贵州师范大学计算数学《数值分析》考研复试大纲

贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲（复试）

(科目名称：数值分析）

一、考查目标

本《考试大纲适用于贵州师范大学数学科学学院数学专业硕士研究生入学考试复试。数值分析是高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等理工科专业的一门专业核心必修课程。它是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程。其研究对象是解决各种数学问题的数值计算程序、方法与相关理论。

1、考试目的

测试考生对数值计算方法的基本原理和基本方法的掌握，以及对数值分析的理解及基本应用能力。考生应该掌握拉格朗日插值方法、数值积分、数值微分、方程求根、线性代数方程组的数值解法，并有应用这些方法解决和分析数值计算中常见问题的基本能力。

《数值分析》是我校数学科学学院招收全日制硕士研究生而设置的具有选拔性质的复试科目，其目的是考察学生是否具备本学科计算数学专业硕士研究生学习所要求的水平，为我校数学科学学院择优选拔硕士研究生提供依据。

2、考试的基本要求

要求学生了解和掌握这门课程所涉及的各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。

（1）掌握算法的基本原理和思想，包括算法的构造、算法处理的技巧、误差分析、收敛性和稳定性等基本理论。

（2）掌握误差与有效数字定义、函数插值与逼近的方法、积分与微分的数值计算方法、线性方程组的数值解法、非线性方程根的求解方法。

（3）掌握各种算法的理论分析；了解主要算法的设计思路。

二、考试形式与试卷结构

（一）试卷成绩及考试时间

本试卷满分为100分。考试时间为180分钟。

（二）答题方式

闭卷，笔试；所有题目全部为必答题。

（三）试卷内容

数值计算中的误差、拉格朗日插值方法、数值积分、数值微分、方程求根、线

性代数方程组的数值解法

（四）试卷题型结构

计算题、证明题。

三、考查范围

1、数值计算中的误差

了解误差的四种来源，特别是截断误差和舍入误差。理解误差，误差限，有效数字的概念以及它们之间的相互关系。会用微分计算函数值误差。了解算法稳定性的概念。会用秦九韶算法计算多项式的值并了解减少计算量对算法的重要性。最后理解数值计算中应注意的原则。

2、插值法

理解多项式插值的基本思想，掌握Lagrange 插值的基本思想及基函数的性质，理解插值余项定理的证明方法并能够识记插值余项公式掌握差商的概念以及Newton 插值公式，了解整体插值的缺点和分段插值的优点，理解其几何意义，掌握各种分段插值公式以及余项估计。

3、数值积分与数值微分

掌握各种数值积分方法的基本思想。了解各种积分方法之间的联系与区别。掌握数值微分方法的基本思想。会运用数值积分方法和数值微分方法解决一些实际积分和微分的问题。

通过推导复合梯形求积公式的余项估计，学会推导其它求积公式的余项估计。了解先验误差估计和后验误差估计以及它们的区别。掌握差商的用处和几何意义。知道中心差商公式的优点。理解Richardson 外推法能够得到高精度近似导数值的原因。

4、方程求根

通过对本章的学习，使学生掌握各种迭代求根方法的基本思想，了解迭代收敛速度的概念和迭代原理。会运用各种迭代方法求非线性方程的根。

5、线性代数组数值解法

通过对本章的学习，使学生掌握Jacobi 迭代法、Gauss －Seidel 迭代法的基本思想和Gauss 消去法的理论基础。掌握矩阵的LU 分解及应用。

四、样题

一、（本大题共15分） 设1

0,1,2, (2041)

n x I n x ==+⎰，试构造一个数值稳定的递推算法，并证明其稳定性。

二、（本大题共15分）设*x 是()0f x =的m 重根，()f x 在*x 附近二次连续可微。

1) 证明：当1m =时，Newton 迭代1()'()

k k k k f x x x f x +=-是平方收敛；（7分） 2) 证明：当2m ≥时，Newton 迭代1()'()

k k k k f x x x f x +=-是线性收敛。（8分） 三、（本大题共20分）设222324114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，用 LU 分解求解下列问题: 1) 计算行列式 det()A ；（5分）

2) 解方程组 Ax b =，其中(2,11)T b =--；（7分）

3) 求逆矩阵 1A -。（8分）

五、主要参考书

1.杨一都.数值计算方法[M].高等教育出版社,2008.

2.李庆扬,王能超,易大义. 数值分析（第五版）[M].清华大学出版社,2008.