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《最优化方法》课程复习考试.doc

《最优化方法》复习提要第一章最优化问题与数学预备知识§1.1模型无约束最优化问题 min /（x ）, x =（旺,兀2,…心）'w R"・A约束最优化问题疋简（兀）》0,心1,2,・・・,加也（兀）=0,丿=1,2,・・・,"） min /（x ）;s.t. gQ ）nO,i = l,2,…，加，hj （x ） = 0,j = \,2,・・・,l ・其中.f （X ）称为目标函数，西,兀2,…，暫称为决策变量，S 称为可行域，gQ ） no （心1,2,…,加）,勺（兀） = 0。

= 1,2,…丿）称为约束条件. §1. 2多元函数的梯度、Hesse 矩阵及Tayloi •公式定义设f:R“TR,J^R“・如果％维向量〃，VAre R n,有+ Ax) -f(x) = p T\x + 0(||Ax||)・则称/（x ）在点元处町微，并称df （x ） = p T\x 为/（x ）在点元处的微分.如果/（X ）在点元处对丁」=（兀“2，・・・,£）丁的各分量的偏导数。

/(元)d x i都存在，则称/（兀）在点元处一阶可导，并称向量为/（兀）在点元处一阶导数或梯度.定理1设f :R n^R,xeR n・如果/（兀）在点元处可微,则/（兀）在点元处梯度V/(x)存在，并且有#(x) = W)7'Ar .定义设f:R"TR,J^R“・d 是给定的n 维非零向量，e = 2・如杲 dmin /(兀)；即 vS.t. X G S.V/(x)=(df(x)T。

/（可。

/（元）Um /a + 2e ）-V （x ）久TO2存在，则称此极限为/（x ）在点元沿方向d 的方向导数，记作冬学.da定理2设f :R n^R,xeR n.如果/（兀）在点元处可微,则/（兀）在点元处沿任何非零方向d 的方向导数存在，且= VA 元）。

,其中丘=厶~・daa定义设/（兀）是/?"上的连续函数，xeR n. d 是〃维非零向量.如果3^＞0,使得V2w （O0）,有/（x + 2J ）＜（＞） /（x ）.则称d 为f （兀）在点元处的下降（上升）方向.定理3设f:R n^R.xeR n,且/（兀）在点元处可微,如果日非零向量de R n9 使得Vf （x ）Td ＜（＞） 0,则d 是/（兀）在点元处的下降（上升）方向.定义设f:R”TR,HeR”・如果/（兀）在点元处对丁自变量x = （x p x 2,---,x /J ）7'的各分量的二阶偏导数£単匕丿・=1,2,…,）都存在，则称函数/（兀）在点元处二阶 U Xj 可导，并称矩阵为/（x ）在点元处的二阶导数矩阵或Hesse 矩阵.定义设h:R" 记/1（兀）=（肉（兀）,爲（兀）,・・・,饥（兀））7',如果勺• （x ）（i = 1,2,…，加）在点元处对于自变量x =（兀］,吃,…£）丁的各分量的偏导数d 2x } 扌/（元） dx }dx 2 巧(元) d 2f(x) 3 x 2d• d 2x 2• d x^d x n L n• •■d 2f(x) ■97(^) • •d 2f(x)d x n d X] d x n d x 2d 2f(x)V 2/(x)丿号⑴(i = 1,2,…，加;J = 1,2,…加 dx f都存在，则称向量函数加对在点元处是一阶可导的，并且称矩阵为/?（%）在点x 处的一阶导数矩阵或Jacobi 矩阵,例2 设aw R",xw R",bw R ,求f （x ） = a Tx-{-h 在任意点兀处的梯度和Hesse 矩阵.解设0 =（绚卫2，・・・,％）/,兀=（旺,兀2，・・・,£）‘，则/（兀）=工绞母+b ,k=\因。

最优化及最优化方法讲稿

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对于目标函数或约束条件中存在非线性函数的问题，可以选择非线性规划求解。
动态规划
启发式算法
对于具有时间序列或过程优化的问题，可以选择动态规划求解。
对于难以建立数学模型或难以使用传统优化算法求解的问题，可以选择启发式算法如遗传算法、模拟退火算法等。
编写求解程序
选择合适的编程语言
根据问题的复杂度和求解方法的特点，选择合适的编程语言如 Python、C等。
03
最优化问题的求解步骤
建立数学模型
确定问题的目标函数
确定决策变量
根据问题的实际背景，明确需要优化的目标，并将其表示为数学函数。
将问题中需要决策的参数表示为数学变量。
确定约束条件
分析问题中存在的限制条件，并将其表示为数学不等式或等式。
选择合适的求解方法
线性规划
非线性规划
对于目标函数和约束条件均为线性函数的问题，可以选择线性规划求解。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，通过模拟固体退火过程，寻找最优解。模拟退火算法适用于处理大规模、离散、非线性等复杂问题。
模拟退火算法的基本思想是在搜索过程中引入随机因素，使算法能够在局部最优解周围跳出，从而找到全局最优解。模拟退火算法的优点在于能够处理多峰问题，且具有较强的鲁棒性和全局搜索能力。
机器学习中的优化问题是最优化问题在人工智能领域的应用，主要涉及如何选择合适的算法和参数，以最小化预测误差或最大化分类准确率。
详细描述
机器学习中的优化问题需要考虑数据集、模型复杂度、过拟合与欠拟合等因素，通过优化算法选择合适的算法和参数，以实现预测误差最小化、分类准确率最大化等目标。

