数学物理方程学习指导书 第9章 勒让德多项式
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1、 2、 5、 6、 7、
习题四 习题五
8、 习题七
1、 2、 3、
1、 4、 5、 10、 11、 12、 13、 17、 18、
非齐次方程的解为
7、 8、 9、
习题八 习题九
……………… 为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式，并且使所得的多项式在处 取的值等于1（见习题九中第1题），我们取为 从而相应地有 一般言之，当时，我们有： 如果是正偶数时，将这些系数代入(9.6)得到 如果是正奇数时，将上面的表达式代入(9.7)式得到 把这两个多项式写成统一的形式，得
(9.8) 其中 这个多项式称为次的勒让德多项式（或称为第一类勒让德函数）.
习题答案
习题三
1、 2、 3、其中u(x,t)是纵向位移，（E一杨氏模量，—杆的密度）. 4、
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 其中 9、 10、 11、 其中的二次积分. 12、 13、 14、 15、 其中由 确定，且 16、 其中 确定. 17、 18、 19、 20、 其中
综合上述，可得如下结论： 当不是整数时，方程(9.1)的通解为，其中分别由(9.6)和(9.7)确定，而 且它们在闭区间上是无界的，所以此时方程(7.1)在上无有界的解. 当为整数时，在适当选定之后，中有一个是勒让德多项式，另一个 仍是无穷级数，记作，此时方程(9.1)的通解为
其中称为第二类勒让德函数，它在闭区间 上仍是无界的（因时，）.
(9.12) 把代入(9.11)式，便得的展开式.
如果在(9.11)与(9.12)中令，则这两个式子可写成 例1 将函数 ， 按勒让德多项式展开为无穷级数. 解 利用前面勒让德多项式的表达式及公式(9.12)得
…………………… 所以 例2 求证勒让德多项式的递推公式：
(9.13) 证明 为了证明公式(9.13)，我们将函数展成勒让德多项式的级数.设 其中 由于是次多项式，所以它的展开式中不可能包含高于次的多项式，即当 时，.同时，利用分部积分法，可得
由(9.9)式并运用分部积分法可得 但以为重零点，所以，于是得 重复运用分部积分法，可得 作代换，则 因而
(9.10) 有了（9.10）式，我们就可以讨论函数按勒让德多项式展开的问题 了.设函数满足第五章所述按固有函数展开的条件，则可以表示为
(9.11) 为了求出系数在(9.11)式两端同乘并在区间上积分，得 所以
9.3 函数展成勒让德多项的级数
在应用勒让德多项式解决数学物理方程的定解问题时，需要将给定 在区间内的函数按勒让德多项式展开为无穷有数.根据施特姆-刘维尔理 论，勒让德多项式族：在上是正交完备的.因此这样展开是允许的.为了 计算展开式中的系数，和贝塞尔函数的情形一样，必须先求出勒让德多 项式模值的平方
…………………… …………………… 令分别得 …………………… 将这些值代入级数(9.2)，便得
(9.5) 其中是两个任意常数，由于方程是齐次的，所以函数
（9.6） （9.7） 也都是方程(9.1)的解，显然在的情况下，它们是线性无关的. 如果开始时取，重复前面的做法，所得的级数解就是.这里不再赘 述，读者可自己验算. 从系数的递推公式(9.4)容易证明这两个组数的收敛半径都为1，故在 内(9.5)式即为方程(9.1)的通解.
特别是，当时，分别有
图9-1
它们的图形如9-1所示. 为了后面应用起来方便，我们可将写成 （9.9）
的形式，(9.9)式称为勒让德多项式的罗德利克(Rodrigues)表达式.要验证 这个公式，只需要用到计算两个函数乘积的高阶导数的莱布尼兹 （Leibnitz）公式： 读者自己应用这个公式去证一下.
第9章 勒让德多项式
本章我们来讨论在章所建立的勒让德方程的解法，以及解的性质， 这个解构成了另一类特殊函数.
