《数值分析》考试试卷-2014

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数值分析试题与答案

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

数值分析试题集

..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值，判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。

二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。

12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。

x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。

六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。

七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。

八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。

2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。

a 1 2 时， A 可作 LU 分解。

3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。

数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一．填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

2014年河海大学数值分析试卷

河海大学2014-2015学年硕士生《数值分析》试题(A)任课教师姓名姓名专业学号成绩一、填空题 (每小题3分, 共24分)1、已知方程的根是二重根,则求此根的具有二阶收敛的牛顿迭代格式是。

2. 作为的近似值，有位有效数字。

3、是以为插值区域，为插值节点的插值函数，满足哪些条件会成为三次样条插值函数：。

4、给定矩阵，则_________, _________, _________,条件数____________.5、解常微分方程初值问题数值解的改进欧拉预测－校正公式是:预测:校正: 。

6、设矩阵,的杜利特尔()分解为: , 则; 。

7、给定方程,写出求解此方程的牛顿迭代格式___________________________以及弦截法迭代格式____________________________________.8、写出求解的复化辛普森求积公式______________________________________,该公式的误差阶为_____________.《数值分析》2014级(A) 第1页共5页二、(本题10分)已知，且有x0.10.20.3f (x) 2.1 3.0 3.4(1).求f (x)的二次拉格朗日插值多项式；(2).用二次拉格朗日插值多项式,求f(2.4)的近似值(取小数点后三位),并估计误差。

三、(本题10分)用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合。

x－10123f (x)－0.50.20.51 1.8《数值分析》2014级(A) 第2页共5页四、（本题8分）用追赶法求解三对角方程组五、(本题10分)写出方程组的雅科比和高斯－赛德尔迭代格式，确保对任意初始向量都收敛,并取初始向量,分别计算出迭代2次后的结果(取小数点后四位)。

《数值分析》2014级(A) 第3页共5页六、(本题8分)确定求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出所得公式的代数精度。

数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。

答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。

答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。

答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。

答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。

解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。

拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。

数值分析试卷及答案

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

2014级硕士研究生数值分析期末考试试卷A卷

2014级硕士研究生试卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：不予计分；可带计算器。

一、填空题（每空2分，共30分）1．设14.30=x 是准确值21.30=*x 的近似值，则近似值x 有位有效数字，近似值x 的相对误差为。

2．函数)(x f 过点(0,1), (1,3)和(2,9)，对应的基函数分别为)(),(),(210x l x l x l ，过这三个节点的二次拉格朗日插值多项式为，余项为。

3. 已知0)1(,3)1(,0)2(=-==f f f ，二阶均差]1,1,2[-f = 。

4．方程0123=--x x 在5.10=x 附近有个根，构造不动点迭代收敛的格式为 ,若用牛顿法迭代求根，其收敛阶是。

5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2021012a a A ，为了使A 可分解成TLL A =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵，则a 的取值范围。

6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=232221413A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x ，则∞||||Ax ，1||||A = ，2||||A = 。

7．设U L D A --=,b Ax =的Gauss-Seidel 迭代的矩阵形式b Ux Lx Dxk k k ++=++)()1()1(，其迭代矩阵为，该迭代格式收敛的充要条件__________________。

8．求解一阶常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=<<-=1)0(10,2'y x yx y y ，取步长1.0=h 的Euler 法公式为，其截断误差的首项为。

二、计算题（第4题12分，其余各题10分，共62分）1. 求次数小于等于3的多项式P (x ), 使其满足条件: 0)0(=P ，1)0('=P ，1)1(=P ，2)1('=P 。

2. 解线性方程组b Ax =, 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201814,513252321b A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x 。

