数学物理方程学习指导书 第9章 勒让德多项式
勒让德多项式
k 2 3P3 ( x) 5xP2 ( x) 2P ( x) 15 x3 9 x 1 2 2
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 – 模 – 正交性应用例题
完备性
(35cos 4 20cos 2 9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数 – 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用 递推公式 – 基本递推公式 – 证明 – 应用
球内解要求u (0, )有界，半通解化为 u
l 0
Al r l Pl (cos )
2
由边界条件得： Ax
l 0
Al a l Pl ( x )
Ax2 P ( x)dx k
2k 1 根据完备性：Ak 2a k
1
1
勒让德多项式的应用
例题 2
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空 间的电势 u 。
2
由边界条件得： Ax
l 0
Bl a l 1Pl ( x )
2k 1 k 1 根据完备性： k B a 2
1
1
Ax2 P ( x)dx k
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
解：定解问题为：u 0, a r b u |r a cos , u |r b 0
勒让德多项式归一化
勒让德多项式归一化
勒让德多项式是一类经典的正交多项式，用于描述数学和物理领域中
的各种现象和问题。
为了方便应用，我们需要将这些多项式进行归一
化处理。
勒让德多项式的归一化可以通过如下方式实现。
首先，我们需要确定
多项式中最高次幂的系数，即归一化因子。
通过求解正交条件和归一
化条件，我们可以得到这个系数的具体表达式。
以勒让德多项式P_n(x)为例，其中n代表多项式的阶数，x为自变量。
首先，我们需要确定归一化因子A_n，它的求解需要满足以下两个条件：
1. 正交条件：不同阶数的勒让德多项式在某一区间上的内积为0，即
∫(-1 to 1) P_n(x)P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)。
这个条件保证了不同
阶数的多项式之间不存在互相干扰。
2. 归一化条件：阶数为n的勒让德多项式在区间内的归一化，即∫(-
1 to 1) [P_n(x)]^
2 dx = 1。
这个条件保证了每个多项式都有相同的
总能量。
通过求解这两个条件，我们可以得到归一化因子A_n的具体表达式。
然后，我们可以将原始的勒让德多项式除以归一化因子，即P_n(x) /
A_n，从而得到归一化后的多项式。
归一化后的勒让德多项式具有一些重要的性质和应用。
它们能够描述
电磁场、量子力学以及各种物理过程中的现象和问题。
归一化后的勒
让德多项式在实际计算中更加方便和可靠，能够提供准确的结果，并
被广泛应用于科学和工程领域。
勒让德多项式及其正交性质
勒让德多项式及其正交性质勒让德多项式是一种重要的数学工具，在微积分、物理学等领域都有广泛的应用。
它是一类正交多项式，具有良好的性质，可以用于解决一些特殊的数学问题。
本文将讨论勒让德多项式及其正交性质，以期读者能够深入了解这一重要数学工具。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一种定义在区间[-1,1]上的多项式函数，通常用Pn(x)表示，其中n为多项式的次数。
勒让德多项式可以通过如下公式递归地定义：P0(x) = 1P1(x) = xPn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n这个公式可以用来计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式的前几个函数值如下：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (3x² - 1)/2P3(x) = (5x³ - 3x)/2P4(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，其中最重要的是正交性质。
1. 正交性质勒让德多项式在区间[-1,1]上的内积可以定义为：∫[-1,1] Pn(x)Pm(x)dx如果n=m，则积分结果为2/(2n+1)；如果n≠m，则积分结果为0。