9.1 勒让德方程的求解
把7.2中的勒让德方程写成如下的形式 (9.1)
其中为任意实数. 如同求贝塞尔方程的解一样，设(9.1)的解为 （9.2）
求上式的导数，并与(9.2)一起代入(9.1)得 （9.3）
将代入(9.14)中，得到
这就是所要证明的递推公式(9.13).这个公式告诉我们，当已知时，即可
由它们求出，这对于计算勒让德多项式的函数值有重要的意义.
例3 球形域内的电位分布
在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足
解 根据边界条件的形式，可以推知，所求的调和函数只与两个变量有
关，而与变量无关，因此，所提的问题可归结为下列定解问题：
当时，因此可知 此外，由(9.6)与(9.7)可见，是的奇函数，故有
这样一来，的展开式中只剩下两项，即
(9.14)
系数固然也可以用上面的公式进行计算，不过这样做比较麻烦，下面我
们用别的方法来确定.
由于的最高次项的系数为，比较(9.14)两端最高次项的系数，得
由此得到
在(9Βιβλιοθήκη Baidu14)中令，由于，可得
即
(9.24) 利用(9.24)和正交完备性，我们就可以把一个函数展成连带勒让德多项 式的级数.
习题七
1、证明：
2、证明： 3、若 证明 4、证明 5、证明 6、验证满足勒让德方程. 7、在半径为1的球内求调和函数，使 8、在半径为1的球内求调和函数，已知在球面上 9、在半径为1的球的外部求调和函数，使
(9.15)
用分离变量法来解，令代入原方程，得
或
从而得到
(9.16)
(9.17)
将常数写成，则方程(9.17)就是(7.17)当的特例，所以它就是勒让德方程.
它的通解为
由问题的物理意义，函数应是有界的，从而也应有界.由9.2中的结论可
知，只有当为整数时，它在区间内才有界解而方程(9.16)的通解为
要使有界，必须也有界，故即
9.2 勒让德多项式
上面我们求出了方程(9.1)的解，并且从(9.6)与(9.7)可以看出，当不是 整数时，都是无穷级数，在内它们都绝对收敛，可以证明在时发散，且 当时，与均趋于.
当是整数时，则或者便成为多项式，例如是正偶数（或负奇数）时 是n次多项式，而当是正奇数（或负偶数）时，是次多项式，在实际运 用中，这种特殊情况常常出现，现在我们就来给出这个多项式的表达 式. 于是可以通过多项式的最高次项系数来表示其他各次项的系数.
上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零， 上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零，在上式第二个或式中 令，便得到的乘幂的系数，然后令它等于零，即 由此得或.为了得到一般项系数的表达式，我们把(9.3)写成如下形式 于是由一般项的系数等于零，得到递推公式 取，得
（9.4） 这便是级数(9.2)的系数间应满足的递推公式.令，分别得
用叠加原理得到原问题的解为
(9.18)
由(9.15)中的边界条件得
(9.19)
若在(9.19)中以代替，则得
由于
比较这两式的右端可得
因此所求定解问题的解为
(9.19)中的系数当然也可以用公式(9.12)来计算，读者自己可按这个公式
计算一遍.
9.4 连带的勒让德多项式
在7.2中我们已经指出过，若调和函数与有关，则通过对拉普拉斯方 程进行分离变量便引出连带的勒让德方程(7.17)或(7.18)，在(7.18)中将 未知函数换成即得
(9.20) 其中是正整数，现在我们来寻求这个方程的解.
