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第一章随机事件及其概率习题1-1 随机事件及其运算1.写出下列随机试验的样本空间.(1)同时抛两枚硬币，观察正面朝上的次数；解 {}10,1,2Ω=(2)同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和；解 {}22,3,,12Ω=(3)生产产品直到得到10件正品为止，记录生产产品的总件数；解 {}310,11,Ω=(4)在某十字路口上，一小时内通过的机动车辆数. 解 {}40,1,2,Ω=2.设,,A B C 为3个随机事件，试用,,A B C 的运算表示下列事件. (1) ,A B 都发生而C 不发生；ABC(2),A B 至少有一个发生而C 不发生；()A B C (3),,A B C 都发生或都不发生； ()()ABC ABC (4) ,,A B C 恰有两个发生； ABC ABC ABC (5) ,,A B C 至少有两个发生. AB AC BC 3.请用语言描述下列事件的对立事件： (1)A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”；解 A 表示“抛两枚硬币，至少出现一个反面”； (2)B 表示“生产4个零件，至少有一个合格”；解 B 表示“生产4个零件，全都不合格”.4.从一批灯泡中任取4个进行检验，设i A 表示“第i 个灯泡的使用寿命在800小时（含800小时）以上”.试用语言描述下列随机事件： (1) 1234A A A A ； (2) 1234A A A A ；解 (1)表示4个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在800小时以上.（2）表示第1、第4两个灯泡的使用寿命在800小时以上，而第2、第4两个灯泡的使用寿命不足800小时.5设Ω为随机试验的样本空间，,A B 为随机事件，且{}05x x Ω=≤≤，{}12A x x =≤≤，{}02B x x =≤≤.试求：,,,A B AB B A A - .解利用集合的运算性质可得{}02A B x x =≤≤ ； {}12AB x x =≤≤{}01B A x x -=≤<； {}0125A x x x =≤<<≤或习题1-2 随机事件的频率与概率古典概型与几何概型1.设()()()0.7,0.6,0.3P A P B P A B ==-=，求()()(),,P AB P A B P AB . 解由于()()()0.3P A B P A P AB -=-=，而()0.7P A =，则()0.4P AB =所以 ()()10.6P AB P AB =-= ； ()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=()()()10.1P AB P A B P A B ==-=2.设事件,A B 及和事件A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6，试求()P AB 解()()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B P A B =-=-+-⎡⎤⎣⎦()()0.60.30.3P A B P B =-=-=3.已知()()()()()()11,,14,112,036P A P B P C P AC P BC P AB ======，求:(1),,A B C 至少有一个发生的概率；(2),,A B C 全不发生的概率.解因为AB ABC ⊂，所以有()()0=≤AB P ABC P ，所以,,A B C 至少有一个发生的概率()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+12701211210416131=+---++=. ,,A B C 全不发生的概率()()()75111212P ABC P A B C P A B C ==-=-=4.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率：(1)A 表示“任取3个盒子中各有一个球”； (2)B 表示“任取1个盒子中有3个球”.解 (1)基本事件总数3464n ==,A 包含的基本事件数343!24A r C =⋅=，()243648A r P A n ===. (2) 基本事件总数3464n ==,B 包含的基本事件数144B r C ==，()416416B r P B n===5.从0,1,…,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)3个数字中不含0与5的概率；(2)3个数字中不含0或5的概率.解设A 表示“3个数字中不含0与5”; B 表示“3个数字中不含0或5”.基本事件总数310n C =,其中A 包含的基本事件数38A r C =,则()38310715C P A C ==;B 包含的基本事件数333998B r C C C =+-,()339831021415C C P A C -==6.袋中有7个球，其中红球5个，白球2个，从袋中取球两次，每次随机地取一个球，取后不放回，求：(1)第一次取到白球、第二次取到红球的概率； (2)两次取得一红球一白球的概率.解设A 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”，设B 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”.(1)基本事件总数7642n =⨯=,A 包含的基本事件数2510A r =⨯=，于是 ()1054221A r P A n ===. (2)基本事件总数7642n =⨯=,“两次取得一红球一白球”有两种情形：其一，第一次取得红球第二次取得白球，有52⨯种取法；其二，第一次取得白球，第二次取得红球，有25⨯种取法，于是B 包含的基本事件数522520B r =⨯+⨯=，故 ()20104221B r P B n === 7.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，求能打开门的概率.解设A 表示“任取2把能打开门”，基本事件总数210n C =，A 包含的基本的事件数为112373A r C C C =+，则()122373210815A C C C r P A n C +===习题1-3 条件概率1.设()0.5P A =，()0.3P AB =，求()P B A .解由()()10.5P A P A =-=，()()()0.3P AB P A P AB =-=，得()0.2P AB =，则()()()0.20.40.5P AB P B A P A ===2.设()13P A =，()14P B A =，()13P A B =，求()()()()()()()()B A P B P AB P AB P 43,2,1. 解 ()()()1113412P AB P A P B A ==⨯=，()()121112111=-=-=AB P AB P由 ()()()13P AB P A B P B ==，得()14P B =，则()()()()()()()()[]()3241112141311111=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-=--+-=-⋃==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P 3.100件同类型产品中有85件一等品，10件二等品和5件次品，求从中任取一件非次品的条件下，产品为一等品的概率.解设A 表示“任取一件为非次品”，B 表示“任取一件为一等品” 由题意得：()()0.95,0.85,P A P B B A ==⊂， ()()()()()0.85170.9519P AB P B P B A P A P A ====4.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95，求全部产品中的合格率.解设i A 表示“从全部产品中任取一件为第台i 机床生产”（1,2,3i =），B 表示“从全部产品中任取一件是合格品”，则()()()1230.5,0.3,0.2P A P A P A ===，()10.94P B A =，()20.9P B A =，()30.95P B A =，由全概率公式得，()()()30.50.940.30.90.20.950.93i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑5.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%，它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？解设1A 表示“任取一件产品为第i 台机器生产”（1,2,3i =），B 表示“任取一件产品，它是次品”，则()()()12325%,35%,40%P A P A P A ===，()15%P B A =，()24%P B A =，()32%P B A =，由全概率公式得()()()325%5%35%4%40%2%0.0345i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑再由贝叶斯公式得 ()()()()11125%5%0.36230.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈()()()()22235%4%0.40580.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈，()()()()33340%2%0.23190.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.习题1-4 事件的独立性 1.设()()0.4,0.7P A P A B == ，在下列条件下分别求()P B . (1)A 与B 互不相容；(2)A 与B 相互独立；(3)A B ⊂. 解 (1)由于A 与B 互不相容，所以()()()P A B P A P B =+ ，则()()()0.3P B P A B P A =-= .（2）设A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()0.7P A P B P A P B =+-=，又()0.4P A =，即得()0.5P B =.（3）由于A B ⊂， A B B = ，即()()0.7P B P A B ==2.甲、乙两人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，求目标被击中的概率.若已知目标被击中，求它是甲射中的概率.解设1A 表示“甲命中目标”，2A 表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所求概率为()P B 和()1P A B .已知()()120.6,0.7P A P A ==，1A 与2A 相互独立，12B A A = ，则()()()()()()2212120.60.70.420.88P B P A A P A P A P A P A ==+-=+-= .()()()()()111150.681822P A B P A P A B P B P B ===≈ 3.设事件A 与B 相互独立，且事件A 发生B 不发生与事件B 发生A 不发生的概率都为41，求()A P解由题意，()()B A P B A P = 因为A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B 也相互独立()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()B P A P B P A P B P B P A P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P =⇒-=--=-==11()()()()()()()()()21412=⇒=-=-==A P A P A P B P A P A P B P A P B A P 4.有一题，甲、乙、丙三人独立解出的概率分别为111,,534，问解出此题的概率是多少？解设1A 表示“甲独立解出此题”，2A 表示“乙独立解出此题”，3A 表示“丙独立解出此题”，B 表示“此题被解出”. ()()()()12312312311P B P A A A P A A A P A A A ==-=-()()()1234233115345P A P A P A =-=-⋅⋅=.5.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1）第k 次才成功的概率；（2）n次试验中恰有k 次成功的概率.（1）{}()()()()()()11211211k k k k k P k P A A A A P A P A P A P A p p ---===- 第次才成功. (2) {}()()1n kk k n n P n k P k C p p -==-次试验恰有次成功习题1-5 第一章习题课1. 设41)(=A P ，52)(=B P ，在下列情况下，求概率)(B A P . （1）A 、B 互不相容（2）B A ⊂ （3）A 与B 独立（4）81)(=AB P 解：由分析知（1）52)()(==B P B A P (2) 2034152)()()(=-=-=A P B P B A P(3)1035243)()()(=⨯==B P A P B A P (4) 40118152)()()(=-=-=AB P B P B A P2.设()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .解 ()()()()()()11P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=-+-⎡⎤⎣⎦ 又因为()()P AB P AB =，所以有()()11P B P A p =-=- 3.从4双不同的手套中任取4只，求下列事件的概率，(1)4只没有成对； (2)4只恰好为2双.解从4双(8只)中任取4只,共有4870n C ==种,设A 表示“取到的4只没有成对”,则B 表示“取到的4只恰好为2双”,则A 的基本事件数为1111222216C C C C ⋅⋅⋅=,B 的基本事件数为624=C()11112222481687035C C C C P A C ===. ()3534824==C C B P4.有10件产品，其中8件正品，2件次品，现从中无放回地任取两次，求在第二次取得是正品条件下，第一次取得也是正品的概率.