高一数学初高中衔接教材反比例函数和三个一次的关系

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反比例函数与一线三等角模型

反⽐例函数与⼀线三等⾓模型反⽐例函数与⼀线三等⾓模型⼀线三等⾓模型下的相似⽐等于周长的⽐将军饮马与三⾓形周长的最⼩值⼀次函数、折叠、勾股定理、点的坐标⼀次函数、翻折、旋转反⽐例函数与K字型相似挖掘隐藏着的经典直⾓顶在直线上⼜称为K字型⼆次函数与⼀次函数的综合90度旋转与K字型全等⼀次函数中的K与特殊的直⾓三⾓形⼀次函数、⼀副三⾓板、垂径定理的综合⼀次函数中的K与⼀副三⾓板的综合正⽐例函数中的⼩题不必⼤作⼀次函数解析式中K的重要意义夜空中美丽的流星平分中⼼对称图形⾯积的直线必经过对称中⼼直线分三⾓形⾯积⽐的思考⽅法从函数的⾓度判断点的位置根据反⽐例函数的性质判断⼆次函数的图象根据⼆次函数和反⽐例函数的性质判断⼀次函数的图象三⾓形的⾯积与⼆元⼀次⽅程组从不同的⾓度审视平⾏四边形关注整体和⼤局是⼀种智慧欧⼏⾥得⽤⼿拉⼿模型证明勾股定理和射影定理中考数学⾼分之路——旋转是重组线段的有效⽅法从熟悉的⼿拉⼿模型开始，环环相扣，层层递进圆、折叠、垂径定理、勾股定理、弦长矩形、折叠、勾股定理等边三⾓形、距离与⾯积⾯积法与线段和定弦对定⾓，必有隐藏圆抛物线、直线与找规律都是全等相似惹的祸矩形、折叠、隐藏圆、最值折叠、隐藏圆、最值折叠、直⾓顶在直线上三⾓形的内⼼与外⼼⼿拉⼿、隐藏圆、最值⾓分平，等腰呈切线、垂径定理、勾股定理折叠、等腰、相似菱形、A型、⾯积中考数学⾼分之路——正⽅形、⾯积、周长中考数学⾼分之路——⼀个特殊的四边形中考数学⾼分之路——等腰三⾓形和直⾓三⾓形的联姻中考数学⾼分之路——等腰三⾓形的两⼤性质中考数学⾼分之路——幂的运算中考数学⾼分之路——完全平⽅式与⾮负数中考数学⾼分之路——平⾏四边形、⾯积、勾股定理中考数学⾼分之路——正⽅形、⾯积、最值中考数学⾼分之路——矩形、折叠与⾯积中考数学⾼分之路——矩形与⾯积（2）中考数学⾼分之路——矩形与⾯积（1）中考数学⾼分之路——定点与变换主元法中考数学⾼分之路——与轴对称有关的最短路径问题中考数学⾼分之路——线段和的最值中考数学压轴题巧解——定弦对定⾓中考数学压轴题巧解——三⾓形中的重要线段~中位线中考数学压轴题巧解——明显圆与隐藏圆中考数学压轴题巧解——隐藏圆与最值中考数学压轴题巧解——亲密⽆间的相似与旋转型全等中考数学压轴题巧解——定⾓度与直线型路径中考数学压轴题巧解——定距离与直线型路径洞察隐藏的圆⼀点⼀圆模型与圆有关的最值最值问题（垂线段最短）中考数学压轴题巧解系列——运动、圆、⾯积与最值美妙的旋转之全等与相似三⾓形三边关系与线段的最值（3）三⾓形三边关系与线段的最值（2）三⾓形三边关系与线段的最值（1）三⾓形与⾯积（2）三⾓形与⾯积（1）平⾏线的那些事⼉（3）平⾏线的那些事⼉（2）平⾏线的那些事⼉（1）等腰三⾓形的存在性问题直⾓三⾓形的存在性问题让圆不再有隐形的翅膀（4）让圆不再有隐形的翅膀（3）让圆不再有隐形的翅膀（2）让圆不再有隐形的翅膀（1）矩形内垂直⼗字架之⽐等于邻边之⽐正⽅形内垂直⼗字架相等全等双⼦型（2）附【数学解题⼩常识】全等双⼦型（1）附【数学解题⼩常识】K字模型（2）附【数学解题⼩常识】K字模型（1）附【数学解题⼩常识】⼀线三等⾓模型（2）附【数学解题⼩常识】⼀线三等⾓模型（1）附【数学解题⼩常识】⾓含半⾓模型（2）附【数学解题⼩常识】⾓含半⾓模型（1）附【数学解题⼩常识】直线中k的颜值（2）附【数学解题⼩常识】直线中k的颜值（1）附【数学解题⼩常识】两点的联想（2）附【数学解题⼩常识】两点的联想（1）附【数学解题⼩常识】⼀点的遐想（2）⼀点的遐想（1）。

