2016-2018年全国卷高考数列题
2016年高考真题(数列)
2016年高考真题------数列1已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）A.100B.99C.98D.972.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且，28,171==S a 记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][].199lg 09.0==，（1）求;,,101111b b b（2）求数列{}n b 的前1000项和。
3.已知数列{}n a 的前n 项和,1n n a S λ+=其中0≠λ（1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式。
（2）若5S =3231,求λ4.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若_______,0,66531==+=S a a a 则5.已知数列{}n a 的前n 项和{}n n b n n S ,832+=是等差数列，且.1++=n n n b b a（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）令{}n n n n n n c b a c 求数列,)2()1(1++=+的前n 项和.n T6.记{}100...,2,1，=U .对数列{})(*∈N n a n 和U 的子集T ，若φ=T ,定义{},,...,,;021k T t t t T S ==若定义....21k t t t T a a a S +++=假如：{}6631，，=T 时，.6631a a a S T ++=现设{})(*∈N n a n 是公比为3的等比数列，且当T={}42，时，.30=T S（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数),1001(≤≤k k 若{},,...,2,1k T ⊆求证：;1+<k T a S（3）设,,,D C S S U D U C ≥⊆⊆求证：D D C C S S S 2≥+7.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*∈N n ,1+n n n a a b 和是的等比中项 （1）设,,221*+∈-=N n b b c n n n 求证：数列{}n c 是等差数列。
高考全国3卷理科数学(2016-2018共3套真题)及答案
高考全国3卷理科数学真题2016-2018年共3套2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国3卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为锥D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为AB ．2C D12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考理科数学全国1卷(2016-2018共3套真题)及参考答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
） 1、设z=，则∣z ∣=（ ）A.0B.C.1D.2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ）A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1≤x ≤2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3 = S 2+ S 4，a 1 =2，则a 5 =（ ）A 、-12B 、-10C 、10D 、125、设函数f （x ）=x ³+（a-1）x ²+ax .若f （x ）为奇函数，则曲线y= f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）A. -B.-C.+D.+7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 2B. 2C. 3D. 28.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则·=( )A.5B.6C.7D.8 9.已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. [-1，0）B. [0，+∞）C. [-1，+∞）D. [1，+∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
2016年高考真题--数列(含答案)
2016年高考真题--数列一．选择题（共5小题）1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年2．已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.73．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．B．5 C．7 D．95．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6二．填空题（共5小题）6．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．7．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．8．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．9．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．10．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．三．解答题（共6小题）11．等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．12．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．13．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．14．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．15．S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．16．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．2016年高考真题--数列参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016•上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，在B中，a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；在D中，a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q2＞，D不成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．3．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．B．5 C．7 D．9【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．二．填空题（共5小题）6．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=1，S5=121．【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n =S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．＞1时，a n+1【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n=S n+1﹣S n，可得+1S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n ，考查运算能力，属于中档题．﹣S n﹣17．（2016•北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=6．【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n 项和公式能求出S6．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和．a1=6，a3+a5=0，∴a1+2d+a1+4d=0，∴12+6d=0，解得d=﹣2，∴S6==36﹣30=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．10．（2015•新课标Ⅰ）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，结合等比数列的定义可知数列{a n}是a1=2为首项，以2为【分析】由a n+1公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a n=2a n，+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．三．解答题（共6小题）11．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，【分析】解得答案；（Ⅱ）根据b n=[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得：，∴a n=；（Ⅱ）∵b n=[a n]，∴b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=4．故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．12．（2016•山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n=b n﹣1+b n，﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴a n﹣a n﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．13．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．14．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a n；（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，当n≥2时，a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，两式相减得a n+1即a n=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．15．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．16．（2016•四川）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的=2S n+1，进而可得S n=2S n﹣1+1，将两式相减可得a n=2a n﹣1，即可值，进而可得S n+1得数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意S n=qS n+1，同理有S n=qS n﹣1+1，将两式相减可得a n=qa n﹣1，分析+1可得a n=q n﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，分析可得e2==2，解可得a2的值，由a n=q n﹣1可得q的值，进而可得数列{a n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e n2=1+a n2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的首项为1，即a1=1，=qS n+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又由S n+1又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q＞0），解可得q=2，=2S n+1，①则有S n+1进而有S n=2S n﹣1+1，②①﹣②可得a n=2a n﹣1，则数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，则a n=1×2n﹣1=2n﹣1；=qS n+1，③（Ⅱ）根据题意，有S n+1同理可得S n=qS n﹣1+1，④③﹣④可得：a n=qa n﹣1，又由q＞0，则数列{a n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a n=1×q n﹣1=q n﹣1；若e 2=2，则e2==2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，a n=1×q n﹣1=q n﹣1=（）n﹣1，则e n2=1+a n2=1+3n﹣1，故e12+e22+…+e n2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．。
2016-2018年高考数学理科真题分类专题14【数列相关的综合类题】解析卷
2
2016-2018 年高考数学理科真题分类专题 14【数列相关的综合类题】解析卷
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和
的常见类型主要有分段型 （如
） ， 符号型 （如an = ( − 1)nn2 ） ， 周期型 （如
. ）
3．【2018 年理数天津卷】设{an}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 列.已知a1 = 1，a3 = a2 + 2，a4 = b3 + b5 ，a5 = b4 + 2b6. （I）求{an }和{bn }的通项公式； （II）设数列{Sn}的前 n 项和为 （i）求Tn ； ，
n2 −n−2 2
4
2016-2018 年高考数学理科真题分类专题 14【数列相关的综合类题】解析卷
【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为 2 的个数，再利用枚举 法确定含四个元素的集合中逆序数为 2 的个数；（2）先寻求含 n 个元素的集合中逆序数为 2 与含 n+1 个元素的集合中逆序数为 2 的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果. 详解：解：（1）记蟿(abc)为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有 ，所以 ．对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进 去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4(2) = f3 (2) + f3 (1) + f3 (0) = 5．
点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数 列)、 联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系， 是求数列通项公式的一个有效的方法. 5．【2018 年江苏卷】设{an}是首项为a1，公差为 d 的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为 q 的等比 数列． （1）设a1 = 0,b1 = 1,q = 2，若 （2）若 对 n = 1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围； ，证明：存在 d 鈭圧，使得 对 n = 2,3,鈰?m + 1 均成
全国卷数列高考题汇总附答案
数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明： .(2015·I)（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。
(2015·I I)（4）等比数列满足，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84(2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97(2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记，其中表示不超过的最大整数，如.（I ）求，，；（II ）求数列的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列的前项和，其中（I ）证明是等比数列，并求其通项公式；（II ）若 ，求.(2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
数列说题16年全国卷15题只是分享
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a1a2 ?
