对数运算性质
对数的常用性质
对数的常用性质孙老师April18,20201对数的常用性质性质1.1log a a x=x,a log a x=x.证明.由对数的定义直接得到.性质1.2log a MN=log a M+log a N,log a MN=log a M−log a N.证明.设log a M=x,log a N=y.则a x=M,a y=N,再利用指数的运算性质可得a x·a y=a x+y=MN=⇒log a M+log a N=x+y=log a MN同理可证log a MN=log a M−log a N.性质1.3log a M x=x log a M.证明.设log a M=y,则M=a y.log a M x=log a(a y)x=log a a x y=x y=x log a M.性质1.4换底公式：log a b=log c blog c a.证明.设x=log a b,则b=a x.两边取以c为底数的对数可得log c b=log c a x=x log c a=⇒x=log a b=log c b log c a.推论log a b·log b a=1.性质1.5a x=e x ln a.证明.由性质1.1可得a=e ln a=⇒a x=e x ln a.性质1.6log a x b x=log a b.证明.设log a b=y,则b=a y.b x=(a y)x=(a x)y=⇒log a x b x=log a x(a x)y=y=log a b.2高考中的对数题1.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则().A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a2.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=.3.设f(x)是定义域R的偶函数，且在(0,∞)单调递减，则().A.f(log314)>f(2−32)>f(2−23)B.f(log314)>f(2−23)>f(2−32)C.f(2−32)>f(2−23)>f(log314)D.f(2−23)>f(2−32)>f(log314)4.已知函数f(x)的周期为1，当0<x≤1时，f(x)=log2x,则f(32)的值为.。
对数函数的基本性质及运算法则
对数函数的基本性质及运算法则对数函数是数学中常见的一种函数，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的基本性质及运算法则，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义和基本性质对数函数是指数函数的反函数。
设a为一个正实数且不等于1，b为正实数，则对数函数的定义如下：y = loga(b)其中，a称为底数，b称为真数，y称为对数。
对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集合，即x > 0。
2. 对数函数的值域为实数集合，即y ∈ R。
3. 对数函数的图像在直线y = x的左侧，且与x轴交于点(1, 0)。
4. 对数函数是递增函数，即当b1 > b2时，loga(b1) > loga(b2)。
5. 对数函数的反函数是指数函数，即y = loga(x)的反函数为x = a^y。
二、对数的运算法则对数函数的运算法则是指对数函数在进行运算时的一些基本规则和性质。
1. 对数的乘法法则loga(b * c) = loga(b) + loga(c)这个法则表明，对数函数中两个数的乘积的对数等于这两个数分别取对数后的和。
2. 对数的除法法则loga(b / c) = loga(b) - loga(c)这个法则表明，对数函数中两个数的商的对数等于这两个数分别取对数后的差。
3. 对数的幂法法则loga(b^c) = c * loga(b)这个法则表明，对数函数中一个数的幂的对数等于该数取对数后乘以指数。
4. 对数的换底公式loga(b) = logc(b) / logc(a)这个法则表明，当底数不同时，可以通过换底公式将对数转化为另一个底数的对数。
5. 对数函数的性质（1）loga(1) = 0，即任何底数的对数函数中1的对数都等于0。
（2）loga(a) = 1，即任何底数的对数函数中底数的对数都等于1。
（3）loga(a^x) = x，即任何底数的对数函数中底数的幂的对数等于指数。
对数的概念和运算性质课件
常见的对数方程解法
方法包括转换法、换底法、 指数幂等式法、配方法及 直接化幂为幂、幂等式、 差倍角公式。
真实场景中的对数方 程应用
生物学、化学、物理学和 金融学等领域中使用对数 方程来解决实际问题。
对数在实际问题中的应用
对数在生物学中的应用
对数函数可以用于描述生物学 中导数增长，基因表达和代谢 过程等。
• 《高中数学教师操作 指南第8册》
• 《高中数学课件：对 数公式集锦》
网络资源推荐
学术期刊推荐
• Khan Academy 对数 公式视频
• Wolfram Alpha 对数计算器
• Nature 数学部分论文
• Journal of Mathematical Analysis and Applicationgab 表示以 a 为底，b 的对数。
特殊情况：自然对数和常用对数
自然对数以 e（欧拉数）为底，常用对数以 10 为底。
对数的运算性质
1
对数的除法法则
2
loga(b/c) = logab - logac
3
对数的乘法法则