也就是说，勒让德多项式之间具有正交性质。
这个性质非常重要，因为它能够使我们更方便地进行一些数学运算。
例如，计算某个函数在勒让德多项式基下的系数时，我们只需要进行一次内积计算即可。
2. 完备性质勒让德多项式在区间[-1,1]上具有完备性质。
也就是说，任何在该区间上连续的函数都可以用勒让德多项式展开，并且展开式收敛于原函数。
这个性质太过深奥，需要深入的数学知识，不在本文的讨论范围内。
3. 递推性质勒让德多项式之间具有递推性质，可以用如下公式计算高一阶的勒让德多项式：Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)这个公式可以用来快速地计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
数理方程勒让德多项式
35 cos
3
30 cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
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计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
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(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l
(l
1)
1
m2 x2
y
0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
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同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式，又称勒让德多项式，是一种数学表达式，用来表示一个多项式的值。
它是
由法国数学家勒让德（Joseph Louis Lagrange）在1795年发明的。
勒让德多项式的表达式是一个多项式，它由一系列的系数和指数组成，每个系数和指数都
有一个特定的含义。
系数表示多项式中每一项的系数，而指数表示多项式中每一项的指数。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来解决许多数学问题，它可以用来解决多项式的根，也可以
用来解决多项式的导数和积分。
它还可以用来解决更复杂的数学问题，比如求解微分方程
和积分方程。
勒让德多项式的表达式是一种非常有用的数学表达式，它可以用来解决许多数学问题，比
如求解多项式的根，求解多项式的导数和积分，以及求解微分方程和积分方程。
它的表达
式简洁明了，可以让我们更容易理解多项式的值，从而更好地解决数学问题。
大学物理-勒让德多项式
(三) 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 (I) 勒让德多项式的正交性 勒让德方程与有限性条件构成施—刘型本征值问题：
勒让德方程可化为施—刘型方程，其中 (x) = 1，a =
–1，b = 1，而本征函数 yl (x) = Pl (x) 是实函数，故有如下正 交关系
另一种形式：
(II) 勒让德多项式的完备性 根据施—刘型本征值问题的完备性定理，对于在区间
示——微分表示
证明：由二项式展开定理得到
所以
注意到：凡是指数 (2l – 2s) < l 的项经 l 次求导后为 0，故 只剩下 (2l – 2s) ≥ l 的项，即 s ≤ l / 2，于是得到
罗德里格斯公式的应用之一 因为
所以
对于 Pl (1)，利用上式，n > 0 各项的值均为 0，只有当 n = 0 的项，其值不为 0，因此
之间存在着一定的关系。具体如下：
(1) (2) (3) (4)
证明：(I) 由生成函数关系式 两边对 r 求导，有
改写为 两边乘以 (1–2 x r + r2)，再将生成函数关系式代入，得到
比较两边 rl 的系数，有 整理上式，得到 当 l = 0 时，P0(x) = 1，P1(x) = x， 所以 x P0(x) = P1(x) (II) 将生成函数关系式两边对 x 求导，得到
例3 将函数 f (x) = xn 在区间 [–1,1] 上按完备正交函数系
Pl (x) 展开为广义傅里叶级数。
解：所给函数满足斯–刘型本征函数完备性定理的条件，故