正比例函数、一次函数、反比例函数知识点总结

精心整理
精心整理正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象
一、正比例函数性质和图象：
概念：一般地，形如(k 是常数，且k≠0)的函数，叫做正比例函数。

当k ＞0时，图象过象限；y 随x 的增大而。

当k
①②当k ③④当k 1.2.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小。

当k ＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴
所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题
1、若y =(m －1)x 2
2m 是正比例函数，则m 的值为（）
精心整理
精心整理 A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2
2、下列函数中，一次函数为（）
A 、2
5y x = B ．2
5y x =－1 C ．24
5y x = D ．25y x =-
3、下列函数中，反比例函数是（???）
A 、
4（）
56、7在双曲线
上，A 、x 18y=。

正比例函数、一次函数、反比例函数知识点总结

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。

当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。

二、一次函数的性质和图象：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。

③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。

三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠０）的函数称为反比例函数。

其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题1、若y=(m －1)x22m 是正比例函数，则m 的值为（）A 、1 B 、－1 C 、1或－1D 、2或－22、下列函数中，一次函数为（）A 、25y x B ．25y x －1 C ．245y x D ．25y x3、下列函数中，反比例函数是（）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=2 4、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（）5、直线443x y与两坐标轴围成的三角形面积是（）A 3 B 4C 12D 6 6、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（） A 、x 1>x 2>x 3 B 、x 1>x 3>x 2 C 、x 3>x 2>x 1 D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。

例谈三个“一次”的关系

例谈三个“一次”的关系作者：吴如峰来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第32期方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系，那么能否从数量之间的关系将一次函数与一次方程、一次不等式联系起来呢？一、典例分析例1一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还以每份0.2元的价格退还给报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购的报纸份数为自变量x，每月所获得的利润为函数y.（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？（3）报亭每天应该从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润不少于560元？分析：先根据题意得出一次函数的解析式并确定自变量x的取值范围，再用一次函数的性质和一元一次方程确定它的最大值，用一元一次不等式确定限定函数值所对应的自变量x的取值范围.解：（1）由题意得，x应满足60≤x≤100，且是正整数，则每月共销售〖JB（（〗20x+1060〖JB））〗份，退回报社10〖JB（（〗x-60〖JB））〗份，卖出的报纸每份获得利润1-0.7=0.3（元），退回的报纸每份亏损0.7-0.2=0.5（元），所以每月所获利润y=0.3〖JB（（〗20x+1060〖JB））〗-0.510〖JB（（〗x-60〖JB））〗，即y=x+480（60≤x≤100，且x是正整数）.（2）∵k=1>0，∴函数y随x增大而增大.∴当x=100时，y有最大值，即y=580.∴报亭应该每天从报社订购100份报纸，才能使每月利润y最大，最大利润为580元.（3）由题意得，y≥560，∴x+480≥560.解得x≥80.∵60≤x≤100，∴80≤x≤100，∴报亭每天该从报社订购80至100份报纸，才能使每月所获利润不少于560元.当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量的取值范围时，可以用一元一次不等式确定另一个变量的取值范围.二、常见题型1.利用函数图象解一元一次不等式例2作出函数y=x+2的图象，根据图象回答下列问题：（1）当x取何值时，x+2>0？（2）当x取何值时，x+2=0？（3）当x取何值时，x+2解：如图1，由图象可知：直线y=x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），即当x=-2时，y=0.（1）当x>-2时，x+2>0；（2）当x=-2时，x+2=0；（3）当x-1时，x+2>1.解这类题时，要首先作出函数图象，再寻求图象与x轴或y轴的交点，然后进一步求得一元一次不等式的解集.13.TIF〗2.利用一元一次不等式比较两个一次函数值的大小例3已知函数y1=-x+1，y2=3x-3，求当x取何值时，y1>y2分析：此题有两种方法，一是直接利用一元一次不等式求解；二是利用函数图象求解.下面我们只讲利用图象法.解：如图2，在同一平面直角坐标系中分别作出直线y1=-x+1，y2=3x-3，由图象可知它们的交点的坐标为（1，0）.对于同一个x，y1>y2，表示直线y1=-x+1上的点在直线y2=3x-3上相应点的上方，此时相对应的横坐标的x的取值范围为x解这类题时，应弄清题意，找出不等关系，建立不等式模型求解；或利用函数图象求解.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，当kx+b>0时，表示直线在x轴上方的部分；当kx+b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx+b（作者单位：福建省德化县第五中学362500）。