解：用A 表示“第一次取得是正品”，A 表示“第一次取到是次品”，用B 表示“第二次取得正品”所求问题为()B A P由题意知 ()()()98,97,541918191711018======C C A B P C C A B P C C A P由全概率公式()()()()()()()5498519754=⨯+⨯=+=+=B A P A P B A P A P B A P AB P B P由贝叶斯公式()()()()()()97549754=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P5.有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中2件次品，装在第一个箱中，第二批产品共有10件，其中1件次品，装在第二个箱子，从第一个箱中任取一件放入第二箱中，求再从第二箱中任取一件为次品的概率.解设1A 表示“从第一箱放入第二箱是次品”，2A 表示“从第一箱放入第二箱是正品”B 表示“从第二箱任取一件为次品”，由题意知：()()76,711141122114121====C C A P C C A P()(),111,112111112111121====C C A B P C C A B P由全概率公式()()()()()77811176112712211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P6.从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，求从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯的概率. 解：在各交通岗遇到红灯是独立的，故可以看成5重贝努里试验，4.0=p 用A 表示“从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯”()()()3456.04.014.03225=-=C A P第二章随机变量及其分布习题2-1 随机变量及其分布函数离散型随机变量的概率分布1. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2这四个值，相应的概率依次为1357,,,24816c c c c ，确定常数c ，解由归1167854321=+++c c c c ，1637=c . 2.已知离散型随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤≤≤<≤--<=3,131,8.010,6.001,3.01,0x x x x x x F ，求X 的概率分布.解 ()x F 的跳跃点分别为3,1,0,1-，对应的跳跃高度分别为2.0,2.0,3.0,3.0 故X 的概率分布为10130.30.30.20.2X p -3．已知随机变量X 的概率分布为且()432=≥X P ，求未知参数θ及X 的分布函数. 解：由归一性知，()(),111222=-+-+θθθθ且()012≥-θθ{}{}{}()()431123222=-+-==+==≥θθθX P X P X P ，解得 21,21-==θθ（舍去) X 的分布函为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,4321,411,0x x x x x F 4. 5件同类型的产品中有2件次品，3件正品，有放回的每次取一个，共取2次，求2次中取到次品的次数X 的概率分布. 解：X 的所有可能取值为2,1,0339{0}5525P X ==⨯=，233212{1}555525P X ==⨯+⨯=，224{2}5525P X ==⨯=，列表如下，0129124252525PX()()22123211X P --θθθθ5. 某电话交换台的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数超过10次的概率.解设X 表示每分钟收到的呼唤次数，则~(4)X P ，（1）448944{8}{8}{9}0.298!!∞∞--====≥-≥=-=∑∑k k k k P X P X P X e e k k （2）4114{10}0.0028!k k P X e k ∞-=>==∑ 习题2-2 连续型随机变量及其概率分布1．设随机变量X 的概率密度为cos ,,()20,k x x f x π⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它.求（1）系数k ；（2）{0}P x π<<；（3）X 的分布函数()F x .解（1）由()cos 1ππ+∞2-∞-2==⎰⎰f x dx k x dx ，得12k =；（2）2011{0}cos 22P x x dx ππ<<==⎰；（3）0,,21()=(sin 1),,2221,.2x F x x x x ππππ⎧<⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩2. 设随机变量X 的分布函数为0,0,(),01,1, 1.x F x k x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求（1）系数k ；（2）{00.25}P X ≤≤；（3）X 的概率密度()f x .解（1）连续型随机变量的分布函数是处处连续的，(),lim lim 11k x k x F x x ==++→→(),1lim 1=-→x F x 即()()1lim lim 11===-+→→k x F x F x x ；（2）()()1{00.25}0.2500.2502P X F F ≤≤=-=-=；（3）()()1,01,()20,x f x F x x⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它.3. 设随机变量~[2,5]X U ，求（1）{23}P X <≤；（2）{4}P X ≥；（3）{13}P X <≤.解（1）321{23}523P X -<≤==-；（2）541{4}523P X -≥==-；（3）321{13}523P X -<≤==-. 4. 设~(1,16)X N -，求（1）{ 2.44}P X <；（2）{ 1.5}P X >-；（3）{4}P X <；（4）{52}P X -<<.（1） 2.441{ 2.44}()(0.86)0.80514P X +<=Φ=Φ=；（2）()1.51{ 1.5}1( 1.5)1()10.125(0.125)0.54784P X P X -+>-=-≤-=-Φ=-Φ-=Φ=；（3）{4}{44}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X P X <=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=；（4）2151{52}(0.75)(1)0.614744P X +-+⎛⎫⎛⎫-<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：min ）具有概率密度51,0,()50,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；（2）若该顾客一个月内要去银行5次，用Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，求{1}P Y ≥.解（1）251{10}510x p P X e dx e -+∞-=>==⎰；（2）2~(5,)Y B e -，20255{1}1{0}1()(1)0.5167P Y Y C e e --≥=-==--≈.习题2-3 随机变量函数的分布1.设随机变量X 的分布律为210111116434X P--求 2YX =+及21Z X =-的分布律.012311116434Y P；301111623Z P-2. 设随机变量X 的分布律为02111244X Pππ求 cos Y X =的分布律.101111244Y P-3. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，求3Y X =的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≥=-0,00,22x x e x f x ，3Y X =在[)+∞,0内单调函数，反函数为()3y y h =在[)+∞,0内单调函数，导数()3231-='y y h ，值域为[)+∞,0()()132232,0,0,()30,00,0.y X Y f h y h y y y e y f y y y --⎧⎧'⋅≥⎡⎤≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨<⎪⎪⎩<⎩4. 设随机变量~[0,1]X U ，求XY e =及ln Z X =-的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=others x x f ,010,1x e y =在[]1,0是单调函数，反函数为()y y h ln =在[]e ,1是单调函数，导数为()yy h 1='，值域为[]e ,1，则Y 的密度函数为()()1,1,,1()0,0,.X Y y e f h y h y y e y f y ⎧⎧'≤≤⋅≤≤⎡⎤⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他其它xz ln -=在()1,0是单调函数，反函数为()z e z h -=在[)+∞,0是单调函数，导数为()z e z h --='，()(),0,0,,0,()0,0.0,00,0.z z X Z f h z h z z e z e z f z z --⎧⎧'≥-≥⎡⎤⎧≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎨<<<⎪⎩⎪⎩⎩z z =5. 设随机变量()~0,1X N ，求Y X =的概率密度. 解：X 的概率密度函数为()()+∞<<∞-=-x e x f x X 2221π,0≥=X Y先求Y 的分布函数()y F Y ，当0≤y 时，(){}0=≤=y Y P y F Y ；当0>y 时，(){}{}{}()()y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=，于是Y X =的概率密度为()()()()222222111,0,0()220,00,02,0,0,0.y y X X Y Y y f y f y y e e y f y F y y y e y y ---⎧--⋅->⎧+>⎪⎪'===⎨⎨≤⎪⎩⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩πππ习题2-4 第二章习题课1.选择题（1）设()x f 1为()1,0N 的概率密度，()x f 2为[]3,1-U 的概率密度，若()()()⎩⎨⎧>≤=0,0,21x x bf x x af x f 为概率密度()0,0>>b a ，则b a ,满足___. （A ） (A) 432=+b a (B) 324a b += (C) 1=+b a (D) 2=+b a（2）设随机变量()~2,X B p ，随机变量()p B Y ,3~，若()951=≥X P ，则()=≥1Y P .（A ） (A)1927 (B) 89 (C) 1627(D)19（3）设随机变量~[2,4]X U ，则{34}___P X <<=.（A ）(A) {2.25 3.25}P X << (B) {1.5 2.5}P X << (C) {3.5 4.5}P X << (D) {4.5 5.5}P X <<（4）设随机变量X 的概率密度为2(1)81()22x f x e π+-=，则~___X .（B ）(A) (1,2)N - (B) (1,4)N - (C) (1,8)N - (D)(1,16)N -2.填空题 2λ=（1）设X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且1{0}{2}2P X P X ===，则__λ=. 解：{} ,2,1,0,!===-k e k k X P k λλ1{0}{2}2P X P X ===2281!221!0220=⇒=⇒⨯=⇒--λλλλλλe e（2）设随机变量X 的概率密度为2,10,()0,10.ax f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 则常数__.a =10a =解：由归一性，()11010lim 10102==⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+∞→+∞∞+∞+∞-⎰⎰a a x a x a dx x a dx x f x 10=a（3）设随机变量~(2,4)X N ，则{2}___.P X ≤=0.5 解：{}()5.00222222=Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤X P X P（4）设随机变量X 的分布函数为()x F ，则随机变量13+=X Y 的分布函数()=y G . 解：(){}{}⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=313113y F y X P y X P y Y P y G 3.袋中有2个白球3个黑球，现从袋中随机地抽取2个球，以X 表示取到的白球个数，求X 的分布律.解：X的所有取值为2,1,0{}{}{}1013,1061,103025222513122523=========C C X P C C C X P C C X P012361101010XP4. 设连续型随机变量X 的分布函数为(1),0,(),01,1, 1.x x Ae x F x B x Ae x --⎧<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩（习题B 第十题）求：（1）,A B 的值；（2）X 的概率密度；（3）1{}3P X >.