loga(bc) = logab + logac
对数的幂运算法则
logabc = c logab
对数的换底公式
定义
换底公式将一个对数重新表示 为以不同底数的对数。
推导过程
我们可以使用对数乘法法则和 对数的无穷级数来推导换底公 式。
举例说明
应用换底公式简化对数运算可 以减少常见错误。
对数方程的解法
对数方程的基本概念
解对数方程涉及用对数函 数来消去指数，得到一个 关于变量的代数方程。
对数在物理学中的应用
对数可以用于描述物理刺激强 度和感官响应之间的关系，以 及放射性退化中元素浓度的变 化。
对数函数及其性质
y log2 x
y log1 x
2
列 表 描 点 连 线
X y=log2x y 2 1
0
11 42
… …
1/4
1/2
1
2
4
…
-2
-1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2 …
1 2 3
4
x
-1
-2
列 y log2 x … -2 表 y log1 x
2
x
…
1/4 1/2
-1 1
1
0 0
2 4
1 -1
…
2 … -2 …
1 2 3
4
x
-1 -2
函数性质 定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R
在(0,+∞)上是： 增函数 X=1时,y=0
X>1,图像在x轴上方， 0<x<1，图像在x轴下方
X>1时,y>0;0<x<1时,y<0
探索发现:认真观察 函数 y log 1 x
2
y 2 11
1 42
的图象填写下表
图像特征
= log 4 x
y = log 1 x
4
分别与哪个图像相似？
a值的大小是如何影响图象的？
课堂小结
(１)对数函数的概念； (２)对数函数的图 象与性质；
a＞1
y 0 (1,0) x 0
0＜a＜1
y
图
(1,0)
x
象
定义域:(0,+∞) 性 值 域 : R 过点(1,0),即当x＝1时,y＝0 在(0,+∞)上 在(0,+∞)上 质 是增函数 是减函数
正负数的对数运算
正负数的对数运算对数是数学中常见的运算，它可以帮助我们解决各种数学问题。
在计算对数时，我们经常会遇到正负数的情况。
本文将介绍正负数的对数运算，并探讨其特点和用法。
1. 正数的对数运算对数运算是指找出一个数是以另一个数为底的幂的指数。
对于正数来说，它的对数有如下特点：(1) 对数的底数必须大于0且不等于1。
常用的底数有10、e等。
(2) 如果一个正数的对数是一个整数，那么这个正数一定是对数的底数的幂。
例如，log10(100) = 2，表示10的2次方等于100。
同样地，log2(8) = 3，表示2的3次方等于8。
2. 负数的对数运算对于负数来说，它的对数运算稍有不同。
我们无法将负数直接代入对数函数中进行计算，因为对数函数的定义域是正数集合。
但我们可以通过复数来解决这个问题。
复数是由实数和虚数构成，表达为a + bi 的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
对于负数x，我们可以采用以下公式计算其对数：log(x) = log(-x) + πi其中，πi是虚数单位。
通过这个公式，我们可以求解负数的对数。
例如，log(-2) = log(2) + πi。
这样，我们可以得到负数的对数结果。
3. 对数运算的性质对数运算具有一些重要的性质，包括：(1) 对数的乘法法则：log(ab) = log(a) + log(b)这个性质说明了对数的乘法可以转化为对数的加法。
例如，log(5×10) = log(5) + log(10)。
(2) 对数的除法法则：log(a/b) = log(a) - log(b)这个性质说明了对数的除法可以转化为对数的减法。
例如，log(100/10) = log(100) - log(10)。
(3) 对数的幂法法则：log(a^b) = b×log(a)这个性质说明了对数的幂运算可以转化为对数的乘法。
例如，log(2^3) = 3×log(2)。
通过这些性质，我们可以更加灵活地进行对数运算，简化计算过程。
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质对数函数是数学中一种常见的特殊函数，它在很多领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将探讨对数函数的定义与一些基本性质。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个常数为底数的对数函数。
通常用log表示。
对于任何正数x和正数a（a≠1），对数函数可以用以下公式表示：y = logₐx其中，a表示底数，x表示真数，y表示以a为底x的对数。
二、常见的对数函数1. 自然对数函数：当底数a取自然常数e（e≈2.71828）时，对数函数称为自然对数函数。
自然对数函数的常用记法为ln，即y = lnx。
2. 以10为底的对数函数：当底数a取10时，对数函数称为常用对数函数。
常用对数函数用log表示，即y = log₁₀x。
三、对数函数的性质对数函数具有以下几个基本性质：1. 定义域和值域：对于底数a大于1的对数函数，其定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集。
对于底数a等于1的对数函数，其定义域为正实数集(0,+∞)，值域为空集。
2. 单调性：对数函数在定义域内是严格递增函数。
当底数a大于1时，对数函数随着真数的增大而增大；当底数a在0和1之间时，对数函数随着真数的增大而减小。
