4二元关系和函数

A B 1, a,1,b,2, a,2,b
A BC 1,a,,1,a, ,1,b,,1,b, ,2,a,,2,a, ,2,b,,2,b,
A A 1,1,1,2,2,1,2,2
记A A A An
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定理 若 C≠Ø，则
A B（AC BC） （CACB）
定理 设 A，B，C，D 为四个非空集合， 则 ABCD 的充要条件为 AC，BD。
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4.2关系及运算——关系
Sets 集合
关系在日常生活中无处不在， 我们熟知的一些常见的关系刻划着事物的结构。
4.1笛卡儿积与二元关系
Sets 集合
在现实社会中有许多事物是成对出现
的，而且其中的两个事物是有一定次序
的，例如
一双鞋子有左右只，
影剧院的坐号的表示（排号）
平面上点的表示…，等，
概括起来，数学上用两个有次序的元素
组成一个称之为序偶的结构就可以表示
现实世界中那种成对出现而且有一定次
序关系的事物
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直积不具有交换率
例设
试求A×B和B×A
由此得
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
多重直积
A1 A2 An = ( A1 A2 An1) An
={ x1, x2 , , xn | x1 A1 x2 A2 xn An} 例 A={1，2} B={a，b} C={α，β}
1.<x,<y,z>>不是一个三元组,只是一个序偶 2.四、五元组类似定义 3.n元组 n元组是一个序偶，其第一元素为（n-1） 元组可形式化表示为：
x1, x2 , , xn1 , xn
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
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4.1笛卡儿积与二元关系——序偶
Sets 集合
序偶
两个具有固定次序的客体组成的集合，记作：<x,y>
1.序偶可看作是具有两个元素组成的集合，即<x,y>={{x},{x,y}}。 2.序偶刻画了两个客体间的次序,它并不表示由两个元素组成的集合
Sets 集合
例 上面例3所有指令的集合构成一个操作码与指令 码集合的笛卡儿积A×B
例 平面上直角坐标中的所有点可用笛卡儿乘积表示
R R x, y | x R, y R (R为实数集)
例 一天内的时间可用×时×分表示， 它们的全体可用笛卡儿乘积表示
A B a,b | a R,b R
其中 A 0,1,2..... 23, B 0,1,..... 59
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
定理 设A，B，C为任意三个集合，则有 a) A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）； b) A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）； c)（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C）； d)（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）。
例设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅客，所以
一共可住2n个旅客。在旅馆内，旅客与房间有一定的关
系，我们讨论关系“某旅客住在某房间”，用R表示这
种关系，设n=3旅客分别为a,b,c,d,e,f 旅客住房间用表
示:
a 1
b
a与1间存在关系R记aR1 b与1间存在关系R记bR1
c
c与2间存在关系R记cR2
<x,y>≠<y,x>; {x,y}={y,x} 3.序偶中的元素分别称为的第一客体与第二客体 4.序偶只有当其两个客体相同且次序相同时才相等 5.序偶的元素可分别来自两个集合，它们可以代表不同类型的事物，
但次序确定
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例3 A为操作码集合，B为指令码集合，对a∈A，b∈B， 则<a,b>为一序偶，表示一条地址指令
有序对 <x,y>不是由两个元素组成的集合 {x,y}
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4.1笛卡儿积与二元关系——序偶
Sets 集合
三元组
三元组<a,b,c>是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶， 可形式化表示为<<x,y>，z>.
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
例 计算机内的字是由固定的n个有序二进位所组成， 它的全体可以表示成n重有序组形式
An A A A ... A a1, a2 ,...an / ai A,i 1,2,,3.....n
其中、 A 0,1
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2 d
d与2间存在关系R记dR2
e 3
e与3间存在关系R记eR3
f
e与3间存在关系R记eR3
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4.2关系及运算——关系
Sets 集合
①满足的关系可看成是一个有序偶：(p,q) 如aR1可写成有序偶： (a,1)
②满足R的所有关系可看成是一个有序偶的集合，这个集叫R，即
R a,1b,1c,2d,2e,3 f ,3
Sets 集合
笛卡尔积
设A和B是任意两个集合，若序偶的第一成员是A的元素，
第二成员是B的元素，所有这样序偶的集合，称为集合A与
B的笛卡尔积（直积），
记作
A B a,b | a A,bB
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
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4.1笛卡儿积与二元关系——序偶
Sets 集合
例1 A={1，2，……，24} ，B={1，2，……，60} ， 对a∈A，b∈B，则<a,b>为一序偶，表示几点几分。
例2 在笛卡儿坐标系中，平面上点的坐标（x，y） 就是有序对。 （1，2） ， （2，1）代表不同的点。 （1，1） ， （2，2）代表点（ 允许 x=y）