an ? a1 ?a1q ?a1q2 ?
a1q n?1
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(
n?1)域? 。8n
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7 2
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2
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49 4
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? 当n ? 3或n ? 4时，a1a2 ?
04
变式拓展
变式拓展
基本量法
性质
变式1：设等比数列?an?满足a1 - a5 ? -15，a2 ? a4 ? 10, 求an的通
.
变式2：设正项等比数列?an?满足a1 ?a5 ? 16，a2 ? a4 ? 10, 求an的通
.
变式3：设等比数列?an?满足a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5, 求a1 ? a2 ? ? ? an的
.
变式4：设等差数列?an?满足a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5, 求a1 ? a2 ? ? ? an的
.
变式5：设正项等比数列?an?满足a5a6 ? a4a7 ? 18, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10的 .
变式拓展
(2013江苏14)在正项等比数列?a n ?中，a5
能力
推理论证能力 考查 运算求解能力
必修五 P48等差数列前n项和 例4 P53等比数列课后题1
来源 出处
等比数列通项公式 知识 等差数列求和公式 考查 指数幂的运算
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)
可得
3a1
13d
16
，从而
a1
1，
d
1 ，故
an
n
，所以，
Sn
nn 1
2
．
第 5页 （共 7页）
（2）由（1），有 T1 T2 Tn
21 23 2n
2 1 2n n =
1 2
n 2n 1 n 2 ，由
Sn
T1
T2
Tn
an
4bn
可得
nn 1
2
2n1
n
2
n
2n1 ，
二、填空 1．（2018 北京理）设 an 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 an 的通项公式为__________．
1．【答案】 an 6n 3
【解析】 Q a1 3 ， 3 d 3 4d 36 ， d 6 ，an 3 6n 1 6n 3 ．
2．（2018 江苏）已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A B 的所有元素从 小到大依次排列构成一个数列{an} ．记 Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则使得 Sn 12an1 成立的 n 的 最小值为 ▲ ．
7 21
11 22
4n 5 2n2
，
错位相减得
bn
b1
14
4n 3 2n2
，
所以 bn
15
4n 3 2n2
.
5．（2018 天津文）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其 前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求 Sn 和 Tn； （Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．
历年高考理科数列真题汇编含答案解析
高考数列选择题部分（2016全国I ）（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a（2016四川）5. 【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 （2016天津）（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（2016浙江）6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列D ．2{}n d 是等差数列1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、62.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列2.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35.【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14高考数列填空题部分（2016全国I ）（15）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．（2016上海）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.（2016北京）12.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..（2016江苏）8. 已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .（2016浙江）13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．7.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为3.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。
人教版【三年高考】(2016-2018)数学(理科)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题(含答案)
专题14 与数列相关的综合问题考纲解读明方向分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A. B.C.D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此， 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．【2018年江苏卷】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求的值；（2）求的表达式(用n表示)．【答案】（1）2 5 2）n≥5时，【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.详解：解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法.5．【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
数列高考真题汇编(二)-教师版
数列真题汇编（二）数列求通项15道1.（2016全国3卷文）已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0. （I ）求a 2,a 3； （II ）求{a n }的通项公式.解：（Ⅰ）由题意得a 2=12,a 3=14. .........5分（Ⅱ）由a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1). 因为{a n }的各项都为正数，所以a n+1a n=12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n =12n−1.2．（2016全国1卷文）已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=13，a nb n+1+b n+1=nb n . （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求{b n }的前n 项和.【解析】（Ⅰ）由已知，a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =3n −1. （Ⅱ）由（Ⅰ）和a n b n+1+b n+1=nb n ，得b n+1=b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则S n =1−(13)n 1−13=32−12×3n−1.3.（2018全国1文）已知数列满足，，求的通项公式．解：∵，∴.4.（三星）(全国II )已知a 1=1,S n+1=4a n +2(n ∈N ∗)， (1)设b n =a n+1−2a n ,求证：{b n }是等比数列； (2)求a n .备注：题目中 已经将关系式构造好了，三项关系变二项关系后是等比数列；基本类型二求通项{}n a 11a =()121n n na n a +=+{}n a 1112n n nn a b b q n−−===12n n a n −=⋅5.（三星）(全国Ⅰ卷)在数列{a n}中,S n=43a n−13×2n+1+23,S n.求首项{a n}与通项n.备注：S n与a n关系变形之后成类型二解：由题意得S n=2a n+1，解得S6=.又a n+1=S n+1−S n=43a n+1−43a n−13(2n+1−2n)，即a n+1=4a n+2n+1，设a n+1+x⋅2n+1=4(a n+x⋅2n)，利用待定系数法可得x=1，又a1+2=4≠0，所以数列{a n+2n}是公比为4的等比数列. 所以a n+2n=4×4n−1，即a n=4n−2n.6. （2020全国3卷理）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=3a n−4n．（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n．【详解】（1）由题意可得a2=3a1−4=9−4=5，a3=3a2−8=15−8=7，由数列{a n}的前三项可猜想数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n=2n+1，证明如下：当n=1时，a1=3成立；假设n=k时，a k=2k+1成立.那么n=k+1时，a k+1=3a k−4k=3(2k+1)−4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.则对任意的n∈N∗，都有a n=2n+1成立；（2）由（1）可知，a n⋅2n=(2n+1)⋅2nS n=3×2+5×22+7×23+⋯+(2n−1)⋅2n−1+(2n+1)⋅2n，①2S n =3×22+5×23+7×24+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1，② 由①−②得：−S n =6+2×(22+23+⋯+2n )−(2n +1)⋅2n+1 =6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n+1=(1−2n)⋅2n+1−2，即S n =(2n −1)⋅2n+1+2.7．