解（1）由于连续型随机变量的分布函数()F x 为连续函数，因此考查()F x 在0,1x x ==两点的连续性，有0lim ()lim xx x F x Ae A --→→==，00lim ()lim x x F x B B ++→→==，得A B =；又11lim ()lim x x F x B B --→→==,(1)11lim ()lim(1)1x x x F x Ae A ++--→→=-=-,得1B A =-；则12A B ==于是(1)1,0,21(),01,211, 1.2xx e x F x x ex --⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩（2）(1)1,0,2()()0,01,1, 1.2xx e x f x F x x e x --⎧<⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪≥⎩ （3）11111{}1{}1()133322P X P X F >=-≤=-=-= 或(1)113111{}()322x P X f x dx e dx +∞+∞-->===⎰⎰. 5. 设随机变量[]6,0~U X ，求方程04522=-++X Xt t 有实根的概率.解：X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=othersx x f ,060,61使方程04522=-++X Xt t 有实根，0≥∆()()()()(),0414454454222≥--=+-=--=∆X X X X X X即4≥X 或1≤X方程有实根的概率为{}{}216161141064=+=≤+≥⎰⎰dx dx X P X P第三章多维随机变量及其分布习题3-1 二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量1. 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中去两次，每次取一球以Y X ,分别表示从袋中两次取球所得的红、黑球个数，(1)求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律；(2)求{}1,2≤≤Y X P .解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1,2{}{}{}9162622,0,31263621,0,4163630,0=⨯====⨯⨯====⨯===Y X P Y X P Y x P{}{}{}02,1,91262611,1,61263610,1====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P .{}{}{}02,2,01,2,36161610,2=======⨯===Y X P Y X P Y X P联合分布律为{}{}{}{}{}{}{}984161361319100,00,10,21,01,11,21,2=+++++===+==+==+==+==+===≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X PXX012111046361110391292. 2. 盒中有2个红球，1个白球和2个黑球，从中取2个，设,X Y 分别为取出的红球数和白球数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1{}{}{},520,1,511,0,1011,02512122512112522============C C C Y X P C C C Y X P C C Y X P{}{}{}01,2,1010,2,511,12512251112===========Y X P C C Y X P C C C Y X P0131101051032115551120101032155i jp p ⋅⋅3. 已知{}{}2121====X P X P ，当事件{}k X =发生时()2,1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,~k B k X Y ，求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律.解当1=k 时，{}{}31323111,3232311001112001=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P则有{}{}{}3132211010,1=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}6131211111,1=⨯=======X Y P X P Y X P当2=k 时{}{}94323121,9432312011122002=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P{}913122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P 则有{}{}{}9294212020,2=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}9294212121,2=⨯=======X Y P X P Y X P{}{}{}18191212222,2=⨯=======X Y P X P Y X PYX()Y X ,的联合分布律为18192922061311210习题3-2 二维连续型随机变量的分布1. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它,042,20,6,y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P ；（3）求{4}P X Y +≤；(4)求{}5.1≤X P . 解：(1)由归一性()()dx y xy y k dxdy y x k dx dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==∞+∞-∞+∞-242242202166,1 ()[]81862620220=⇒=-=-=⎰k k x x k dx x k （2）{}()()836816813.1103213=--=--=<<⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x Y X P （3）{}()()⎰⎰⎰⎰=--=--=≤∞-+∞∞-5.10425.132276816815.1dy y x dx dxdy y x X P2. 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,1y x x ==及0y =所围成的区域，求：（1）(,)X Y 的联合概率密度；（2）1{0,01}2P X Y <<<<. 解（1）1,01,02(,)0,.x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它；（2）1114{0,01}214P X Y <<<<==.3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为21,01,02,(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度；（2）{1}P X Y +≥.XY解当01x ≤≤时，222012()(,)()233X f x f x y dy x xy dy x x +∞-∞==+=+⎰⎰；当0x <或1x >时，()(,)00X f x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，则 222,01,()30X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.，同理，11,02,()360+Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2）12201165{1}()372xP X Y dx x xy dy -+≥=+=⎰⎰. 习题3-3 随机变量的独立性1. 设随机变量(,)X Y 的联合分布律为23111191821139αβ问：当,αβ取何值时，X 和Y 相互独立.解若X 和Y 相互独立，则 {1,3}{1}{3}P X Y P X P Y ====⋅=，即 11111=()()18918189α+++，16=α.由概率的规范性，得 1111191839+++++=αβ，则29=β.2. 已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，求常数b a ,. 解：由归一性得 5.011.04.0=+⇒=+++b a b a （1）{}{}{}a Y X P Y X P X P +===+====4.01,00,00， {}{}{},0,11,01b a Y X P Y X P Y X P +===+====+ {}{}{}{},1,010a y X P Y X X P =====+⋂=X Y XY0100.410.1a b根据题意得{}{}{}{}{}1010=+⨯===+⋂=Y X P X P Y X X P 即 ()()b a a a +⨯+=4.0 （2）由(1),(2)两式解得 1.0,4.0==b a 3. 二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为8,01,(,)0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它.判断X 和Y 是否相互独立. 解当01x <<时，13()(,)844X xf x f x y dy xydy x x +∞-∞===-⎰⎰，则 344,01,()0.X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩，其它，当01y <<时，20()(,)84yY f y f x y dx xydx y +∞-∞===⎰⎰，则 24,01,()0,.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它，(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅ ，∴X 和Y 不相互独立4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解由题意得()Y X ,的联合密度函为()()()⎩⎨⎧≤≤==其他,010,4,x xy y f x f y x f Y X11011{1}(,)46xx y P XY f x y dxdy dx xydy -+≤+≤===⎰⎰⎰⎰.习题3-4 两个随机变量的函数的分布1. 设随机变量X 和Y 相互独立，分布律分别为010.60.4X P1010.20.30.5Y P-求1Z X Y =+，2Z XY =和3min(,)Z X Y =的分布律.Y解 (,)X Y 的边缘分布和联合分布表为10100.120.180.30.610.080.120.20.40.20.30.51-，从而 110120.120.260.420.2Z P-21010.080.720.2Z P - 31010.20.60.2Z P-2. 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为0100.10.310.30.3求 X Y +和XY 的分布律.解0120.10.60.3X YP+ 010.70.3XY P3. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求1{}2P X Y +≤.解因为X 和Y 相互独立，则()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧≤≤≤≤==其他,000,10,1,y x y f x f y x f Y X 111222000111{}1228x P X Y dx dy x dx -⎛⎫+≤==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解：X 和Y 相互独立，则Y X +也服从正态分布，则()34,1~N Y X Z +={}()2101341134111=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-+-=≥+Y X P Y X P XYX习题3-5 第三章习题课1.填空题（1）设~(1,2),~(1,3)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则2~___X Y +.（2）已知二维随机变量(,)X Y 服从区域:01,02G x y ≤≤≤≤上的均匀分布，则{1,P X ≤1}___Y ≤=.122. 设(,)X Y 的概率密度为1124,0,0,(,)230,.xy x y f x y ⎧≤≤≥≤⎪=⎨⎪⎩其它判断X 与Y 是否相互独立？解当102x ≤≤时，1123300()24124X f x xy dy xy x ===⎰当0x <或12x >时，()0X f x = 则X 的概率密度为 14,0,()20,.X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它；当103y ≤≤时，1122200()24126Y f y xy dx yxy ===⎰当0y <或13y >时，()0Y f y =，则Y 的概率密度为 16,0,()30,.Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.3. 盒中有2个红球3个白球，从中每次取一球，连续取两次，有放回，记,X Y 分别表示第一次与第二次取出的红球个数，求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律. 解 339{0,0}5525P X Y ===⋅=，326{0,1}5525P X Y ===⋅=，236{1,0}5525P X Y ===⋅=，224{1,1}5525P X Y ===⋅=，则(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为196302525564212525532155i jp p ⋅⋅4. 设(,)X Y 的分布律为35111155131510q p-1- 问,p q 为何值时X 与Y 相互独立？解：要使X 与Y 相互独立，则需{}{}{}515,1=-===-=Y P X P Y X P⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒103515115151q 152=⇒q ，{}{}{}515,1=====Y P X P Y X P 1011035110351103=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒p p 容易验证当152.101==q p 时，对Y X ,的所有取值都有..j i ij p p p ⋅=成立。