最优化方法复习大纲PPT课件

2 0 2 0 0 12
问：（1）确定当前单纯型表中的基变量，基本可行解，
目标函数值。
（2）判断其是否为最优单纯型表，是则给出理由；不是，则继续求解该问题的最优解。
10
解：
（1）基变量为 x2 , x4 , x5 ，基本可行解为 x1 (0,4,0,2,6)T 。目标函数值为12。
（2）因为变量 x1 的检验数 1 2 0 ，所以不是最优单纯
题的最优解计算. 6. 模式搜索法：计算。
7. 最优性条件：积极约束判断，K-T条件， K-T点判别。
8. 惩罚函数法：外点法惩罚函数的构造，内点法障碍函数的构造，外点法、内点法计算。
2
9. 线性规划：建立线性规划模型，化标准型，基本可行解的计算，单纯型表上的单纯型算法.
3
例1. 试用梯度法解下述问题 min f ( x) x12 4 x22
min z 2 x1 x2 3 x3
x1 x2 2 x3 4
s.t .
2 x1 x3 2 2x2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解：令 x3 x4 x5 .
max z 2 x1 x2 3 x4 3 x5
x1 x2 2 x4 2 x5 x6 4
已知初始点 x1 (1,1)T ,求迭代点x2。
解： f ( x) [ 2x1 ,8x2 ]T d1 f ( x1) [ 2, 8]T
x x1 d1 [1 2,1 8]T
记 ( ) f ( x1 d1) (1 2 )2 4(1 8 )2
令 '( ) 4(1 2 ) 64(1 8 ) 0
最优化方法复习提纲
一、概念
最优化问题，凸集，凸函数，局部极小点，全局极小点，下降方向，最优步长，共轭方向，可行方向，积极约束，线性规划问题，基本解。

最优化与最优控制

0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn)源自2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
npjiangb@
• 2.2 多元函数无约束的极小化一、Hesse矩阵
设f
: Rn
R1 ,
X
0
Rn
, 如果f在点X
处对于自变量
0
X的各分量的二阶偏导数 2 f ( X 0 ) (i, j 1,2,, n) xix j
都存在，
则
称
函数f在
点X
处
0
二阶
可
导，
并且称矩阵
2
f (X x12
其中 N x * x x x * , 0 。同样有：严格局部最优解。若 f x * f x
npjiangb@
定义范数：在 n 维实向量空间 R n 中，
定义实函数 x , 使其满足以下三个条件：
（１）对任意 x R n 有 x 0 , 当且仅当
dt
t0
• 五终端控制问题
J Q[x(t f ), t f ]
• 六非线性系统的最优控制
npjiangb@
• 1.5 最优化问题的解法
• 解析法：利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛到最优解
• 直接法：它对函数的解析性质没有要求，而是根据一定的数学原理来确定

最优化及最优化方法讲稿

最优化的发展简史
最优化是一个古老的课题。长期以来，人们对最优化问题进行着探讨和研究。
公元前 500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为1. 618,称为黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
组合最优化
在给定有限集的所有具备某些条件的子集中，按某种目标找出一个最优子集的一类数学规划。又称组合规划。从最广泛的意义上说，组合规划与整数规划这两者的领域是一致的，都是指在有限个可供选择的方案的组成集合中，选择使目标函数达到极值的最优子集。
组合最优化发展的初期，研究一些比较实用的基本上属于网络极值方面的问题，如广播网的设计、开关电路设计、航船运输路线的计划、工作指派、货物装箱方案等。自从拟阵概念进入图论领域之后，对拟阵中的一些理论问题的研究成为组合规划研究的新课题，并得到应用。现在应用的主要方面仍是网络上的最优化问题，如最短路问题、最大（小）支撑树问题、最优边无关集问题、最小截集问题、推销员问题等。
学习该课程的需要具备的基本知识
高等数学线性代数
学习该课程的要求
态度决定一切正确理解基本概念和原理掌握最优化方法的思想能够运用最优化方法分析解决实际问题
最优化问题
最优化问题的数学模型一般形式 minf((x) max) (1 .1 )（目标函数）
s .t. g ix 0 ,i 1 ,2 ,L m , 1 .2 （不等式约束）
D x g i x 0 , i 1 , 2 , L m , h j x 0 , j 1 , L , p , x R n

最优化及最优化方法讲稿

最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。

定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。

分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。

目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。

目标函数和约束条件的数学表达。

03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。

梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。

混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。

模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。

进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。

02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。

数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。

线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。

单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。

单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。

线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。

生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。

配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。

投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。

最优控制的复习提纲汇总

T
g ( x(t f )，t f ) t f
7
连续极小值原理三、极小值原理离散极小值原理 H L( x(t ), u (t ), t ) T (t ) f ( x(t ), u (t ), t ) a )正则方程： f x H x b)极值条件： H ( x* (t ), u * (t ), (t ), t ) min H ( x* (t ), u (t ), (t ), t )
10
四、时间、燃料最优控制定理4.1～4.6 二次积分模型、无阻尼振荡二阶系统的时间最优控制相平面分析法二次积分模型的燃料最优控制五、动态规划 1.基本递推公式
u ( k )V
J * x(k ) min L( x(k ), u (k ), k ) J * x(k 1) k 0,1,, N a. J * x( N 1)的取法
T x tf
0
4
c) x(t0 ) x0 , x(t f )、t f自由
F F x
T x
Fx (t f ) 0
tf
0
d ) x(t0 ) x0 , x(t f ) x f , t f自由
F F x
T 分法求解最优控制问题） 1 ）前提条件固定 2）t f ，自由固定 x(t f )自由受等式约束

b. 末态x( N )受约束x( N )＝0或 x( N ) ＝0时，u * ( N 1)的确定
H L( x(t ), u (t ), t ) T (t ) f ( x(t ), u (t ), t ) a)正则方程： f x H x b)极值条件： H ＝0 u
6