（2021全国1卷）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和．【解】(1)b 1=a 2=a 1+1=2,b 2=a 4+a 3+1=a 2+2+1=5 ∵2n 为偶数，∴a 2n+1=a 2n +2,a 2n+2=a 2n+1+1, ∴a 2n+2=a 2n +3即b n+1=b n +3,且b 1=2,∴{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴ b n =3n −1. (2)当n 为奇数时,a n =a n+1−1∴{a n }的前20项和为a 1+a 2+...+a 20=(a 1+a 3+...+a 19)+(a 2+a 4+...+a 20)=[(a 2−1)+(a 4−1)+...+(a 20−1)]+(a 2+a 4+...+a 20)=2(a 2+a 4+...+a 20)−10. 由(1)可知,a 2+a 4+...+a 20=b 1+b 2+...+b 10=2×10+10×92×3=155 ,∴{a n }的前 20项和为2x155 -10 =300.8. （2020全国1文）数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1，前16项和为540，则a 1= ______________.【详解】a n+2+(−1)n a n =3n −1，当n 为奇数时，a n+2=a n +3n −1；当n 为偶数时，a n+2+a n =3n −1. 设数列{a n }前n 项和为S n ， S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70) +(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41) =8a 1+392+92=8a 1+484=540，{}n a 11a =11,,2,n n na n a a n ++⎧=⎨+⋅⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}n b {}n a∴a1=7.故答案为：7.9．（2019全国2卷理）已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1=3a n−b n+4，4b n+1=3b n−a n−4.（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.解：（1）由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n)，即a n+1+b n+1=12(a n+b n)．又因为a1+b1=l，所以{a n+b n}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n+1−b n+1)=4(a n−b n)+8，即a n+1−b n+1=a n−b n+2．又因为a1–b1=l，所以{a n−b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，a n+b n=12n−1，a n−b n=2n−1．所以a n=12[(a n+b n)+(a n−b n)]=12n+n−12，b n=12[(a n+b n)−(a n−b n)]=12n−n+12．10. （2021全国乙卷理）记S n为数列{a n}的前n项和,b n为数列{S n}的前n项积,已知2S n+1b n=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列;（2）求{a n}的通项公式．【解析】（1）解法一：由2S n +1b n=2得S n=2b n2b n−1,且b n≠0,b n≠12,取n=1,由S1=b1=2b12b1−1得b1=32,由于b n为数列{S n}的前n项积,所以2b12b1−1⋅2b22b2−1⋅⋅⋅2b n2b n−1=b n,所以2b12b1−1⋅2b22b2−1⋅⋅⋅2b n+12b n+1−1=b n+1,所以2b n+12b n+1−1=b n+1b n,由于b n+1≠0所以22b n+1−1=1b n,即b n+1−b n=12,其中n∈N∗所以数列{b n }是以b 1=32为首项,以d =12为公差等差数列; 解法二：因为b n 为数列{S n }的前n 项积,所以b nb n−1=S n (n ≥2),由2S n+1b n=2可得2b n−1b n+1b n=2(n ≥2),去分母得2b n −2b n−1=1(n ≥2),所以b n −b n−1=12,数列{b n }是公差为12的等差数列.（2）由（1）可得,数列{b n }是以b 1=32为首项,以d =12为公差的等差数列, ∴b n =32+(n −1)×12=1+n2, S n =2b n2bn−1=2+n1+n , 当n=1时,a 1=S 1=32,当n≥2时,a n =S n −S n−1=2+n1+n −1+n n=−1n (n+1),显然对于n=1不成立,∴a n ={32,n =1−1n (n+1),n ≥2.11.（二星）（全国理）若数列{}的前n 项和为S n ＝，则数列{}的通项公式是=______. 解：当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.12.（2016全国3卷理科）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0， (Ⅰ)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (Ⅱ)若S 5＝3132，求λ。
全国卷6年数列高考题整理汇总(附答案)
数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n−1，其中λ为常数.（Ⅰ）证明：a n+2−a n=λ；（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1.（Ⅰ）证明{a n+12}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1+1a2+⋯+1a n<32.(2015·I)（17）（本小题满分12分）S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3，（Ⅰ）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和。
(2015·II)（4）等比数列{a n}满足a1=3，=21，则( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84(2015·II)（16）设是数列的前n 项和，且，，则________．(2016·I)（3）已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97(2016·I)（15）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1 ，S 7=28 记b n =[log a n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg 99]=1.（I ）求b 1，b 11，b 101；（II ）求数列{b n }的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1,a 2,⋯,a k 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0 （I ）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；（II ）若S n =3132，求λ.(2017·I)4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
(完整版)2018-2016数列高考题
2018-2016高考题1.已知数列{a n }满足a 1=1，na n +1=2(n +1)a n ，设b n =na n ． ⑴求b 1，b 2，b 3；⑵判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；⑶求{a n }的通项公式．2.已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1= -1，b 1=1，222a b +=.（1）若335a b +=，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.4.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++K ．5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n －1)a n =2n .（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ 的前n 项和.6.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1, b 2=31, a n b n+1+b n+1=n b n . （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{b n }的前n 项和.7.已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21n nb -的前2n 项和8.等差数列{a n }中，a 3+a 4=4，a 5+a 7=6.(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.试卷答案1.解：（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1．2.（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为.由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =.（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----. 得2(34)216n n T n +=-+.所以，数列2{}n n a b 的前项和为2(34)216n n +-+.3.（1）设的公差为d ，的公比为q ，则,.由得d+q=3. ①（1） 由得② 联立①和②解得（舍去）， 因此的通项公式（2） 由得. 解得 当时，由①得，则. 当时，由①得，则.4. （I ）设公差为d ， 10311=+++d d ,所以2=d ，所以12)1(1-=-+=n d n a a n . （Ⅱ）设{}n b 的公比为q ，2b .4b =5a ⇒93=qq ，所以32=q 所以{}2-1n b 是以11=b 为首项，321==q q 为公比的等比数列， 所以1-2531n b b b b ＋＋＋＋K 21331)31(1-=--⋅=n n .5.6.（I ）由已知，a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=31,得a 1=2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =3n-1.（II ）由（I ）和a n b n+1+b n+1=n b n ，得b n+1=3b n ，因此{b n }是首项为1，公比为31的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则 1n nn 32123311)31(1S -⨯-=--=7.（Ⅰ）12-=n n a （Ⅱ）22n（Ⅱ）解：由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-8.(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1+5d=4，a 1+5d=3，解得121,5a d ==， 所以{a n }的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=， 所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.。