概率论练习册答案第三章

习题3-11.而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律.解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.解从7只球中取4球只有3547=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4.于是有0223221{0,2}3535P X Y C C C ====,1113226{1,1}3535P X Y C C C ====,1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223{2,0}3535P X Y C C C ====,21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,2203223{2,2}3535P X Y C C C ====,3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222{3,1}3535P X Y C C C ====,{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============.3. (,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 18k =. (2) 3121,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.5422011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰44201d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰ 4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=. 图3-8 第4题积分区域4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.解由21114001(,)d d d (1)d 26x k kf x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 5. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 6. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.解(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==12133=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2){22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. 而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成, 二维随机变量(X , Y )在区域D 上服从均匀分布, 求(X , Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值.解由题设知D 的面积为22e e111d ln 2D S x x x ===⎰. 因此, (X ,Y )的密度为 1,(,),(,)20x y D f x y ∈=⎧⎪⎨⎪⎩，其它.由此可得关于X 的边缘概率密度 ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰.显然, 当x ≤1或x ≥e 2时,()0X f x =; 当21e x <<时,111()d 22x X f x y x==⎰.故(2)14X f =. 3. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =. 故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它(2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0<z <2时, (){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z z zz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩(3) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 4. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度. 解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰.其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立? 解由于边缘分布满足23111,1i j i j p p ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为 p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组 21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i . p .j 成立.因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它(1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立？解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得 111eb -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()2Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩，≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它， 21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,0(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX0 1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律. 解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为3. 随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从区间[0,3]上的均匀分布, 求{}max{,}1P X Y ≤.解由题意知, X 与Y 的概率密度均为1,03,()30x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，其它.又由独立性, 有P {max{X +Y }≤1}=P {X ≤1,Y ≤1}= P {X ≤1} P {Y ≤1}.而 P {X ≤1}= P {Y ≤1}11011()d d 33f x x x -∞===⎰⎰, 故 P {max{X +Y }≤1}=111339⨯=.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()e2x X f x μσπσ--=, ),(+∞-∞∈x ; ⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d e d 22z y aZ X Y a f z f z y f y y y a μσπσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 10. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时, |1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======.于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=.因此得到下表3. (34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它 (1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立? 解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x <0或y <0时,有 0),(=y x F ; 当0,0x y ≥≥时, 34340(,)12e d e d (1e )(1e )x yuv x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.x y x y F x y --⎧--≥≥=⎨⎩其它(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--. (4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立. 4.解已知的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P {X =1, Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}. 因此X 与Y 不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P . 即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U V =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P ,31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1) 1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1()(,)d d d (2)d zz yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时, 2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1.故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0; 当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时, 121()(2)d (2).Zz f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x<0或y <0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.当0≤x <1, 0≤y <2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以 201(,)(,)d d [()d ]d 3x yx yF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0≤x <1, 2≤y 时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+. 当1≤x , 0≤y <2时,1(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3yu uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当1≤x , 2≤y 时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y <<⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪⎪+≥⎪⎪≥≥⎪⎩或≤≤≤≤≤< (2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y yϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62X x y x yy x y x ϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d d x y P X Y x y x y ϕ+>+>=⎰⎰12201165d ()d .372xx x xy y -=+=⎰⎰ 同理, 参见图3-11.{}(,)d d y xP Y X x y x y ϕ>>=⎰⎰122117d ()d .324xx x xy y =+=⎰⎰ 1111{,}(,)112222{|}1122{}()22X P X Y F P Y X P X F <<<<==<211(,)221201()534.32()d |X y x y x x xϕ+==⎰。

概率论与数理统计练习册—第一章答案

第一章概率论的基本概念基础训练I一、选择题1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。

A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；B ）甲乙产品均畅销；C ）甲种产品滞销；D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ⋃⋃表示（ C ）。

A ） A ,B ,C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生；C ） A ,B ,C 至少有一个发生；D ） A ,B ,C 不多于一个发生3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。

A ）)()(B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-；C ）)()(AB P A P -；D ）)()()(AB P B P A P -+。

4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。

A ） 3/5；B ）3/4；C ）2/4；D ）3/10.5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。

A ） 1/16B ） 1/8C ） 1/10D ） 1/46、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。

A ）B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；C ）A B ⊃；D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。

二、填空题1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成BC AC AB ⋃⋃ 。

2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P 0.3 ；3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%；4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8；5. 若A 、B 互不相容,且,0)(>A P 则=)/(A B P 0 ；若A 、B 相互独立，,且,0)(>A P 则=)/(A B P )(B P 。

概率统计练习册答案

概率统计练习册答案第一章参考答案:（一）一、填空：1.出现点数恰好是5；2.0.3；3.0.6；4.1，0.75.二、选择：1.d2.a3.b4.d三、计算abc（2）abc（3）ab？交流电？bc（4）a？BC(5)abc?abc?abc(6)a?b?c2．（1）a?b,0.6（2） a？B零点三（3）p(ab)=0.4，p(a?b)=0.9，p(b?a)=0.3，p(ab)=0.1（二）一、填空：1.二、计算：1.a3212。

，3.a？b55126081511341（2）。

(3).315903193.；；81616n？1k？114.1? （）nn2。

（1）.24c6?12?a115.(1).126(2).1? 12? 11? 10? 9? 8.七126c62?114(3).126(4).1? 1612116(5).612（三）一、填空：1.02.0.93.二、计算：1.a（a？1）？b（b？1）24。

(a?b)(a?b?1)31455）1492.0.37（或3.（1）.0.85（2）.0.9414. (1) . 0.192（或（四）一、选择：1 d2。

b3。

补体第四成份。

B二。

计算：1（1）2。

239）（2）.0.391（或）120232(2)113143.0.458三．证明。

（略）第二章参考答案：(一)我填空?ke??1mmn?m,k?0,1,?.1.;2.0.95;p(1?p);4.p?x?k??k!3二.k6？kc4c161。

（1） p？十、KK0,1,2,3,4; 6c20kk6？k4,5,6。

（2） p？十、Kc6（0.2）0.8，k？0,1,2,3，2. P十、K0.45? 55万？1，k？1,2,?;? P十、2k？？K1.十一点三一3.4.（1）c（0.1）0.9？0.0729; (2)2523xpk1234561136936736536336136?ck?03k50.1k0.95?k?0.99954;(3)0.409511.315.（1）e；（2） tmax？液氮。

概率与统计习题册(川大版) (陈鸿建著) 四川大学出版社课后答案

( )
课
BC = ∅ 或 B ⊂ C ；从而有 ABC = A ， BC = B ，于是
P A BC =
后
因事件 A 发生导致事件 B 发生，则 A ⊂ B 或 AB = A ；事件 B 与事件C 互斥，则
答
2.
3 8
(
)
P (ABC ) P (BC )
案
网
1 1 πa 2 + a 2 2+π 2 = 4 = 率为 P (A) = . 1 2π m (Ω) 2 πa 2 m (A)
A=
B=
⎪ (4)A (B ∪ C ) = ⎪ ⎨ω : ≤ ω < 1⎬ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎭
3. 1 A, B,C 恰有一个发生
⎧ ⎪
1
()
网
课
一．1. D
P (A) = 0.3 ⇒ P (A) = 0.7 ⇒ P (AB ) = P (A) − P (AB ) = 0.3
⇒ P (A ∪ B ) = P AB = 1 − P (AB ) = 1 − 0.3 = 0.7
w.
2. D 3. C
kh ww
) ( )
( ) ( ) ( )
P (AB ) P (B )
3
P A B + P A B = 1 ⇒ P A B = 1− P A B = P A B =
(
⇒P AB =
课
2.
48 60
因 A 与 B 互斥，故 AC p )
(
)(
ww
P A3 B =
(
)
P B A3 P (A3 )
(
)
)
P BA =
(
)