xn Cl Pl (x) l 0
广义傅里叶系数为
Cl
2l 1 2
1 1
x
n
Pl
勒让德多项式的性质
三、正交性 1 §14.2 勒让德多项式的性质用途：可计算含 pl (x 的积分。
2 ∫−1 Pl (x Pk (x dx = 2l + 1 δ kl , k , l = 0,1,2,..., (6 问: ∫ ∫ 1 2 2 P8 (x dx = ? = −1 2 ⋅ 8 + 1 17 1 0 ∫−1 P8 (x P9 (x dx = ? 1 9 2 ∫−1 xP8 (x P9 (x dx = ? = 17 ⋅ 18 + 1 2 −1 1 P 199 ( x P 300 ( x dx = ? 0四、广义傅氏展开f (x = ∑ Cl Pl (x l =0 ∞ §14.2 勒让德多项式的性质 (9 2l + 11 Cl = f ( x Pl ( x dx ∫2 −1 (10 用途： (1在物理中常需将作为表征的物理量展开为级数进行分析。
(2在求解数学物理方程时其解常是某函数的无穷级数，如稳恒电场的解，就是 Legendre级数。
五.小结一、母函数关系式二、递推公式三、正交性1 1− 2x t + t 2 §14.2 勒让德多项式的性质= ∑ Pl (x t l , t < 1 (1 l =0 ∞ 1. (l + 1Pl +1 ( x − (2l + 1x Pl ( x + l Pl−1 ( x = 0 (2 2. (2l + 1Pl (x = Pl′+1 ( x − Pl′−1 (x (3 ∫ 1 −1 Pl ( x Pk (x dx = 2 δ kl , k , l = 0,1,2,..., (6 2l + 1 ∞ 四、广义傅氏展开f ( x = ∑ Cl Pl ( x l =0 (9 2l + 1 1 Cl = f (x Pl ( x dx ∫ − 1 2 (10本节作业一．由勒让的多项式的母函数关系式推出下列递推关系： 1. (l + 1Pl +1 (x − (2l + 1x Pl ( x + l Pl −1 ( x = 0 (2 2. (2l + 1Pl (x = Pl′+1 ( x − Pl′−1 (x (3 二．P280. 2。
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
勒让德多项式
课程设计报告n 阶勒让德(Legendre)多项式一、设计任务与目标n 阶勒让德(Legendre)多项式可以递归定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧>---===--1/))(*)1()(**)12((101)(21n nx p n x p x n n xn x p n n n(1) 输入n 和x 的数值，输出此时勒让德多项式的数值。
例如输入2，1，应输出1/2。
(2)输入n 的数值, 输出此时的勒让德多项式。
例如输入2，应输出3/2 x 2 - 1/2。
本次上机实践所使用的平台和相关软件。
平台：Windows xp 相关软件：VC6.0二、方案设计与论证对于这个题目，我分析了一下，第一问是要求我要用递归方法去求最终的值，所以我在程序中编写了子函数treat ，并在主函数main 中调用，在子函数中不断调用自己本身。
第二问，由于不能按照常规来做，只能够想一些特别的方法，例如：利用字符串输出，但这种方法不行。
经老师提醒，先做好这个表达式的每一项的情况，然后再将他们整合输出，于是我选择了这个方法并向着这个方向去做，后来在网上找了相关的资料，我发现了这么一条公式：∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-----=202)!2()!(!2)!22()1()(n m mn nmn x m n m n m m n x p ，这一条公式可以求出表达式的每一项，我利用四个数组，第一个数组是记录m)1(-的结果；第二个数组是记录)!2()!22(m n m n --约简后的结果；第三个数组是记录)!(!2m n m n -约简后的结果；第四个数组是记录m n 2-的结果。
最后输出每一项并整合最终的结果。
在计算)!2()!22(m n m n --之前，我采用了没有约简的方法去做，结果数值超出了我设定的int 型数据的范围，导致我只能够输出n=6的情况，n=7输出错误。
后来利用约简的方法，于是结果达到了n=8的情况。
