13D. 23【答案】B【解析】解：设直线AD ，BC 交于点E ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +x 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E ，B ，C 三点共线，得x3+x2=1，∴x =65， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =65AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +35AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴25(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=35(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗ ，设S △CED =2y ，则S △BDE =3y ， 又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5DE⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴S △ACD =10y ，∴S △BCD S △ACD=2y+3y 10y=12．故选B ．4. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2+|PB|2|PC|等于A. 2B. 4C. 5D. 10【答案】D【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ ， ∴|PA⃗⃗⃗⃗ |2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ 2． ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ ，∴|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ 2． ∴|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2CP ⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CP ⃗⃗⃗⃗ 2．又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16CP ⃗⃗⃗⃗ 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CP ⃗⃗⃗⃗ ， 代入上式整理得|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=10|CP ⃗⃗⃗⃗ |2， 故所求值为|PA|2+|PB|2|PC|2=10．故选D5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(4,0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24−y 2=1上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为A. ±32B. ± √52C. ±1D. ± √32【答案】B【解析】解：由题意，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线AB 的方程为y =k(x −4)， 与双曲线C ：x 24−y 2=1联立，消去x 得，(1k 2−4)y 2+8k y +12=0， ∴y 1+y 2=−8k1k 2−4，y 1y 2=121k 2−4，又由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1=−3y 2，结合上式解得k =±√52． 故选B ．6. 已知P ，Q 是△ABC 所在平面内任意两个不同的点，△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗+bCB ⃗⃗⃗⃗⃗a+b+c，则点Q 是△ABC 的 A. 外心B. 重心C. 垂心D. 内心【答案】D【解析】解：由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB ⃗⃗⃗⃗⃗ a+b+c 得PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB⃗⃗⃗⃗⃗a+b+c， 所以CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB ⃗⃗⃗⃗⃗ a+b+c =ab a+b+c (CA ⃗⃗⃗⃗⃗ b +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ a )=ab a+b+c (CA ⃗⃗⃗⃗⃗|CA ⃗⃗⃗⃗⃗|+CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |)， 因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量， 所以点Q 在∠ACB 的角平分线上， 同理可得点Q 在∠ABC 的角平分线上， 故点Q 是△ABC 的内心． 故选D7. 过点Q(−2,√21)作圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的切线，切点为D ，且QD =4.设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为 A. 3√2B. 6C. 6√2D. 9【答案】B【解析】解：由题意，圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的圆心为O(0,0)，∵过点Q(−2,√21) 作圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的切线，切点为D ，且QD =4， ∴r =OD =√QO 2−QD 2=√4+21−16=3，设直线l 的方程为xa +yb =1(a >0,b >0)，即bx +ay −ab =0， 则A(a,0)，B(0,b)， ∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)， ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√a 2+b 2， ∵直线l 与圆O 相切， ∴√a 2+b 2=3，∵(a −b )2=a 2−2ab +b 2⩾0，当a =b 时等号成立， ∴a 2+b 2⩾2ab ， ∴3√a 2+b 2=ab ≤a 2+b 22，∴a 2+b 2≥36， ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥6， |OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6． 故选B ．8. 若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中m >0，n >0，则m +2n 的最小值是A. 2√23−1 B. 2√23+1 C. 2 D. 2√3【答案】B【解析】解：设BC 的中点为D ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13n AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M ，G ，N 三点共线， 故13m +13n =1．∴m +2n =(m +2n)(13m +13n )=1+2n3m +m3n ≥1+2√2n3m ·m3n =1+2√23． 当且仅当2n3m =m3n 时取等号． 所以m +2n 的最小值是1+2√23， 故选B．9. 在▵ABC 中，E 为AC 上一点，AC ⇀=3AE ⇀，P 为BE 上任一点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0,n >0)，则3m+1n 的最小值是 A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13t AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以m =1−t,n =13t ，得m +3n =1， 所以3m +1n =(m +3n)(3m +1n)=6+9n m+m n⩾6+2√9n m ·mn=12，等号当且仅当m =3n 时取得等号， 故选D ．10. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在▵ABC 中，若三个内角均小于120∘，当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120∘时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a ⃗ 为平面内任意一个向量，b ⃗ 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −c |的最小值是A. 2−√3B. 2+√3C. √3−1D. √3+1【答案】D【解析】解：设a ⃗ =(x,y)，b ⃗ =(1,0)，c=(0,1)， 则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −c |=√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2+√x 2+(y −1)2， 即为点P(x,y)到A(1,0)，B(−1,0)和C(0,1)三个点的距离之和， 则△ABC 为等腰直角三角形，由费马点的性质可得，当点P 的坐标为(0,√33)时，距离之和最小为2√33+2√33+(1−√33)=1+√3，故选D ． 二、填空题11. 如图，在圆的内接四边形ABCD 中，已知对角线BD 为圆的直径，AB =AC =2√2，AD =1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为_______．【答案】−409【解析】解：以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，如图： 则A(0,0)B(2√2,0)，D(0,1)， 设C(x,y)则AC 2=x 2+y 2=8①BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2√2)x +y (y −1)=0② 联立①②得2√2x +y =8③ 将③代入①得x =14√29或x =2√2(舍)，所以C (14√29,169)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,1)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14√29×(−2√2)+169×1=−409． 故答案为−409．12. 如图，在△ABC 中，已知AB =10，AC =5，，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为 ．【答案】√21【解析】【解答】解：因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数x 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−x 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为C ，P ，M 三点共线，所以存在实数y 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则{x =y 21−x 3=1−y ⇒{x =25y =45, 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2=125(4|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) =125×(4×102+4×10×5×12+52)=21， 所以|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21， 故答案为√21．13. 在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，当AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x −y =______ ． 【答案】−2【解析】解：如图所示，△ABC 中，，， ，即；；又，，y =32，．故答案为−2．14. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为______．【答案】6【解析】解：由题意得：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λBN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=11+λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2+2λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μPC ⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μ(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=13+3μAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴11+λ=13+3μ，λ2+2λ=μ1+μ，解得μ=23，λ=4， ∴λμ=6 故答案为6． 三、解答题15. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3，D 是BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AD交于点G ．(1)设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (2)设H 是BE 上一点，且HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【答案】解：(1)设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． 因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 是BC 的中点， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λ2a ⃗ +λ2b ⃗ ，①设BG⃗⃗⃗⃗⃗ =t BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<t <1， 故AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗ ，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =t ⋅23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 3a ⃗ +(1−t)b ⃗ ，② 联立①②，据平面向量基本定理，得{λ2=23t ,λ2=1−t ,解得λ=45，t =35， 所以实数λ的值为45． (2)因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(25a ⃗ +25b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−25(a ⃗ 2−b ⃗ 2)=−25×(32−22)=−2．16. 在△ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FE ⃗⃗⃗⃗ ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ． (1)用m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 表示AF⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)设G 是线段BC 上一点，且使EG//AF ，求|CG⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．【答案】解：(1)因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FE ⃗⃗⃗⃗ ，所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −815AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −815AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =215AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15BC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ ; (2)因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得CG⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0⩽λ⩽1)， 而E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，因此EC ⃗⃗⃗⃗=34AC ⃗⃗⃗⃗⃗所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(34−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34m ⃗⃗⃗ +(34−λ)n ⃗ ， 因为EG//AF ，所以存在实数μ，使AF⃗⃗⃗⃗⃗ =μEG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而由(1)知：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ ， 因此13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ =μ[34m ⃗⃗⃗ +(34−λ)n ⃗ ]， 而m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 不共线，因此{34μ=13μ(34−λ)=15，解得λ=310， 所以|CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=310． 17. 如图所示，△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，D 为AB 中点，E 为CD 上一点，且DC =3EC ，AE 的延长线与BC 的交点为F ．(1)用向量a ⃗ ，b ⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)用向量a ⃗ ，b⃗ 表示AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求出AE ︰EF 和BF ︰FC 的值． 【答案】解：(1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×12×AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +23b ⃗ ； (2)设AE:EF =λ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+λλAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+λλ(16a ⃗ +23b ⃗ )=1+λ6λa ⃗ +2(1+λ)3λb ⃗ ， 设BF ：FC =μ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μa ⃗ +μ1+μb ⃗ ， 所以{1+λ6λ=11+μ2(1+λ)3λ=μ1+μ，解得λ=5，μ=4，因此AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15a ⃗ +45b ⃗ ，AE ：EF =5，BF ：FC =4．18. 如图在矩形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a⃗ |=2,|b ⃗ |=1。
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31
),=(6-t,
1 -3
1 2
32
),
2 -3
故 ·=(6-t) +
2
91 2
=(6-t)
(1 -3)(2 -3)
91 2
2
=(6-t) + 2
1 2 +3(1 +2 )+9
91 2
+( +3)( +3)
1
2
2
108
42-9
2
2
=(6-t) +
(2)过点T(6,0)的直线l2与双曲线C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=6
相交于M,N两点,试问:以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定
点的坐标;若不过定点,请说明理由.