数值分析期末考试题及答案

数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。

答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。

它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。

2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。

例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。

答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。

2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。

2014年秋季学期数值分析

其中，取步长，保留五位有效数字。
2014年秋季学期《数值分析》
1. (10分)要使的相对误差不超过，应取几位有效数字？
2. (15分)求函数在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
3. (15分)分别判别用Jacobi法和Gauss-Seidel法求解下列方程组是否收敛：
4. (20分)设且满足以下a,b]一阶连续，且存在常数0<L<1，使得对任意x[a,b]，成立；
证明对任意，由得到的迭代序列收敛到(x)的唯一不动点x*，并有误差估计：
。
5. (20分)对于给定的插值条件
-1
0
1
-1
0
1
试求出满足下列边界条件的三次样条插值函数。
。
6.(20分)证明预估-校正Euler公式具有二阶精度并利用预估-校正Euler公式计算初值问题

数值分析课程考试试卷(A)及答案

《数值分析》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带计算器入场考生姓名：学号：专业：班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。

2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

数值分析试题答案

数值分析试题答案一、选择题1. 以下哪个数值方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 欧几里得算法D. 拉格朗日插值法答案：B2. 在数值分析中，舍入误差通常是由什么引起的？A. 人为计算错误B. 计算机表示数字的限制C. 测量误差D. 数据输入错误答案：B3. 插值和拟合的区别在于：A. 插值通过所有数据点，而拟合不通过B. 拟合通过所有数据点，而插值不通过C. 插值是线性的，拟合是非线性的D. 插值是精确的，拟合是近似的答案：A4. 以下哪种方法最适合求解非线性方程？A. 雅可比迭代法B. 牛顿-拉弗森方法C. 托马斯算法D. 布雷尔-史密斯算法答案：B5. 在数值分析中，条件数用于衡量什么？A. 方程组解的存在性B. 方程组解的唯一性C. 方程组解的稳定性D. 方程组解的精确性答案：C二、填空题1. 在数值分析中，__________误差指的是由于计算机舍入而产生的误差，而__________误差指的是由于数据不精确或截断而产生的误差。

答案：截断；舍入2. 线性方程组的矩阵表示为__________，其中A是系数矩阵，x是变量向量，b是常数向量。

答案：Ax = b3. 牛顿法求解非线性方程时，需要计算函数的__________。

答案：导数4. 拉格朗日插值法通过构建一个多项式来近似数据点，该多项式的每一段都与数据点的__________相匹配。

答案：切线5. 为了减少数值分析中的误差，通常采用__________方法来提高计算的精度。

答案：增量三、简答题1. 请简述高斯消元法的基本思想及其在求解线性方程组中的应用。

高斯消元法的基本思想是通过行变换将系数矩阵转化为阶梯形矩阵，进而简化方程组的求解过程。

在求解线性方程组时，首先将增广矩阵进行行变换，使得主元下方的元素为零，然后通过回代过程逐步求解出未知数。

2. 描述牛顿-拉弗森方法求解非线性方程的迭代过程。

牛顿-拉弗森方法是一种迭代求解非线性方程的方法。

2014研究生试题答案数值分析

+
h2 12
[
f
'
( xi
)
−
f ' (xi+1)] ）
∑ =
n−1 i=0
h[ 2
f
(xi )+f
(
xi+1
))]
+
h2 [
12
f
'(a) −
f
' (b)]
----------------4
分
第 4页共 6 页
五、（本题满分 13 分）应用数值积分的有关理论建立常微分方程初值问题： dy = f (x, y) dx y(x0 ) = y0
x n+1 xn
x − xn−1 dx + f xn − xn−1
xn−1, y xn−1
x n+1 xn
=
y ( xn
)
+
h 2
3
f
( xn ,
yn
)
−
f
( xn−1,
) yn−1
x − xn dx xn−1 − xn
-------------------------------------6 分
第 6页共 6 页
解：（1）确定V = ϕ(i) 的形式。将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出
这些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取 V = a + bi
（2）建立法方程组。
1 1
1
2

1 4
A = ，---------------------------2
将 y ( xn ) 用 yn 代替，将 ≈ 换成=，则命题得证。

《数值分析》测试题答案

测试题——数值分析一、选择题1. 设近似值m n a a a x 10.021*⨯±= 有n 位有效数字，01≠a ，则其相对误差限为A ．111021+⨯n a B. 111021+-⨯n a C. 11101+-⨯n a 2. 要使20的近似值的相对误差限小于%1.0，则要取的有效数字有位。