接着我采用了double 型，结果能输出n=10的情况，但是在运行的过程中发现，输出很慢。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式是高等数学中一个非常重要的概念，它是一类特殊的多项式，有着优良的数学特性，并且在实际的科学研究中被广泛应用。
它的微分表达式也被广泛采用，因为它可以表示变量的变化，并且可以更直观地体现数学模型。
本文旨在介绍勒让德多项式的微分表达式，以期对勒让德多项式的微分表达式有更深入的了解。
首先，我们需要了解勒让德多项式的定义。
勒让德多项式是一类多项式，它以带有一定规律的系数表示，其标准形式为：a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0 其中，n是多项式的次数，a_n, a_{n-1}, a_{n-2},…, a_1, a_0是多项式的系数。
接下来，我们来讨论勒让德多项式的微分表达式，它可以通过对多项式的每项进行微分，并根据次数进行指数变化，来得到。
下面我们来看一个例子，如多项式f(x)=x^4+2x^2-3x+4，它的微分表达式可以表示为：f’(x)=4x^3+4x-3可以看到，所得到的微分表达式只有一项，并且是对原多项式每项的指数变化、系数变化的综合反映，其公式是：f’(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+... +2a_2x+a_1此外，我们还可以使用一些特殊的技巧来求解勒让德多项式的微分表达式。
首先，无论多项式有多少项，它们都可以被写作一阶分式的形式：f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)其中，a_n是多项式的系数，x_1, x_2,…, x_n是多项式中全部根的表达式，他们都可以由简化的过程得到。
按照这种形式，勒让德多项式的微分表达式可以很容易地算出。
最后，为了更直观地理解勒让德多项式的微分表达式，我们可以使用拉格朗日的偏微分法，通过对多项式的拉格朗日函数进行求导来计算多项式的微分表达式。
例如，f(x)=x^4+2x^2-3x+4应的拉格朗日函数是：L=x^4+2x^2-3x+4-l_x其中，l_x拉格朗日变量，他可以看成是多项式中的未知数，通过对拉格朗日函数进行求导可以得出：f’(x)=4x^3+4x-3这也就是我们最终求解的勒让德多项式的微分表达式了。
勒让德多项式
六、结论与心得
在调试的过程中，一开始我发现原来的程序进行到n=6时 就发生了溢出，经过老师的指点后，我调整了程序后，将一部 分数据进行约分，减少大数据的出现，有了进一步的发展，能 够输到n=8，然而我没有放弃，利用double型和int型的区别去 想，继续调整，终于达到n=10的阶段。但是后来的调整时发现 数据很大，难以快速得到结果，因此我还没有时间去想如何调 整到一个高效的程序。在这个过程中，我知道了有些事情，只 有经历过了，才会知道自己的不足，我决定以后学习好专业语 言，努力改进自己编写过的程序，将程序写得更好！
况，n=7输出错误。后来利用约简的方法，于是结果达到了n=8
的情况。接着我采用了double型，结果能输出n=10的情况，但
是在运行的过程中发现，输出很慢。
三、程序框图或流程图，程序清单与调用关系
第一问如图一所示：
图1 — 递归调用流程图 Y Y N N
开始 输入n x n=0 ?
n=1? 返回 1 返回 1 递归调用treat() 输出结果 结束
第二问如图二所示：
输出整合的结果
Y N 开始 输入 n m=0
m﹤n/2 ?
结束
m=m+1
图2 — 求表达式的流程图
四、全部源程序清单
#include<stdio.h>
#define MAX 1000
#include<math.h>
float treat(int n,float x)
{//计算n阶勒让德多项式的值
{ if(D[i]!=0&&B[i]!=1)//输出首项的表达式 printf("%.0f/%.0fx^%.0f",A[i]*B[i],C[i],D[i]); else { if(D[i]==0&&B[i]==1)//输出n=0的表达式 printf("%.0f",A[i]); else if(D[i]!=0&&B[i]==1) printf("x");//输出n=1的表达式 else printf("%.0f/%.0f",A[i]*B[i],C[i]);//输出
勒让德多项式变换
勒让德多项式变换
勒让德多项式是一类常见的正交多项式，它在物理学和数学领域中有广泛的应用。
勒让德多项式可以通过变换来得到不同形式的表示。