1 2
解 (1)∵双曲线 C 的左焦点 F(-c,0)到双曲线 C 的一条渐近线 bx+ay=0 的距
离 d=
1 2
②若 a∈( 2,+∞),则当 0≤x<min
所以 f'(x)<-a x+a x
2
令
2
2
+ 2=x
1-
1-2
3 2
2
F1(x)= 2 +a3x-a2,0≤x<min
1-
4
3
则 F'1(x)=
(1-2 )2
1
1,
时,asin ax>a2x-a3x2.
+ 3 -2 .
1
1,
则g'(x)=cos x+2x-1.令G(x)=cos x+2x-1,
则G'(x)=-sin x+2>0对∀x∈[0,1]恒成立,
高考数学压轴题精选
高考数学压轴题精选1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²-n+1，求a1和公差d。
2、在坐标平面内，过点A(1,2)且与x轴夹角为α的直线l1，与过点B(-3,4)且与x轴夹角为β的直线l2相交于点C。
求证：α-β=90°。
3、已知函数f(x)=ax²+bx+c，其中a，b，c均为正实数。
若f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9，求f(4)的值。
4、已知函数f(x)=x³-3x²+3x-1，求函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间。
5、已知函数f(x)=ax²+bx+c，其中a，b，c均为实数，且a≠0。
若对于任意的x，均有f(x)+f'(x)>0，求a的取值范围。
6、已知函数f(x)=log₃(2x+1)，求f(2)的值。
7、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,-1)，点B的坐标为(-3,4)。
若点C在x轴上且满足AC=BC，求点C的坐标。
8、若函数f(x)=x³+3x²+5x+k能被(x-2)整除，求k的值。
9、已知函数f(x)=a|x-h|+k，其中a，h，k为常数，且a>0。
若图像过点(3,4)，且在x=1处取得最大值，求a，h，k的值。
10、已知函数f(x)=x³-3x²+3x-1，求f(x)的零点和极值点。
11、已知函数f(x)=sin(nx+π/6)+cos(nx-π/3)，其中n为正整数，求函数f(x)的周期。
12、已知正整数n的二进制表示中有3个1，求n的十进制表示的所有可能值。
13、已知函数f(x)=a³x³+3ax²-6x，其中a为常数，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为2，求a的值。
(江苏专用)高考数学二轮复习 第二篇 第27练 压轴小题专练(1)试题 理-人教版高三全册数学试题
第27练 压轴小题专练(1)[明晰考情] 高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.考点一 与函数有关的压轴小题方法技巧 本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点、参数的X 围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.1.偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若函数g (x )＝f (x )－|lg x |，则g (x )在(0,10)上的零点个数为________. 答案 10解析 由题意g (x )＝f (x )－|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－lg x ，lg x ≥0，f (x )＋lg x ，lg x <0，∵f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x )＝f (x ＋2)，故f (x )是周期函数，且T ＝2， 又函数f (x )是R 上的偶函数，∴f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，当x >0时，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图所示.由图象知函数g (x )的零点个数为10.2.已知函数f (x )＝2x－12(x <0)与g (x )＝log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值X 围是________. 答案 (－∞，2)解析 由f (x )关于y 轴对称的函数为h (x )＝f (－x )＝2－x－12(x >0)，令h (x )＝g (x )，得2－x－12＝log 2(x ＋a )(x >0)，则方程2－x－12＝log 2(x ＋a )在(0，＋∞)上有解，作出y ＝2－x－12与y ＝log 2(x ＋a )的图象，如图所示，当a ≤0时，函数y ＝2－x－12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意；若a >0，两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log 2a <12，解得0<a <2，综上可知，实数a 的取值X 围是(－∞，2).3.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，b2，则称函数f (x )为“成功函数”.若函数f (x )＝log m (m x＋2t )(其中m >0，且m ≠1)是“成功函数”，则实数t 的取值X 围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 解析 无论m >1还是0<m <1，f (x )＝log m (m x＋2t )都是R 上的单调增函数，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a 2，f (b )＝b 2，则问题可转化为求f (x )＝x2，即f (x )＝log m (m x＋2t )＝x2，即m x＋2t ＝12x m在R 上有两个不相等的实数根的问题，令λ＝12x m(λ>0)，则m x＋2t ＝12x m可化为2t ＝λ－λ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋14，结合图形(图略)可得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4.(2018·某某省如东高级中学月考)已知函数f (x )＝(x 2－3)e x ，设关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0(a ∈R )有4个不同的实数解，则a 的取值X 围是________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫6e 3∪(－2e,0)解析 由题意知，f ′(x )＝2x e x ＋(x 2－3)e x＝e x(x 2＋2x －3)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以当x <－3或x >1时，f ′(x )>0，当－3<x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝－3时，f (x )取得极大值6e3；当x ＝1时，f (x )取得极小值－2e ，当x →－∞时，f (x )→0， 作出函数f (x )的图象，如图所示，由f 2(x )－af (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝a ， 由图象可知f (x )＝0有两解，所以f (x )＝a 也有两解， 所以a ＝6e 3或－2e<a <0.考点二 与数列有关的压轴小题方法技巧 数列与函数的交汇、数列与不等式的交汇问题是高考的热点.解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化，确定数列的通项或前n 项和，利用函数的性质、图象求解最值问题，不等关系或恒成立问题.5.在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 4＝4，则当2a 2＋a 6取得最小值时，log 2q ＝________. 答案 14解析 2a 2＋a 6≥22a 2a 6＝22a 24＝82，即2a 2＋a 6＝2a 4q2＋a 4q 2≥82，所以q 4－22q 2＋2≥0，即(q 2－2)2≥0，当且仅当q 4＝2时取等号，所以log 2q ＝log 2214＝14.6.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值X 围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23解析 由a n ＋1＝a na n ＋2，得1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以1a 1＋1为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n.因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时，由b n ＋1>b n ，得(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1，解得n >2λ－1，即2>2λ－1，所以λ<32；当n ＝1时，由b 2>b 1得(1－2λ)·2>－λ，解得λ<23，因此λ<23.7.已知S n 和T n 分别为数列{a n }与数列{b n }的前n 项和，且a 1＝e 4，S n ＝e S n ＋1－e 5，a n ＝e n b，则当T n 取得最大值时n 的值为________. 答案 4或5解析 由S n ＝e S n ＋1－e 5，得S n －1＝e S n －e 5(n ≥2)，两式相减，得a n ＝e a n ＋1(n ≥2)，易知a 2＝e 3，a 2a 1＝e 3e 4＝1e ，所以数列{a n }是首项为e 4，公比为1e的等比数列，所以a n ＝e 5－n .因为a n ＝e n b，所以b n ＝5－n .由⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥0，b n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≥0，5－(n ＋1)≤0，解得4≤n ≤5，所以当n ＝4或n ＝5时，T n 取得最大值.8.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为________. 答案378解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1(舍负)时取等号， ∵n 为正整数，2<13－1<3，当n ＝2时，S n －4a a n －1＝143；当n ＝3时，S n －4a a n －1＝378，故当n ＝3时原式取最小值378.1.(2018·全国Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________. 答案 2解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1).∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数. 由f (x )为奇函数及其定义域为R 得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.2.已知实数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则t 的取值X 围为________. 答案 (－∞，－2]解析 设m ＝f (x )，作出函数f (x )的图象，如图所示，则当m ≥1时，m ＝f (x )有两个根，当m <1时，m ＝f (x )有一个根.若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则等价为m 2＋m ＋t ＝0有两个不同的实数根m 1，m 2，且m 1≥1，m 2＜1.当m ＝1时，t ＝－2，此时由m2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2，f (x )＝1有两个根，f (x )＝－2有一个根，满足条件；当m ≠1时，设h (m )＝m 2＋m ＋t ，其对称轴为m ＝－12，则需h (1)<0即可，即1＋1＋t <0，解得t <－2.综上，实数t 的取值X 围为t ≤－2.3.若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.71828…)，则实数m 的取值X 围是________.