控制系统中的最优控制与最优化技术

控制系统中的最优控制与最优化技术随着科技的不断进步和应用范围的扩大，控制系统在各行各业中的重要性也日益凸显。

最优控制与最优化技术作为控制系统中的重要概念和方法，在提高系统性能和效率方面发挥着关键作用。

本文将就控制系统中的最优控制与最优化技术进行深入探讨。

一、最优控制的定义与概念最优控制是指在满足给定约束条件的前提下，通过使某种性能准则达到最大或最小值来确定控制器参数或控制策略的问题。

最优控制的实现可以使系统在最短时间内达到期望状态或在给定资源条件下获得最佳性能。

最优化技术是实现最优控制的关键方法之一，它利用数学和计算方法来寻找系统中使性能准则达到最大或最小值的最优解。

最优化技术广泛应用于各种领域，例如经济学、工程学、管理学等，其中最为常见的应用是在控制系统中。

二、最优控制的分类最优控制可以分为离散最优控制和连续最优控制两大类。

离散最优控制是指在离散时间点上确定控制器参数或控制策略的问题。

典型的离散最优控制方法包括动态规划、贝尔曼方程等。

连续最优控制是指在连续时间范围内确定控制器参数或控制策略的问题。

常见的连续最优控制方法有经典最优控制、最速控制、最小能耗控制等。

三、最优化技术在控制系统中的应用最优化技术在控制系统中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域。

1. 机器人控制机器人控制是利用最优化技术来实现机器人移动、定位和路径规划等问题。

通过对机器人运动过程中的能耗、时间等指标进行优化，可以实现机器人的高效控制和优化运动。

2. 制造业控制在制造业中，最优化技术可以用来优化物料和生产设备的调度、工艺参数的优化以及生产线的平衡等问题。

通过合理地设计和优化控制策略，可以提高制造业的生产效率和产品质量。

3. 能源系统控制能源系统控制是指在能源产生、传输和消费过程中，通过最优化技术实现能源的高效利用。

例如在电力系统中，可以通过最优化技术对电网的输电线路和发电机组进行优化调度，以最大限度地提高电网的稳定性和电能的利用率。

最优化方法与最优控制2

第二章非线性规划在实践中，最优化问题的目标函数和(或)约束条件常常是非线性的，如例1-1和例2-1。

这类问题称为非线性规划问题。

求解无约束条件的非线性规划问题通常采用逐步逼近法(俗称试探法)，若在求解过程中使用了目标函数的导数，称为解析法；不使用导数而直接利用目标函数进行比较、搜索，称为直接法。

对于有约束条件的非线性规划问题，可以将其转化为无约束条件的非线性规划问题后再进行求解。

本章介绍求解非线性规划的一些方法，对解的收敛性不作讨论。

例2-1求解例1-1，即有一块薄的塑料板，宽为a ，对称地把两边折起，做成槽(如图2-1)。

欲使槽的横截面积S 最大，1x 、2x 和θ的最优值是多少？解：最优化问题的目标函数和约束条件为θθsin )cos (m ax 221x x x S ⋅+=， a x x =+212；01≥x ；02≥x 。

分析：该问题的目标函数是非线性的，属非线性规划问题。

目标函数自变量中，只有2个是自由的，不妨以2x 和θcos =y 为自变量，将其转化为无约束条件的非线性规划问题。

212x a x -=；a x 5.002≤<。

目标函数改写为：22221)2(max y x y x x a J -+-=，原最优化问题简化成二元函数求极值问题，求解过程如下：1)2(101)2(1)2(2222222222222=-+---=∂∂=-+-+--=∂∂yy x y x x a y x y J y y x x a y x y x J； ⎩⎨⎧=+--=+-022*********y x y x x y a y x x a ；⎩⎨⎧==⇒2/13/2y a x ；⎩⎨⎧==ο603/2θa x ；最优解： 3/1a x =；3/2a x =；o60=θ；12/3m ax 2a J =。

该例实质上是二元函数求极值问题，经解析方法计算使J 的一阶导数等于零的参数值，且J 的海森矩阵09/323/33/32/33<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=a a a H ，是负定矩阵，目标函数J 取极大值，即为最优解。

最优化方法与最优控制9

144 第七章动态规划系统的数学模型、目标函数和求解方法是最优化问题的三个要素。

对于一个已知状态空间描述的控制系统来说，在确定了控制目标(性能指标)后，就需要寻求一个控制函数，使性能指标取最小(或最大)值。

在控制界普遍认为，庞特里亚金(Понтрягин)的最小值原理和贝尔曼(Bellman)的动态规划是求解最优控制问题的两种有效方法。

在第五章和第六章中，应用最小值原理给出了性能指标达到极值的必要条件，特别地，对于具有线性二次型性能指标的最优控制系统，能够得到最优控制的解析表达式，便于实现状态反馈控制。

本章介绍动态规划的主要内容—最优性原理，它在处理多级决策过程是非常有效的。

动态规划处理问题的思路是，把要处理的最优化问题转化为许多有序、相关的子问题，即多级决策过程，如果每一个子问题的解对全局都是最优的，那么，总的决策就是最优的。

本章先阐述多级决策过程的基本概念，其次介绍最优性原理，然后讨论用动态规划求解离散系统和连续系统的线性调节问题。

7-1 多级决策过程所谓多级决策过程如图7-1所示。

多级过程是由在时间或空间上(图7-2)顺序相关的若干级子过程组成的一个完整过程。

在每一级都需要有相应的决策，对整个过程性能指标而言，该决策应当是最优的。

显然某一级的决策确定后，必然会影响后一级过程的决策，从而影响到自当前一级过程到终端级过程的决策和整体性能指标。

由于在某一级时，子过程的初始状态是由前面多级过程及其决策的结果，初始状态往往不是唯一的，即可供选择的决策往往不止一个。

多级决策问题，就是要在允许选择的决策中选择一个最优的策略，使整体性能指标最优。

图7-1中的虚线框表示一级子过程，它可以代表任何类型的子过程。

图7-1将线性离散系统展示成一个时间上的多级决策过程，每一级子过程的状态方程是))u(B())x(A()1x(k k k k k +=+，1,,1,0-=N k 。