一次函数与反比例函数(初高中知识衔接)

()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b 初中数学知识点总结（一）一次函数的图象与性质【知识点拨】1．正比例函数与一次函数的概念（1）一次函数：形如)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数的函数叫做一次函数；（2）正比例函数：形如),0(为常数k k kx y ≠=的函数叫做正比例函数；（3）正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形.2.一次函数的图象和性质（1）图象：一次函数b kx y +=的图象是过点),0(),0,(b kb-的一条直线，正比例函数y=kx （k ≠0）是过点（0，0），（1，k ）的直线.（2）性质：.,0;,0增大而减小随增大而增大随着时x y k x y k <>（3）图象跨越的象限：①,0,0>>b k 经过一、二、三象限；②;,,,0,0四象限二经过一><b k ③,0,0<>b k 经过一、三、四象限；④0,0<<b k ，经过二、三、四象限.如图：。

3.一次函数的解析式求一次函数的解析式往往运用待定系数法，设所求函数解析式为b kx y +=，然后依据已知条件求b k ,.【典型例题】例1 （1）已知则是正比例函数,)3(222---=m m xm y m= .（2）当m= 时，是一个一次函数)0(54)3(12m ≠-++=+x x x m y 。

例2．画出函数12+=x y 的图象，利用图象求：（1）;,3)3(;012)2(;012的取值范围求时当的解集不等式的根方程x y x x ≤≥+=+ （4）当33≤≤-y 时，求x 的取值范围；（5）求图象与坐标轴的两个交点间的距(1) (2) (3)(1) (3)(2)离；（6）求图象与坐标轴围成的三角形的面积.例3 已知一次函数b kx y +=的图象经过点()2,3--A 及点()6,1B .（1）求此一次函数的解析式，并画出图象；（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.反函数的图象与性质一．知识概念1.反比例函数：形如y ＝xk（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。

一次函数和反比例函数知识点

正比例、反比例、一次函数一次函数，正比例函数的定义（1）如果y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。

（2）当b ＝0时，一次函数y=kx+b 即为y=kx(k ≠0).这时，y 叫做x 的正比例函数。

注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。

2、正比例函数的图象与性质（1）正比例函数y=kx(k ≠0)的图象是过（0，0）（1，k ）的一条直线。

3、一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是必过点（0，b ）和点（－k b ，0）的一条直线。

注：（0,b ）是直线与y 轴交点坐标，（－kb ，0）是直线与x 轴交点坐标.4、一次函数y=kx+b(k ≠0, k b 为常数)中k 、b 的符号对图象的影响（1）k>0, b>0⇔直线经过一、二、三象限（2）k>0, b<0⇔直线经过一、三、四象限（3）k<0, b>0⇔直线经过一、二、四象限（4）k<0, b<0⇔直线经过二、三、四象限5、对一次函数y=kx+b 的系数k, b 的理解。