高考真题大题全练
数列1.(2016全国卷Ⅰ)(文)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn }满足b1＝1，b2＝31，anb1n++b1n+＝nbn.(1).求{an}的通项公式；(2).求{bn}的前n项和.2.(2016全国卷Ⅰ)(文)等差数列{an }中，a3+a4＝4，a 5+a7＝6.(1).求{an}的通项公式；(2).设bn ＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 3.(2016山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2+8n，{bn}是等差数列，且an＝bn+b1n+.(1).求{bn}的通项公式；(2).设cn＝nn1nn)2b()1a(+++.求数列{cn}的前n项和Tn.4.(2015山东)(文)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{1nnaa1+}的前n项和为1n2n+.(1).求{an}的通项公式；(2).设bn＝(an+1)·2n a，求数列{bn}的前n项和Tn.5.(2015福建)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4+a 7＝15. (1).求{a n }的通项公式； (2).设b n ＝22a n -+n ，求数列{b n }的前10项和T 10.6.(2014全国卷Ⅰ)(文)已知数列{a n }是递增的的等差数列，a 2，a 4是方程x 2-5x+6＝0的根. (1).求{a n }的通项公式；(2).求数列{nn 2a}的前n 项和.7.(2014全国卷Ⅰ)(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a 1n +＝λS n -1，其中λ为常数. (1)证明：a 2n +-a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.8.(2016浙江)(文)已知等差数列{a n }的公差为d ＞0，{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k(m ，k ∈N *)的值，使得a m +a 1m ++a 2m ++…a k m +＝65.9.(2018湖北四校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a 1n +的等差中项. (1).求证：数列{1a 1n -}是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2).求数列{n2a n 1}的前n 项和为S n .10.(2018郑州市高三第三次质量预测)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，若a 2+a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列. (1).求{a n }的通项公式； (2).若T n ＝1S 1+2S 1+3S 1+…+nS 1，证明：T n ＜4311.(2018福州市高三质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，10S 10＝5S 5+5. (1).求{a n }的通项公式；(2).若b n ＝a n ·4nn a S ，求数列{b n }的前n 项和T n .12.(2018湘东五校联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列.(1).求{a n }的通项公式； (2).设T n 是数列{1n n a a 1+}的前n 项和，若λT n ≤a 1n +对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值.13.(2017石家庄高三二检)已知数列{an}的前n项和为Sn ，若S1m-＝-4，Sm＝0，S2m+＝14(m≥2，且m∈N*). (1).求m的值；(2).若数列{bn }满足2an＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an +6)·bn}的前n项和.14.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且a3+a5＝-8，S5＝-10.(1).求{an}的通项公式；(2).若bn ＝(an-6)(a1n+-6)，求数列{nb8}的前n项和Tn .15.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列.(1).求{an}的通项公式；(2).设数列{nS1}的前n项和为Tn，求证：61≤Tn＜83.16.(2016年全国卷Ⅲ)(文)已知各项都是正数的数列{an}满足a1＝1，a2n-(2a1n+-1)an-2a1n+＝0.(1).求a2，a3；(2).求{an}的通项公式.17.(2015安徽)(文)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8.(1).求{an}的通项公式；(2).设{an }的前n项和为Sn，bn＝1nn1nSSa++，求数列{bn }的前n项和Tn.18.(2015山东)(理)已知数列{an }的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n+3.(1).求{an}的通项公式；(2).若数列{bn }满足anbn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Tn .19.(2014全国卷Ⅱ)(理)已知数列{an}满足a1＝1，a1n+＝3an+1.(1).证明{an+21}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2).证明1a1+2a1+…+na1＜2320.(2017山东)(文)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2＝6，a1a2＝a3.(1).求{an}的通项公式；(2).设{bn}是各项非零的等差数列，前n项和为Sn，已知S1n2+＝bnb1n+，求数列{nnba}的前n项和Tn.21.(2018广州市高三第二次综合测试)各项均为正数的数列{an }满足a21n+＝3a2n+2ana1n+，n∈N*，且a 2+a4＝3(a3+3).(1).证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2).令b n ＝nan，求{bn}的前n项和为Sn.22.(2018合肥市高三二检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn 满足4S5＝3S4+S6，且a3＝9.(1).求{an}的通项公式；(2).设bn ＝(2n-1)an，求{bn}的前n项和为Tn.23.(2017广西质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝23an-1(n∈N*).(1).求{an}的通项公式；(2).设bn＝2log32an+1，求21bb1+32bb1+…n1nbb1-.24.(2018山西高三二检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn-2an＝n-4.(1).证明{Sn-n+2}为等比数列；(2).求数列{Sn}的前n项和Tn.25.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝21n ++m.(1).求{a n }的通项公式； (2).设b n ＝)a a (log )1n 2(11n n 2++，求{b n }的前n 项和为T n .26.(2018太原市二模)已知数列{na n }的前n 项和S n ＝(n-1)21n ++2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，且log 2a n ·log 2a 2n +＝nb 1. (1).求{a n }的通项公式；(2).求T n .27.(2018东北三省四市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2-n+1，正项等比数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 2＝a 2，b 4＝a 5. (1).求{a n }和{b n }的通项公式；(2).数列{c n }中，c 1＝a 1，且c n ＝c 1n +-T n ，求{c n }的通项公式.28.(2018昆明市高三质检)已知数列{a n }中，a 1＝3，{a n }的前n 项和为S n 满足:S n +1＝a n +n 2. (1).求{a n }的通项公式； (2).设b n ＝(-1)n+2na ，求{b n }的前n 项和T n .29.(2017张掖市高三一诊)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝-3S n +4，b n ＝-log 2a 1n +. (1).求{an}和{bn}的通项公式；(2).令cn＝1n n 2b ++)1n (n 1+，{c n }的前n 项和为T n ，求T n .30.(2018浙江)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b 1n +-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1).求q 的值；(2).求数列{b n }的通项公式.解三角形1.(2018全国卷Ⅰ)(理)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1).求cos ∠ADB ； (2).若DC ＝22，求BC.2.(2018北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cosB ＝-71. (1).求∠A ；(2).求AC 边上的高.3.