3. 对数的运算性质：（1）对数乘法公式：logₐ(x·y) = logₐx + logₐy。
即对数函数中两个数的积等于对数函数中各自对应数的对数之和。
（2）对数除法公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy。
即对数函数中两个数的商等于对数函数中各自对应数的对数之差。
（3）对数的幂运算公式：logₐ(b^x) = x·logₐb。
即对数函数中一个数的指数幂等于对数函数中该数对应底数的对数乘以指数。
4. 特殊值：（1）对于底数a大于1的对数函数，当真数x等于1时，对数函数的值为0，即logₐ1 = 0。
（2）对于底数a大于1的对数函数，当真数x等于底数a时，对数函数的值为1，即logₐa = 1。
对数性质知识点总结
对数性质知识点总结一、对数的定义1.1 对数的概念对数的概念是17世纪由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发明的。
对数是指数的倒数，或者说是幂运算的逆运算。
如果a的x次幂等于b，那么x就是以a为底数，并且结果是b的对数，用符号"log"表示。
1.2 对数的性质对数的定义主要有以下几个性质：（1）对数的底数必须是正实数且不等于1。
（2）对数的真数必须是正实数。
（3）对数的指数必须是任意实数。
（4）对数的结果是一个实数。
二、对数的运算规则2.1 对数的基本运算规则对数的基本运算规则主要有以下几条：（1）对数的积等于对数的和，即logab + logac = loga(bc)。
（2）对数的商等于对数的差，即logab - logac = loga(b/c)。
（3）对数的幂等于对数的积的倍数，即xlogab = loga(bx)。
（4）对数的积的幂是指数的积，即(logab)^n = nlogab。
2.2 对数的换底公式换底公式是指将对数的底数从a换为b时的转换公式，即logab = logcb / logca。
这个公式在对数运算中经常被使用，因为在实际应用中，很多问题无法直接进行对数运算，需要将对数的底数进行转换，然后再进行计算。
2.3 对数的常用等式对数的常用等式主要有以下几个：（1）对数的反函数等式：loga(ax) = x。
（2）对数的倒数等式：loga(1/x) = -logax。
（3）对数的幂数等式：a^logax = x。
三、对数的性质3.1 对数的单调性对数函数y = loga(x)的单调性是指其增减性质。
当底数a大于1时，对数函数是增函数；当底数a小于1时，对数函数是减函数。
这是因为对数函数的基本定义是指数的倒数，所以当底数a的大小关系改变时，对数函数的单调性也会发生改变。
3.2 对数函数的图像对数函数的图像主要有以下特点：（1）对数函数的图像是一条拐点在(1,0)上的曲线。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种重要的函数类型，广泛应用于各个科学领域。
本文将对对数函数的基本定义、性质以及应用进行总结。
1. 定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。
设a是一个正实数且a≠1，b是任意正实数，则“以a为底b的对数”可以表示为logₐb。
其中底数a称为对数的底，b称为真数，logₐb称为对数。
对数函数通常用f(x) = logₐx表示。
对数函数具有以下基本性质：1）logₐ1 = 0：任何数以其本身为底的对数等于1。
2）logₐa = 1：任何数以其本身为底的对数等于1。
3）logₐaˣ = x：对数函数的一个基本性质是，以a为底的对数函数中，a的x次幂等于x。
即logₐaˣ = x。
4）logₐxy = logₐx + logₐy：对数函数中，底为a的对数函数中，两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
即logₐxy = logₐx + logₐy。
5）logₐxⁿ = nlogₐx：对数函数中，底为a的对数函数中，以x为真数n次幂的对数等于n乘以以底为a，真数为x的对数。
即logₐxⁿ = nlogₐx。
2. 常用对数和自然对数常用对数函数是以10为底的对数函数，通常用log(x)表示，即log(x) = log₁₀x。
常用对数函数的性质和定义与之前的对数函数一致。
自然对数函数是以自然常数e(约等于2.71828)为底的对数函数，通常用ln(x)表示，即ln(x) = logₑx。
自然对数函数的性质与定义也与之前的对数函数相同。
3. 对数函数的应用对数函数在实践中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1）指数增长与对数函数：对数函数在描述指数增长和衰减方面非常有用。
当某个变量随着时间的增加以指数形式增长或减少时，可以使用对数函数来描述其增长或减少的速度和幅度。
2）复利计算：对数函数在金融和投资领域中的应用非常重要。
例如，复利计算中，对数函数可以帮助计算利息的增长速度和总额。
对数的运算性质
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例５用
表示下列各式：
例６计算下列各式：
练习、求下列各式的值：
(1) (2) (3) (4)
探究 换底公式：
如何推导？
证明：
例7 利用换底公式可得:
请利用同样的方法证明: (请记住)
例8 证明 计算:
例9 计算 例10 例11
. (请记住)
bye!