《概率与数理统计》练习册及答案详解

第一章概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.)()(B A P B A P -=D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（）.A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ).A. A,B 为对立事件B.B A =C.φ=B AD.P(A-B)≤P(A)7.若,B A ⊂则下面答案错误的是( ). A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥C.B 未发生A 可能发生D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++ D.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{9.(1,2,,)i A i n =为一列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()nni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b+ 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则( )A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是( ).A.!!N n B. n Nn !C. nn N Nn C !⋅ D.Nn 13.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).A.rr P 3651365- B. rr r C 365!365⋅ C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第一次抽的是不合格品},=2A {第二次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是( ). A.05.0)(1=A P B.)(2A P 的值不依赖于抽取方式(有放回及不放回) C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取方式15.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对事件中,不独立的是( ). A.C AUB 与B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为( ). A.4021 B.407 C. 3.0D. 3.07.02310⋅⋅C17.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C PB.1)()()(-+≥B P A P C PC.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则( ). A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立D. A 与B 独立19.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>020.已知P(A)=P ,P(B)=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有一个发生的概率为( ). A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在一次试验中事件A 发生的概率为P ,现重复进行n 次独立试验则事件A 至多发生一次的概率为( ). A.n p -1B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是( ). A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为( ). A.0.5B.0.25C.0.125D.0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ).A.1B.21C.52 D. 32 25.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( ). A. 81B. 83C. 85D.87 26.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为( ). A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为( ). A.43B.65C.32D.116 28.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（）. A.135B.4519 C.157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ). A.21 B. 31C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（）.A.1001B. 10099C.1010212+ D.10102992+ 32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看1只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ). A.0.94B.0.14C.160/197D.420418419C C C + 二、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω . 2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为；至少出售一种品牌的电视机可以表示为；两种品牌的电视机都出售可以表示为 . 3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .5.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .7.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= .8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生的概率为 .9.已知A 、B 两事件满足条件P （AB ）=P （AB ），且P （A ）=p,则P （B ）= .10.设A 、B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= . 11．设两两相互独立的三事件A 、B 和C 满足条件：φ=A B C ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知 169)(=C B A p ，则______)(=A p . 12.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 . 13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 .14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 . 18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 .19．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，第三道工序的废品率为3p ，则该零件的成品率为.20．做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第二章随机变量及其分布一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）.A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（）. A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)(B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ). A.78B.14⎰C.141-∞-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ-B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（）. A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（）.Ａ．单调增大Ｂ．单调减少Ｃ．保持不变Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011，则X的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . 10．设随机变量),(~2σμN X ，则X 的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_________)0(=≤X p .13．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c . 14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .15.若随机变量X的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ .17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２，则μ= .第三章多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（）.A.X =YB.0}{==Y X PC.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ).A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪===⎪⎝⎭且P 则12{}P X X ==( ).A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y)的联合分布为: 则b a ,应满足( ). A ．1=+b aB. 13a b +=C.32=+b aD.23,21-==b a7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（）. A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X PD.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下面错误的是( ).A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=⎰⎰C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=⎰⎰D.⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y Df x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ).A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( ). A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P -=∉1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系统2π开始工作，令21,X X 分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},max{212X X Y = C.213X X Y +=D.},min{211X X Y =14.设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=YX YX V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A.0B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( ).A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( ).A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{D P （）.A.0.1344B.0.7312C.0.8656D.0.3830 19.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则( ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ). A.21B.22C.12-D.12+ 21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( ).A.21B.31C.41D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立，则Y X +( ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ).A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.21 28.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ). A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为( ).A.3π B.π3C.π2D.2π31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ). A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X 相独立且都服从),(2σμN ,则( ). A.12n X X X === B.2121()~(,)n X X X N nnσμ+++C.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ). A.GDS S B.G G D S S C.⎰⎰D dxdy y x f ),( D.⎰⎰Ddxdy y x g ),(二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<<b Y a X p （3）;____________________)0(=≤<a Y p （4）.____________________),(=<≥b Y a X p 2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满足的条件是 .3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则YX ,相互独立当且仅当=ρ .5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= .8.设某班车起点站上车人数X服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，则在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率为；二为随机变量（X，Y）的概率分布为 .9.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数 .10.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P （X+Y=0）= ；P（XY=1）= .第四章随机变量的数字特征一、选择题1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它，则()E XY =( ). A. 0 B.1/2 C.2 D. 1 3. (X,Y )是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独立 4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D ( ).A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+5. 若X,Y 独立,则( ). A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ⋅=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是( ). A. X,Y 独立B. ()D XY DX DY =⋅C. DY DX Y X D +=+)(D. DY DX Y X D -=-)(7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y( ).A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关 8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是( ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C. 1xy ρ=D. 1xy ρ=- 9.下式中恒成立的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=-)(C. (,)Cov X aX b aDX +=D. 1)1(+=+DX X D10.下式中错误的是( ).A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是( ).A. 22)(EX DX EX +=B. DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ).A. 4.0,6==p nB. 1.0,6==p nC. 3.0,8==p nD. 1.0,24==p n13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ).A. 222)(C EX c X E -=-B. 22)()(μ-=-X E c X EC. DX c X E <-2)(D. 22)(σ≥-c X E 14.()~(,),()D X X B n pE X =则( ). A. n B. p -1 C. p D.p-11 15.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n===()D X 则= ( ). A.)1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n 16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E =( ). A.1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（）. A. 22()21(,)2x y f x y e π+-=B. 22()2(,)x y f x y +-=C. 2()2(,)x y f x y +-= D. 2241(,)2x y f x y e π+-=18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ). A.21 B. 31 C.61D. 121 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ).A. 2B.n 43 C. 0 D. n 32 20. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ).A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N 21. 设2(,),(,)X b n p Y N μσ，则( ). A.2()(1)D X Y np p σ+=-+ B.()E X Y np μ+=+ C.22222()E X Y n p μ+=+ D.2()(1)D XY np p σ=-22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[nMM -- B.M n B. ])1(1[n M M - D. n Mn ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ).A. 1B.-2C.21D.41 24. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ).A. 14B.46C.20D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ). A. 1 B.0 C. 13D.4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ). A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为028. 设随机变量1210,,X X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则下列不等式正确的是（）.A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π=( ).A. 1B.0C.2D. -1 30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为( ).A. 0B.a 21C. a 31D. a 41 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)(=-DX EX X DB. ~(0,1)NC. 22)(EX EX =D. 22)(EX DX EX +=32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ). A. 1 B.2n C.2)1(+n n D. nn 1- 33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则.A.32 B. 31 C. 98D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A.e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A.e 376 B. e316C. 9D. 6 36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数，则DY=（）.A ． 169 B. 916 C. 43 D. 3437. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ). A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰ B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)(=X D ，则{}==1X p .2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且2()0.1,()0.9E X E X ==，则X 的概率密度是 .3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x =EX = ；DX = .若σμ-=X Y ，则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数(24)0.3,p X <<=为 .5.若随机变量X服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .6．已知随机变量X 的分布律为：则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 . 10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）= .第五章大数定理及中心极限定理一、选择题1. 已知的i X 密度为()(1,2,,100)i f x i =,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率∑=≤1001}{i i x X P 的值为( ).A. 无法计算B.100110011001[()]i i i i x xf x dx dx ==≤∑⎰⎰C. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ).A. 91≤B. 31≤C. 91≥D. 31≥ 3. 设随机变量1X ,210,,X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则（）A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi iXP B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi iXPC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi iXP D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi iXP4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中 60发～100发的概率可近似为( ).A. (2.5)ΦB. 2(1.5)1Φ-C. 2(2.5)1Φ-D. 1(2.5)-Φ5. 设 1X ,2,,n X X 独立同分布,2,,1,2,,,i i EX DX i n μσ===当30≥n 时,下列结论中错误的是( ).A.∑=ni iX1近似服从2(,)N n n μσ分布B.niXn μ-∑近似服从(0,1)N 分布C. 21X X +服从)2,2(2σμN 分布D.∑=ni iX1不近似服从(0,1)N 分布6. 设12,,X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2,i X i =服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确? ( )A.()lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑B. ()2lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑D. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p q p A P -==1,)(，则对任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npq np a P n n μlim ＝ . 2、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0>ε，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εμ||lim p n P n n = .3、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X p = .4、已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= .第六章样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为μ,方差为2σ,n 为样本容量,下式中错误的是( ). A.0)(=-μX E B. 2()D Xnσμ-=C. 1)(22=σS E D. ~(0,1)N4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是( ). A.22211()()nni ii i XX X n X ==-=-∑∑ B. 2S X 与相互独立 C. 22])ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθ-+=-E D E D. 221[()]nii E Xn μσ=-=∑5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑6．设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.12~(0,1)NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--7. 设总体服从参数为θ1的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下式中错误的是( ).A.θ=X EB. 2DX nθ=C. ()22(1)n E Xnθ+= D. ()221θ=XE8. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 9. 12,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S- 10. 在总体)4,12(~N X 中抽取一容量为5的简单随机样本,,,,,54321X X X X X 则}15),,,,{max(54321>X X X X X P 为( ).A. )5.1(1Φ-B. 5)]5.1(1[Φ- C. 5)]5.1([1Φ- D. 5)]5.1([Φ 11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为( ).A. 1)5.0(2-ΦB. 1)25(2-Φ C. 1)45(2-Φ D. 1)5.2(2-Φ12. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 13. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21 B. a2 C.a +21 D. a 211-14．设12,,n X X X ，是来自总体)1,0(N 的简单随机样本，则∑=-ni i X X 12)(服从分布为（）.A ．)(2n x B. )1(2-n x C. ),0(2n N D. )1,0(nN 15. 设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,2116. 在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从2(,0.2)N a 分布,以n X 表示n 次称量结果的算术平均,则为了使na X P n ,95.0}1.0{≥<-值最小应取作( ). A. 20 B. 17 C. 15 D. 1617. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中，称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4．设n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，样本均值_______________=X ，则样本标准差___________=S ；样本方差________________2=S ；样本的k 阶原点矩为；样本的k 阶中心矩为 . 5.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P . 6．设n X X X ,,,21 是来自（0—1）分布)}1{,1}0{(p X P p X P ==-==的简单随机样本，X 是样本均值，则=)(X E .=)(X D .7．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本，),,,()()2()1(n X X X 是顺序统计量，则经验分布函数为=)(x F n ⎪⎩⎪⎨⎧_______________________ 8．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本，称为统计量；9．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从分布.11．设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，则样本均值∑==ni i X n X 11服从，又若i a 为常数),2,1,0(n i a i =≠，则∑=ni i i X a 1服从 .12.设10=n 时，样本的一组观测值为)7,4,8,5,4,5,3,4,6,4(，则样本均值为，样本方差为 .第七章参数估计一、选择题1. 设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为（）.（A ）X 1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-n i i X n 1211 （D ）X 2. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n i i X X n 12)(1是（）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计3. 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；4. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，则a 的最大似然估计为（）（A ）},,,max{21n X X X （B ）X （C ）},,,min{21n X X X （D ）1X X n -5. 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 6. 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（）. （A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧<<=-其他,010,),(1x ax a x f a （120),,,,n a x x x >是取自总体的一组样本值，则a 的最大似然估计为（）. A. ∑=-ni ixn1lnB. 11ln ni i x n =∑ C. 11ln()ni i x n =-∑ D. ∑=-n i ix n 1ln8. 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,00),(6)(3θθθx x xx f ，n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为( ).A. XB. X 2C. ),,,max(21n X X XD.∑=ni iX19. 设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，),(21X X 是X 的一个样本，则在下述的４个估计量中，（）是最优的.(A) 2115451ˆX X +=μ(B) 2124181ˆX X +=μ(C) 2132121ˆX X +=μ(D) 2143121ˆX X +=μ 10. 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+11. 设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是（）.（A ）22111ˆ()n i i X X n σ==-∑；（B ）22211ˆ()1n i i X X n σ==--∑；（C ）22311ˆ()n i i X n σμ==-∑；（D ）22411ˆ()1n i i X n σμ==--∑. 12. 设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（）.)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 13. 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 14. 下列叙述中正确的是（）.A ．若θˆ是θ的无偏估计，则()2ˆθ也是2θ的无偏估计.B ． 21ˆ,ˆθθ都是θ的估计，且)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则1ˆθ比2ˆθ更有效. C ．若21ˆ,ˆθθ都是θ的估计，且2221)ˆ()ˆ(θθθθ-≤-E E ，则1ˆθ优于2ˆθ D ．由于0)(=-μX E ，故.μ=X15. 设n 个随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，2σ=X D ，∑==ni i X n X 11，∑=--=ni i X X n S 122)(11，则（） A. S 是σ的无偏估计量 B. 2S 不是2σ的最大似然估计量。

