随机过程复习题答案

随机过程习题解答（一）

第一讲作业：

1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度

（b）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）

（b）由于：

因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：

因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；

（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a）利用的独立性，由计算有：

（b）当的时候，和线性相关，即

3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。

解：由定义，有：

4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；

（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a）

（b）

第二讲作业：

P33/2．解：

其中为整数，为脉宽

从而有一维分布密度：

P33/3．解：由周期性及三角关系，有：

反函数，因此有一维分布：

P35/4. 解：(1) 其中

由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：

因此有：

且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且

所以。

（4）由于：

所以因此

当时，

当时，

由（1）中的结论，有：

P36/7．证明：

(1)

(2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）

（2）

当i=j 时；否则

令，则有

第三讲作业：

P111/7．解：

（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：

P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：

（2）由齐次马氏链的性质，有：

，

因此：

P112/9．解：

（1）

（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；

计算有：，递推得到，因此有：

P112/11．解：矩阵的特征多项式为：

由此可得特征值为：，及特征向量：

，

令矩阵

则有：

因此有：

P112/12．解：

设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如

下：

P113/13．解：画出状态转移图，有：

P113/14. 解：画出状态转移图，有：

P113/16．解：画出状态转移图，有：

（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。

（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通

组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。

（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。

第六讲作业：

P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：

（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：

解得极限分布即可。

P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，

因此可计算极限分布如下：

解以上方程，得极限分布：

P115/19．解：见课上讲稿。

P116/21．解：记，则有：

（1）因为：

(A)

当时，有：

由（A）可得：

当且时，有：

由（A）可得：

当且时，有：

由（A）可得：

另外：下列等式是明显的

因此我们有：

即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：

（2）画出转移矩阵图，可得：

由：及，并且取，由递归可得：

（3）由于：

因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。

（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：

随机过程习题解答（二）

P228/1。证明：由于t s <，有

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