答案 (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞ 解析 当m ＝0时，不满足题意，由题意可得m ＝2x(2e x －y )(ln y －ln x )，则1m ＝(2e x －y )(ln y －ln x )2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12·y x ·ln y x ，令t ＝yx ()t >0，构造函数g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e －t 2ln t (t >0)， 则g ′(t )＝－12ln t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －t 2×1t＝－12ln t ＋e t －12(t >0)，设h (t )＝g ′(t )，则h ′(t )＝－12t －e t 2＝－t ＋2e 2t 2<0恒成立，则g ′(t )在(0，＋∞)上单调递减， 当t ＝e 时，g ′(t )＝0，则当t ∈(0，e)时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增， 当t ∈(e，＋∞)时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减， 则当t ＝e 时，g (t )取得最大值g (e)＝e2，且当t →0时，g (t )→－∞， 据此有1m ≤e 2，∴m <0或m ≥2e.综上可得实数m 的取值X 围是(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞.4.已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，函数g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43解析 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x2x ＋1是增函数，其值域是[0,1].g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ，因为存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ≠∅，若[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1或2－32a ＜0，即a <12或a ＞43，所以a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43.5.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”.已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________.答案 b n ＝2n －1(n ∈N *)解析 设等差数列{b n }的公差为d ， 由S n S 2n 为常数，设S nS 2n＝k 且b 1＝1， 得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0， 因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *). 6.若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”.已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是________.答案 4解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列.又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92＝2，即该数列为常数数列时取等号.7.当n 为正整数时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数.如N (3)＝3，N (10)＝5，…，S (n )＝N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n)，则S (5)＝________. 答案 342解析 ∵N (2n )＝N (n )，N (2n －1)＝2n －1，而S (n )＝N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n)， ∴S (n )＝N (1)＋N (3)＋N (5)＋…＋N (2n－1)＋[N (2)＋N (4)＋…＋N (2n)]， ∴S (n )＝1＋3＋5＋ (2)－1＋[N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n －1)]，∴S (n )＝1＋2n－12×2n2＋S (n －1)(n ≥2)，即S (n )－S (n －1)＝4n －1，又S (1)＝N (1)＋N (2)＝1＋1＝2，∴S (5)－S (1)＝[S (5)－S (4)]＋[S (4)－S (3)]＋…＋[S (2)－S (1)]＝44＋43＋42＋4，∴S (5)＝2＋4＋42＋43＋44＝342.8.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝________. 答案 42解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，则y ′＝4x ，抛物线在点(a i ,2a 2i )处的切线方程为y －2a 2i＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42. 9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2>a 1，S 4＝a 1＋28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n S n ＋1的前n 项和T n ≤2n －2＋M 恒成立，则M 的最小值为________. 答案 －16解析 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，又S 4＝a 1＋28，∴a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.又a 2>a 1，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n，S n ＝2n ＋1－2.令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1， ∴b n ＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋2－2)＝12n ＋1－2－12n ＋2－2， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫122－2－123－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2－124－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－2－12n ＋2－2＝122－2－12n ＋2－2＝12－12n ＋2－2.故T n －2n －2＝12－12n ＋2－2－2n －2. 又T n －2n －2－(T n ＋1－2n －1)＝2n －2－2n －2⎝⎛⎭⎪⎫2n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12>2n －2－2n －2(2n －1)2＝22n －2(2n－2)(2n －1)2≥0， 即T n －2n －2>T n ＋1－2n －1，故数列{T n －2n －2}单调递减，故(T n －2n －2)max ＝12－123－2－2－1＝－16.又T n ≤2n －2＋M 恒成立，即M ≥T n －2n －2恒成立，故M ≥－16，所以M 的最小值为－16.10.已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4＝S 3，a 9＝a 3＋a 4，则使得S 2kS 2k －1恰好为数列{a n }的奇数项的正整数k 的值为________. 答案 1解析 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 9＝1＋4d . 因为a 4＝S 3，a 9＝a 3＋a 4，所以1＋2＋1＋d ＝2q,1＋4d ＝1＋d ＋2q ， 解得d ＝2，q ＝3，则对于n ∈N *，有a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2×3n －1，所以S 2n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋2(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝3n ＋n 2－1，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n －1＋n 2－1.若S 2k S 2k －1恰好为数列{a n }的奇数项，则可设S 2kS 2k －1＝m (m 为正奇数)， 所以S 2k S 2k －1＝3k ＋k 2－13k －1＋k 2－1＝m ，即(3－m )3k －1＝(m －1)(k 2－1).当k ＝1时，m ＝3，满足条件；当k ≠1时，3k －1k 2－1＝m －13－m ，由3k －1k 2－1>0，得m －13－m>0，解得1<m <3，因为m 为正奇数，所以此时满足条件的正整数k 不存在.综上，k ＝1. 11.已知函数f (x )＝x 2＋(ln3x )2－2a (x ＋3ln3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为________. 答案130解析 f (x )＝x 2＋(ln3x )2－2a (x ＋3ln3x )＋10a 2＝(x －a )2＋(ln3x －3a )2表示点M (x ，ln3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x 1＝3，所以x 1＝13，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以曲线上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110，此时N 为垂足，点M 与点P 重合，k MN＝3a －0a －13＝－13，得a ＝130. 12.(2018·某某省海安高级中学月考)已知公比不为1的等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项a m ，a m ＋1，a m ＋2按某顺序排列后成等差数列，则满足题意的k 的值为________. 答案 －25解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2a 1＝a (a ≠1)， 所以a m ＝am －1，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝am ＋1.①若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2， 即2a m＝am －1＋am ＋1，解得a ＝1，不合题意.②若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2， 即2am －1＝a m ＋am ＋1，化简得a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2或a ＝1(舍去).∴k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－25.③若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 即2am ＋1＝a m ＋am －1，化简得2a 2－a －1＝0，解得a ＝－12或a ＝1(舍去)，∴k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－25.综上可得满足要求的实数k 有且仅有一个，且k ＝－25.。
《名师伴你行》2022高考数学(理)二轮复习检测：压轴题冲关系列3 Word版含答案