例1 1999底我国人口为13亿,随时随地彰显尊贵身份。
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对数函数的基本性质与公式
对数函数的基本性质与公式对数函数是数学中一种重要的函数形式，其基本性质和公式在解决各种问题中具有广泛应用。
本文将介绍对数函数的基本性质和常见的公式，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意给定的正实数a（a>0且a≠1）和正实数x（x>0），以a为底的对数函数y=loga(x)表示满足a^y=x的实数y。
其中，a称为底数，x称为真数，y为对数。
对数函数具有以下基本性质：1. 对于任意正实数a和b，以a为底的对数函数和以b为底的对数函数是等价的，即loga(x)=ln(x)/ln(a)（其中ln(x)表示以自然数e为底的对数函数）。
2. 对于任意正实数a，a^loga(x)=x。
3. 对于任意正实数a和b，loga(b)×logb(a)=1。
4. 对于任意正实数a、b和c，loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。
二、常见对数函数公式1. 换底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为任意正实数。
2. 对数乘方公式：a^loga(x)=x，其中a为正实数，x为正实数且x≠0。
3. 对数运算公式：loga(b×c)=loga(b)+loga(c)，其中a为正实数，b、c为正实数且b≠0，c≠0。
4. 对数倒数公式：loga(1/b)=-loga(b)，其中a为正实数，b为正实数且b≠0。
5. 对数除法公式：loga(b/c)=loga(b)-loga(c)，其中a为正实数，b、c 为正实数且b≠0，c≠0。
6. 对数幂公式：loga(b^n)=n×loga(b)，其中a为正实数，b为正实数且b≠0，n为任意实数。
三、对数函数在实际问题中的应用对数函数的公式和性质在各个领域中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 在金融领域，对数函数的性质被用于计算复利问题，如投资收益率和贷款利率的计算。
对数及运算性质
§4.1 对数与对数运算1.对数：（1）定义：如果a N a a b=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b Na =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。
） 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。
2.对数的运算性质及换底公式.（2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log log n m a amb b n=④对数换底公式：log b N =b N a a log log lg lg N b =○5log a M a M= ○61log log a b b a=1、求下列各式中x 的值：log 83x =（1） lg100x =（2） 2ln x e =（3）- 642(4)log x 3=-2、求下列各式的值：51log 25（） 15log 15(2) 9log 81(3) 4lg1000（）(5)lg10000 0.4log 1(6) 217log 16（）lg 0.001（8）(9)lg0.01 (10) lg 5100 (11)3log 273 (12)5111255og3、化简求值（1）2log （74×52） （2）lg ５＋lg ２ （3）5log ３＋5log 31（4）2log ６－2log ３（5）3log ５－3log (6)3lglg 70lg 37+-（7）（8） （9）2194log 2log 3log -⋅ （10）（11）3log 12.05- （12）（13）21lg 4932-34lg 8+lg 245强化训练：对数与对数运算练习题一．选择题1．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3 B ．log 18(－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝182．log 63＋log 62等于( )A ．6 B ．5 C ．1 D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c 3D.2ab3c4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 5．的值等于( )A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋52D ．1＋526．Log 22的值为( )A ．－ 2B. 2 C ．－12D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a <2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a <5D ．3＜a ＜48．方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19 B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝99．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 10．若102x ＝25，则x 等于( )A ．lg 15 B ．lg5 C ．2lg5D ．2lg 1511．计算log 89·log 932的结果为( )A ．4 B.53 C.14 D.3512．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74 二．填空题：1．