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一、判断题（本大题共 5 题，每题 2 分，共 10 分）1.设A 为任一随机事件，则P(A)=1－P(A ) ( √ )2.设随机事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立 ( √ )3.设X ，Y 为随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y) ( × )4.设随机变量X 与Y 的相关系数ρXY =0，则X 与Y 相互独立 ( × )5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本则X =1∑=ni iX1是总体期望μ无偏估计 ( √ )二、填空题（本大题共5题，每题 3 分，共15 分）1. 设P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.05,则P(A ︱B)=0.1； P(B ︱A)=0.252. 设X ～N(30, 5)，则 D(2X+3)= 203. 设X ～P(λ)，E （X ）=2，则λ= 24. 设总体X ～N(0,1), X 1，X 2，…,X 10是X 的样本,则统计量2χ=∑=1012i i X ～2(10)χ5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本，则总体方差σ2的矩估计是()2211ni i B X Xn ==-∑三、单项选择题（本大题共 5分，每题3 分，共 15 分）1．设A ，B 为随机事件，则B A =（ B ）A ． AB ； B 。

A B ；C 。

AB ；D 。

A ∪B ；2．函数f(x)=1,0,a xb b a ì＃ïí-ïî其它是（ C ）的分布密度函数A. 指数分布；B. 二项分布；C.均匀分布；D. 普阿松分布；3．在n 次独立重复试验中，P(A)= p, P(A )=q, 则事件A 发生k 次的概率是（ C ）A. p k； B .p k qn －k； C. C n k p k qn －k； D. q k pn －k；4. 设X 1,X 2,X 3是总体X ～N(μ,σ2)的样本,μ未知,σ2已知, 则下列( D)不是统计量A. X ；B. X 12+X 22+X 32； C. X 1X 2X 3+σ ； D. μ+ X 1/X 2；5. 若假设检验0H 为原假设,则下列说法正确的是( B )A.0H 为真时接收0H 是犯取伪错误；B. 0H 为真时拒绝0H 是犯弃真错误；C.0H 为假时接收0H 是犯弃真错误；D. 0H 为假时拒绝0H 是犯取伪错误四、计算题（本大题共 4 题，每题 10分，共 40 分）1.设两台车床生产相同的零件，第一台的生产能力是第二台的2倍，且第一台的优质品率为0.6，第二台的优质品率为0.9, 现从混装的零件箱中任意抽取一个零件，求该零件是优质品的概率。

概率练习册答案

班级学号姓名（十七）随机事件及概率1、投掷一粒骰子的试验，我们将＂出现偶数点＂称为（ D ）A 、样本空间B 、必然事件C 、不可能事件D 、随机事件2、事件B A ,互为对立事件等价于（ D ）A 、B A ,互不相容 B 、B A ,相互独立C 、Ω=+B AD 、Φ=Ω=+AB B A 且3、设B A ,为两个事件，则__B A AB +＝（C ）A 、不可能事件B 、必然事件C 、AD 、B A + 4、B A ,为两事件，若()4.0)(,2.0)(,8.0__===+B P A P B A P ，则（ B ）A 、32.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛B A P B 、2.0____=⎪⎭⎫ ⎝⎛B A PC 、4.0)(=AB PD 、48.0)(____=AB P 因为：2.08.01)(1)(1)(=-=+-=-=B A P B A P B A P5、当__A 与__B 互不相容时，=+)(______B A P （C ）A 、)(1A P -B 、)()(1B P A P --C 、0D 、)()(____B P A P 因为：0)Φ()()(===+P B A P B A P6、设有10个产品，其中3个次品，7个正品，现从中任取4个产品，则取到的4个产品都是正品的概率为（ C ） A 、107 B 、44107 C 、41047C C D 、1074⨯ 7、设C B A ,,为三个事件，试用这三个事件表示下列事件：（1）C B A ,,三个事件至少有一个发生；（2）A 不发生，B 与C 均发生；（3）C B A ,,三个事件至少有2个发生；（4）C B A ,,三个事件中恰有一个发生；（5）A 发生，B 与C 都不发生。