在勒让德方程 的两端对微分次，便得
(9.21) 但 令 则(9.21)可化成
(9.22) 若再引入新函数则有
代入(9.22)并化简得到 由此可见，当是整数时，函数
(9.23) 是连带的勒让德方程(9.20)的解，这个解以表示，即 我们称它为次阶的连带勒让德多项式.从施特姆-刘维尔理论可知，连带 的勒让德多项式在区间上也构成正交完备系.经过计算（参阅A.Ⅱ.萨波 洛夫斯基著：《特殊函数》，还可以得到
习题四 习题五
8、 习题七
1、 2、 3、
1、 4、 5、 10、 11、 12、 13、 17、 18、
非齐次方程的解为
7、 8、 9、
习题八 习题九
……………… 为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式，并且使所得的多项式在处 取的值等于1（见习题九中第1题），我们取为 从而相应地有 一般言之，当时，我们有： 如果是正偶数时，将这些系数代入(9.6)得到 如果是正奇数时，将上面的表达式代入(9.7)式得到 把这两个多项式写成统一的形式，得
(9.8) 其中 这个多项式称为次的勒让德多项式（或称为第一类勒让德函数）.
习题答案
习题三
1、 2、 3、其中u(x,t)是纵向位移，（E一杨氏模量，—杆的密度）. 4、
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 其中 9、 10、 11、 其中的二次积分. 12、 13、 14、 15、 其中由 确定，且 16、 其中 确定. 17、 18、 19、 20、 其中
综合上述，可得如下结论： 当不是整数时，方程(9.1)的通解为，其中分别由(9.6)和(9.7)确定，而 且它们在闭区间上是无界的，所以此时方程(7.1)在上无有界的解. 当为整数时，在适当选定之后，中有一个是勒让德多项式，另一个 仍是无穷级数，记作，此时方程(9.1)的通解为
其中称为第二类勒让德函数，它在闭区间 上仍是无界的（因时，）.
(9.12) 把代入(9.11)式，便得的展开式.
如果在(9.11)与(9.12)中令，则这两个式子可写成 例1 将函数 ， 按勒让德多项式展开为无穷级数. 解 利用前面勒让德多项式的表达式及公式(9.12)得
…………………… 所以 例2 求证勒让德多项式的递推公式：
(9.13) 证明 为了证明公式(9.13)，我们将函数展成勒让德多项式的级数.设 其中 由于是次多项式，所以它的展开式中不可能包含高于次的多项式，即当 时，.同时，利用分部积分法，可得
由(9.9)式并运用分部积分法可得 但以为重零点，所以，于是得 重复运用分部积分法，可得 作代换，则 因而
(9.10) 有了（9.10）式，我们就可以讨论函数按勒让德多项式展开的问题 了.设函数满足第五章所述按固有函数展开的条件，则可以表示为
(9.11) 为了求出系数在(9.11)式两端同乘并在区间上积分，得 所以
9.3 函数展成勒让德多项的级数
在应用勒让德多项式解决数学物理方程的定解问题时，需要将给定 在区间内的函数按勒让德多项式展开为无穷有数.根据施特姆-刘维尔理 论，勒让德多项式族：在上是正交完备的.因此这样展开是允许的.为了 计算展开式中的系数，和贝塞尔函数的情形一样，必须先求出勒让德多 项式模值的平方
…………………… …………………… 令分别得 …………………… 将这些值代入级数(9.2)，便得
(9.5) 其中是两个任意常数，由于方程是齐次的，所以函数
（9.6） （9.7） 也都是方程(9.1)的解，显然在的情况下，它们是线性无关的. 如果开始时取，重复前面的做法，所得的级数解就是.这里不再赘 述，读者可自己验算. 从系数的递推公式(9.4)容易证明这两个组数的收敛半径都为1，故在 内(9.5)式即为方程(9.1)的通解.
特别是，当时，分别有
图9-1
它们的图形如9-1所示. 为了后面应用起来方便，我们可将写成 （9.9）
的形式，(9.9)式称为勒让德多项式的罗德利克(Rodrigues)表达式.要验证 这个公式，只需要用到计算两个函数乘积的高阶导数的莱布尼兹 （Leibnitz）公式： 读者自己应用这个公式去证一下.
第9章 勒让德多项式
本章我们来讨论在章所建立的勒让德方程的解法，以及解的性质， 这个解构成了另一类特殊函数.