下面是一些常见的勒让德多项式变换：
1. 勒让德多项式展开为幂级数：勒让德多项式可以通过泰勒级数展开来表示。
这个展开式可以用于计算勒让德多项式的近似值。
2. 勒让德多项式的递推关系：勒让德多项式之间存在递推关系，即P_n(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)，其中P_n(x) 表示n 阶勒让德多项式。
3. 勒让德多项式的归一化：勒让德多项式可以通过归一化来得到归一化的勒让德多项式。
归一化的勒让德多项式被广泛应用于概率密度函数和正交性的研究中。
4. 勒让德多项式的逆变换：勒让德多项式可以通过逆变换来得到原始函数的表达式。
这个逆变换可以用于将勒让德多项式转换回原始函数的形式。
这些是勒让德多项式的一些常见变换方法，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式是一种特殊的函数，它由最高次幂为N的N+1项组成，通常用来拟合曲线。
它和普通多项式的最大区别在于它的变量是
由不同的常数乘以指数x^n构成的，其形式如下:c(x)=a_N x^n +
a_(N-1) x^(N-1)+...+a_2 x^2 + a_1 x + a_0。
将上述表达式乘以n并将其代入原式中, 可以得出勒让德多项式
的微分表达式: c'(x)=Na_N x^(n-1)+ (N-1) a_(N-1) x ^(n-2)+…+
2a_2 x + a_1 。
对于勒让德多项式的求导，我们一般采用后面这种表达式，这也
是一种非常有效的方法，而不是一次使用n次链律法。
在使用这种表
达式之前，我们需要先记住最高次幂，即n，然后根据公式中的指数变化，从N开始，每次-1就可以得出每一项对应的指数，并且每一项前
面的系数也是可以直接把原多项式中相应系数带入即可。
因此，从上面可以看到，求勒让德多项式的导数的时候，需要我
们先找到最高次，然后根据指数的变化，再将每一项相应的系数带入，最后就可以得到她的微分表达式，这也是比较容易让人理解的一种方法。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式是一种多项式的特殊形式，它的函数形式是可以用来表示微分表达式的。
它是由著名数学家勒让德几何学家首先提出的，由他十九世纪晚期提出的“笛卡尔方程”演变而来。
在几何学领域，勒让德多项式用来表达曲面函数的导数。
它可以用来表示二维和三维空间中的曲面，也称为曲面变换，因为它具有多种类型的函数生成的曲面的几何性质。
其形式如下：f（x，y）=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+…该多项式中的a0，a1，a2，a3等参数都是曲面上随着x、y变化而变化的常数值。
这些参数对曲面变换有重要作用，因此在使用勒让德多项式时必须将其正确地估计出来。
另一方面，勒让德多项式也可以用来表示微分表达式，它的函数形式如下：f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…该函数的导数是多项式的系数的变化，它可以用来求出函数的斜率。
对于勒让德多项式，为了求得它的导数，可以采用微积分的方法。
该方法可以帮助我们求出多项式的导数。
具体的，我们可以把勒让德多项式的函数式化为整数多项式，然后依次进行微积分计算，以获得该多项式的微分表达式。
例如，当x = 1时，从勒让德多项式可推算出其函数式为：f（x）=3+2x+x2+x3因此，对于上述函数，可以得出其导数为：f′（x）=2+2x+3x2从上面得出的结果可以看出，我们可以通过微积分的方法来解决勒让德多项式的微分表达式。
而勒让德多项式的应用广泛，它可以用于近似求解各种二阶和三阶的微分方程。
在物理学、机械工程、计算机科学等领域都可以使用勒让德多项式进行运算。
总之，勒让德多项式是一种有特殊含义的多项式，用于表示微分表达式。
它可以用来求解一些复杂的方程，并有在数学领域及其他许多领域的广泛应用。
第9章勒让德多项式
(2n 2)! n , 2 ( n 1)!( n 2)!
(n 2)(n 3) (2n 2)! an4 n 4(2n 3) 2 ( n 1)!( n 2)!
( n 2)( n 3)(2n 2)(2n 3)(2n 4) 4 2n (2n 3)( n 1)( n 2)!( n 2)( n 3)( n 4)!
(9.6)
n( n 1)( n 2) 3 ( n 1)( n 3)( n 2)( n 4) 5 y2 x x x , (9.7) 3! 5!