压轴题冲关系列(三)(时间：45分钟 分数：60分)1．(14分)(2021·贵州七校联考)已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 1的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 1的方程；(2)若椭圆C 1方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相像椭圆．已知C 2是椭圆C 1的3倍相像椭圆，若直线y ＝kx ＋b 与两椭圆C 1，C 2交于四点(依次为P ，Q ，R ，S )，且XC →＋RS→＝2QS →，试求动点E (k ，b )的轨迹方程． 解：(1)设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1，a ＞b ＞0， ∴直线AB 的方程为x －a＋yb ＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离为d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，∴a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 1的3倍相像椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，设Q ，R ，P ，S 各点坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 1方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，∴Δ1＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)＞0，(*) 此时，x 1＋x 2＝－8kb3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝43(4k 2＋3－b 2)3＋4k 2，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， ∴x 3＋x 4＝－8kb3＋4k 2，x 3x 4＝4b 2－363＋4k 2，|x 3－x 4|＝43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2，∴x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴线段XC ，QR 中点相同，∴|PQ |＝|RS |， 由XC→＋RS →＝2QS →，PQ →＝QR →， ∴|XC |＝3|QR |，即|x 3－x 4|＝3|x 1－x 2|， ∴43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2＝3×43(k 2＋3－b 2)3＋4k 2， 12k 2＋9＝4b 2，满足(*)式，∴动点E (k ，b )的轨迹方程为4b 29－4k 23＝1.2．(14分)(2021·天津河西二模)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，∵直线AF 的斜率为233， ∴2c ＝233，解得c ＝ 3.又c a ＝32，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝1. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2＝4，化为(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 当Δ＝16(4k 2－3)＞0时，即k 2>34时， x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋k 2.∴|PQ |＝(1＋k 2) [(x 1＋x 2)2－4x 1x 1] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 1＋4k 22－481＋4k 2 ＝41＋k 24k 2－34k 2＋1，点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2， ∴S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1，设4k 2－3＝t ＞0，则4k 2＝t 2＋3， ∴S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤424＝1，当且仅当t ＝2，即4k 2－3＝2，解得k ＝±72时取等号．满足Δ＞0，∴△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为y ＝±72x －2. 3.(18分)(2021·云南昆明二测)已知函数f (x )＝ax ＋ln x . (1)争辩函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝ax 2，若存在x 0∈(1，＋∞)，使得g (x 0)<f (x 0)，求a 的取值范围；(3)证明：ln 1.1<0.11.解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x . 当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在定义域上单调递增， 当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (2)设h (x )＝g (x )－f (x )＝ax 2－ax －ln x ，当a ＝0时，h (x )＝g (x )－f (x )＝－ln x ，对于任意的x ∈(1，＋∞)，均有h (x )＝－ln x <0.即g (x )<f (x )在(1，＋∞)恒成立．当a ≠0时，h ′(x )＝2ax －a －1x ＝2ax 2－ax －1x ， 令F (x )＝2ax 2－ax －1，当a <0，x >1时，F (x )<0，则h ′(x )<0， 所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，对任意的x ∈(1，＋∞)，均有h (x )<h (1)＝0， 即g (x )<f (x )在(1，＋∞)恒成立． 当a >0时，由2ax 2－ax －1＝0， 解得x 1＝1＋1＋8a 4或x 2＝1－1＋8a4， 且当x >x 1时，F (x )>0，当x 2<x <x 1时，F (x )<0. 若a ≥1，则14<x 1≤1，当x >1≥x 1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)单调递增， h (x )>h (1)＝0，此时，g (x )>f (x )恒成立，不符合题意； 若0<a <1，则x 2<1<x 1， 当x ∈(1，x 1)时，h ′(x )<0， 所以h (x )在(1，x 1)单调递减， h (x )<h (1)＝0，即存在x 0∈(1，x 1)， 有g (x 0)<f (x 0)成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)．(3)证明：依据(2)的争辩，当a ≥1时，h (x )>0在(1，＋∞)上恒成立． 令a ＝1，x ＝1.1，得1.12－1.1－ln 1.1>0， 即得ln 1.1<0.11.4．(14分)(2021·河北石家庄二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，若cos ∠APB ＝13，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得⎩⎨⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)解法一：设直线的方程设为y ＝kx ＋t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 则有x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2，由Δ>0，得4k 2＋1>t 2.y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋4k 2.设A ，B 的中点为D (m ，n )，则m ＝x 1＋x 22＝－4kt1＋4k 2，n ＝y 1＋y 22＝t 1＋4k 2，由于直线PD 与直线l 垂直，所以k PD ＝－1k ＝13－n －m，得t 1＋4k 2＝－19， 由Δ>0，得4k 2＋1>t 2，即－9<t <0. 由于cos ∠APB ＝2cos 2∠APD －1＝－13，所以cos ∠APD ＝33，得tan ∠APD ＝2， 所以|AB |2|PD |＝2，由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13＋t 1＋k2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 22－4×4t 2－41＋4k 2 ＝4(1＋k 2)(1＋4k 2－t 2)1＋4k 2，由|AB |2|PD |＝2(1＋k 2)(1＋4k 2－t 2)1＋4k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13＋t 1＋k 2＝2和t 1＋4k 2＝－19，解得t ＝－1∈(－9,0)，k ＝±2， 故直线的方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.解法二：设直线l 的斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 的中点为D (x 0，y 0)，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，①x 224＋y 22＝1，②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 化简，得14＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，即14＋k y 0x 0＝0，又由于直线PD 与直线l 垂直，所以y 1－13x 0·k ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧14＋k y 0x 0＝0，y 0－13x 0·k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－19，x 0＝49k ，由于cos ∠APB ＝2cos 2∠APD －1＝－13， 所以cos ∠APD ＝33⇒tan ∠APD ＝2， 所以|AB |2|PD |＝2， |PD |＝(x 0－0)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－132＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫492 ＝49k 2＋1.设直线l 的方程设为y －y 0＝k (x －x 0)，得y ＝kx －4k 2＋19，联立⎩⎨⎧y ＝kx －4k 2＋19，x24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k (4k 2＋1)9x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋192－4＝0， x 1＋x 2＝2x 0＝89k ，x 1x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋192－41＋4k 2，由Δ>0，得k 2<20.|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 92－44⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋192－41＋4k 2 ＝89(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫20－k 21＋4k 2， |AB |2|PD |＝49(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫20－k 21＋4k 2891＋k 2＝2，解得k ＝±2，满足k 2<20. 代入y ＝kx －4k 2＋19，得直线的方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.。