解：（1）A+B+C ；（2）BC A ；（3）AB+AC+BC ；（4）C B A C B A C B A ++；（5）C B A 。

8、随机抽检三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”；B 表示“三件中至少有两件是废品”；C 表示“三件都是废品”。

概率练习册答案

概率练习册答案(总73页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第一章概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）}B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. (AB)=P(A)P(B) (A-B)=P(A)－P(B) C.)()(B A P B A P -= (A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). (A －B)=P(A)－P(AB) (AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0 (A+B)=P(A)+P(B)(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（）. A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P (A+B)=P(A)+P(B) (A-B)≤P(A)6.若φ≠AB ,则( ). A. A,B 为对立事件 B.B A =C.φ=B A(A-B)≤P(A)7.若,B A ⊂则下面答案错误的是( ).A. ()B P A P ≤)(B. ()0A -B P ≥ 未发生A 可能发生发生A 可能不发生38.(1,2,,)i A i n =为一列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni ini iA P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nniii i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()nni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni iA A P A A P A AP A P A P9.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A.21 B.ba +1 C.ba a + D.ba b + 10.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).A.rr P 3651365-B. rr r C 365!365⋅ C. 365!1r -D.rr 365!1-11.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对事件中,不独立的是( ). A.C AUB 与 B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与12.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C P B.1)()()(-+≥B P A P C P (C)=P(AB)D.()()P C P AB =13.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则( ). A. A 与B 不相容B. A 与B 相容4C. A 与B 不独立D. A 与B 独立14.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是( ). (A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B = (B|A)>015.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ).B.21 C.52D.32 16.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( ). A.81B.83 C.85 D.87 17.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.12053 B.199 C.12067 D.1910 18.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（）. A.135 B.4519 C.157 D.3019 19.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ). A.21B.31 C.75 D.71 答：1．答案：（B ）5解：AUB 表示A 与B 至少有一个发生,Ω-AB 表示A 与B 不能同时发生,因此(AUB)(Ω-AB)表示A 与B 恰有一个发生． 3．答案：（C ）4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω.7. 答案：（C ）8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())n nnnni i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r r C r P P A ⋅==，故365()1365r r P P A =-.612.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ⊂，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ⋃=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -⋃+=+--+--+==-⇒-+--+=-⇒-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -⇒=故A 与B 独立. 14.答案：（A ）解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此P(A|B)=()00()()P AB P B P B ==. 15.答案：（D ）7解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故111112()(1)(1)(1)(1)()543633P A P A =----=⇒=.16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-⋃⋃=---+++-=---+++-=注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂⇒≤≤=⇒=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）8解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω .2．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 . 3.设P （A ）=，P （A+B ）=，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .4.已知随机事件A 的概率P （A ）=，随机事件B 的概率P （B ）=及条件概率P （B|A ）=，则P （AUB ）= .5.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是，和，则P （AB ）= .6.设A 、B 为随机事件，P （A ）=，P （A-B ）=，则P （AB ）= .7.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生的概率为 .98．设两两相互独立的三事件A 、B 和C 满足条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知 169)(=C B A p ，则______)(=A p .9.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .10．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .11．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 . 12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .答：1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC 3．，解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.10解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=+解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-=.解：由题设P （A ）=，P （AB ）=，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=.12解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+=. 4 解：因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+由题设22()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======， 2()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===，因此有293()3()16P A P A =-，解得 P （A ）=3/4或P （A ）=1/4，又题设P （A ）<1/2,故P （A ）=1/4. 6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解. 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，故所求的概率为417!1260=. 7解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=，P （B ）=，P （C|A ）=，P （C|B ）=，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=，P （C|B ）=，故()()(|)0.50.66(|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 三、设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,41)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，81)(=AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

概率论与数理统计练习册（内附答案）

概率论与数理统计练习册复习题和自测题解答第一章复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是次品；（2）至少有一个零件是次品；（3）仅仅只有一个零件是次品；（4）至少有两个零件是次品。

解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。

解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。

解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。

解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。

解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起（1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。

概率练习册第七章答案

7-2单正态总体的假设检验1．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布2(4.55,0.108)N , 现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为 4.484, 如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55(0.05)α=?解提出检验假设55.4:,55.4:10≠=μμH H以0H 成立为前提，确定检验0H 的统计量与其分布)1,0(~9/108.055.4/0N X nX U -=-=σμ对给定的显著性水平α=0.05，由上α分位点可知αα=≥}{2u U P 即05.09/108.055.42==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-ααu X P 查标准正态分布表可得96.1025.02==u u α，而96.183.19/108.055.4484.49/108.055.4<=-=-=x u说明小概率事件没有发生，因此接受0H .即认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55.2. 机器包装食盐，每袋净重量X 〔单位：g 〕服从正态分布，规定每袋净重量为500〔g 〕，标准差不能超过10〔g 〕。

某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平05.0=α检验这天包装机工作是否正常？解.作假设22122010:,10:<≥σσH H选取统计量 )1(~10812222202-=-=n S S n χσχ对给定的显著性水平α=0.05，查2χ分布表得: ==--)8()1(295.021χχαn 2.733，于是拒绝域为733.22≤χ 由已知计算得44.2282=s而 733.22752.181081222202>==-=s s n σχ因此接受0H ，即可以认为这天包装机工作不正常。

3. 根据长期的经验，某工厂生产的铜丝的折断力2(,)X N μσ，已知2264σ=斤，今从该厂所生产的一大批铜丝中随机地抽取10个样本，测得折断力〔单位：斤〕为578，572，570，568，570，572，570，572，596，584。

概率论习题册答案中国地质大学

（1）有 2 个电话号码相同，另 2 个电话号码不同的概率 p ；
（2）取的至少有 3 个电话号码相同的概率 q 。
解
(1)
p
=
C110
C
2 4
A92
= 0.432 ；
10 4
(2)
q
=
C110C43
A19
+
C1 10
104
=
0.037
5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为 0.05,每 100 个产品为一批,检查产品质量时,
(C) P(C ) = P (AB );
D( ) P C( )= P A( + B ).
三、计算下列各题
1. 已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1 ，求事件 A, B, C 全不发
4
16
生的概率。
解 P(A BC) = P(A + B + C) =1 − P(A + B + C)
=1
−
[ P( A)
+
P(B)
+
P(C)
−
P( AB)
−
P(AC)
−
P( BC)
+
P( ABC)]
=
1
−
⎡ ⎢⎣
3 4
−
1⎤ 8 ⎥⎦
=
3 8
2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有 20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，
其中 8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有 2%兼读所有报纸，
5．如下图，令 Ai 表示“第 i 个开关闭合”, i = 1,2,3,4,5,6 ，试用 A1, A2, L, A6 表示下列

概率统计习题册答案

4、概率公式的题目1、已知 P (瓦)= 0.3, P(B ) = 0.4, P(A@ )=0.5,求P(BA J B)LP(B A 「B 戶 P (AB」=_P(A)丁(AB ) _P(AuB) P (A)+P(B )-P(AB)2、已知 P(A)=0.7,P(B )=0.4, P(AB )=0.2,求 P(AA'J B)Le3、已知随机变量 X : P(1),即卩X 有概率分布律 P 1X =k(k=0,1,2…),k!并记事件 A ={X ^2}, B = {X <d}。

求:( 1)P (A u B ); ( 2) P (A —B ); ( 3) P ( B A )。

解：(1)P A B =1 - P A _ B =1 —P(AB) =1 - P 〈X ： 2,X _ 1 =1 - P 〈X =1丄 1 — e ，；(2) P A-B 二 P(AB)二 P^X _2,X _1 ； = P 「X _2 ；=1 - P^X =0^ -P"：X =1 ； = 1-2e‘；” P (BA ) p {x <1,X v 2} p {x =。

} e -1 1 (3) P (B A ) = ---------- = ------------- ! -------- = -------------------------------- = -------= 一P (A ) P {X <2} P {X =0} + p {x =1} 2e 」24、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解:P(A A'」B )=P(AB )P A P B -P A B0.2 20.7 0.2 一 9解:0.7-0.5 0.7 0.6-0.5P(A A B)=P(A 侨(A 旦)= P(A B)=5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统A, B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92 ,解：设A= “甲射击一次命中目标” ，B= “乙射击一次命中目标”，亠—= 匹=§=0.75P(A) + P(B)- P(AB) 0.6+ 0.5- 0.6 0.5 8系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。