（1）k(k ≠0)相同，b 不同时的所有直线平行，即直线l 1:y=k 1x+b 1；直线l 2:y=k 2x+b 2( k 1，k 2均不为零，k 1，b 1，k 2， b 2为常数)k 1=k 2 b 1≠b 2 l 1∥l 2平行k 1=k 2 b 1=b 2 l 1与l 2重合（2）k(k ≠0)不同，b 相同时的所有直线恒过y 轴上一定点（0,b ），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=21x+3均交于y 轴一点（0，3） 6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k 不变，直线沿y 轴平移多少个单位，可由公式︱b 1－b 2︱得到，其中b 1，b 2是两直线与y 轴交点的纵坐标，直线沿x 轴平移多少个单位，可由公式︱x 1－x 2︱求得，其中x 1，x 2是由两直线与x 轴交点的横坐标。

一次函数和反比例函数之间的关系教案

已知y1=kx-k和在同一个坐标系中的图像大致为( )
注：图仍为上面的图
本节的主要内容为一次函数和反比例函数的图像与性质的关系
课堂小测（幻灯片显示）
y=kx+b
k>0
b>0
一二三
增函数
b=0
一三
b<0
一三四
K<0
b>0Байду номын сангаас
一二四
减函数
b=0
二四
b<0
二三四
k>0
一三
减函数
k<0
二四
增函数
出示幻灯片
先给学生出示出一次函数的图像
这个是本节的重难点
通过幻灯片的演示来使学生能明白如何去分析这样的问题
加深学生对图像和性质的巩固
帮助学生对性质的理解
数学教案
一次函数和反比例函数图像与性质的关系
（九年级）
原
曲
中
学
授课教师：崔为军
授课内容
一次函数和反比例函数图像与性质的关系
授课教师
崔为军
教学目的要求
1.让学生明白函数的图像和性质的内在联系。
2.培养学生观察、分析归纳和概括的能力进一步体会数形结合的思想和方法。
重点
让学生掌握函数图像与性质之间的关系并利用其解决问题
难点
数形结合思想的理解和运用
课型
新授课
教学方法
合作探究，自主学习
当k<0,b=0,这时此函数的图象经过二，四象限。减函数
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。减函数
当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；

初高中衔接一次二次反比例

()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b 一次函数、反比例函数、二次函数图像性质（学案）一次函数的图象与性质【知识点拨】1．正比例函数与一次函数的概念（1）一次函数：形如)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数的函数叫做一次函数；（2）正比例函数：形如),0(为常数k k kx y ≠=的函数叫做正比例函数；（3）正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形. 2.一次函数的图象和性质（1）图象：一次函数b kx y +=的图象是过点),0(),0,(b kb-的一条直线，正比例函数y=kx （k ≠0）是过点（0，0），（1，k ）的直线.（2）性质：.,0;,0增大而减小随增大而增大随着时x y k x y k <> （3）图象跨越的象限：①,0,0>>b k 经过一、二、三象限；②;,,,0,0四象限二经过一><b k ③,0,0<>b k 经过一、三、四象限； ④0,0<<b k ，经过二、三、四象限.如图：。

3.一次函数的解析式求一次函数的解析式往往运用待定系数法，设所求函数解析式为b kx y +=，然后依据已知条件求b k ,. 【典型例题】例1 （1）已知则是正比例函数,)3(222---=m mx m y m= .（2）当m= 时，是一个一次函数)0(54)3(12m ≠-++=+x x x m y 。

例2．画出函数12+=x y 的图象，利用图象求：（1）;,3)3(;012)2(;012的取值范围求时当的解集不等式的根方程x y x x ≤≥+=+ （4）当33≤≤-y 时，求x 的取值范围；（5）求图象与坐标轴围成的三角形的面积.例3.当1≤x ≤2时，函数f(x)=kx+(1-3k)恒为正值，求实数k 的取值范围。

一次函数和反比例函数知识点总结

一次函数知识点总结:函数性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

正比例函数、一次函数、反比例函数知识点总结

正比例函数、反比例函数
一、正比例函数性质和图象：
概念：一般地，形如y=kx (k 是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k ＞0时，图象（除原点外）在一、三象限；当x 增大时，y 的值也增大；y 随x 的增大而增大。