(7-1)系统从状态)0(x 经)1(x 、)2(x 、…转移到状态)(x N 的过程称为N 级过程。

最优化与最优控制_补充变分-32页文档资料

路段之间的相互影响有对称与非对称两种。在对称问题中，
路段 a 上的流量 fa 对路段 b 上的阻抗 cb 的边际影响，等于路段 b 上的流量 fb 对路段 a 上的阻抗 ca 的边际影响，即 cb / f a ca / fb ，在这种情况下，可以构造出等价的极小值
ij ckij00,,
如果 hkij 如果 hkij
0 0， iI,jJ,kKij
其中 ij为平衡状态下O-D对 i j 之间的出行费用。
变分不等式实例
在路段费用是流量的严格增函数的假定下，Dafermos（1980）将城市交通网络均衡流问题改写为变分不等式问题，最一般的形式就是：
定义2.2 令 F:En En是连续的，互补问题即确定
x* En，使得 F(x*)Tx* 0
（2.4）
F(x*) 0
（2.5）
x* 0
（2.6）
互补问题是定义在非负卦限上由等式和不等式构成的
系统。定理2.3 定义在 D En 上的VIP（2.1）和互补问题（2.4）~ （2.6）若都有解，则其解相同。
1. 变分不等式
变分不等式问题（Variational Inequalities Problem-VIP）最初源于研究一类力学问题中定义在无穷维空间上的偏微分方程，它是作为一种研究工具而发展起来的。变分不等式已被广泛地应用于经济领域的均衡问题、运筹学及城市交通网络建模等问题中，是当前一种非常重要的建模
其中 f 是特定的优化目标，为决策变量 x(x1,x2, ,xn)T 的函数，
D是可行集。
定理2.1 （最优性条件）令 f : DE1是非空闭凸集 D En上的连续可微函数，且F(x)f(x)，若 x* D 是优化问题（2.2）的解，那么 x * 也是VIP（2.1）的解。反之，当 f (x) 伪凸时成立。

最优化方法与最优控制1

第一章最优化方法的一般概念人们在处理日常生活、生产过程、经营管理、社会发展等实际问题时，都希望获得最佳的处理结果。

在有多种方案及各种具体措施可供选择时，处理结果与所选取方案和具体措施密切相关。

获取最佳处理结果的问题称为最优化问题。

针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。

1-1 目标函数、约束条件和求解方法目标函数就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数，该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果表现为目标函数取极值。

在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。

求解方法是获得最佳结果的必要手段，该方法使目标函数取极值，所得结果称为最优解。

针对各种类型的最优化问题，找出可靠、快捷的处理方法是最优化方法(理论)的研究范畴。

目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。

无约束条件的最优化问题称为理想最优化问题，所得结果称为理想最优解。

下面用三个简单的例子，说明最优化问题的目标函数和约束条件。

例1-1 有一块薄的塑料板，宽为a ，对称地把两边折起，做成槽(如图1-1)。

欲使槽的横截面积S 最大，1x 、2x 和θ的最优值是多少？该问题要找出最优参数1x 、2x 和θ，使槽的横截面积S 最大，所以，目标函数为θθsin )cos (max 221x x x S ⋅+=； (1-1)由于底边与两个斜边的总长度应等于塑料板宽度a ，即约束条件为a x x =+212。

(1-2)有许多最优化问题可以方便地将等式约束条件代入目标函数中，使原问题转换为无约束条件的最优化问题，便于求解。

例1-1为无约束条件的最优化问题时，目标函数如下θθsin )cos 2(max 222x x x a S ⋅+-=。

(1-3)例1-2 仓库里存有20米长的钢管，现场施工需要100根6米长和80根8米长的钢管，问最少需要领取多少根20米长的钢管？用一根20米长的钢管，截出8米管或6米长管的方法只有三种，设：1x —1根长管截成2根8米管的根数；2x —1根长管截成1根8米管和2根6米管的根数；3x —1根长管截成3根6米管的根数。

最优化及最优化方法讲稿

03
最优化问题的求解方法
数学建模
确定变量和目标函数
根据实际问题，明确决策变量和目标函数，建立数学模型。
确定约束条件
根据实际问题的限制条件，确定数学模型的约束条件。
处理复杂问题
运用数学知识，将复杂问题分解为简单问题，建立相应的数学模型。
迭代法
迭代步骤
设定初始解，根据一定的迭代公式逐步逼近最优解。
路线最优化的案例
总结词
路线优化能够降低运输成本、提高运输效率，是物流企业的重要任务。
详细描述
路线优化是根据客户的位置、需求量和车辆的载重限制等约束条件，通过优化算法计算出最优的车辆行驶路线和车辆调度方案，以实现运输成本最低、运输时间最短、运输效率最高的目标。路线优化的方法包括图论算法、遗传算法、模拟退火算法等。
模拟退火算法
总结词
模拟退火算法是一种求解优化问题的概率性算法，通过引入类似物理中的退火过程来寻找最优解。
详细描述
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，它通过引入随机性和概率性来避免陷入局部最优解，从而找到全局最优解。该算法在求解一些具有大量约束和复杂目标的优化问题时具有较大的优势，如组合优化问题、网络优化问题等。其主要步骤包括初始化、迭代更新、接受或拒绝等。
最优化及最优化方法讲稿
xx年xx月xx日
目录
• 最优化的定义与重要性 • 最优化方法的种类与特点 • 最优化问题的求解方法 • 最优化方法的计算机实现 • 最优化的实际应用案例
01
最优化的定义与重要性
最优化的定义
最优化指的是在给定一组约束条件和目标函数的情况下，寻找使得目标函数达到最优值的一组决策变量。
实例演示