2log 510＋log 50.25＝__ __. 2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______. 3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______. 4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______ 5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示) 7．log 6[log 4(log 381)]＝_______.8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______ 三.计算题1．(1)2log 210＋log 20.04 (2) lg3＋2lg2－1lg1.2（3）log 6112－2log 63＋13log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)；（5）lg5·lg8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++ （6）2)2(lg 50lg 2lg 25lg +⋅+（7）lg 25+lg2·lg50 （8）(log 43+log 83)(log 32+log 92)2.已知5lg 2lg 35lg 2lg 33⋅++=+b a ，求333ba ab ++3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值．§5 对数函数及其性质1、对数函数图像过点（4,2），则该对数函数的解析式是（ ）A 、x y 2log =B 、x y 4log =C 、x y 8log =D 、不确定2、函数x a y a log )1(2-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、2±D 、任意值3、函数x a a y a log )33(2+-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、1或2D 、任意值4、若)10(log )(≠>=a a x x f a 且，且0)2(<f ，则)(x f 的图像是 （ ）5、若函数)10()(≠>=-a a a x f x ，是定义在R 上的增函数，则函数)1(log )(+=x x g a 的图像大致是（ ）6、已知0lg lg =+ba ，则函数x a x f =)(与函数x x gb log )(-=的图像可能是（ ）7、函数)10(1log )(≠>-=a a x x f a 且的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1）8、函数)10(12log )(≠>--=a a x x f a 且）（的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1） 9、已知函数)10(98)3(log ≠>-+=a a x y a 且的图像恒过点A ，若点A 也在函数bx f x +=3)(的图像上，则b 的值为（ ）A 、0B 、0C 、0或1D 、-1 10、已知)1(log )2(log 45.045.0x x ->+，则实数x 的取值范围是11、已知)65(log )32(log 22->+x x ，则实数x 的取值范围是12、已知)2(log )43(log ->-x x a a ，则实数x 的取值范围是13、132log <a ，则a 的取值范围是 14、函数)1lg(-=x y 的图像大致是（ ）15、已知10≠>a a且，则函数x a y =与)(log x y a -=的图像可能是（ ）16、下列函数图像正确的是（ ）17、函数x y 2log =在[1,2]上的值域是 18、函数)1(log 22≥+=x x y 的值域是19、函数)73(1)1(log 2≤≤++=x x y 的值域是20、函数)73(1)1(log 21≤≤++=x x y 的值域是。
对数 初中
对数初中对数是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
在初中数学中，我们主要学习了对数的定义、性质以及对数运算等内容。
我们来了解一下对数的定义。
对数是指数运算的逆运算。
具体来说，如果a的x次方等于b，那么我们就说x是以a为底的b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a被称为对数的底数，b被称为真数，x被称为对数。
例如，2的3次方等于8，所以3是以2为底8的对数，记作3=log2(8)。
接下来，我们来了解一下对数的性质。
对数有以下几个重要的性质：性质1：loga(mn)=loga(m)+loga(n)，即两个数的乘积的对数等于它们的对数之和。
例如log2(6×8)=log2(6)+log2(8)。
性质2：loga(m/n)=loga(m)-loga(n)，即两个数的商的对数等于它们的对数之差。
例如log2(8/4)=log2(8)-log2(4)。
性质3：loga(m^p)=ploga(m)，即一个数的指数的对数等于指数乘以它的对数。
例如log2(7^3)=3log2(7)。
性质4：loga(a)=1，即对数的底数等于1。
例如log2(2)=1。
性质5：loga1=0，即对数的底数等于1的对数等于0。
例如log2(1)=0。
了解了对数的定义和性质后，我们可以进行一些对数运算。
对数运算是指通过已知的对数关系来求解未知的对数或真数的过程。
例如，我们已知log2(8)=x，要求x的值。
根据对数的定义，我们可以得到2的x次方等于8，即2^x=8。
通过观察，我们可以发现2的3次方等于8，所以x=3。
因此，log2(8)=3。
又如，我们已知log3(x)=2，要求x的值。
根据对数的定义，我们可以得到3的2次方等于x，即3^2=x。
通过计算，我们可以得到3的2次方等于9，所以x=9。