(2018天津)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos(B-6π). (1).求角B 的大小；(2).设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A-B)的值.4.(2017全国卷Ⅰ)(理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为Asin 3a 2.(1).求sinBsinC ；(2).若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.5.(2017全国卷Ⅱ)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin(A+C)＝8sin22B . (1).求cosB ；(2).若a+c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.6.(2017全国卷Ⅲ)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sinA+3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2.(1).求c ；(2).设D 为BC 边上的一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.7.(2017北京)(理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝73a. (1).求sinC 的值；(2).若a ＝7，求△ABC 的面积.8.(2017天津)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝53. (1).求b 和sinA 的值； (2).求sin(2A+4π)的值.9.(2016全国卷Ⅰ)(理)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2cosC(acosB+bcosA)＝c. (1).求C；(2).若c＝7，△ABC的面积为233，求△ABC的周长.10.(2016北京)(理)在△ABC中，a2+c2＝b2+2ac.(1).求∠B的大小；(2).求2cosA+cosC的最大值. 11.(2016天津)(文)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝3bsinA.(1).求B；(2).若cosA＝31，求sinC的值.12.(2016浙江)(理)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c＝2acosB.(1).证明:A＝2B；(2).若△ABC的面积S＝4a2，求角A的大小.13.(2016江苏)在三角形ABC 中，AC ＝6，cosB ＝54，C ＝4π. (1).求AB 的长； (2).求cos(A-6π)的值.14.(2016山东)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知2(tanA+tanB)＝Acos Btan B cos A tan . (1).证明：a+b ＝2c ； (2).求cosC 的最小值.15.(2016四川)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且a A cos +b B cos ＝cCsin . (1).证明:sinAsinB ＝sinC ；(2).若b 2+c 2＝56bc ，求tanB.16.(2015全国卷Ⅰ)(文)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.sin 2B ＝2sinAsinC. (1).若a ＝b ，求cosB ；(2).设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积.17.(2015全国卷Ⅰ)(理)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍. (1).求Csin Bsin ； (2).若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长.18.(2015山东)(理)设f(x)＝sinxcosx-cos 2(x+4π). (1).求f(x)的单调区间；(2).在锐角△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若f(2A)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.19. (2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1).求BC 的长； (2).求sin2C 的值.20.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ＝4π，b 2-a 2＝21c 2. (1).求tanC 的值；(2).若△ABC 的面积为3，求b 的值.21.(2015四川)(理)A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1).证明：tan2A ＝Asin A cos 1 ； (2).若A+C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3,CD ＝4，AD ＝5，求tan2A +tan 2B +tan 2C +tan 2D的值.22.(2014全国卷Ⅱ)(文)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1).求C 和BD ；(2).求四边形ABCD 的面积.23.(2014陕西)(文)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.(1).若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC ＝2sin(A+C).(2).若a ，b ，c 成等比数列，求cosB 的值.24.(2018郑州市三检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且3acosC ＝(2b-3c)cosA. (1).求角A 的大小；(2).若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.25.(2018长沙第一次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且bsinB ＝asinA+(c-a)sinC. (1).求B ；(2).若3sinC ＝2sinA ，且△ABC 的面积为63，求b.26.(2018石家庄二检)已知在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且Bcos a c3＝tanA+tanB.(1).求角A 的大小；(2).设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值范围.27.(2018重庆质检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且sin 2B -cos 2B ＝41. (1).求cosB 的值； (2).若b 2-a 2＝431ac ，求A sin C sin 的值.28.(2018郑州市一检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且2ccosB ＝2a+b. (1).求角C ； (2).若△ABC 的面积为23c ，求ab 的最小值.29.(2017四川二检)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝2π，B ＝32π，AB ＝6，在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED.若∠CED ＝32π，CE ＝7.(1).求sin ∠BCE 的值； (2).求CD 的长.30.(2017陕西八校联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且2acosA ＝ccosB+bcosC. (1).求cosA 的值；(2).若b 2+c 2＝4，求△ABC 的面积.31.(2018济南模考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且bcosA-acosB ＝2c. (1).证明：tanB ＝-3tanA ；(2).若b 2+c 2＝a 2+3bc ，且△ABC 的面积为3，求a.32.(2018长春二检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.其面积S ＝b 2sinA. (1).求bc的值； (2).设角A 的角平分线AD 交BC 于D ，AD ＝332，a ＝3，求b.统计与概率1.(2018全国卷Ⅰ)(文)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水数据，得到的频数分布表如下：(1).在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2).估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；(3).估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)2.(2018全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为了比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组用第一种生产方式生产，第二组用第二种生产方式生产，根据工人完成任务的工作时间绘制如图所示的茎叶图：(1).根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2).求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：(3).根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2＝)d b )(c a )(d c )(b a ()bc ad (n 2++++-，3.(2017北京)(文)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生的人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),…,[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1).从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2).已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3).已知样本中有一半男生分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女人数相等，试估计总体中男生和女生的人数比例. x yω28)xx(∑-28)(∑-ωω∑--8)yy)(xx(∑--8)yy)((ωω5.