9.1 勒让德方程的求解
把7.2中的勒让德方程写成如下的形式 (9.1)
其中为任意实数. 如同求贝塞尔方程的解一样，设(9.1)的解为 （9.2）
求上式的导数，并与(9.2)一起代入(9.1)得 （9.3）
将代入(9.14)中，得到
这就是所要证明的递推公式(9.13).这个公式告诉我们，当已知时，即可
由它们求出，这对于计算勒让德多项式的函数值有重要的意义.
例3 球形域内的电位分布
在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足
解 根据边界条件的形式，可以推知，所求的调和函数只与两个变量有
关，而与变量无关，因此，所提的问题可归结为下列定解问题：
当时，因此可知 此外，由(9.6)与(9.7)可见，是的奇函数，故有
这样一来，的展开式中只剩下两项，即
(9.14)
系数固然也可以用上面的公式进行计算，不过这样做比较麻烦，下面我
们用别的方法来确定.
由于的最高次项的系数为，比较(9.14)两端最高次项的系数，得
由此得到
在(9Βιβλιοθήκη Baidu14)中令，由于，可得
即
(9.24) 利用(9.24)和正交完备性，我们就可以把一个函数展成连带勒让德多项 式的级数.
习题七
1、证明：
2、证明： 3、若 证明 4、证明 5、证明 6、验证满足勒让德方程. 7、在半径为1的球内求调和函数，使 8、在半径为1的球内求调和函数，已知在球面上 9、在半径为1的球的外部求调和函数，使
(9.15)
用分离变量法来解，令代入原方程，得
或
从而得到
(9.16)
(9.17)
将常数写成，则方程(9.17)就是(7.17)当的特例，所以它就是勒让德方程.
它的通解为
由问题的物理意义，函数应是有界的，从而也应有界.由9.2中的结论可
知，只有当为整数时，它在区间内才有界解而方程(9.16)的通解为
要使有界，必须也有界，故即
9.2 勒让德多项式
上面我们求出了方程(9.1)的解，并且从(9.6)与(9.7)可以看出，当不是 整数时，都是无穷级数，在内它们都绝对收敛，可以证明在时发散，且 当时，与均趋于.
当是整数时，则或者便成为多项式，例如是正偶数（或负奇数）时 是n次多项式，而当是正奇数（或负偶数）时，是次多项式，在实际运 用中，这种特殊情况常常出现，现在我们就来给出这个多项式的表达 式. 于是可以通过多项式的最高次项系数来表示其他各次项的系数.
上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零， 上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零，在上式第二个或式中 令，便得到的乘幂的系数，然后令它等于零，即 由此得或.为了得到一般项系数的表达式，我们把(9.3)写成如下形式 于是由一般项的系数等于零，得到递推公式 取，得
（9.4） 这便是级数(9.2)的系数间应满足的递推公式.令，分别得
用叠加原理得到原问题的解为
(9.18)
由(9.15)中的边界条件得
(9.19)
若在(9.19)中以代替，则得
由于
比较这两式的右端可得
因此所求定解问题的解为
(9.19)中的系数当然也可以用公式(9.12)来计算，读者自己可按这个公式
计算一遍.
9.4 连带的勒让德多项式
在7.2中我们已经指出过，若调和函数与有关，则通过对拉普拉斯方 程进行分离变量便引出连带的勒让德方程(7.17)或(7.18)，在(7.18)中将 未知函数换成即得
(9.20) 其中是正整数，现在我们来寻求这个方程的解.
在勒让德方程 的两端对微分次，便得
(9.21) 但 令 则(9.21)可化成
(9.22) 若再引入新函数则有
代入(9.22)并化简得到 由此可见，当是整数时，函数
(9.23) 是连带的勒让德方程(9.20)的解，这个解以表示，即 我们称它为次阶的连带勒让德多项式.从施特姆-刘维尔理论可知，连带 的勒让德多项式在区间上也构成正交完备系.经过计算（参阅A.Ⅱ.萨波 洛夫斯基著：《特殊函数》，还可以得到