江西理工大学理学院
也都是方程(9.1)的解，显然在 a0 0, a1 0 的情况下， 它们是线性无关的. 如果开始时取 c 1 ，重复前面的做法，所得的 级数解就是 y2 从系数的递推公式(9.4)容易证明这两个组数的
ak 2
取
( k c )( k c 1) n( n 1) ak ( k c 1)( k c 2)
即有
( k 0,1, 2,),
c0
ak 2
( k n)( k n 1) ak ( k 2)( k 1)
( k 0,1, 2,). （9.4）
( 1)
a , 0
……………………
江西理工大学理学院
令k 1, 3, 5,, 2i 1,
则有
n( n 1)( n 2) a3 a1 , 3!
2
a5 ( 1)
( n 1)( n 3)( n 2)( n 4) 5!
a1 ,
……………………
a
2i 1
这便是级数(9.2)的系数间应满足的递推公式. 令
勒让德(legendre)多项式及其性质
勒让德（legendre）多项式及其性质一．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：其中为非负实数（1.1）它的幂级数解如下：（1.2）其中：（1.3）（1.4）由达朗贝尔判别法可知，当不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，与可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当取非负整数时，和中有一个便退化为次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数，所得的多项式称为阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作，下面我们来推导勒让德多项式的表达式。
1 当为正偶数时退化为次多项式。
为求得的表达式，在中我们通过来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：（1.5）在（1.5）式中取，得：（1.6）习惯上取为（1.7）于是有：（1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得：（1.9）一般地，我们有（）（1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的记作，可得：（1.11）这就是当为正偶数时勒让德多项式。
2 当为正奇数时退化为次多项式，我们把记作，同理可得：（1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得（1.13）其中表示的整数部分由上述讨论可知，当为非负整数时，和中有一个是阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：（1.14）特别当时，由（1.11）和（1.12）式得：它们的图形如下：二．勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数：试将函数（1.15）展开成的幂级数（1.16）可以证明级数展开式中的系数恰好是勒让德多项式，最终得到（1.17）因此称为勒让德多项式的母函数。
二元勒让德多项式
二元勒让德多项式引言在数学中，勒让德多项式是一类重要的正交多项式，它们在微积分、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
除了一元勒让德多项式外，还有一种特殊的多项式——二元勒让德多项式，它们与一般的勒让德多项式有着一些不同之处，这使得它们在某些问题的求解中起到关键作用。
二元勒让德多项式的定义二元勒让德多项式是指满足以下两个条件的多项式： 1. 该多项式在单项中只包含两个变量。
2. 该多项式是在单位圆内的一个可积分函数的投影上的正交基。
二元勒让德多项式的表示形式二元勒让德多项式可以用下面的形式表示： [ P_{n,m}(x,y)=[(x2+y2-1)^n] ] 其中，( P_{n,m}(x,y) )是二元勒让德多项式，( x )和( y )是两个自变量，( n )和( m )是非负整数，( )是对多元函数( (x2+y2-1)^n )求偏导数的符号表示。
二元勒让德多项式的性质二元勒让德多项式具有以下几个重要的性质：正交性质对于不同的 ( n ) 和 ( m )，二元勒让德多项式满足正交性质： [ {-1}^1 {-1}^1P_{n,m}(x,y)P_{k,l}(x,y)dxdy=0 ] 当且仅当 ( n k ) 或 ( m l ) 时成立。
完备性二元勒让德多项式是完备的，即对于任意定义在单位圆内可积函数( f(x,y) )，都可以通过二元勒让德多项式展开： [ f(x,y)={n=0}^{m=0}^a_{n,m}P_{n,m}(x,y) ]其中，( a_{n,m} ) 是展开系数。
递推关系二元勒让德多项式满足递推关系： [ (n+1)(n+2)P_{n+2,m}(x,y)-(2n+2m+3)P_{n+1,m}(x,y)+(n+m+1)(m+1)P_{n,m}(x,y)=0 ][ (m+1)(m+2)P_{n,m+2}(x,y)-(2n+2m+3)P_{n,m+1}(x,y)+(n+1)(n+2)P_{n,m}(x,y)=0 ]二元勒让德多项式的应用二元勒让德多项式在微积分、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
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这样一来，的展开式中只剩下两项，即
(9.14)
系数固然也可以用上面的公式进行计算，不过这样做比较麻烦，下面我
们用别的方法来确定.