最优化方法期末考试复习

最优化理论与方法知识点总结最优化理论与方法知识点总结 (1)一、最优化简介： (2)1.1最优化应用举例 (2)1.2基本概念 (2)1.3向量范数 (3)1.4矩阵范数 (3)1.5极限的定义 (3)1.6方向导数存在性和计算公式 (4)1.7梯度定义 (4)1.8海塞矩阵 (5)1.9泰勒展开式： (5)1.10凸集定义 (5)1.11凸集性质 (5)1.12凸函数定义 (6)1.13凸函数判断 (6)1.14矩阵正定与半正定判断 (6)1.15例题（判断矩阵是否正定） (7)1.16凸优化 (7)二、线性规划 (7)2.1线性规划数学模型的一般形式 (7)2.2解的基本定理 (7)2.3解的分类 (8)2.4图解法 (8)2.5例题（图解法） (8)2.6标准型的化法 (9)2.7例题（化为标准型） (9)2.8单纯形法 (10)2.9例题（单纯形法） (11)三、对偶线性规划 (13)3.1对偶问题 (13)3.2单纯形法解对偶问题 (13)3.3对偶单纯形法求解线性规划问题过程 (14)四、无约束优化 (14)4.1无约束优化概述 (14)4.2搜索区间的确定 (15)4.3区间消去法原理 (16)4.4黄金分割法 (17)4.5插值方法 (17)4.6常见的终止准则 (19)4.7最速下降法 (20)4.8牛顿类方法 (20)4.9例题（牛顿类方法） (21)一、最优化简介：1.1最优化应用举例具有广泛的实用性运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等工程设计，结构设计等资源分配，生产计划等通信：光网络、无线网络，ad hoc等.制造业：钢铁生产，车间调度等医药生产，化工处理等电子工程，集成电路VLSI etc.排版1.2基本概念目标函数和约束函数都是线性的，称之为线性规划问题，而有的模型中含有非线性函数，称之为非线性规划。

在线性与非线性规划中，满足约束条件的点称为可行点，全体可行点组成的集合称为可行集或可行域。

最优化及最优化方法讲稿

06
5. 控制工程：用来设计控制器，实现对系统的稳定控制。
06
模拟退火算法
模拟退火算法的基本原理
物理退火过程：将固体加热至熔点，再将其缓慢冷却，使其最终达到最低能量状态的过程。
模拟退火算法思想：将物理退火过程引入到最优化问题中，通过类似的过程寻找到问题的全局最优解。
模拟退火算法的基本思想是通过不断迭代，逐步降低算法对于解的“偏好”，从而使得算法能够在更大的解空间中进行搜索。
动态规划的应用案例
最短路径问题
在图论中，给定一个起点和终点，以及一组边和每条边的长度，如何找到从起点到终点路径最短的路径？这是一个典型的动态规划问题，可以使用Dijkstra算法求解。
背包问题
给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，如何选择物品放入一个容量有限制的背包中，使得背包中的总价值最大？这是一个典型的动态规划问题，可以使用动态规划算法求解。
动态规划问题的求解方法
递推法
通过将问题分解为子问题，利用状态转移方程，从初始状态开始逐步求解每一个子问题，
最终得到原问题的最优解。
迭代法
通过不断迭代更新当前的最优解，逐步逼近全局最优解。常见的迭代法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
分治法
将原问题划分为多个相互独立的子问题，分别求解每个子问题，然后将子问题的解组合起来得到原问题的最优解。
因构成。
遗传算法的基本原理是保持种群的多样性，同时不断地进行选择、交叉和变异操作，以逐
步接近问题的最优解。
遗传算法的实现方法
• 遗传算法的实现包括以下步骤 • 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群。 • 适应度函数：根据问题的要求，设计一个适应度函数来评估每个个体的优劣程度。 • 选择操作：根据适应度函数的结果，选择优秀的个体进入下一代种群。 • 交叉操作：对被选择的个体进行交叉操作，生成新的个体。 • 变异操作：对新生成的个体进行变异操作，增加种群的多样性。 • 迭代更新：重复上述步骤，直到满足终止条件，输出最优解。

最优化方法与最优控制3

解2°：按二次函数计算。

取0x 0=；⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=Λ24222)x (2121x x x x ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H =4222)x (A ； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ20)x (0；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ-=20)x (p 00； 25.0)p p /()x (p 0T 00T00=Λ-=A s ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5.00x 1；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ01)x (1； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ+Λ-=5.01p )}p p /(p )x ({)x (p 00T001T 11A A ； 1)p p /()x (p 1T 11T 11=Λ-=A s ；T 2]11[x -=；收敛性检查：[]T 200)x (=Λ；得到[]T 11x -=*，4)x (=*f 。

2-2-6 变尺度法在梯度法中，是以)x (f 在k x 处的最速下降方向)x (p k k Λ-=作为搜索方向。

这种搜索是局部性的，搜索会产生拉锯现象，使收敛放慢。

若要快速收敛，搜索方向应取k x 处的牛顿方向，即)x ()x (p 1k k k ΛH -=-，式中 )x (k H 是 k x x =处的海森矩阵。

显然，要得到牛顿方向，需要计算二阶导数及海森矩阵的逆矩阵，相当麻烦。

如果I =H )x (，则梯度方向和牛顿方向一致。

为了克服梯度法和牛顿法的缺点，可按k k k k k H H g )x (p -=Λ-= (2-32)方向进行搜索。

为保证向下降方向搜索，且计算方便，要求矩阵k H 具有以下性质：1. k H 是正定的；2. 保证110p ,,p ,p -n 关于矩阵A 是共轭的；3. 1+k H 与k H 具有递推关系，即k k k H H H ∆+=+1， (2-33)式中 k H ∆称为校正矩阵。

为使110p ,,p ,p -n 关于矩阵A 共轭，并注意到式(2-32)则有0p p 1T =+k i A ，0g p 11T =++k k i AH ，k i ,,1,0 =。