(2017全国卷Ⅱ)(理)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：㎏)，其频率分布直方图如下：(1).设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖方法的箱产量低于50㎏，新养殖方法的箱产量不低于50㎏”，估计A的概率；(2).填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的中位数的估计值(精确到0.01).K2＝)db)(ca)(dc)(ba()bcad(n2++++-，其中n＝a+b+c+d.7.(2016天津)(理)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1).设A为事件“选出2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2).设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. 8.(2016山东)(文)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需要转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1).求小亮获得玩具的概率；(2).请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.9.(2015山东)(文)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：(1).从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2).在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B 2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.10.某企业为了解下属企业某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图，其中样本数据分组区间为：[40，50),[50，60),…,[80，90)，[,90，100].(1).求频率分布直方图中a的值；(2).估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3).从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.11.(2018天津)(理)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1).应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2).若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. (ⅰ).用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 12.(2018全国卷)(理)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户前对产品作检验，如检验出不合格产品，则更换为合格产品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格产品相互独立.(1).记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p.(2).现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p作为p值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格产品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(ⅰ).若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ).以检验费用与赔偿费用和的期望值作为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？15.(2017天津)(理)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为21，31，41. (1).记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到的红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. (2).若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车遇到一个红灯的概率.16.(2017山东)(理)在心理学研究中，常采用对比实验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参与实验的志愿者随机分为两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比两组志愿者心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另外5人接受乙种心理暗示.(1).求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率.(2).用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数，求X 的分布列与数学期望E(X).17.(2016年全国卷Ⅰ)(理)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1).求X的分布列；(2).若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3).以购买易损零件数所需费用的期望值作为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？19.(2016山东)(理)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两个人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率为43，乙每轮猜对的概率为32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1).“星队”至少猜对3个成语的概率；(2).“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E(X).20.(2015山东)(理)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）. 在某次数学活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分.(1).写出所有个位数字是5的“三位递增数”(2).若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E(X).21.(2015福建)(理)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则尝试结束；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.3(1).求当天小王的该银行卡被锁定的概率(2).设小王用该卡尝试密码的次数为X，求X分布列和数学期望. 22.(2015天津)(理)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1).设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一协会”，求事件A发生的概率；(2).设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.23.(2015陕西)(理)设某校新、老校区之间开车单程所需要的时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量(1).求T的分布列和数学期望；(2).刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 24.(2015四川)(理)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1).求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2).某厂比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望.25.(2014山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分.对落点在A 上的来球，队员小明回球落点在C 上的概率为21，在D 上的概率为31；对落点在B 上的来球，队员小明回球落点在C 上的概率为51，在D 上的概率为53.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：(1).小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2).两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布与数学期望.27.(2014全国卷Ⅰ)(理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：(1).求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2).由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，2σ)，其中μ的近似值为样本的平均数x ，2σ近似值为样本方差s 2.（ⅰ）.利用该正态分布，求P(187.8＜Z ＜212.2)； (ⅱ).某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用（ⅰ）的结果，求E(X).附：150≈12.2若Z ～N(μ，2σ)，则P(σμ-＜Z ＜σμ+)＝0.6827，P(σμ2-＜Z ＜σμ2+)＝0.9545.28.(2017全国卷Ⅰ)(理)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，2σ).(1).假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(σμ3-＜Z ＜σμ3+)之外的零件数，求P(X ≥1)及X 的数学期望； (2).一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(σμ3-＜Z＜σμ3+)之外的零件，就认为这条生产线在一天的生产过程中出险了异常，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）.