当k ＜0时,图象(除原点外)在二、四象限；x 增大时,y 的值反而减小；y 随x 的增大而减小。

二、一次函数的性质和图象：
概念：一般地，形如y=kx+b(k ，b 是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

性质：
①k>0,b>O,则图象过一、二、三象限
②k>0,b<0,则图象过一、三、四象限
③k<0,b>0,则图象过一、二、四象限
④k<0,b<0,则图象过二、三、四象限三、反比例函数性质和图象：
1.定义：形如y ＝x
k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式 xy=k 1-=kx y x
k y 1= 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。

对称中心是：原点
3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随
x 值的增大而减小。

当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随
x 值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴
所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

一次,反比,二次函数知识点

函数知识点总结1，正比例函数和一次函数 1、定义一次函数：如果b kx y+=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

正比例函数：当一次函数b kx y +=中的b=0时，kx y =（k 为常数，k ≠0），y 叫做x 的正比例函数。

判断正比例函数:k=yx,即2个量的比值是定值。

2、图像一次函数的图像都是一条直线K 决定函数的倾斜程度，k ＞0，图象走势是八字的“”走向，k ＜0时，图象走势是八字的“”。

b ：当x=0时，y=b ，所以函数与y 轴交点（0，b ），所以b 是与y 轴交点的纵坐标3图象性质：（1）当k>0时，图象走势是八字的“”，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图象走势是八字的“”，y 随x 的增大而减小。

4、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ，代入一个点坐标即可。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b ，代入2个点坐标，解一个二元一次方程组。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

5，函数与坐标轴交点与2个一次函数的交点（1）函数与x 轴交点：令b kx y +==0，把x 解出来即可。

函数与y 轴交点：令x=0，y=k ×0+b=b ，所以函数与y 轴交点坐标是（0，b ）（2）2个一次函数的交点坐标：111y k x b =+与222y k x b =+，令1y =2y ，即11k x b +=22k x b +，把x 解出来即可。

反比例函数 1、定义函数xk y =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

也可写成1-=kx y 或xy=k 。

自变量x 的取值范围是x ≠0。

2，判断反比例函数：xy=k ，即两个量的乘积是一个定值。

3、图像以及性质反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点中心对称。

4-反比例函数与一次函数(三角形面积和不等关系)

〖进门测〗1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；2.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，过点A 作于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；3.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．（1）求反比例函数的表达式；数学学科教师讲义教务主任签字：签字日期：学员姓名：年级：课时数：辅导科目：学科教师：上课次数：课题授课日期及时段作业情况作业布置教学内容〖知识要点〗要点一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征3.一次函数与坐标轴交点的求解（1）一次函数与x 轴的交点坐标求解：令y=0，转换成相对应的一元一次方程，求解x 的值。

该值就是与x 轴交点的横坐标。

（2）一次函数与y 轴交点坐标的求解：令x=0，求出y 值，该值就是与y 轴交点的纵坐标。

例题1：掌握一次函数与坐标轴交点的求解1.如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）分别求出一次函数y=kx+b与x，y轴的交点C,D的坐标随堂练习1：1.如图是y=kx+b的图象，则b= ，与x轴的交点坐标为，y的值随x的增大而．要点二：掌握反比例函数与一次函数和坐标轴所围三角形的面积解题思路：（1）求出直线与x轴或者y轴的交点坐标（2）以x轴上线段为底，把三角形分为上下两个三角形，总面积等于上下两个三角形面积和。