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高考数学第二轮复习 压轴题高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题.这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔.第一讲 函数、不等式与导数型压轴题【调研1】设21()log 1x f x x +=-,1()()2F x f x x=+- (1)试判断函数()y F x =的单调性，并给出证明；(2)若()f x 的反函数为1()f x -,证明 对任意的自然数(3)n n ≥,都有1()1nf n n ->+； (3)若()F x 的反函数1()F x -,证明 方程1()0F x -=有惟一解.分析：第（1）问先具体化函数()y F x =后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化1()f n -，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式212nn >+的证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明. 解析：（1）∵21()log 1x f x x +=-，1()()2F x f x x =+- ∴211()log 12x F x x x+=+-- ∴函数()y F x =的定义域为(1,1)-.解法一：利用定义求解 设任意1x ，2x (1,1)∈-，且12x x <，则21()()F x F x -＝212222111111(log )(log )2121x x x x x x +++-+---- ＝212221211111()(log log )2211x x x x x x ++-+-----＝211221212(1)(1)log (2)(2)(1)(1)x x x x x x x x --++--+- ∵210x x ->，120x ->，220x -> ∴1212(1)(1)0(1)(1)x x x x -+>+-∴211221212(1)(1)log 0(2)(2)(1)(1)x x x x x x x x --++>--+- ∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数解法二：利用导数求解∵211()log 12x F x x x+=+--∴()F x '＝22121(1)ln 2(1)(2)x x x x -⨯++--＝2221ln 2(1)(2)x x +⨯--又∵11x -<< ∴()F x '＝22210ln 2(1)(2)x x +>⨯--∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数 (2) 由21()log 1x f x x +=-得121y x x +=-，即2121y y x -=+ ∴121()21x x f x --=+（x R ∈）∴121()21n n f n --=+＝2121n -+∵1111n n n =-++∴证明不等式1()1n f n n ->+（3n ≥），即证222122n n <++，也即证212nn >+（3n ≥） 以下有两条求证途径：解法一：利用数学归纳法求证①当3n =时，不等式显然成立. ②设n k =时成立，即212kk >+当1n k =+时，12222(12)k k k +=⨯>+＝42222k k k +=++232(1)1k k >+=++ ∴当1n k =+时不等式也成立.由①②可知，对利用大于或等于3的自然数都有212nn >+成立.∴证明不等式1()1nf n n ->+（3n ≥） 解法二：利用放缩法求证∵2(11)112221n n n n n n =+=++++=+>+…∴等式1()1n f n n ->+（3n ≥） 故：1()1n f n n ->+ (3)∵ 211(0)log 122F =+= ∴11()02F -=，即12x =是1()0F x -=的一个根.假设1()0F x -=另外还有一个解0x （012x ≠），则10()0F x -=∴0(0)F x = (012x ≠)，这与1(0)2F =相矛盾 故1()0F x -=有惟一解.【方法探究】证明不等式的方法很多，其中分析法和综合法是最基本的方法.分析法由果索因，优点是便于寻找解题思路，而综合法由因索果，优点是便于书写，所以我们在求解过程中，常常两种方法联合作战，从而衍生出“分析综合法”，在本例第（2）问以及下例第（2）问都中有所体现.【技巧点拨】对于压轴题，大多数同学都不能完全解答，如何更好发挥，争取更好的成绩？“分步解答”、“跳步解答”与“解准第一问”是很实用的夺分技巧，其中分析综合题的各小问之间的关系是非常关键.从各小问之间的相互关系来分，数学综合题有以下三类： （1）递进型 递进型解答题是指前问是后问的基础，只有前问正确解答，才能准确求解后问，若第（1）问出错，则可能“全军覆没”，这也是相当多同学不能很好发挥其数学水平的重要原因.对于这类题目，“解准第一问”是至关重要，不容丝毫的马虎.（2）并列式 并列型解答题是指前问与后问关联性不强，前问是否正确，不会影响后问作答，如本例的三个问题.但这类题目也容易丢分，同学们在作答时，常常因为前问不会答而放弃后问的分析与思考，这时“跳步解答”非常关键.（3）混合式 混合型解答题是指解答题有三个及其以上的小问，兼有以上两种类型的特点，答题时注意“分步解答”，如本例万一不会求解第（2）问，具体化1()f n -是没有问题的，争取得到一定的步骤分.【调研2】已知函数22()ln f x x a x x=++（0x >），()f x 的导函数是()f x '对任意两个不相等的正数1x 、2x 求证：（1）当0a ≤时，1212()()()22f x f x x xf ++>；（2）当4a ≤时，1212()()f x f x x x ''->-. 分析：本例以高等数学的函数凸凹性、一致连续性、中值定理等知识为内核，综合考查函数的基本性质、导数求函数极值和均值不等式等知识的应用，考查综合分析、推理论证以及运算能力.第（1）问先根据题设条件具体化12()()2f x f x +、12()2x x f +的表达式，再对二者进行比较，可以逐项比较，也可以作差比较；第（2）问先具体化12()()f x f x ''-，再逐步逆向分析，采用分析法寻找解题思路，至于书写可用分析法，也可以用综合法. 解析：（1）∵()22ln f x x a x x =++∴()()()()1222121212111ln ln 222f x f x a x x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ ()2212121212x x x x a x x +=+++2121212124ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 以下有两条求解途径：解法一：逐项比较法122x x +<∴12ln 2x x +< ∵0a ≤∴12ln 2x x a a + ………………………………①∵()()22222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+>++= ⎪⎣⎦⎝⎭……………………………………② 又∵()()2221212121224x x x x x xx x +=++> ∴1212124x x x x x x +>+ ………………③ 由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭∴ ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭解法二：作差比较法()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()22212121212121214[[()ln ]222x x x x x x x x a a x x x x ++++++-+++＝22212121212121214[()()]()(ln )222x x x x x x x x a a x x x x ++++-+-++＝221212121212()1()4()x x x x a x x x x --+++ ∵12x x ≠，且10x >，20x > ∴2121()04x x ->，2121212()0()x x x x x x ->+，1201<<∵0a ≤∴12ln0a ≥∴()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭＝221212121212()1()04()x x x x a x x x x --++>+ 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭0>（2）证法一：分析综合法由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+- 欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->即证()1212122x x a x x x x +<+成立 ∵()121212122x x x x x x x x ++>+设t =，()()240u t t t t =+>，则()242u t t t '=- 令()0u t '=得t =()4u t a ≥=>≥ ∴()1212122x x x x a x x ++> ∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()''1212f x f x x x ->-证法二：综合法1 对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x +3≥3 4.5a >> ∴ ()12221212221x x a x x x x ++->而()'222a f x x x x =-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x a x x x x x x +-⋅+-12x x >- 故：()()''1212f x f x x x ->- 证法三：综合法2由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+ ∴()()''12f x f x -＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x a x x x x x x +-⋅+- ∵12,x x 是两个不相等的正数∴()()123221212122422x x aax x x x x x ++->+-()312442x x ≥+-设t =，()()322440u t t t t =+->，则()()'432u t t t =-，列表： ∴38127u => 即 ()12221212221x x ax x x x ++-> ∴()()()12''12121222121222x x af x f x x x x x x x x x +-==-⋅+->- 【方法探究】本例以高等数学中的函数凸凹性与中值定理为知识载体，所以也可以采取高等数学方法求解： （1）当0a ≤时，求证1212()()()22f x f x x xf ++>，联系凹（下凸）函数性质知，只需证明当0a ≤时，只需证明22()ln f x x a x x=++（0x >）为凹函数或下凸函数. 即证明“函数)(x f 的二阶导数恒大于0”其具体证明如下：∵22()ln f x x a x x =++（0x >）∴22()2a f x x x x '=-+，324()2a f x x x''=+-∵0x >，0a < ∴324()20af x x x''=+->在(0,)x ∈+∞时恒成立.∴22()ln f x x a x x =++（0x >）为凹函数 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）为证明|||)()(|2121x x x f x f ->'-'，可以考虑对函数()f x 的导函数是()f x '在闭区间12[,]x x （或21[,]x x ）上应用中值定理，具体证明过程如下：不妨设210x x >>，则由（1）问知22()2a f x x x x '=-+，324()2af x x x''=+-，在闭区间12[,]x x 上，由中值定理有，存在[]21,x x ∈ξ，使得： ))(()()(2121x x f x f x f -''='-'ξ.下证当4a ≤，0ξ>时，有()1f ξ''>成立∵324()2a f x x x ''=+-∴当0a ≤，0x >时，有324()22af x x x ''=+->恒成立 当04a <≤，0x >时，令324()2()a f xg x x x ''=+-=，则34212()a g x x x'=-再令34212()0a g x'=-=，得6x =列表如下：即当04a <≤，0x >时，有33324438()222110810827a a f x x x ''=+-≥->-=>∴1)(04>''>≤ξξf a 时，有，当，有212121)()()(x x x x f x f x f ->-⋅''='-'ξ故()()''1212f x f x x x ->-1.已知32()2f x x bx cx =+++（1）若()y f x =在1x =时有极值－1，求b ，c 的值.（2）当b 为非零实数时，证明()f x 的图像不存在与直线2()10b c x y -++=平行的切线；（3）记函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ，求证32M ≥. 2.已知函数()ln(1)(1)x f x a e a x =+-+，2()(1)(ln )g x x a x f x =---且()g x 在1x =处取得极值. (1)求a 的值和()g x 的极小值； (2)判断()y f x =在其定义域上的单调性, 并予以证明；(3)已知△ ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在函数()y f x =的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证△ABC 是钝角三角形， 但不可能是等腰三角形．