试说明上述监控过程方法的合理性；(ⅱ).下面是检验员在一天之内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝∑161i i x 161＝＝9.97，s ＝∑-161i 2i )x x (161＝＝)x 16x (161161i 22i ∑-＝≈0.212，其中x i 为抽取的第i个零件的尺寸，i ＝1，2，3， (16)用样本的平均数x 作μ的近似值∧μ，用样本的标准差s 作为σ的估计值∧σ，利用估计值判断是否需要对当天的生产过程进行检查？剔除(σμ3-＜Z ＜σμ3+)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).空间几何1.(2015全国卷Ⅰ)(文)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD. (1).证明：平面AEC ⊥平面BED ； (2).若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E-ACD 的体积为36，求该三棱锥的侧面积.2.(2015福建)(文)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1).若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2).求三棱锥P-ABC 体积的最大值；(3).若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE+OE 的最小值.3.(2017全国卷Ⅰ)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1).证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2).若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A-PB-C 的余弦值.4.(2017全国卷Ⅱ)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝21AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点. (1).证明：直线CE ∥平面PAB ；(2).点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的角为45°，求二面角M-AB-D 的余弦值.5.(2017全国卷Ⅲ)(理)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD.(1).证明：平面ACD ⊥平面ABC ； (2).过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分为体积相等的两部分，求二面角D-AE-C 的余弦值.6.(2017北京)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4. (1).求证：M 为PB 的中点； (2).求二面角B-PD-A 的大小；(3).求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.7.(2017天津)(理)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2. (1).求证：MN ∥平面BDE ；(2).求二面角C-EM-N 的正弦值；(3).已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成的角的余弦值为217，求线段AH 的长.8.(2017山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是弧DF 的中点.(1).设P 是弧CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2).当AB ＝3，AD ＝2，求二面角E-AG-C 的大小.9.(2017江苏)如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1).求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2).求二面角B-A 1D-A 的正弦值.10.(2016全国卷Ⅰ)(理)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60°. (1).证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2).求二面角E-BC-A 的余弦值.11.(2016全国卷Ⅱ)(理)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD上，AE ＝CF ＝45，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D 'EF 的位置，OD '＝10.(1).证明：D 'H ⊥平面ABCD ； (2).求二面角B-D 'A-C 的正弦值.12.(2016全国卷Ⅲ)(理)如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD,N 为PC 的中点. (1).证明：MN ∥平面PAB ；(2).求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.13.(2016天津)(理)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1).求证：EG ∥平面ADF ；(2).求二面角O-EF-C 的正弦值； (3).设H 为线段AF 上的点，且AH ＝HF 32，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.14.(2016浙江)(理)如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1).求证：BF ⊥平面ACFD ；(2).求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值.15.(2016山东)(理)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(1).已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2).已知EF ＝FB ＝21AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F-BC-A 的余弦值.16.(2016四川)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝21AD.E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1).在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2).若二面角P-CD-A 的大小45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.17.(2015全国卷)(理)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1).证明：平面AEC⊥平面AFC；(2).求直线AE与直线CF所成角的余弦值.18.(2015年全国卷Ⅱ)(理)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，相交围成一个正方形.19.(2015山东)(理)如图，在三棱台DEF-ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1).求证：BD ∥平面FGH ；(2).若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小.20.(2015广东)(理)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB. (1).证明：PE ⊥FG ；(2).求二面角P-AD-C 的正切值；(3).求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.21.(2015安徽)(理)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B 1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1).证明：EF∥B1C1；(2).求二面角E-A1D-B1的余弦值.22.(2015福建)(理)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1).求证：GF∥平面ADE；(2).求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.23.(2015浙江)(理)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.(1).证明：A1D⊥平面A1BC；(2).求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.24.(2015北京)(理)如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点.(1).求证：AO⊥BE；(2).求二面角F-AE-B的余弦值；(3).若BE⊥平面AOC，求a的值.。
2016年高考数学数列真题汇编
2016年高考试卷数列题摘录1.(全国卷Ⅰ理科3题，5分)已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99（C ）98（D ）972.(全国卷Ⅰ理科15题，5分)设等比数列满足{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为3. (全国卷Ⅰ文科17题，12分)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足121111,,3n n n n b b a b b nb ++==+=，. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和.4.(全国卷Ⅱ理科第17题，12分)S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1a =1 ，7S =28 记[lg ]n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1。