因此，log3(9)=2。
在解决实际问题时，对数也有着广泛的应用。
例如，在测量地震的震级时，我们使用的是以10为底的对数，即震级的计算公式为log10(E/E0)，其中E表示地震波的最大振幅，E0表示参考振幅。
对数的基本性质和运算公式
log2 25 log2 214
=5+14=19 （2） log9 27 解 : log9 27 log32 33 3 log 3 3 2 3 2
1.下列等式成立的是（ ）
A. log4 3 log4 3 log4 5
5
B. lg 4 5 lg 4
（４） log ５－ log １５
对数换底公式
log a N log m N log m a
换底公式，顾名思义，底数换成另一个 数，其中“上（真数）还在上（分子的 真数），下（底数）还在下（分母的真 数）”，既能换过来，又能换回去。
n log am b log a b m
n
奥秘在于应用换底公式两次。下面的 （指数），还是在下面（分母），上面 的（指数）还在上面（分子）。出得来， 也回得去。
对
数
对数定义公式
a N b loga N (a 0, a 1, N 0)
b
对数的本质，就是指数。同底的对数运算与指数运算互成逆运算。
log2 8 3
1 log 3 9
-2
23 8
定义 一般地，如果a 的b次幂等于N, 就是: ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数
⑴ 负数与零没有对数
⑵ loga 1 0 ， loga a 1
a loga N N ⑶对数恒等式
对数四则运算公式
loga (MN ) loga M loga N
对数实际上就是指数，把真数化 成指数幂的形式就明显啦！乘积 与加法运算联系起来了（降级）。 注意既能从左到右，又能从右到 左。 除法与减法联系起来了（降级）。
5
C. ln8 6 ln 8 ln 6
对数的运算性质
对数的运算性质对数的运算性质是解决各种计算问题的基础，它是数学中的一个重要分支。
对数的运算性质包括：加法公式、减法公式、乘法公式、除法公式、幂运算、指数运算等。
下面，我们将详细介绍这些内容。
一、加法公式对数的加法公式是对数学中两个数的和进行求解的公式。
对数的加法公式是：logab + logac = loga(bc)其中，a、b、c分别代表底数、被加数、加数，bc为和。
加法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}取对数，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相加可以得到：x+y=log_{a}(b)+log_{a}(c)将b和c用求和的形式表示可以得到：a^{x+y}=a^{log_{a}{(b+c)}}移项可以得到：log_{a}(b)+log_{a}(c)=log_{a}(bc)因此上述公式就是加法公式。
二、减法公式减法公式是对数学中两个数的差进行求解的公式。
对数的减法公式是：logab - logac = loga(b/c)其中，a、b、c分别代表底数、被减数、减数，b/c为差。
减法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}求差，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相减可以得到：x-y=log_{a}\\frac{b}{c}因此，上述公式就是减法公式。
三、乘法公式乘法公式是对数学中两个数的乘积进行求解的公式。
对数的乘法公式是：logab * logac = loga(b * c)其中，a、b、c分别代表底数、被乘数、乘数，bc为积。
乘法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}取对数，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相乘可以得到：xy=(log_{a}(b))*(log_{a}(c))展开可以得到：log_{a}(b*c)=(log_{a}(b))*(log_{a}(c))因此，上述公式就是乘法公式。
4.3.2 对数的运算
由换底公式推导的重要结论：
(1)loganbn＝logab. (3)logab·logba＝1.
(2)loganbm＝mn logab. (4)logab·logbc·logcd＝logad.
小试牛刀
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.( √ )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( × ) (3)loga(－2)3＝3loga(－2).( × ) (4)由换底公式可得 logab＝lloogg－－22ba.( × )
跟踪训练2
(1)log2215·log318·log519＝________.
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值. 1 11
(1)－12 解析：原式＝llgg225·llgg83·llgg59＝－2lg5·lg－2l3gl3gl2g5·－2lg3＝－12.
总结
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质 和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互 转化. (2)对于连等式可令其等于 k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再 由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
跟踪训练3 已知 3a＝5b＝M，且1a＋1b＝2，则 M＝________.
跟踪训练1
计算(1)2log63＋log64；
(2)(lg 25－lg
1
1
4)÷100 2
；
1
(3)log2.56.25＋ln e－ 0.0643 .