【参考答案】解析：（1）∵32()2f x x bx cx =+++ ∴2()32f x x bx c '=++ 由()f x 在1x =时有极值－1有(1)320(1)121f b c f b c '=++=⎧⎨=+++=-⎩，解之得15b c =⎧⎨=-⎩当1b =，5c =-时，2()325f x x x '=+-当1x >时，()0f x '>，当513x -<<时，()0f x '< 从而符合在1x =时，()y f x =有极值 ∴1b =，5c =-（2）假设()y f x =图象在x t =处的切线与直线2()10b c x y -++=平行，则 ∵2()32f t t bt c '=++，直线2()10b c x y -++=的斜率为2c b -∴2232t bt c c b ++=-，即22320t bt b ++=∵0b ≠ ∴△＝2224(3)80b b b -=-<从而方程22320t bt b ++=无解，即不存在t ，使22()32f t t bt c c b '=++=-∴()y f x =的图象不存在与直线2()10b c x y -++=平行的切线.（3）证法一：分类讨论∵|()|f x '＝22|3()()|33b b xc ++-∴①若||13b ->，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362M >≥②当30b -≤<时，2|(1)||()|3b M f f ''≥-+-＝2|32|||3b b c c -++-2|23|3b b ≥-+＝21|(3)|3b -3> ∴32M ≥ ③当03b <≤时，2|(1)||()|3b M f f ''≥+-＝2|32|||3b bc c +++-2|23|3b b ≥++＝21|(3)|3b +3> ∴32M ≥综上所述，32M ≥成立.证法二：利用二次函数最值求解2()32f t t bt c '=++的顶点坐标是（3b -，332b c -），①若||13b->，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个 ∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362M >≥②若||13b -≤，则M 应是|(1)|f '-、|(1)|f '、|332b c -|中最大的一个（1）当32c ≥-时，2|(1)||(1)|M f f ''≥-+|(1)(1)|f f ''≥-+＝|62|3x +≥ ∴32M ≥ （2）当32c <-时， 23||3c b M -≥＝2332b c c -≥->综上所述，32M ≥成立. 证法三：利用绝对值不等式的性质∵函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ∴|(1)|M f '≥-，|(1)|M f '≥，|(0)|M f '≥∴4|(1)||(1)|2|(0)|M f f f '''≥-++|(1)(1)2(0)|f f f '''≥-+-＝6 ∴32M ≥ 2.解析：（1）∵2()(1)(ln )g x x a x f x =---∴1()2(1)1a a g x x a x x+'=---++（0x >） ∵()g x 在1x =处取得极值 ∴(1)2(1)102ag a a '=---++=，即8a =∴()8ln(1)9xf x e x =+- 2()78ln(1)9ln g x x x x x =--+-89(1)(3)(23)()271(1)x x x g x x x x x x --+'=--+=++（0x >） 令(1)(3)(23)()0(1)x x x g x x x --+'==+得1x =或3x =当13x <<时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>当3x >时，()0g x '> ∴当3x =时，min ()9ln38ln 412g x =-- （2）∵()8ln(1)9x f x e x =+-∴89()9011xx xe f x e e--'=-=<++恒成立，即函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. （3）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，且123x x x <<，则123()()()f x f x f x >>，1322x x x +=∴1212(,()())BA x x f x f x =+-，3232(,()())BC x x f x f x =-- ∴12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ⋅=--+-⋅-∵120x x -<，320x x ->，12()()0f x f x ->，32()()0f x f x -< ∴0BA BC ⋅< 故B 为钝角，△ABC 为锐角三角形.另一方面，若ABC ∆为等腰三角形，则只能是BA BC = 即222212123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+- ∵2132x x x x -=-，221232[()()][()()]f x f x f x f x -=- ∴1223()()()()f x f x f x f x -=-，即13)()()f x f x f x =+22(∵()8ln(1)9x f x e x =+- ∴21221316ln(1)188[ln(1)(1)]9()x x xe x e e x x +-=++-+ ∴132122ln(1)ln(1)x x x x xe e e e ++=+++，即22122222x x x x x e e e e e +=++∴3212x x x ee e =+，但与3122x x x e e e +≥==相矛盾，所以ABC ∆不能为等腰三角形.综上所述，△ABC 是钝角三角形， 但不可能是等腰三角形.第二讲 递推数列、数学归纳法型压轴题数列和数学归纳法是初等数学与高等数学的最重要衔接点之一，是中学数学的重要组成部分，涉及知识面广、综合性强、方法灵活、试题新颖、技巧性突出，蕴含函数与方程，等价转化、分类与整合等数学思想以及错位相减法、归纳－猜想－证明、叠加（乘）法、叠代法、裂项法等大量的数学方法，是代数计算与逻辑推理训练的重要题材，因而这类题目多以压轴题的形式出现，成为高考的重头戏之一.【调研1】已知函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+.若1()12f =，(2)n n f a n-=（n N *∈），求①.数列{}n a 的通项公式；②.数列{}n a 的前n 项和为n S ，问是否存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.分析: 求解本题的关键在于准确求解第（1）小问，所以准确化简(2)n f -成为求解本例的焦点.大致有以下三条途径：①.由已知条件()()()f a b af b bf a ⋅=+探索)(n a f 的规律，最后用数学归纳法证明； ②.将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点构造另一个函数, 设法用此函数求出)(n a f ； ③.设法将(2)n f -转化为熟悉的数列. 解析:（1）解法一：“归纳－猜想－证明”法∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+∴2()f a ＝()()a f a a f a ⋅+⋅＝2()a f a ⋅3()f a ＝22()()a f a a f a ⋅+⋅＝22()()a a f a a f a ⋅⋅+⋅＝23()a f a 4()f a ＝33()()a f a a f a ⋅+⋅＝233()()a a f a a f a ⋅⋅+⋅＝34()a f a猜想1()()n n f a na f a -=⋅ （n N *∈）现在用数学归纳法证明： ①.显然1n =时，左边＝()f a ，右边＝111()a f a -⨯⋅＝()f a ∴1n =时，命题1()()n n f a na f a -=⋅显然成立. ②.设n k =（*k N ∈）时有1()()kk f a kaf a -=⋅当1n k =+时 ∵()()()f a b af b bf a ⋅=+∴1()k f a +＝()k f a a ⨯＝()()k k a f a a f a ⋅+⋅＝1()()k k a f a a ka f a -⋅+⋅⋅＝()()k k a f a ka f a ⋅+⋅＝(1)()k k a f a +⋅∴1n k =+时，命题1()()n n f a na f a -=⋅成立.由①②可知，对任意n N *∈都有1()()n n f a na f a -=⋅（n N *∈）成立.又∵1()12f =∴11111[()]()()(2)1222()2n n nn n f n f f a n n n ---⋅====故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n -解法二：构造函数法 ∵当0≠⋅b a 时，有()()()f a b af b bf a ⋅=+ ∴bb f a a f ab ab f )()()(+= 令()()f x g x x =，则bb f a a f ab ab f )()()(+=即为: ()()()g ab g a g b =+∴()()ng a n g a =⋅ 即()()n nf a ng a a=⋅ ∴1()()()()nnnn f a f a a n g a a n na f a a-=⋅⋅=⋅⋅=⋅，即1()()n n f a na f a -=⋅余下的过程同解法一. 证法三: 转化为特殊数列求解∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+，1()12f =∴1[()]2n f ＝111[()]22n f -⨯＝111111[()]()()2222n n f f --⨯+⨯＝11111[()]()222n n f --⨯+即1[()]2n f ＝11111[()]()222n n f --⨯+ ∴1111[()][()]222()()22n n n n f f --=+ ∴新数列1[()]21()2n n f ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为2，首项为1()2212f =的等差数列，即1[()]221()2n n f n = ∴11()2(2)12()2n nn n n f a n n --⨯=== 故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n -.（2）假设存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立，则由（1）问可知111()2n n S -=-，所以1141()23n m ---<恒成立∴413m -≥，即7m ≥ 故存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立，此时m 的最小值为7.【方法探究】本例是已知抽象函数关系, 利用函数迭代求数列通项问题.在所给的三种方法之中, 解法一利用“归纳－猜想－证明”求解，思路自然, 但较为繁琐；解法二利用构造函数法求解，比较简洁，但技巧性强；解法三转化为特殊数列求解，思维跨度大.这三种证法反应出求解数列与函数综合题的共同规律: 充分应用已知条件变形转化, 根据其形式特点构造新的数列, 然后利用数列的性质求解.【调研2】已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-=（*n N ∈）（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较nb 1与1+n S 的大小. 分析：（1）由方程027122=+-x x 可求2a 、5a ，从而得到等差数列{}n a 的通项；由公式1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解数列{}n b 的通项.（2）要比较n b 1与1+n S 的大小，应先由（1）问具体化nb 1、1+n S ，再求出前几项，探索大小规律， 最后用数学归纳法证明.解析：（1）∵2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，公差d 大于0∴2a =3，5a =9，即5223a a d -==，11a = ∴21n a n =-（*n N ∈） ∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-=（*n N ∈）∴当1n =时，111112T b b ==- ∴321=b当2≥n 时，∵n n b T 211-= ∴111122n n n n n b T T b b --=-=-∴113n n b b -=（2n ≥），即1212()333n n n b -==故21n a n =-，1212()333n n n b -==（2）解法一：归纳－猜想－证明由（1）可知2[1(21)]2n n n S n +-==，132n n b = ∴21(1)n S n +=+ 当1n =时，1132b =，24S = ∴211S b <当2n =时，2192b =，39S = ∴321S b <当3n =时，31272b =，416S = ∴431S b <当4n =时，41812b =，525S = ∴541S b >当5n =时，512432b =，636S = ∴651S b >猜想：4≥n 时，11+>n n S b以下用数学归纳法证明：（1）当4n =时，由上可知成立.