A ．4 B. 3 C. 5 3. lagrange 插值多项式的一个显著缺点是A ．不是线性组合 B. 不具备承袭性 C. 计算结果误差大 4. 对于定理：设)(x ϕ在)(x x ϕ=的根*x 及邻近有连续一阶导数，且1)(,<x ϕ，则迭代过程)(1k k x x ϕ=+具有局部收敛性。

此定理的条件是______。

A ．必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 5. 若)(x f 是n 次多项式，则],,,,[10n x x x x f 是x 的。

A ．n 次多项式 B. n +1次多项式 C. 0 6. 牛顿下山法：)()('1k k k k x f x f x x λ-=+中，λ的取值范是_____。

A ．λ< 0 B. 0<λ< 1 C. 10≤<λ D. λ<1 7. 分段插值方法的提出是要避免。

A. Runge 现象发生B. 不能高次插值C. 收敛速度太慢D. 不收敛 8. 一个数值计算方法是稳定的是指：若该方法在节点n x 处的数值解n y 有n δ扰动，而在以后各节点的近似值记为m y （n m >）上产生的扰动m δ有下面的关系A. m δ≤n δB.n m δδ< C. n m δδ≤ D. n m δδ>9. 在线性方程组AX=b 中，若__ _，则雅可比迭代收敛。

A ．A 对角占优 B. A 严格对角占优 C. A 为任意n 阶方阵 10. 设A 为n 阶非奇异矩阵，)(A Cond 为条件数，则判别方程组b Ax =是病态的依据是。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。

答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。

答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。

答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。

答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。

答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。

2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。

答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。

误差可以分为舍入误差和截断误差。

舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。

这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。

3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。

答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。

(完整版)合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)评分标准

合肥工业大学研究生考试试卷(A)课程名称数值分析考试日期学院 2014级研究生姓名年级班级学号得分一、填空题 (每空2分，满分20分) 1. 设20142012()657f x xx=-+，则差商[1,2,,2015]f =L 6 .2. 设函数(0.9) 1.2178,(1)1,(1.1)0.6018f f f =-=-=-, 用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 3.08 , (1)f ''的近似值为 18.04 .3. 设T(2,5,7,3)=-x ，2345A -=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2=x 1Cond()A = 36 .4. 函数()f x 以0,1,2为节点的二次Lagrange 插值多项式2()p x =(1)(2)(0)(2)(0)(1)(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(20)(21)x x x x x x f f f ------++------.5. 设S 是函数f 在区间[0,2]上的三次样条：()()()32312,01,()2111,12,x x x S x b x x x x c +-≤≤=--+-≤≤++⎧⎨⎩则b= -1 ，c = -3 .6. 四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是4()O h ，其整体截断误差是5()O h .二、(本题满分8分) *x 的相对误差的绝对值不超过0.01%，求*x 至少应具有几位有效数字？解设*x 至少应具有l 位有效数字. 因为45, 的第一个非零数字是4，即*x 的第一位有效数字14a =， L L L2分根据题意及定理1.2.1知，11141122410100.01%10l l a -+-+-≤⨯=⨯⨯≤=,L L L6分解得5lg850.903 4.097l ≥-≈-=. 故取5l =，即*x 至少应具有5位有效数字。

L L L8分三、(本题满分12分) 已知线性方程组1231231231041,21072,3210 3.x x xx x xx x x --+=-+-=++=⎧⎪⎨⎪⎩(1) 写出求解上述方程组的Gauss –Seidel 迭代格式。

江西理工大学2014年数值分析试卷

江西理⼯⼤学2014年数值分析试卷2013级建测学院《数值分析》期末试卷1注意：①答题⽅式为闭卷。

②可以使⽤计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

⼀、填空题（2 0×2′）1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有位有效数字。

2. 设-=?-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝___ ____，‖X ‖∞＝__ _____，‖AX ‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX ‖∞的值) 。

3. ⾮线性⽅程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满⾜，则使⽤该迭代函数的迭代解法⼀定是局部收敛的。

4. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近⾸节点，应该选⽤等距节点下⽜顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中⼼差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选⽤等距节点下⽜顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中⼼差分公式）；如果要估计结果的舍⼊误差，应该选⽤插值公式中的。

7. 拉格朗⽇插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( ；所以当系数a i (x )满⾜，计算时不会放⼤f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差⼩于0.1%，⾄少要取位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性⽅程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于⽅程组的精确解x *的充分必要条件是。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最⾼是。

11. ⽜顿下⼭法的下⼭条件为。

12. 线性⽅程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝，(i =0,1,…,n )。

2014_2015学年第一学期末数值分析考试试题A

中北大学数值分析课程考试试题(课程名称须与教学任务书相同)2014/2015 学年第1 学期试题类别 A 命题期望值70拟题日期2014.12.12 拟题教师课程编号教师编号1120048 基层教学组织负责人课程结束时间2014.11.28 印刷份数使用班级2014级研究生备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统。

（2）试题类别指A卷或B卷。

（3）试题印制手续命题教师到院教务科办理。

2014/2015 学年第 1 学期末考试试题（A 卷）课程名称数值分析1使用班级： 2014级研究生一、填空题(每空2分，共30分)1. 用1457ˆe536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有位有效数字，用355ˆπ113=作为圆周率π的近似值的绝对误差限可取为；用ˆπˆe u=%作为πe u =的近似值具有位有效数字；2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k)123(k+1)(k)(k)213(k+1)(k)(k)3120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4x x x x x x k x x x ⎧=++⎪=++=⎨⎪=++⎩L 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞=G ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量为()T(0)0,0,0=x，则(1)=x ，(20)*∞-≤x x ；3. 方程e 0xx +=的根*x ≈ (要求至少具有7位有效数字)；4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为；若取初始值03x =，14x =，则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是。

5. 取权函数()x ρ=，在区间[－1,1]上计算函数()1f x =与()221g x x =-的积(),f g =；6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= ；7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+=L ，b ah n-=，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化梯形公式的截断误差T R = ；该公式具有次代数精度；8.求解常微分方程初值问题()()00,,y f t y t t T y t y'=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩的Euler折线法的计算公式为；它是一个阶方法。

数值分析试题A答案

一、填空题（每空2分，共10分）1. ()()1'k k k k f x x x f x +=- 2. ()1D L U -- （或()1I D L A ---） 3. 14. 123010203()()()()()()x x x x x x x x x x x x ------. 5. ρ(B )<1 .二、计算题（共60分）1.（10分）先构造基函数 0(2)(4)(2)(4)()(02)(04)8x x x x l x ----==-- 1(4)(4)()2(24)4x x x x l x --==-- 2(2)(2)()4(42)8x x x x l x --==- ………………………………………………………………..6’ 所求二次多项式为P 2(x )=20()k kk y l x =∑＝(2)(4)88x x --⨯－(4)44x x -⨯+(2)88x x -⨯=248x x -+…………………8’ P 2(3) ＝ 91285-+= ………………………………………………………………..……………10'2.(10分) 雅可比法的迭代矩阵1022101220J B D L U --⎛⎫ ⎪=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（），()3||01J J I B B λλρ-==<，，故雅可比迭代法收敛。

………………………………………………………………………………………5’高斯-赛德尔迭代矩阵1022023002D L U --⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭S B （），2||2S I B λλλρ-=-S （），（B ）=2>1 故高斯-塞德尔法不收敛。

………………………………………………………………………….……10’3. （10分）取f (x ) = 1, 有：左边＝01d h x h =⎰, 右边[11]02h h =++= …………3’ 取f (x ) = x , 有：左边＝20d 2hh x x =⎰, 右边＝221[0](11)2122h h h h ++-=………5’类似导出，取f (x )=x 2, x 3, 有左边=右边…………………………………………….…7’ 取f (x )=x 4, 有：左边=24430d [0](404)212hh h x x h h ≠=++⨯-⎰右边……………..10’ 因此该求积公式具有3次代数精度。