2020年高考文科数学试卷(全国3卷)

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（三卷）

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．已知集合{

}11,7,5,3,2,1=A ，{}

153<<=x x B ，则B A 中元素的个数为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2．复数i i z -=+⋅1)1(，则=z （）A ．i

-1B ．i

+1C ．i

-D ．i

3设一组样本数据n x x x ,,,21 的方差为0.01，则数据n x x x 10,,10,1021 的方差为（）

A ．0.01

B ．0.1

C ．1

D ．10

4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数)(t I （t 的单位：天）的Logisic 模型：)

53(23.01)(--+=

t e

K

t I ，其中K 为最大确诊病例数。当K t I 95.0)(=*时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（319ln ≈3）（）

A ．60

B ．63

C ．66

D ．69

5．已知13

sin(sin =+

+πθθ，则=+6sin(π

θ（

）

A ．

21B ．

23C ．

3

2D ．

2

26．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点。若1=⋅BC AC ，则点C 的轨迹为（）

A.圆

B.椭圆

C.抛物线

D.直线

7．设O 为坐标原点，直线2=x 与抛物线)0(2:2

>=p px y C 交于D ，E 两点，若DE OD ⊥，则C 的焦点坐标为（）

A ．)

0,41

(B ．)

0,2

1(C ．)

0,1(D ．)

0,2(8．点)1,0(-到直线)1(+=x k y 距离的最大值为(

)

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

9．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(

)

A ．2

46+B ．2

44+C ．326+D ．3

24+10．设3

2

,3log ,2log 53=

==c b a 则（）

A ．b

c a <

b a <

c b <

2

cos =C ，3,4==BC AC ，则=B tan （）

A ．5

B ．5

2C ．5

4D ．5

812．设函数x

x x f sin 1

sin )(+=，则（）

A ．)(x f 的最小值为2

B ．)(x f 的图像关于y 轴对称

C ．)(x f 的图像关于直线π=x 对称

D ．)(x f 的图像关于直线2

π

=

x 对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥-≥+1020x y x y x .则y x z 23+=的最大值为__________．

14．设双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b y a x C 的一条渐近线为y 2=，则C 的离心率为__________．

15．设函数a x e x f x +=)(，若4

1

)1(=f ，则=a __________．

16．已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆谁内半径最大的球的体积为__________．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设等比数列{}n a 满8,41321=-=+a a a a .（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n S 为数列{}n a 3log 的前n 项和，若31++=+m m m S S S ，求m .

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）：

（3）若某天的空气质量等级为1或2.则称这天“空气质量好”：若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次400

≤人次400

>空气质量好空气质量不好

附：)

)()()(()

(2

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=

，19．（12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别在棱11,BB DD 上，且112,2FB BF ED DE ==.证明:

（1）当BC AB =,AC EF ⊥：（2）证明：点1C 在平面AEF 内.

)

(2k K P ≥0.0500.0100.001k

3.841

6.635

10.828