第六章空间力系

【例6.8】装有两个带轮C和D的水平传动轴AB，支承于 径向轴承A、B上（图6.15(a)），轮的半径r1=200mm， r2=250mm，距离a=b=500mm,c=1000mm。已知轮C上胶带 拉力的方向成水平，其大小T2=2T1=5kN；轮D上两边的 胶带互相平行，并与铅垂线夹角α=30°，其拉力大小 T3=2T4。不计轮和轴的重量，试求在平衡状态下胶带拉 力T3、T4及轴承A、B的约束反力。
NA=5.4kN 将NA的值代入式（3）得 NC=4.3kN 将NA、NC的值代入式（1）得Βιβλιοθήκη Baidu
NB=W1+W2-NA-NC=7.8kN
【例6.7】正方形板ABCD由六根杆支承，如图6.14(a)所示， 在板上的A点沿AD边作用有一水平力P。板和各杆的重量 不计，尺寸如图，试求各杆所受的力。 取板ABCD为研究对象，由题意知各杆均为二力杆， 故各杆对板的作用力均沿各杆轴线，设各杆均受拉力， 画出板的受力图如图3.14(b)所示。板所受各力组成一空 间一般力系。
SA=SB=31.5kN,SC=1.55kN
【例6.6】三轮起重车可简化为如图3.13(a)所示。已知车 身重W1=12.5kN，重力W1的作用线通过ABC平面内的C1 点，A点与C1点的连线延长后垂直平分线段BC。起吊物 重W2=5kN，重力W2的作用线通过ABC平面内的h点。各 尺寸如图所示，试求地面对起重车各轮的约束反力。
∑mx(F)=0,∑my(F)=0,∑mz(F)=0 都成为恒等式而可以舍弃。因此空间汇交力系 的平衡方程为 ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和充分条 件是：力系中所有各力在三个坐标轴中每一轴上投 影的代数和分别等于零。
图3.10
四 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载 后，应用上述平衡方程可求出某些未知量。
【解】取轴与轮整体作为研究对象。其受力图如图3.15(b) 所示。
取坐标系如图所示，可求解六个未知量RAx、RAz、 RBx、RBz、T3及T4。列平衡方程
∑Fz=0,TCEsinθ-T=0
因为T=W，故由式（3）得
TCE=W/sinθ=2.4kN 将TCE的值分别代入式（2）和式（1）得 SA=TCEcosθcosφ=1.04kN SB=TCEcosθsinφ=1.8kN SA、SB均为正值，说明原假设方向正确，即两根杆 件均受压力作用，其中杆AC所受的力的大小为1.04kN， 杆BC所受的力的大小为1.8kN。钢绳受拉力作用，其大小 为2.4kN。
图6.3
图6.4
6.2 力对轴之矩
图6.5(a)表示一可以绕z轴（门框）转动的门。如 果力F作用在垂直于z轴的平面内（图6.5(b)），则门 就能绕z轴转动，其转动效应可以由力F对O点（z轴 与平面的交点）之矩来度量。在这种情况下力对轴 之矩即为平面上力对点之矩。如果将力F对z轴之矩 用mz(F)表示，则
【解】取坐标系如图所示，列出平衡方程 ∑Fx=0,-S2cos45°-S5cos45°=0 ∑Fy=0,P-S4cos45°=0 ∑Fz=0,-S1-S3-S6-S2cos45°-S4cos45°-S5cos45°=0
∑mx(F)=0,-S1a-S2cos45°×a-S3a-S4cos45°×a=0 ∑my(F)=0,-S3a-S4cos45°×a=0 ∑mz(F)=0,S2cos45°×a+S4cos45°×a=0 由式（2）、（5）、（6）联立解得 S4=P/cos45°=√2P S3=-S4cos45°=-P S2=-S4=-√2P 将上面各值代入式（1）、（4）得 S1=-S3=P S5=-S2=√2P 最后由式（3）得 S6=-S1-S3-S2cos45°-S4cos45°-S5cos45°=-P
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
是：力系中各力在与力的作用线平行的坐标轴上的 投影的代数和等于零，同时各力对两个与力的作用 线相垂直的轴之矩的代数和分别等于零。
图6.9
三 空间汇交力系的平衡方程
如图6.10所示为一受空间汇交力系作用的物体， 取各力的汇交点O为空间直角坐标系Oxyz的原点。 因为各力的作用线都与坐标轴x、y、z相交，所以式 （3.5）中的
∑Fy=0,T1xy+SCxy-SAxycos60°-SBxycos60°=0
即T1cos60°+SCcos60°-SAcos260°-SBcos260°=0 W+SC-SAcos60°-SBcos60°=0 ∑Fz=0,SAcos30°+SBcos30°+SCcos30°-T1cos30°T2=0 即 (SA+SB+SC)cos30°-(1+cos30°)W=0 由式（1）得 SA=SB联立式（2）、式（3）、式（4）求解，得
求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束 有些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同 一类型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约 束反力的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于 物体上的约束反力与约束反力偶列于表6.1中。
【例3.4】有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由 分别垂直于两墙的光滑铰接二力杆AC、BC和钢绳CE组 成，且E在两墙的交线上。已知θ=30°，φ=60°，铰链C 处吊一重W=1.2kN的重物（图6.11（a)），试求两杆和钢 绳所受的力。图中A、B、C、D四点都在同一水平面上， 杆和绳重都略去不计。 【解】取铰链C为研究对象，画其受力图如图6.11(b)所示。 取坐标系如图6.11(b)所示，列出平衡方程 ∑Fx=0,SB-TCEcosθsinφ=0 ∑Fy=0,SA-TCEcosθcosφ=0
【解】取整个起重车为研究对象，画其受力图如图3.13(b) 所示。取坐标系如图所示，列出平衡方程 ∑Fz=0,-W1-W2+NA+NB+NC=0 ∑mx(F)=0,-W1×1.1+W2×0.6+NA×2=0 ∑my(F)=0,-W1×1.3/2-W2×0.2+NA×1.3/2+ NC×1.3=0