解：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
对数的基本性质和运算公式
lg 4 lg 5 lg 9 lg 5 2lg 3 1 lg 3 lg 4 lg 25 lg 3 2lg 5
奥秘在于应用换底公式两次。下面的 （指数），还是在下面（分母），上面 的（指数）还在上面（分子）。出得来， 也回得去。
计算
7
(1)lg14-2lg +lg7-lg18
3
lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( 32 ×2)
lg 243
(2)
lg 9
=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg 3 +lg2)
3.求下列各式的值
（１） log 2 ６－ log 2 ３
1
（２）lg５＋lg２
1
（３） log 5
３＋
log 5
1 3
0
（４） log ５－ log １５
-1
对数换底公式
loga
N
logm N logm a
logam
bn
n m
loga
b
换底公式，顾名思义，底数换成另一个 数，其中“上（真数）还在上（分子的 真数），下（底数）还在下（分母的真 数）”，既能换过来，又能换回去。
对数符号
以a为底N的对数
底数
真数
对数的值 和底数，真数有关。
常用对数：
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
自然对数
记作 lgN
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数
记作 lnN
对数的运算性质
复习重要公式 ⑴ 负数与零没有对数
⑵ log a 1 0 ，log a a 1
对数的运算知识点总结
对数的运算知识点总结对数的概念是建立在幂指数的基础之上的。
在代数运算中，指数表示一个数与底数的乘积。
举个例子，2的3次方表示为2^3=2×2×2=8。
对数则表示幂指数的逆运算，即给定一个底数和一个数，对数就是指明这个底数的多少次幂等于这个数。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
对数的运算法则和性质有很多，接下来我们将对它们进行详细的总结和解析。
一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是对数学中幂指数运算的逆运算。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
在这个定义中，底数为a，真数为b，指数为x，x 就是对数。
对数的定义可以简单理解为求底数为a的真数b的x次幂是多少。
对数的定义也可以形式化为loga(b)=x ⇔ ax=b，即底数为a的对数b等于x等价于a的x次幂等于b。
2. 对数的性质对数有一些基本的性质，这些性质在对数的运算中有着重要的作用。
对数的性质主要有以下几点：（1）对数的底数不能为1，对数的真数不能为负数。
（2）底数为10的对数叫做常用对数，底数为自然常数e（e=2.7182）的对数叫做自然对数。
（3）对数运算的唯一性：如果loga(b)=loga(c)，那么b=c。
（4）对数运算的除法性质：loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
（5）对数运算的乘法性质：loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。
（6）对数运算的幂指数性质：loga(b^r)=r×loga(b)。
（7）对数运算的变底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)。
以上是对数的定义和性质的简要总结，接下来我们将对对数的运算方法和应用进行更详细的探讨。
二、对数的运算方法对数的运算方法主要包括对数的加法、减法、乘法、除法、幂指数等运算。
掌握这些运算方法对于解决一些复杂的对数问题有着重要的作用。
对数的基本概念与性质
对数的基本概念与性质在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的指数，表示这个底数需要连乘几次才能得到该数。
对数的概念最早由苏格拉底学派的尼科曼德在公元200年左右提出，后来被数学家约翰·纳普尔顿进一步发展和推广。
对数在科学、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，并具有许多重要的性质和特性。
一、对数的定义对数的定义如下：对于任意正数a和b，当且仅当b=a^x时，我们称x是以a为底的b的对数，记作x=log_a(b)，其中a被称为底数，b被称为真数，x被称为对数。
二、对数的性质对数具有以下几个基本性质：1. 对数的底数不能为1或负数：对数的底数必须大于0且不等于1，这是因为对数的定义要求底数为正数。
如果底数为1，则无论真数是多少，都无法找到一个指数使得1的指数等于真数；如果底数为负数，那么对数就没有定义。
2. 对数的真数必须大于0：真数必须大于0，否则对数就没有定义。
这是因为对数是一种连乘运算的逆运算，而在连乘运算中，因子必须大于0才有意义。
3. 对数的定义域和值域：对数的定义域是正实数集，即x要大于0；而对数的值域是实数集，即x可以是任意实数。
4. 对数的特殊性质：log_a(1) = 0，log_a(a) = 1。
这是因为任何数的1次方都等于自身，任何数的0次方都等于1。
5. 对数的运算法则： log_a(b*c) = log_a(b) + log_a(c)，log_a(b/c) =log_a(b) - log_a(c)。
这是因为对数是指数运算的逆运算，而指数运算有对应的乘法和除法法则。
6. 对数与指数的关系：当且仅当a^x = b时，log_a(b) = x。
这是对数和指数之间的基本关系，对数和指数是相互依存的。
7. 对数函数的图像：对数函数的图像是一条上升的曲线，当底数大于1时，曲线呈现上升趋势，当底数小于1时，曲线呈现下降趋势。
总之，对数是一种非常重要的数学概念，它在数学、科学、工程和计算机科学等领域中扮演着重要的角色。
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2.2.1对数与对数运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、
相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的
科学精神
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入
复习：对数的定义及对数恒等式
log b
a
N b a N
=⇔=（a＞0，且a
≠1，N＞0），
学生口答，教师板书．对数的概念
和对数恒等
式是学习本
指数的运算性质.