由于的最高次项的系数为，比较(9.14)两端最高次项的系数，得
由此得到
在(9.14)中令，由于，可得
即
(9.15)
用分离变量法来解，令代入原方程，得
或
从而得到
(9.16)
(9.17)
将常数写成，则方程(9.17)就是(7.17)当的特例，所以它就是勒让德方程.
它的通解为
由问题的物理意义，函数应是有界的，从而也应有界.由9.2中的结论可
知，只有当为整数时，它在区间内才有界解而方程(9.16)的通解为
要使有界，必须也有界，故即
用叠加原理得到原问题的解为
(9.18)
由(9.15)中的边界条件得
(9.19)
若在(9.19)中以代替，则得
由于
比较这两式的右端可得
因此所求定解问题的解为
(9.19)中的系数当然也可以用公式(9.12)来计算，读者自己可按这个公式
计算一遍.
9.4 连带的勒让德多项式
在7.2中我们已经指出过，若调和函数与有关，则通过对拉普拉斯方 程进行分离变量便引出连带的勒让德方程(7.17)或(7.18)，在(7.18)中将 未知函数换成即得
……………… 为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式，并且使所得的多项式在处 取的值等于1（见习题九中第1题），我们取为 从而相应地有 一般言之，当时，我们有： 如果是正偶数时，将这些系数代入(9.6)得到 如果是正奇数时，将上面的表达式代入(9.7)式得到 把这两个多项式写成统一的形式，得
(9.8) 其中 这个多项式称为次的勒让德多项式（或称为第一类勒让德函数）.
…………………… …………………… 令分别得 …………………… 将这些值代入级数(9.2)，便得
(9.5) 其中是两个任意常数，由于方程是齐次的，所以函数
（9.6） （9.7） 也都是方程(9.1)的解，显然在的情况下，它们是线性无关的. 如果开始时取，重复前面的做法，所得的级数解就是.这里不再赘 述，读者可自己验算. 从系数的递推公式(9.4)容易证明这两个组数的收敛半径都为1，故在 内(9.5)式即为方程(9.1)的通解.
由(9.9)式并运用分部积分法可得 但以为重零点，所以，于是得 重复运用分部积分法，可得 作代换，则 因而
(9.10) 有了（9.10）式，我们就可以讨论函数按勒让德多项式展开的问题 了.设函数满足第五章所述按固有函数展开的条件，则可以表示为
(9.11) 为了求出系数在(9.11)式两端同乘并在区间上积分，得 所以
(9.24) 利用(9.24)和正交完备性，我们就可以把一个函数展成连带勒让德多项 式的级数.
习题七
1、证明：
2、证明： 3、若 证明 4、证明 5、证明 6、验证满足勒让德方程. 7、在半径为1的球内求调和函数，使 8、在半径为1的球内求调和函数，已知在球面上 9、在半径为1的球的外部求调和函数，使
1、 2、 5、 6、 7、
习题四 习题五
8、 习题七
1、 2、 3、
1、 4、 5、 10、 11、 12、 13、 17、 18、
非齐次方程的解为
7、 8、 9、
习题八 习题九
(9.12) 把代入(9.11)式，便得的展开式.
如果在(9.11)与(9.12)中令，则这两个式子可写成 例1 将函数 ， 按勒让德多项式展开为无穷级数. 解 利用前面勒让德多项式的表达式及公式(9.12)得
…………………… 所以 例2 求证勒让德多项式的递推公式：
(9.13) 证明 为了证明公式(9.13)，我们将函数展成勒让德多项式的级数.设 其中 由于是次多项式，所以它的展开式中不可能包含高于次的多项式，即当 时，.同时，利用分部积分法，可得
特别是，当时，分别有
图9-1
它们的图形如9-1所示. 为了后面应用起来方便，我们可将写成 （9.9）
的形式，(9.9)式称为勒让德多项式的罗德利克(Rodrigues)表达式.要验证 这个公式，只需要用到计算两个函数乘积的高阶导数的莱布尼兹 （Leibnitz）公式： 读者自己应用这个公式去证一下.