（2）设n k =（*,4k N n ∈≥）时，11+>k kS b ，即2)1(23+>k K 当1n k =+时，11k b +＝132k +＝332k ⋅23(1)k >+2363k k =++＝22(44)221k k k k ++++-2(1)1[(1)1]k k S ++>++=∴当1n k =+时，11+>n nS b 成立.由（1）（2）知n N *∈，4n ≥时，11+>n n S b .综上所述，当1n =，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，11+>n nS b .解法二：放缩法证明当1n =，2，3时，同以上解法 当n N *∈，4n ≥时1nb ＝32n ＝1223311(12)(1222)22n n n n C C C +>+⋅+⋅+⋅＝1(1)(1)(2)[1248]226n n n n n n ---++⋅+⋅ ≥18[126(1)]23n n n n +++-＝281636n n ++221n n >++1n S += 综上所述，当1n =，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，11+>n nS b . 【方法探究】通过对有限个特例进行考察，猜想一般的结论，然后运用数学归纳法证明，即“观察――猜想――证明”，这是中学数学中重要的解题方法，可有效解决探索性问题、存在性问题或某些与自然数有关的命题，在求解时注意“猜想大胆、求证小心”.【技巧点拨】放缩法是证明不等式的常用方法，过程简洁，但有一定难度，犹如花中的玫瑰，美丽但有刺. 成功运用放缩法求证的关键在于把握放缩尺度，在平时训练中注意多积累与整理.常见的放缩技巧有：（1）添项或减项的“添舍放缩”，如本例12233113(1222)22n n n n C C C ⨯>+⋅+⋅+⋅，只取(21)n +的二项展开式的前四项进行放缩；（2）拆项对比的“分项放缩”；（3）运用分数的性质放缩，如①分子增加正数项或分母减少正数项，分数值变大，反之变小；② a, b, m 都是正数并且a b <，有a a mb b m+<+（真分数的性质）等. （4）运用不等式串)1(11)1(12-<<+n n n n n 放缩，如在第3讲例2第（2）问中求证23π<n T 时，运用该技巧放缩后，再裂项相加求解.类似的不等式有2()4a b ab +≤≤ 222a b +，<<等. 1.已知函数()2x f x m t =⋅+的图象经过点A （1，1）、B （2，3）及C （n S n ,），n S 为数列{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （1）求n S 及n a ；（2）若数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记11122334111111ni i i n n b b b b b b b b b b =++=++++∑（*n N ∈）求证：1111132n i i i bb =+≤<∑. 2.第七届国际数学教育大会的会徽的主体是由一连串直角三角形演变而成，其中OA ＝AB ＝BC ＝CD＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ＝HI ＝1.若将图2的直角三角形继续作下去，并记OA 、OB 、… 、OI 、…… 的长度所构成的数列为{}n a （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若函数22212111()nf n n a n a n a =+++++…+，求函数()f n 的最小值； （3）设11n n nb a a +=+，数列｛n b ｝的前n 项和为n S .解不等式|2|4n S -≥3.已知一次函数)(x f 的反函数为)(x g ，且(1)0f =，若点1(,)n n na A n a +（n N *∈）在曲线)(x g y =上，11=a ，对于大于或等于2的任意自然数n 均有111=--+n nn n a a a a . （1）求)(x g y =的表达式；（2）求}{n a 的通项公式；O AB C DE F G H I图1图2（3）设)!2(!4!321++++=n a a a S n n ，求lim n n S →∞. 4.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：12a a =（0a >），211()2n n na a a a +=+，n n n a ab a a +=-（n N *∈）（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简aa aa n n --+1；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )34(+是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.【参考答案】1.解析：（1）∵函数()2x f x m t =⋅+的图象经过点A （1，1）、B （2，3） ∴2143m t m t +=⎧⎨+=⎩ 解之得11m t =⎧⎨=-⎩ ∴()21x f x =-∵函数()2x f x m t =⋅+的图象经过C （n S n ,） ∴21n n S =-（*n N ∈） ∴当1n =时，111S a ==当2≥n 时，111222n n n n n n a S S ---=-=-= ∵当1n =时，满足12n n a -= ∴数列{}n a 的通项为12n n a -= 故：12n n a -=，21n n S =-（*n N ∈）（2）由（1）可知121)1(21log 22-=+-=+=n n a b n n ，则∴11n n b b +＝1(21)(21)n n -+＝111()22121n n --+∴111ni i i b b -+∑＝12233411111n n b b b b b b b b +++++＝11111111(1)2335572121n n -+-+-++--+＝11(1)221n -+（*n N ∈） ∵11(1)221n -+在*n N ∈上单调递增 ∴当1n =时min 11(1)221n -+＝13 ∵1021n >+ ∴111(1)2212n -<+ 综上可得∑=+<≤n i i i b b 11211312.解析：（1）由题意有2211n n a a+=+∴ 21(1)1n a n =+-⨯＝n 即n a （2）∵22212111()n f n n a n a n a =+++++…+∴1111()1232f n n n n n =++++++…+ 111111(1)23322122f n n n n n n n +=++++++++…+++ ∴111(1)()21221f n f n n n n +-=-++++＝1102122n n >++- ∴(1)()f n f n +> 即函数()y f n =是递增数列∴()y f n =的最小值为11(1)112f ==+ （3）∵11n n n b a a +===+∴1)n S =++…1 ∴|2|4n S -≥即为2|4≥ 解之得48n ≥且n N ∈3.分析：由)(x g 为一次函数)(x f 的反函数得)(x g 也为一次函数，所以可设()g x kx b =+； 由(1)0f =得(0)1g =，从而有1b =；由“点1(,)n n na A n a +（n N *∈）在曲线)(x g y =上，且111=--+n nn n a a a a ”确定斜率k ，一旦直线)(x g y =的解析式确定，剩下的问题水到渠成. 解析：（1）∵)(x f 为一次函数，且)(x g 为其反函数 ∴设b kx x g +=)( 由(1)0f =得(0)1g =，即1)(+=kx x g ∵()1g n kn =+且1(,)n n n a A n a +（n N *∈）均在直线b kx x g +=)(上，且111=--+n n n n a aa a ∴1)1(112=-+-=+++nn a a a a k nn n n ∴1)(+=x x g （2）∵1(,)n n na A n a +（n N *∈）均在直线b kx x g +=)(上 ∴11+=+n a a nn ∴当*N n ∈时，12121(1)(2)n n n n a a an n n a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯-⨯-⨯…21＝n!（3）n S ＝123!4!(2)!n a a a n ++++＝1!2!!3!4!(2)!n n ++++…＝1112334(1)(2)n n +++⨯⨯++…＝111111233412n n -+-++-++＝1122n -+ ∴lim n n S →∞＝11lim()22n n →∞-+＝124.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：12a a =（0a >），211()2n n na a a a +=+，n n n a ab a a +=-（n N *∈）（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简aa aa n n --+1；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )34(+是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.4.解析：（1）∵n n n a a b a a +=-（n N *∈），211()2n n na a a a +=+∴1n b +＝11n n a a a a +++-＝331()21()2n n n na a aa a a a a +++-＝22()()n n a a a a +-＝2n b 0> ∴1lg 2lg n n b b += ∵1113a a b a a +==- ∴1lg (lg3)2n n b -=⋅，即123n n b -= ∴11223131n n n a a --+=-故1n n a a a a +--＝2n n a a a-＝1n b +＝1231n -+（2）当2≥n 时，1n a a +-＝1231n n a a --+≤1()10n a a -（当且仅当2n =时取“＝”） ∴321()10a a a a -≤-，431()10a a a a -<-，……，)(1011a a a a n n -<-- ∴])2([101)2(1121a n a S a n a a S n n ---<----- ∵12a a =，254a a = ∴651010(2)2(2)2n n n S a n a S a a n a ---<---- ∴11226131[(2)]189(31)n n n S n a --+<-+--251()189n a <+-23()18n a =+4()3n a <+故4()3n S n a <+.第三讲 解析几何型压轴题解析几何综合题是高考命题的一个热点内容，这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、向量、数列等知识，涉及知识点多，综合性强，题目多变，解法灵活多样，能较好体现高考的选拔功能，因此这类题目常常以压轴题的形式出现.求解这类题目，注意在掌握通性通法的同时，从宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路上下功夫，不断跨越求解征途中可能会遇到的一道道运算难关，最终达到求解目的.【调研1】若1F ，2F 为双曲线22221b y a b -=的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足1F O PM =，11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=.（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点N ，求双曲线的方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为1B ，2B （1B 在y 轴的正半轴上），过2B 作直线AB 与双曲线交于A ，Ｂ两点，求11B A B B =时，直线的方程. 分析：弄清向量表达式11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=是求解本题的关键！由向量的数量积定义可知cos ,OP OM <>＝1cos ,OF OP <>，即OP 是1F OM ∠的角平分线，联系1F O PM =可判断四边形1OMPF 是菱形.