对数运算性质

2.2.1对数与对数运算（二）

（一）教学目标

1．知识与技能：理解对数的运算性质．

2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．

3．情感、态态与价值观

通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、

相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的

科学精神

（二）教学重点、难点

1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.

2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.

（三）教学方法

针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

复习引入

复习：对数的定义及对数恒等式

log b

a

N b a N

=⇔=（a＞0，且a

≠1，N＞0），

学生口答，教师板书．对数的概念

和对数恒等

式是学习本

指数的运算性质.

;m n m n m n m n

a a a a a a +-⋅=÷=();

m

n m n mn

n

m

a a a a

==

节课的基础，

学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．

提出

问题

探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m

n

m n

a a a

+⋅=，

那m n +如何表示，能用对数式运算吗？

如：

,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设.

于是,m n

MN a

+= 由对数的定义得到

log ,m a M a m M =⇔=log n a N a n N

=⇔=log m n a MN a m n MN

+=⇔+=log log log ()

a a a M N MN ∴+=放出投影学生探究，教师启发引导．

即：同底对数相加，底数不变，真数相乘

提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？

概念形成

（让学生探究，讨论）

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那

么：

（1）log log log

a a a

MN M N

=+

（2）log log log

a a a

M

M N

N

=-

（3）log log()

n

a a

M n M n R

=∈

证明：

（1）令,m n

M a N a

==

则：m n m n

M

a a a

N

-

=÷=

log

a

M

m n

N

∴-=

又由,m n

M a N a

==

log,log

a a

m M n N

∴==

即：

log log log

a a a

M

M N m n

N

-=-=

（3）

让学生多角度思考，探究，教

师点拨．

让学生讨论、研究，教师引

导．

让学生明确

由“归纳一猜

想”得到的结

论不一定正

确，但是发现

数学结论的

有效方法，让

学生体会“归

纳一猜想一

证明”是数学

中发现结论，

证明结论的

完整思维方

法，让学生体

会回到最原

始（定义）的

地方是解决

0,log ,N n

n

a n N M M a

≠==时令则 log ,b n

a b n M M a

==则N

b n n

a a

∴=N b

∴=即log log log a

a a M

M N N

=-当n =0时，显然成立. log log n

a a M n M

∴=

数学问题的有效策略．通

过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散

性，进一步加

深学生对字母的认识和

利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．

概念

深化

合作探究：

1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？

（师组织，生交流探讨得出如下结论）

底数a ＞0，且a ≠1，真数

M ＞0，N ＞0；只有所得结果中

对数和所给出的数的对数都存

在时，等式才能成立.