上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零， 上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零，在上式第二个或式中 令，便得到的乘幂的系数，然后令它等于零，即 由此得或.为了得到一般项系数的表达式，我们把(9.3)写成如下形式 于是由一般项的系数等于零，得到递推公式 取，得
（9.4） 这便是级数(9.2)的系数间应满足的递推公式.令，分别得
(9.20) 其中是正整数，现在我们来寻求这个方程的解.
在勒让德方程 的两端对微分次，便得
(9.21) 但 令数则有
代入(9.22)并化简得到 由此可见，当是整数时，函数
(9.23) 是连带的勒让德方程(9.20)的解，这个解以表示，即 我们称它为次阶的连带勒让德多项式.从施特姆-刘维尔理论可知，连带 的勒让德多项式在区间上也构成正交完备系.经过计算（参阅A.Ⅱ.萨波 洛夫斯基著：《特殊函数》，还可以得到
综合上述，可得如下结论： 当不是整数时，方程(9.1)的通解为，其中分别由(9.6)和(9.7)确定，而 且它们在闭区间上是无界的，所以此时方程(7.1)在上无有界的解. 当为整数时，在适当选定之后，中有一个是勒让德多项式，另一个 仍是无穷级数，记作，此时方程(9.1)的通解为
其中称为第二类勒让德函数，它在闭区间 上仍是无界的（因时，）.
习题答案
习题三
1、 2、 3、其中u(x,t)是纵向位移，（E一杨氏模量，—杆的密度）. 4、
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 其中 9、 10、 11、 其中的二次积分. 12、 13、 14、 15、 其中由 确定，且 16、 其中 确定. 17、 18、 19、 20、 其中
第9章 勒让德多项式
本章我们来讨论在章所建立的勒让德方程的解法，以及解的性质， 这个解构成了另一类特殊函数.
9.1 勒让德方程的求解
把7.2中的勒让德方程写成如下的形式 (9.1)
其中为任意实数. 如同求贝塞尔方程的解一样，设(9.1)的解为 （9.2）
求上式的导数，并与(9.2)一起代入(9.1)得 （9.3）
9.3 函数展成勒让德多项的级数
在应用勒让德多项式解决数学物理方程的定解问题时，需要将给定 在区间内的函数按勒让德多项式展开为无穷有数.根据施特姆-刘维尔理 论，勒让德多项式族：在上是正交完备的.因此这样展开是允许的.为了 计算展开式中的系数，和贝塞尔函数的情形一样，必须先求出勒让德多 项式模值的平方
9.2 勒让德多项式
上面我们求出了方程(9.1)的解，并且从(9.6)与(9.7)可以看出，当不是 整数时，都是无穷级数，在内它们都绝对收敛，可以证明在时发散，且 当时，与均趋于.
当是整数时，则或者便成为多项式，例如是正偶数（或负奇数）时 是n次多项式，而当是正奇数（或负偶数）时，是次多项式，在实际运 用中，这种特殊情况常常出现，现在我们就来给出这个多项式的表达 式. 于是可以通过多项式的最高次项系数来表示其他各次项的系数.
将代入(9.14)中，得到
这就是所要证明的递推公式(9.13).这个公式告诉我们，当已知时，即可
由它们求出，这对于计算勒让德多项式的函数值有重要的意义.
例3 球形域内的电位分布
在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足
解 根据边界条件的形式，可以推知，所求的调和函数只与两个变量有
关，而与变量无关，因此，所提的问题可归结为下列定解问题：