解析：（1）由1F O PM =知四边形1PFOM 是平行四边形 又由11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=知OP 平分1F OM ∠ ∴四边形1PFOM 是菱形 设焦半距为c ，则有11OF PF PM c === ∴2122PF PF a c a =+=+ 由双曲线第二定义可知21PF e PM =，即2c aec+= ∴2e =（1e =-舍去） （2）∵2ce a== ∴2c a = ∴双曲线方程为222213x y a a -=又∵双曲线过点N ∴224313a a -=，即23a = ∴所求双曲线的方程为22139x y -=（3）由题意知()10,3B ，()20,3B -，则设直线AB 的方程为3y kx =-，()11,A xy ，()22,B x y则由223139y kx x y=-⎧⎪⎨-=⎪⎩有()2236180k x kx -+-= ∵双曲线的渐近线为y = ∴当k =时，AB 与双曲线只有一个交点，即k ≠∵12263k x x k +=-，122183x x k -⋅=- ∴()121221863y y k x x k -+=+-=-，()212121299y y k x x k x x ⋅=-++= 又∵()1113B A x y =-，，()1223B B x y =-，∵11B A B B ⊥∴()121212390xx y y y y +⋅-++=即221818939033k k --+-⋅+=-- ∴k = ∴直线AB 的方程为3y =-【方法探究】平面向量是高中数学新增内容，兼有代数和几何特性，是高中数学应用最广泛的数学工具之一，解析几何是高中数学的传统重点内容，是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近三年来新高考的一个新亮点.这类综合问题大致可分三类：（1）平面向量与圆锥曲线符号层面上的整合问题：这类题目是平面向量和圆锥曲线的简单拼盘，在平面向量刚进入高考时，比较常见，近来比较少；（2）平面向量与圆锥曲线知识层面上的整合问题：用平面向量语言包装解析几何中元素的关系，试题情境新颖，结合点选取恰到好处，命题手法日趋成熟，如本例求解过程中，明确向量式“1F O PM =”与“11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=”含义，还原几何元素“菱形1PFOM ”是求解关键；（3）平面向量与圆锥曲线应用层面的整合问题：以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题，这类问题往往更具有挑战性. 【调研2】在xoy 平面上有一系列点111(,)P x y ，222(,)P x y ，……，(,)n n n P x y ……，对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 )(N n ∈．（1）求证数列}1{nx 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21, 求证：23π<n T 分析：本题是数列与圆锥曲线的综合题，求解过程有两个关键点：①.由⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，从而构建关于n x 的递推关系式，突破的办法是具体化已知条件 “⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切”为1n n P P +1n n r r ++＝1n n y y ++； ②.经过一系列演算后得到222111]35(21)n T n =++++-，如何放缩？放缩度是把握问题的关键.解析：（1） ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切∴11n n n n P P r r ++=+1n n y y +=+ 两边平方并化简得1214)(++=-n n n n y y x x依题意有⊙n P 的半径2n n n x y r ==，22211()4n n n n x x x x ++-=⋅∵10n n x x +>> ∴112++=-n n n n x x x x ，即1112()n nn N x x +-=∈ ∴ 数列}1{n x 是以111x =为首项，以2为公差的等差数列. (2) 由（1）问有111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-∴2244(21)n n n n S r y x n ππππ====-， n n S S S T +⋅⋅⋅++=21])12(151311[222-++++=n π ≤])12()32(15313111[-⋅-++⋅+⋅+n n π ＝)]}121321()5131()311[(211{---++-+-+n n π ＝)]1211(211[--+n π< 【方法探究】在04年的湖南、上海、浙江卷， 05年的上海、浙江卷，06年的重庆、山东、湖北、浙江等卷都有数列与解析几何的综合问题.这类题综合性强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力以及函数与方程、数形结合、特殊化与一般化等数学思想.这类试题大多以点列的形式出现的，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质熔合.求解这类题目关键在于利用曲线性质建立数列的递推式，转化为代数问题求解.【技巧点拨】数列的判断与证明是数列的常考点，其求解过程常常从数列通项或递推式入手，通常有两种方法：①.定义法 证明数列每项与它的前项之差（比）是同一个常数，即证1n n a a +-＝d ，d 为常数（1n na a +＝q ，q 为不等于零的常数）；②.中项法 证明每一项都是它的前一项和后一项的等差（比）中项，即证122n n n a a a ++=+（221++⋅=n n n a a a ）.【调研3】在平面直角坐标系xOy中，有一个以(10,F和(2F的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A ，B ，且向量OM OA OB =+.求：（1）点M 的轨迹方程； （2）OM 的最小值.分析：求解本例可以根据以下步骤进行：①求立椭圆的方程，得到曲线Ｃ的方程； ②求过点Ｐ的切线方程，求出点Ａ、Ｂ的坐标；③运用相关点法求点M 的轨迹方程； ④具体化OM ，转化为函数最值问题求解.解析：∵椭圆的焦点为(10,F、(2F，离心率为2∴椭圆方程可写为22221y x a b +=（0a b >>），其中223a b ⎧+==，解之得24a =，21b =∴曲线Ｃ的方程为y =，y '=设在曲线Ｃ上的动点00(,)P x y (0<x 0<1)，则0y =∴过切点Ｐ的切线的斜率为0|x x k y ='==04x y -，过点Ｐ的切线的方程为 00004()x y x x y y =---+ ∵点,A B 是切线与x y 、轴的交点 ∴Ａ01(,0)x ，Ｂ04(0,)y设点Ｍ为(,)x y ，则由OM →=OA → +OB →得01x x =，04y y =∵点00(,)P x y在曲线Ｃ：0y =∴点M 的轨迹方程为22141x y +=（1x >，2y >） (2)由（1）问可知2y ＝2411x -＝2441x +- ∴2||OM ＝22x y +＝22441x x ++-＝224151x x -++-≥5＝9 （当且仅当22411x x -=-，即1x =>时取等号）故当x =|OM →|的最小值为3. 【高考前沿】切线是曲线的一个重要几何性质，而导数是求曲线切线的最有力的工具，所以从切线角度与圆锥曲线综合考查，这是高考的一个新趋势，大大丰富了解析几何的研究内容，可能成为以后高考的一个新热点.导数也是求解最值问题的最常用工具，常与解析几何交汇，以最值问题的形式出现，是高考常考常新的热点.1.P 、Q 、M 、N 四点都在中心为坐标原点，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F 的椭圆上，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值.2.设向量(1,0)i =,(0,1)j =，()a x m i y j =++,()b x m i y j =-+，且||||6a b +=，03m <<，0x >，y R ∈. (1)求动点(,)P x y 的轨迹方程；(2)已知点(1,0)A -，设直线1(2)3y x =-与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得13AB AC ⋅=？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 3.已知曲线C ：222(23)1k x k y k +-=+（k R ∈）. （1）若曲线C 是双曲线，求k 的取值范围；（2）若曲线C 是焦点在x（3）对于满足条件（2）的双曲线，是否存在过点B （1，1）的直线l ，使直线l 与双曲线交于M ，N 两点且B 是线段MN 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【参考答案】1.解析：∵椭圆的中心为坐标原点，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F ∴椭圆方程为2212x y += ∵PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，0PF MF ⋅=∴直线PQ 和直线MN 都过椭圆的左焦点)0,1(-F不妨设PQ 的方程为1ky x =+，设11(,)P x y ,11(,)Q x y ，则12y y +22112ky x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴22(2)210k y ky +--= ∴12222k y y k -+=-+，12212y y k -⋅=+∴12PQ y y =-=22)2k k +==+ (1)当0k ≠时,MN 的斜率为1k-，同理可得221)12k MN k +=+故四边形面积222214(2)12252k k S PQ MN k k ++==++＝222212(5)2252k k k k ++-++＝222252k k-++ ∵222529k k ++≥ ∴222202952k k-≤-<++，即1629S ≤<(2) 当0k =时,MN 为椭圆的长轴,MN =PQ =∴122S PQ MN ==综合(1) (2)知,四边形PQMN 面积的最大值为2,最小值为169.2.解析：(1)∵(1,0)i =,(0,1)j =，||||6a b +=6=，即为点(,)P x y 到点(,0)m -与到点(,0)m 距离之和为6记1(,0)F m -，2(,0)F m （03m <<），则12||26F F m =<∴1212||||6||PF PF F F +=> 又∵0x > ∴P 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆的右半部分.∵26a =，22c m =∴22229b a c m =-=-∴所求轨迹方程为222199x y m +=-（0,03x m ><<） (2)设11(,)B x y =，22(,)C x y = ∴11(1,)AB x y =+，22(1,)AC x y =+∴121212·()1AB AC x x x x y y =++++而12y y ⋅＝1211(2)(2)33x x -⋅-＝12121[2()4]9x x x x -++∴AB AC ⋅＝121212121()1[-2()4]9x x x x x x x x ++++++＝12121[107()13]9x x x x +++若存在实数m ,使得1·3AB AC =成立，则1212107()13=0x x x x +++………………………①高考数学第二轮复习 压轴题21 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-+=0)(1992),-(31y 222x m y x x 得222(1)4(977)0m x x m --+-=…………………………② ∵0x > ∴22164(1)(977)0m m =--⋅->△，2124010x x m +=>-，21229-77010 m x x m =>- ∴2321940m =< 此时虽满足△>0，但21229-7728893080010 4040m x x m ==-<- ∴不存在符合题意的实数m ,使得1·3AB AC = 3.解析：（1）当1k =-、0k =或32k =时，曲线C 表示直线. 当1k ≠-且0k ≠且32k ≠时，曲线C 可化为22111223x y k k k k +=++-………………（1） 方程（1）表示椭圆的充要条件是110223k k k k ++⋅<- ∴解之得302k << （2）∵ 曲线C 是焦点在x∴212k a k +=，2123k b k +=--，从而有211223312k k k k e k k++--==+ ∴ 1k = 故曲线C 的方程为22112x y -= （3）假设存在直线l ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-12112122222121y x y x ∴0)(2122212221=---y y x x ，即121212122()()()()x x x x y y y y -+=-+ ∵B 是线段MN 的中点 ∴221=+x x ，221=+y y∴ 直线l 的斜率22121=--=x x y y k ，即直线l ：21y x =- 又直线l 与双曲线交于MN 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧-==-1212122x y y x 得03422=+-x x ， 此时0832416<-=⨯⨯-=∆，方程无实数根.即直线l 与双曲线12122=-y x 无交点. 故不存在满足条件的直线l .点评：本题易忽视直线m 与双曲线交于MN 两点的隐含条件0>∆，而得出存在直线l 为12-=x y 的错误结论.。