由式（2）得
【例6.3】托架OC套在转轴z上，在C点作用一力 P=2000N，方向如图所示。图中C点在xOy平面内，试求 力P
【解】首先将力P分解为两个分力Pz和Pxy。
将Pxy沿x、y轴方向分解为Px和Py两个力， 然后即可方便地求出P对z轴之矩。 根据以上分析，力P对三个坐标轴之矩分别为 mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 38.1 N· m
【例6.2】手柄ABCD在平面xAy上，在D处作用一铅垂力 P=100N(图3.7)，AB=20cm，BC=40cm,CD=15cm，试求此 力对x、y、z轴之矩。 【解】由式（3.3)可得力P对x轴之矩为
mx(P)=-P(AB+CD)= -35N· m
力P对y轴之矩为 my(P)=-P×BC=-40N· m 力P对z轴之矩为 mz(P)=0
第六章 空 间 力 系
6.1空间力系的简化 6.2空间力系的平衡 6.3重心与形心
空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内 的力系。
在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点，则 称为空间汇交力系（图6.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平行力 系（图6.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全 平行，则称为空间一般力系（图6.1（f))。
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(3.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN
P3z=-P3cosγ=-2.89kN
图6.5
图6.6
6.3 空间力系的平衡方程 一 空间一般力系的平衡方程
空间一般力系的平衡方程列举如下： ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0 ∑mx(F)=0 ∑my(F)=0 ∑mz(F)=0
上式表明空间一般力系平衡的必要和充分条件 是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分 别等于零，同时各力对这三个轴之矩的代数和也分 别等于零。
(1) 当力与轴平行时（Fxy=0）或与轴相交（d=0） 时，即力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。
(2) 当力沿着作用线移动时，它对轴之矩不变。 与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力 矩定理。如以R表示一空间力系F1、F2、…、Fn的合 力，则合力矩定理可以表示为 mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+…+mz(Fn)=∑mz(F) 即空间力系的合力对某轴之矩等于力系中各分 力对该轴之矩的代数和。
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图6.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd
图6.1
6.1 力沿空间直角坐标轴的投影 一、 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图6.2)。
图6.2
如果力F与x、y、z轴的夹角分别为α、β、 γ，
则 Fx=Fcosα Fy=Fcosβ Fz=Fcosγ
二、 二次投影法
如图6.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
二 空间平行力系的平衡方程
如图6.9所示，一物体受空间平行力系作用，取z 轴与各力平行，则各力对z轴之矩都等于零；又由于 各力都垂直于xOy坐标平面，所以各力在x和y轴上的 投影都等于零。于是
∑Fx=0,∑Fy=0,∑mz(F)=0 因此空间平行力系的平衡方程为 ∑Fz=0 ∑mx(F)=0
∑my(F)=0
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、 z轴上的投影分别为 Fx=Fsinγcosφ
Fy=Fsinγsinφ
Fz=Fcosγ
【例6.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 6.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
上式表明：力对某轴之矩等于此力在垂直于该 轴平面上的分力对该轴与此平面的交点之矩。 从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取 正号；反之，取负号（图6.6(a)）。也可用右手法则 来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方 向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号（图3.6 （b))；反之，取负号（图6.6(c)）。
【例6.5】用三角架ABCD和绞车提升重W的物体如图 6.12(a)所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索DE都 与水平面成60°角。已知W=30kN，求将重物匀速吊起时 各杆所受的力。滑轮大小及摩擦不计。
【解】取滑轮D为研究对象，其受力图如图3.12(b)所示。 取坐标系如图3.12(b)所示，为了便于计算SA、SB、SC在x、 y轴上的投影，首先将各力投影到xy平面上，即 SAxy=SAcos60°,SBxy=SBcos60°,SCxy=SCcos60°,T1xy=T1co s60°，如图3.12(c)所示。再列出平衡方程 ∑Fx=0,SBxysin60°-SAxysin60°=0 即SBcos60°sin60°-SAcos60°sin60°=0