高中数学空间向量求距离教案人教新课标必修

2

=

4

BA CD

异面直线AB与CD所成角的大小为

E

F

D C

B

A 四、练习

.(,,).(1,0,1)0,

.(,,).(0,3,1)0,n AD x y z n AC x y z ⎧=--=⎪⎨

=-=⎪⎩

0,

30.

x z y z +=⎧⎪∴⎨

-=⎪⎩

令1,y =得(3,1,3)n =-是平面ACD 的一个法向量，又

13(,,0),22

EC =-

∴点E 到平面ACD 的距离.321.77

EC n h n

=

=

=

练习：（2005福建卷理第20题）如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边

长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；

（Ⅱ）求二面角B-AC-E 的大小；

（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离。 解（Ⅰ）略

（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴， AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系O —xyz ，如图. ⊥AE 面BCE ，BE ⊂面BCE ， BE AE ⊥∴，

在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点，

).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(1C E A OE -∴=∴

).2,2,0(),0,1,1(==AC AE 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x n =，

则⎩

⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,

0,0,0x y y x n AC n AE 即解得⎩⎨⎧=-=,,x z x y

令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面AEC 的一个法向量. 又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=m ，

.3

3

3

1|

|||,),cos(=

=

⋅=

∴n m n m n m ∴二面角B —AC —E 的大小为.3

3arccos