（I ）求1b ，11b ，101b ；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和. 5.(全国卷Ⅱ文科第17题，12分)等差数列{}中，（I ）求{}的通项公式；(II)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=26.(全国卷Ⅲ理科第17题，12分)已知数列的前n 项和，其中．（I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求． 7.(全国卷Ⅲ文科第17题，12分)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.n a 34574,6a a a a +=+=n a {}n a 1n n S a λ=+0λ≠{}n a 53132S =λ（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式.8.(江苏卷科第8题，5分)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.(江苏卷科第20题，16分)记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅ ,定义0T S = 若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30TS.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； (3) 设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.10.(浙江卷理科第6题，5分) 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列11.(浙江卷理科第13题，6分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .12.(浙江卷理科第20题，15分) 数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．13.(浙江卷文科第8题，5分)如图，点列分别在某锐角的两边上，且， .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若，为的面积，则（ ）A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列14.(浙江卷文科第17题，15分)设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.（I ）求通项公式；（15） 求数列{||}的前项和.15.(上海卷理科第11题，4分)无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为 . 16.(上海卷理科第17题，5分)已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a{}{},n n A B *1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N *1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N n n n d A B =n S 1n n n A B B +△{}n S {}2n S {}n d {}2nd n a n n S 2S 1n a +n S *N n ∈n a 2n a n --n（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 17.(上海卷理科第23题，18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”. 18.(上海卷文科第14题，4分)无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n N ，{23}nS ，则k的最大值为 .19.(上海卷文科第22题，16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式.20.(北京卷理科第12题，5分)已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.21.(北京卷理科第20题，13分){}n a n S n 16a =350a a +=6=S设数列A ： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜，则称是数列A 的一个“G 时刻”.记“是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在使得>，则 ；（3）证明：若数列A 满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.22.(北京卷文科第15题，13分)已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅰ）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和. 23.(天津卷理科第18题，13分)已知{n a }是各项均为正数的等差数列，公差为d 。
全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)1.（2016年1卷3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则求a100.解析：由已知，9a1+36d=27，a1+9d=8，解得a1=-1，d=1，a100=a1+99d=-1+99=98，选C。
2.（2017年1卷4）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为多少？解析：S6=48，即a1+a6=16，a4+a5=24，代入公差d的通项公式an=a1+(n-1)d，得到a8-a6=8=2d，故d=4，选C。
3.（2017年3卷9）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2、a3、a6成等比数列，则{an}前6项的和为多少？解析：设公差为d，则a3(a1+2d)=(a1+d)(a1+5d)，代入a1=1解得d=-2，故a6=a1+5d=-9，前6项和为S6=6a1+15d=-24，选A。
4.（2017年2卷15）等差数列{an}的前项和为Sn，则1=∑k=1nSk，求an。
解析：设a1=1，d=2，Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(n+1)，代入an=a1+(n-1)d=2n-1，故1=∑k=1nSk=∑k=1n(k+1)-(k-1)=2n，故n=1/2，代入an=2n-1=-1，选D。
5.（2016年2卷17）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，求b7.解析：由等差数列前n项和的通项公式Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(2+(n-1)d)/2，代入a1=1，S7=28，得到d=4，an=1+4(n-1)=4n-3，代入bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，得到b7=[XXX(2×28-1)]/[lg3]=2，选B。
题目一：求等比数列中的数值要求：改写成完整的句子，避免使用符号表示1.求b1，b11，b101；2.求数列{bn}的前1000项和。
2016年至2018年全国高等学校招生统一考试(江苏卷)数学试题及答案
2016年至2018年全国高等学校招生统一考试（江苏卷）数学试题2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ▲ ．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分） 已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos 2α的值； （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长． B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a，若AB ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是.5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
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2016—2018年全国卷数列高考汇编
8.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）
（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97
4.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 错误!未找到引用源。
满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．
6.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=1
28.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．
7.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误!未找到引用源。
的前n 项和1n n S a λ=+错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
其中0λ≠． （I ）证明{}n a 错误!未找到引用源。
是等比数列，并求其通项公式；（II ）若53132
S =错误!未找到引用源。
，求λ．
4．【2017高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
15. 【2017高考新课标2理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11n k k
S ==∑ ．
9．【2017高考新课标3理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为
A ．-24
B ．-3
C ．3
D ．8
4．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5
a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12
15．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若21n n S a =+，则6S = ．
4．【2018高考新课标2文理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若17a =-，3
15S . ⑴求{}n a 的通项公式；
(2)求n S ，并求n S 的最小值.
17．（2018年全国卷3）
等比数列{}n a 中，12314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式；
⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．。