最优化方法与最优控制复习文件

最优化方法与最优控制复习文件1. 非线性优化的基本概念，最优解的一阶和二阶条件，最速下降方法，拟牛顿法情况，BFGS修正。

2. 变分问题的最优必要性条件推导，各种情况下的必要性条件，Hamilton 函数、拉格让日函数。

PPT 中讲到的最优控制实例，包括求解过程需要掌握。

3. 极大值原理搞清楚，以及PPT 中的计算实例。

4. 动态规划，原理和简单的求解技术。

5. LQR 问题也要看一下。

除此之外，还有几个作业题目大家做一下，如下所示：1. 非线性优化中，从直观考虑最速下降法是一种最快速的迭代优化方法，实际过程中为什么不理想？为什么采用二阶方法？二阶方法中的二阶导数矩阵怎么得到的？有什么要求？（15分）2. 对于函数形式为的优化问题，若采用最速下降法求解，请给出最优搜索方向p k 的表达式。

变量初值为X0=[1,1,1]T ，请写出第一步迭代过程，以及得到的X1的关于搜索步长α0表达式，在这种情况下，使得))0()0((F 0p x α+最小的搜索步长α0应该等于多少？（15分）3. 题目要求如下，采用动态规划方法寻求从A 点到B 点的最小时间路径（A 到B 仅能向前走），（20分）4. 对于以下简单的标量非线性系统，请通过求解相关HJB 方程得到其最优反馈控制策略。

提示，HJB 微分方程允许如此形式的解。

5.写出如下优化控制问题的Hamiltonian 函数、优化求解的必须性条件，并通过必要性条件的求解计算出该优化控制和状态轨线。

最小化目标函数6.根据你对优化控制求解方法的了解，目前对于优化控制问题（或者成为动态优化问题，DAOPs问题）有哪些求解方法，7.。

优化方法复习word版

第1章最优化问题的基本概念§ 1.1最优化的概念最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。

§1.2最优化问题的数学模型1•最优化问题的一般形式find x v x v--,x nmin /（山，吃，…，兀）S.t.<0 " = 1,2,…，〃九（山宀…凡）=0 v = 12…,g2.最优化问题的向量表达式find Xmin /（X）s.t. G（X）<0H（X）=0式中：X =[x l9x2^-9x ft]JG（X） = [4（X）,g2（X）,-,gp（X）]7H（X）= M（X）,/72（X）,…,％（X）F3.优化模型的三要素设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！设计空间：由设计变量所确定的空间。

设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。

§1.3优化问题的分类按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法：1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题2按照LI标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题第2章最优化问题的数学基础§2.1 "元函数的可微性与梯度一、可微与梯度的定义1. 可微的定义设/(X)是定义在“维空间川的子集D 上的〃元实值函数，且X (,eDo 若存在“维向量厶，对于任意川维向量P,都有恤 /(X° + P)-/(X 。

)- FH> pjl则称/(X)在x°处可微。

2. 梯度设有函数F(X), X =［山，吃，…,兀在其定义域内连续可导。

我们把F(X)在定义域内某点X 处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为F(X)在点X 处的梯度。

记为: WX —閉签'…，签梯度有3个性质：⑴函数在某点的梯度方向为函数过该点的等值线的法线方向;⑵函数值沿梯度方向增加最快，沿负梯度方向下降最快； ⑶梯度描述的只是函数某点邻域内的局部信息。