;m n m n m n m n
a a a a a a +-⋅=÷=();
m
n m n mn
n
m
a a a a
==
节课的基础，
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．
提出
问题
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m
n
m n
a a a
+⋅=，
那m n +如何表示，能用对数式运算吗？
如：
,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设.
于是,m n
MN a
+= 由对数的定义得到
log ,m a M a m M =⇔=log n a N a n N
=⇔=log m n a MN a m n MN
+=⇔+=log log log ()
a a a M N MN ∴+=放出投影学生探究，教师启发引导．
即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
概念形成
（让学生探究，讨论）
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那
么：
（1）log log log
a a a
MN M N
=+
（2）log log log
a a a
M
M N
N
=-
（3）log log()
n
a a
M n M n R
=∈
证明：
（1）令,m n
M a N a
==
则：m n m n
M
a a a
N
-
=÷=
log
a
M
m n
N
∴-=
又由,m n
M a N a
==
log,log
a a
m M n N
∴==
即：
log log log
a a a
M
M N m n
N
-=-=
（3）
让学生多角度思考，探究，教
师点拨．
让学生讨论、研究，教师引
导．
让学生明确
由“归纳一猜
想”得到的结
论不一定正
确，但是发现
数学结论的
有效方法，让
学生体会“归
纳一猜想一
证明”是数学
中发现结论，
证明结论的
完整思维方
法，让学生体
会回到最原
始（定义）的
地方是解决
0,log ,N n
n
a n N M M a
≠==时令则 log ,b n
a b n M M a
==则N
b n n
a a
∴=N b
∴=即log log log a
a a M
M N N
=-当n =0时，显然成立. log log n
a a M n M
∴=
数学问题的有效策略．通
过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散
性，进一步加
深学生对字母的认识和
利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
概念
深化
合作探究：
1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？
（师组织，生交流探讨得出如下结论）
底数a ＞0，且a ≠1，真数
M ＞0，N ＞0；只有所得结果中
对数和所给出的数的对数都存
在时，等式才能成立.
2. 性质能否进行推广？（生交流讨论）
性质（1）可以推广到n个
正数的情形，即
log a（M1M2M3…M n）
=log a M1+log a M2
+log a M3+…
+log a M n（其中a＞0，且
a≠1，M1、M2、M3…M n＞0）.
应用举例
例1 用log
a
x，log
a
y，log
a
z表示
下列各式
（1）log
a
xy
z
（2）
2
3
log
8
a
x y
学生思考，口答，教师板演、
点评．
例1分析：利用对数运算
性质直接化简.
（1）log
a
xy
z
log log
a a
xy z
=-
log log log
a a a
x y z
=+-
（2）
2
3
log
a
x y
z
23
log log
a a
x y z
=-
2
log log
a a
x y
=+
3
log
a
z
-
通过例题的解
答，巩固所学的
对数运算法则，
提高运算能力．
备选例题
例1 计算下列各式的值：
（1）245lg 8lg 3
44932lg 21+-； （2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3
25lg +⋅++. 【解析】（1）方法一：
原式=21
22325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+-- =5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++--
=5lg 212lg 21+
=21)5lg 2(lg 21
=
+. 方法二：原式=57lg 4lg 724lg
+- =4
75724lg ⨯⨯ =21)52lg(=
⨯. （2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2
=2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2
= 2 + 1 = 3.
【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45；
（2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 3
44y x a a ⋅；
（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x . 【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.
【解析】（1）1190lg 45lg 222
== 1[lg9lg10lg 2]2
=+- 1[2lg31lg 2]2
=+- =-+=2lg 2
1213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266
（2）log a 11
13412log log log a a a a x y =+-
.12
13141log 121log 3141m n y x a a -+=-+= （3）由已知得：
53
2532lg lg lg lg lg c b a c b a x =-+=， ∴53
2c b a x =.
【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即log a N = log a M ⇒N = M .。