大学物理第2章 运动学

第二章 运动学

2-1 有人说：“分子很小，可将其当作质点；地球很大，不能当作质点，只能

将其当作刚体。”这句话对吗？为什么？

答：分子作平动可视为质点，分子作转动，振动时不能作质点。研究地球绕

太阳公转，地日距离d r >>地球尺寸，可忽略自转，视为质点。研究地球自转时，则不能视为质点。

2-2 在一列行驶的火车内，A 、B 两个旅客有这样的对话。

A:我静静地坐在车内半个多小时了，我一点也没有运动。

B:不对，你看看车窗外，铁路边的物体都飞快地向后掠去，火车在快速前进，你也在很快地运动。

试把A 、B 两个旅客讲话的含意阐述得确切一些。究竟旅客A 是运动，还是静

止？你如何理解运动和静止这两个概念？

答：A: A 是选择车厢为参考系，则A 相对车厢是静止的。

B: B 是选择地面上的物体为参考系，则A 相对地面上的物体是运动的。

所以选择不同的参考系，描述物体的运动是不同的。

2-3 回答下列问题：

（1）位移与路程有什么区别？

（2）速度与速率有什么区别？

（3）瞬时速度与平均速度有什么区别？二者之间有何联系？

答：（1）位移是矢量，路程是标量。路程是物体运动经历的实际路经，而位移

是物体初末位置矢量之差，表示物体位置的改变，一般并不是物体所经历的实际

路经。

例如，一物体绕半径为R 一周后回到原位置，其路程为2πR ,而位移却为零。只有当物体作单向直线运动时，位移的数值才与路程相同。

（2）速度是矢量，即有大小又有方向，两者中有一个变化，速度都有变化。

速率是标量，即速度的大小是速率。

（3）瞬时速度是平均速度的极限值。

0l i m t r d r v t d t

→==

表示某一时刻的速度，速度的方向沿质点轨迹的切线，并指向质点前进的方向。

平均速度是反映了质点在这段时间内位置矢量对时间的平均变化率，即

r v t = 2-4 一质点在Oxy 平面上运动，已知质点运动方程为

()()()r t x t i y t j =+

在计算质点的速度和加速度的大小时，有人分别给出了以下两种结果：

（1） 先求出r 的量值

22r x y =+

再得出质点的速度和加速度分别为

dr v dt

= ， 22d r a dt = （2） 先求出速度和加速度的分量，再合成求出结果

22dx dy v dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，222222d x d y a dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

你认为这两种方法哪一种正确？为什么？

答：速度、加速度均是矢量，因此求速度和加速度时，应根据矢量求导法则：

()

d r d dx dy v xi y j i j dt dt dt dt ==+=+ ()

22222222d r d d x d y a xi y j i j dt dt dt dt ==+=+ 在上式求导中，因为i 、j 是单位矢量，且是恒矢量。0di dt =，0d j dt

=。 由此，速度的大小 22dx dy v dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 加速度的大小 22

2222d x d y a dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

因此，第二种方法是正确的。

2-5 请以实例说明下列问题：

（1）物体能否有不变的速率而仍有变化的速度？

（2）物体速度为零时，其加速度是否一定为零？反之，物体的加速度为零时，其速度是否一定为零？

（3）物体的加速度不断减小，而其速度却不断增大，有可能吗？

（4）当物体具有大小和方向都不变的加速度时，其速度的方向是否可以有变

化？

答：（1）匀速率圆周运动，v 不变，v 方向不断变化。

（2）竖直上抛物体到达顶点时，0,==v g a 。匀速直线运动时，0,0≠=v a 。

（3）只要0>a ，但↓a ，且a 与v 同号，则质点作加速运动，速度↑v 。

（4）g 竖直向下，抛体运动的速度方向不断变化，加速度是恒矢量。

2-6 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度与时间

的关系是否是线性的？该质点的位置矢量与时间的关系是否也是线性的呢？

答：已知 加速度 dv a ct dt

==

初始条件 0t = 0x 0v 则有，速度 020012v t t v dv adt ctdt ct ===⎰⎰⎰ ∴ 2012dx v v ct dt =+= 坐标 0200012x t t

x dx vdt v ct dt ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ∴ 30016x x v t ct =++ 可见，速度和坐标与时间不是线性的。

2-7 一物体在0t =时开始自由下落，利用公式

212

h gt = 求得物体下落距离19.6m h =的时刻为2s +和2s -。这里的2s -有什么意义？

答：由自由下落公式 212

h gt = 得出 2h t g

=± 一物体在0t =时开始自由下落，则当物体下落距离19.6m h =时，12s t =。而

22s t =-是无意义的，因为时间是为正值的。

2-8 一人站在地面上用枪瞄准悬挂在树上的木偶击发枪机，当子弹从枪口射

出时，木偶正好从树上由静止自由下落。子弹可以射中木偶吗？试说明为什么？ 答：取子弹为坐标原点，在直角坐标系Oxy 中，子弹作抛体运动，其运动方程

为 110cos x v t θ= 21101sin 2

y v t gt θ=- 木偶初始位置为（20x ，20y ），木偶作自由落体运动，其运动方程为

220x x =

222012

y y gt =- 子弹击中木偶时的条件：12y y =

1220x x x ==

瞄准时: 2020

tan y x θ= 由此解得： 2011010cos cos x x t v v θθ

== 2222201101020202101111sin sin tan 2cos 222

x y v t gt v gt x gt y gt y v θθθθ=-=-=-=-= 所以，子弹能击中木偶。

2-9 质点在平面上运动，其运动方程为()r r t =，速度为()v v t =。

（1） 如果0dr dt

=，0d r dt ≠，质点作什么运动？ （2） 如果

0dv dt =，0d v dt ≠，质点作什么运动？ 答：（1）因为 0dr dt

=，所以 r =恒量，则质点作半径为r 的圆周运动。 （2）因为 0dv dt

=，所以 v =恒量，则质点作匀速率曲线运动。 2-10 一质点作匀速率圆周运动，取圆心为坐标原点。质点的位置矢量与速度、位置矢量与加速度、速度与加速度的方向之间有何关系？