附录4：《最优化方法》复习提要

附录4 《最优化方法》复习提要第一章最优化问题与数学预备知识§1. 1 模型无约束最优化问题 12min (),(,,,)T n n f x x x x x R =∈．约束最优化问题（},,2,1,0)(;,,2,1,0)(,|{l j x h m i x g R x x S j i n ===≥∈=∧）min ();...f x s t x S ⎧⎨∈⎩ 即 m i n ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,.i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩其中()f x 称为目标函数，12,,,n x x x 称为决策变量，S 称为可行域，()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g x i m h x j l ≥===称为约束条件．§1. 2 多元函数的梯度、Hesse 矩阵及Taylor 公式定义设:,n n f R R x R →∈．如果n ∃维向量p ，n x R ∀∆∈，有()()()T f x x f x p x o x +∆-=∆+∆．则称()f x 在点x 处可微，并称()T df x p x =∆为()f x 在点x 处的微分．如果()f x 在点x 处对于12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数都存在，则称()f x 在点x 处一阶可导，并称向量为()f x 在点x 处一阶导数或梯度．定理1 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处梯度()f x ∇ 存在，并且有()()T df x f x x =∇∆．定义设:,n n f R R x R →∈．d 是给定的n 维非零向量，de d=．如果存在，则称此极限为()f x 在点x 沿方向d 的方向导数，记作()f x d∂∂．定理2 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处沿任何非零方向d 的方向导数存在，且()()T f x f x e d∂=∇∂，其中d e d =．定义设()f x 是n R 上的连续函数，n x R ∈．d 是n 维非零向量．如果0δ∃>，使得(0,)λδ∀∈，有()f x d λ+<（>）()f x ．则称d 为()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定理3 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 处可微，如果∃非零向量n d R ∈，使得()T f x d ∇<（>）0，则d 是()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定义设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的二阶偏导数2()(,1,2,,)i jf x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点x 处二阶可导，并称矩阵为()f x 在点x 处的二阶导数矩阵或Hesse 矩阵．定义设:,n m n h R R x R →∈，记12()((),(),,())T m h x h x h x h x =，如果 ()(1,2,,)i h x i m =在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数都存在，则称向量函数()h x 在点x 处是一阶可导的，并且称矩阵为()h x 在点x 处的一阶导数矩阵或Jacobi 矩阵，简记为()h x ∇．例2 设,,n n a R x R b R ∈∈∈，求()T f x a x b =+在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解设1212(,,,),(,,,)TTn n a a a a x x x x ==，则1()nk k k f x a x b ==+∑，因()(1,2,,)k kf x a k n x ∂==∂，故得()f x a ∇=．又因2()0(,1,2,,)i jf x i j n x x ∂==∂∂，则2()f x O ∇=．例3 设n n Q R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，称1()2TT f x x Qx b x c =++为二次函数，求()f x 在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解设1212(),(,,,),(,,,)T T ij n n n n Q q x x x x b b b b ⨯===，则121111(,,,)2n nnn ij i j k k i j k f x x x q x x b x c ====++∑∑∑，从而111111111()()()nn j j j j j j n n n nj j n nj j j j n f x q x b q x x bf x Qx b f x b q x b q x x ====⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∇===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑．再对1()(1,2,,)nij j i j i f x q x b i n x =∂=+=∂∑求偏导得到2()(,1,2,,)ij i jf x q i j n x x ∂==∂∂，于是1112121222212()n n n n nn q q q q q q f x Q q q q ⎛⎫⎪ ⎪∇== ⎪⎪⎝⎭．例4 设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求(),()t t ϕϕ'''．解由多元复合函数微分法知 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．定理4 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，则()f x 在点x 处有Taylor 展式21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．证明设()(),[0,1]t f x t x t ϕ=+∆∈，则(0)(),(1)()f x f x x ϕϕ==+∆．按一元函数Taylor 公式()t ϕ在0t =处展开，有21()(0)(0)(),(0)2t t t t ϕϕϕϕθθ'''=++<<．从例4得知2(0)(),()()()T T f x x x f x x x ϕϕθθ'''=∇∆=∆∇+∆∆．令1t =，有21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．根据定理1和定理4，我们有如下两个公式()()()()()T f x f x f x x x o x x =+∇-+-，221()()()()()()()()2T T f x f x f x x x x x f x x x o x x =+∇-+-∇-+-．§1. 3 最优化的基本术语定义设:n f R R →为目标函数，n S R ⊆为可行域，x S ∈．（1）若x S ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的全局（或整体）极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的全局（或整体）最优解，并称()f x 为其最优值．（2）若,x S x x ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格全局（或整体）极小点．（3）若x ∃的δ邻域(){}(0)n N x x R x x δδδ=∈-<>使得()x N x S δ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的局部极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的局部最优解．（4）若x ∃的δ邻域()(0)N x δδ>使得(),x N x S x x δ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格局部极小点．第二章最优性条件§2.1 无约束最优化问题的最优性条件定理1 设:n f R R →在点x 处可微，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=．定义设:()n f S R R ⊆→在int x S ∈处可微，若()0f x ∇=，则称x 为()f x 的平稳点．定理 2 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=，且2()f x ∇半正定．定理 3 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若()0f x ∇=，且2()f x ∇正定，则x 是问题min ()f x 的严格局部极小点．注：定理2不是充分条件，定理3不是必要条件．例1 对于无约束最优化问题2312min ()f x x x =-，其中212(,)T x x x R =∈，显然 2212()(2,3),T f x x x x R ∇=-∀∈，令()0f x ∇=，得()f x 的平稳点(0,0)T x =，而且2222020(),()0600f x f x x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．易见2()f x ∇为半正定矩阵．但是，在x 的任意δ邻域x x δ-<，总可以取到(0,)2T x δ=，使()()f x f x <，即x 不是局部极小点．例2 对于无约束最优化问题42241122min ()2f x x x x x =++，其中212(,)T x x x R =∈，易知3223112122()(44,44)Tf x x x x x x x ∇=++，从而得平稳点(0,0)T x =，并且 22221212221212001248(),()008412x x x x f x f x x x x x ⎛⎫+⎛⎫∇=∇=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．显然2()f x ∇不是正定矩阵．但是，22212()()f x x x =+在x 处取最小值，即x 为严格局部极小点．例3 求解下面无约束最优化问题332122111min ()33f x x x x x =+--，其中212(,)T x x x R =∈，解因为21212222201(),()0222x x f x f x x x x ⎛⎫-⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以令()0f x ∇=，有2122210,20.x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解此方程组得到()f x 的平稳点(1)(2)(3)(4)1111,,,0202x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．从而2(1)2(2)2020(),()0202f x f x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2(3)2(4)2020(),()0202f x f x --⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．由于2(1)()f x ∇和2(4)()f x ∇是不定的，因此(1)x 和(4)x 不是极值点．2(3)()f x ∇是负定的，故(3)x 不是极值点，实际上它是极大点．2(2)()f x ∇是正定的，从而(2)x 是严格局部极小点．定理4 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微，若()0f x ∇=，则x 为min ()f x 的全局极小点．推论5 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微．则x 为min ()f x 的全局极小点的充分必要条件是()0f x ∇=．例4 试证正定二次函数1()2TT f x x Qx b x c =++有唯一的严格全局极小点1x Q b -=-，其中Q 为n 阶正定矩阵．证明因为Q 为正定矩阵，且(),n f x Qx b x R ∇=+∀∈，所以得()f x 的唯一平稳点1x Q b -=-．