高一数学初高中衔接教材反比例函数和三个一次的关系

反比例函数和三个一次的关系
反比例函数和三个一次的关系
反一比、例反函比数例概函念数
1.反比例函数的概念
一般的,形如y k (k 0)的函数, x
叫做反比例函数
反2比.反例比函例数的函性数质的性质
（1）图象对称中心为点 (0,0)
（2）当 k 0 时，图象在第一、三象限，
当 x 0或 x 0 时，y随x增大而减小
这种把一个式子看作一个整体，用另一个字母来表示的方法，叫做换元法．换元法能把繁杂表达式简单化．
例例2 2. 如果1 x 2
的取值范围
，求
y 2x 3 x 1
解 : y 2x 3 2(x 1) 1 2 1
x 1
x 1
x 1
因为1 x 2,令t x 1,有y 2 1 t
所以2 t 3, y随着t的增大而减小,
当t
2时,
ymax
5 ;当t 2
3时,
y m in
7 3
所以7 y 5
3
2
象这种能分解成几个简单函数的函数，习惯上我们称之为“复
合函数”．解决复合函数问题一般可以利用换元法“分解”成
简单函数来研究．
一二次、函一数次和函正数比和例正函比数例的函概数念
1．一次函数和正比例函数的概念
当1 a 0即a 1时, x可取一切实数
例例55. 当 2 x 1时, (t 2)x 1 0恒成立,
求t的取值范围
解 : x 2, x 1时的函数值满足
(t (t
2) 2)
(2) 11
1 0
0
t t
3 2
3
3
t
3 2
线段的两个端点恒在x轴上（下）方，则整个线段就在x轴上（下）方；反之也成立，这称为一次函数的保号性。

反比例函数与一次函数关系

yk x
（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，
且AO：oH=2．
（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数
y

k x
（x＞0）图象
上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．
和4，反比例函数
的图象经过
点C，则k的值为．
•
如图，双曲线
y k (k＞0) x
经过矩形
QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯
形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为
• 如 OA图B，斜已边知OB双的曲中线点Dy，与kx (直k＞角0 )边经A过B直相角交三于角点形 C．若△OBC的面积为3，则k＝______．
AD•BC的值为
如图，已知直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），
C为双曲线y= （k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为．
• 如图，函数y=﹣x与函数
的图象相
交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的
垂线，垂足分别为点C，D．则四边形
ACBD的面积为（）
• 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与
坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐
标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于
•
点M，N，反比例函数y=
k x
的图象经过点
M,N．
• （1）求反比例函数的解析式；

一次函数,二次函数,反比例函数性质总结

一次函数、二次函数、反比例函数性质总结1.一次函数一次函数)0(≠+=k b kx y ，当0=x 时，得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距，当0=y 时，得到的x 的值，叫做图象与坐标轴的横截距。

（1）当0=b 时，一次函数的解析式变为)0(≠=k kx y ，也称为正比例函数，此函数图象恒过原点)0,0(O ，且横，纵截距都为0。

且0>k 时，函数图象过一、三象限，0>k 时，图象过二、四象限。

（2)当0≠b 时，)0(≠+=k b kx y 的图象及性质为① ②k 象限③ ④<k 象限2.二次函数二次函数的一般形式为)0(2≠++=a c bx ax y ，且a 决定开口方向和大小，当0>a 时，抛物线开口向上，有最小值，值域为),44[2+∞-a b ac 当0<a ，抛物线开口向下，有最大值，值域为]44,(2ab ac --∞。

（1）当0,0==c b 时，函数的解析式变为)0(≠=a ax y ，则 ①0>a 时 ②0<a 时（2）b a ,决定二次函数的对称轴和开口方向①当0,0,0=>>c b a 时 ②0,0,0=<>c b a 时③0,0,0=><c b a 时 ④0,0,0=<<c b a 时（3）c a ,决定开口方向和与y 轴的截距①0,0,0=>>b c a 时 ②0,0,0=<>b c a 时yyOxxxxyy OOyOxxOy O③0,0,0=><b c a 时（3）对于一般的二次函数，c b a ,,共同来决定其函数图像和性质，故通常采用配方的方法)0(2≠++=a c bx ax yc aba b x a b x a c x a b x a +-++=++=))2()2(()(2222 c a b a b x a +-+=]4)2[(222=c a b a b x a +-+4)2(22=ab ac a b x a 44)2(22-++ 我们称abx 2-=为二次函数的对称轴，坐标)44,2(2a b ac a b --为二次函数的顶点坐标，此时我们也称其解析式为二次函数的顶点式，并可设其解析式为)0()(2≠+-=a k h x a y 。

反比例函数一次函数二次函数性质及图像

反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k|11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

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