又由于()f x 是严格凸函数，因此由定理4知，x 是()f x 的严格全局极小点． §2.2 等式约束最优化问题的最优性条件定理1 设:n f R R →在点x 处可微，:(1,2,,)n j h R R j l →=在点x 处具有一阶连续偏导数，向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题的局部极小点，则,1,2,,j v R j l ∃∈=，使得1()()0lj j j f x v h x =∇-∇=∑．称(,)()()T L x v f x v h x =-为Lagrange 函数，其中12()((),(),,())T l h x h x h x h x =．称12(,,,)T l v v v v =为Lagrange 乘子向量．易见(,)x v L L x v L ∇⎛⎫∇= ⎪∇⎝⎭，这里1(,)()(),(,)()lx j j v j L x v f x v h x L x v h x =∇=∇-∇∇=-∑．定理 2 设:n f R R →和:(1,2,,)n j h R R j l →=在点n x R ∈处具有二阶连续偏导数，若l v R ∃∈，使得(,)0x L x v ∇=，并且，,0n z R z ∀∈≠，只要()0,1,2,,T j z h x j l ∇==，便有2(,)0T xx z L x v z ∇>，则x 是问题的严格局部极小点．例1 试用最优性条件求解 221212min ();..()80.f x x x s t h x x x ⎧=+⎨=-=⎩解 Lagrange 函数为221212(,)(8)L x v x x v x x =+--，则1221122(,)2(8)x vx L x v x vx x x -⎛⎫⎪∇=- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而得(,)L x v的平稳点2)T和(2)T ，对应有,2T x v ==和(,2T x v ==．由于221222(,),()222xx x v L x v h x x v--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇==∇= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因此1212{(,)|}T z z z z ==-．并且(),0z M x z ∀∈≠，有222211221(,)24280T xx z L x v z z z z z z ∇=-+=>．利用定理2，所得的两个可行点T x =和(T x =都是问题的严格局部极小点． §2.3 不等式约束最优化问题的最优性条件定义设,,,0n n S R x clS d R d ⊆∈∈≠，若0δ∃>，使得，,(0,)x d S λλδ+∈∀∈，则称d 为集合S 在点x 处的可行方向．这里{|,(),0}n clS x x R SN x δδ=∈≠∅∀>．令 {|0,0,,(0,)}D d d x d S δλλδ=≠∃>+∈∀∈使， 0{|()0}T F d f x d =∇<．定理 1 设n S R ⊆是非空集合，:,,()f S R x S f x →∈在点x 处可微．若x 是问题min ()x Sf x ∈的局部极小点，则 0F D =∅．对于min ();..()0,1,2,,,i f x s t g x i m ⎧⎨≥=⎩ （1）其中:,:(1,2,,)n n i f R R g R R i m →→=．令(){|()0,1,2,,}i I x i g x i m ===，其中x 是上述问题（1）的可行点．定理2 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，如果x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G =∅，其中0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈．定理3 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，若x 是问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的非负数0,(())i u u i I x ∈，使0()()()0iii I x u f x u g x ∈∇-∇=∑．（x 称为Fritz John 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的非负数01,,,m u u u ，使01()()0,()0,1,2,,.mi i i i iu f x u g x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为Fritz John 点）例1 设1311222min ();..()(1)0,()0.f x x s t g x x x g x x =-⎧⎪=--≥⎨⎪=≥⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点．解因为12100(),(),()011f x g x g x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，所以为使Fritz John 条件01210000110u u u -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．取0120,0u u u α===>即可，因此x 是Fritz John 点．定理4 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且()(())i g x i I x ∇∈线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在0(())i u i I x ≥∈，使得()()()0iii I x f x u g x ∈∇-∇=∑．（x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在0(1,2,,)i u i m ≥=，使得1()()0,()0,1,2,,.mi i i i if x ug x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为K-T 点）例2 求最优化问题21211222min ()(1);..()20,()0f x x x s t g x x x g x x ⎧=-+⎪=--+≥⎨⎪=≥⎩的K-T 点．解因为1122(1)10(),(),()111x f x g x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以K-T 条件为若20u =，则11u =-，这与10u ≥矛盾．故20u >，从而20x =；若120x -+=，则12u =-，这与10u ≥矛盾．故10u =，从而211,1u x ==；由于120,0u u ≥≥，且(1,0)T x =为问题的可行点，因此x 是K-T 点．定理 5 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．§2.4 一般约束最优化问题的最优性条件考虑等式和不等式约束最优化问题min ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,,i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩（1）其中:,:(1,2,,),:(1,2,,)n n n i j f R R g R R i m h R R j l →→=→=．并把问题（1）的可行域记为S ．,(){|()0,1,2,,}i x S I x i g x i m ∀∈==．定理1 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G H =∅，这里0{|()0}T F d f x d =∇<，0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈，0{|()0,1,2,,}T j H d h x d j l =∇==．定理2 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续．若x 为问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的数0,(())i u u i I x ∈和(1,2,,)j v j l =，且0,0(())i u u i I x ≥∈，使0()1()()()0liijji I x j u f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑．（x 称为Fritz John 点）若()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的数0,(1,2,,)i u u i m =和(1,2,,)j v j l =，且0,0(1,2,,)i u u i m ≥=，使011()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i iu f x u g x v h x u g x i m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为Fritz John 点）例1 设2212311222212min ();..()0,()0,()(1)0.f x x x s t g x x x g x x h x x x ⎧=+⎪=-≥⎪⎨=≥⎪⎪=--+=⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点．解 (){2}I x =，且2200(),(),()011f x g x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，因此为使Fritz John 条件022*******u u v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．所以取020,1,1u u v ===-，即知x 是Fritz John 点．定理3 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，且向量组()(()),()(1,2,,)i j g x i I x h x j l ∇∈∇=线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在数0(())i u i I x ≥∈和(1,2,,)j v j l =，使()1()()()0liijji I x j f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑．（x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在数0(1,2,,)i u i m ≥=和(1,2,,)j v j l =，使11()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i if x ug x vh x u g xi m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为K-T 点）令 1212()((),(),,()),()((),(),,())T T m l g x g x g x g x h x h x h x h x ==，1212(,,,),(,,,)T T m l u u u u v v v v ==，称u 与v 为广义Lagrange 乘子向量或K-T 乘子向量．令(,,)()()()T T L x u v f x u g x v h x =--为广义Lagrange 函数．称(,,)L x u v 为广义Lagrange 函数．则K-T 条件为定理4 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，()(1,2,,)j h x j l =是线性函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．例2 求解最优化问题221221212min ()(3)(1);..()0,()230.f x x x s t g x x x h x x x ⎧=-+-⎪=-+≥⎨⎪=+-≥⎩ 解广义Lagrange 函数为222121212(,,)()()()(3)(1)()(23)L x u v f x ug x vh x x x u x x v x x =--=-+---+-+-．因为111(,,)2(3)22L x u v x ux v x ∂=-+-∂，22(,,)2(1)L x u v x u v x ∂=---∂．所以K-T 条件及约束条件为下面分两种情况讨论．（1）设0u =，则有由此可解得12718,,555x x v ===-，但71(,)55T x =不是可行点，因而不是K-T 点．（2）设0u >，则有由此可得211230x x --+=，解得11x =或13x =-。