概率论练习册答案第二章

习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生. 写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P . 解由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c =. 所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=k k n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213q p =-=. 从而{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩ 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =;当1x =-时, 1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.所以 115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--= 易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此 {1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有{1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥ (2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩ 如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=⎰可得02d 1cx x =⎰, 于是1=c ,故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C)12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它.(B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) 22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎧⎩ (D) e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩解由概率密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)X N μ, 2~(,5)Y N μ, 1{X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数12,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P μ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A) 0()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-. 解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.解对μ1＝μ2时, 答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) 2u α . (B) 21α-u. (C) 1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-. 于是 ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5ax x =⎰,因此a =. 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=, 可得 2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝ 2,01,0,x x ⎧⎨⎩≤≤ 其它,求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解 {P X ≤12201112d 2240}x x x ===⎰;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰,于是 2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得当x <0时, ()0F x =; 当0≤x<1时, 201()d 2x F x x x x ==⎰;当1≤x <2时, 211()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--⎰⎰;当x ≥2时, ()1F x =.所以 220,0,1()221,2.1,021,12x F x x x x x x x =-≥⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩<≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-. 9. 设随机变量)2,3(~2N X .(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满足{}0.9P X d >≥, 问d 至多为多少？解 (1) 由P {a <x ≤b }=P {33333}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2<X ≤5}=(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=, P {-4<X ≤10}=(3.5)( 3.5)0.9996ΦΦ--=, {||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 . (2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3) {}0.9≥P Xd > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +⨯-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=.所以 {{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ). (A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C) 3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设()~01,X N ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N . 解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.解若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,μσ==所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩，　，　，　其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P X y =-<-=1-2()d yX f x x --∞⎰.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X(X X F F =-.于是随机变量2Y X =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) 至多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1),P {X =k }=kk k C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ;(2) 所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--; (3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知1{1}2P X >=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知0e d 1xkx θθ-+∞=⎰得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-+∞=⎰, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某一质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最大是多少?解由{120P ≤X ≤}200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最大值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰即02e d 1x A x +∞-=⎰故2A = 1,得到A =12.所以 φ(x ) =12e -|x |.(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰ 得到当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X的分布函数为1,0,2()11,0.2xxxF xx-⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ee≥。

同济五版习题册概率论参考答案

第一章概率论基本概念一、填空1.（1）AUBUC (2)(3)2. 0.7 (注释: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B|A) )3. 3/7 (注释:)4.5. 0.75 (注释:, 此时不能直接用BEYES公式,因为要得到一个划分.)[掌握]二、选择1.A2.D3.B4.D5.A三、计算题1.全概率公式求解：设能开门记为事件A，B0为取到0把能开门的锁，B1为取到一把能开门的锁，B2为取到两把能开门的锁P(A)=P(B0)P(A|B0)+ P(B1)P(A|B1)+ P(B1)P(A|B1)=8/152.设3本一套放在一起记为A，两套各自放在一起记为B，两套中至少有一套放在一起记为C(1)(2)(3)3.设购买空调记为A,购买电脑记为B,购买DVD记为C(1) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.15+0.12+0.2+-0.06-0.1-0.05+0.02 =0.28(2)(3)[掌握]4. 全概率公式求解：设取得正品记为A, 取到的产品来自甲厂记为B1, 取到的产品来自乙厂记为B2, 取到的产品来自丙厂记为B3,[掌握]5.BEYES公式求解：设取到的为次品记为C, 取到的来自A厂记为D1, 取到的来自B厂记为D2,所以该产品来自B厂生产的可能性最大四、证明题由题意知0<P(A)<1因为P(B|A) =P(B|A)所以既有: P(AB)=P(A)P(B)既得证.第二章随机变量及其分布一填空1. 1/52. 1[掌握] 3. 0.2 [掌握] 4. 2/3 [掌握] 5. 4/5二选择[掌握]1. C 2. B [掌握] 3. B 4. C 5. C三解答1.设直到取出合格品为止,所抽取的次数记为X(1)放回情况X 1 2 …n …P(X=xi) ……(2) 不放回情况X 1 2 3 4P(X=xi)2.(1)由得既有: A=1/2(2)(3)3.设,其反函数为既有即所以有4.设需要进行n次实验,才能使至少成功一次记为A,既有:所以需要进行4次实验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9 5.设车门的高度为x6.(1)(2)(3)对分布函数求导四证明由知 0<Y<1 , 且其反函数为第三章多维随机变量及其分布一填空[掌握]1. 5/7 [掌握]2. 1/3 1/6 [掌握]3. F(b,c) –F(a,c) 4. F(a,b) [掌握]5. 1/2二选择[掌握]1.C [掌握]2.A 3.B 4.C 5.B三解答1.0 1 2 3 P{Y=yj}1 0 3/8 0 3/8 6/83 1/8 0 0 1/8 1/4P{X=xj} 1/8 3/8 0 1/2 12.(1)(2)(3)所以独立[掌握]3.(1)(2)4.画图示意(1)(2)[掌握]5.画图示意(1)(2)第四章随机变量数字特征一填空[掌握]1 1.16 [掌握] 2 7.4 [掌握]3 [掌握]4 46 [掌握] 5 85二选择题1 B2 C3 B [掌握]4 A5 BC三解答题[掌握]1其分布律为X 0 1 2 3P 6/210 72/210 108/210 24/210 再根据离散型公式计算期望和方差：2.已在课堂详细讲解，甲、乙、丙的期望分别为：1.8 2 1.73.不作要求，可在解疑时单独询问[掌握]4.依题意：设能分胜负需比赛的场数记为X，则X的分布律为X 4 5 6 72 2 2 2P[掌握]5.依题意：设第i次有放回的取一张卡片得到的号码记为,则其分布律为:Xi 1 2 …n P 1/n 1/n 1/n依题意可得:，且相互独立所以有:(注: 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6)[掌握]6.(1)由得K=2(2)1/4 7/144第五章大数定理及中心极限定理第六章数理统计的基本概念一、填空（1）N(0,1) N(0,1) (2)(3) 1/8 (4) 按统计量公式计算（5）二、选择[掌握]（1）C (2) BD （3）A (4) C [掌握] (5) C三、解答第七章参数估计一、填空[掌握]（1）[掌握] (2)（3）（4）（5）二、选择（1）D [掌握] (2)B （3）（4） A (5) B三、解答[掌握]1.（1）矩估计：解出:所以矩估计量为:(2)最大似然估计:似然函数为:令得到最大似然估计量为:2.（1）矩估计：所以矩估计量为:(2)最大似然估计:似然函数为:令得到最大似然估计量为:[掌握]3.(1)枢轴量为所以区间估计为即的90%的置信区间为(2) 枢轴量为所以区间估计为即的90%的置信区间为其中,第八章假设检验一、填空（1）（2） F(3)二、选择[掌握]（1）B [掌握] (2) D [掌握] (3) A 三、解答[掌握]1.由于所以统计量为所以拒绝域为经计算得到接受该假设。

概率论习题册答案

概率论习题册答案概率论习题册答案概率论是一门研究随机事件发生规律的数学学科，它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。

在学习概率论的过程中，做习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固对概率论知识的理解和应用能力。

本文将为大家提供一些常见概率论习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握概率论知识。

1. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.6，求P(A并B)和P(A或B)。

解答：根据概率的定义，P(A并B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A或B)表示事件A或事件B至少发生一个的概率。

由于事件A和事件B是两个独立事件，所以P(A并B)=P(A)×P(B)=0.4×0.6=0.24。

而P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A并B)=0.4+0.6-0.24=0.76。

所以，P(A并B)=0.24，P(A或B)=0.76。

2. 有一批产品，其中10%的产品存在质量问题。

从中随机抽取5个产品，求其中至少有一个存在质量问题的概率。

解答：设事件A表示抽取的5个产品中至少有一个存在质量问题。

根据概率的定义，P(A)=1-P(没有一个存在质量问题)。

那么，P(没有一个存在质量问题)=P(第1个产品不存在质量问题)×P(第2个产品不存在质量问题)×P(第3个产品不存在质量问题)×P(第4个产品不存在质量问题)×P(第5个产品不存在质量问题)。

由于每个产品存在质量问题的概率为0.1，所以P(没有一个存在质量问题)=(1-0.1)×(1-0.1)×(1-0.1)×(1-0.1)×(1-0.1)=0.9×0.9×0.9×0.9×0.9=0.59049。

因此，P(A)=1-0.59049=0.40951。

所以，抽取的5个产品中至少有一个存在质量问题的概率为0.40951。

概率论与数理统计练习册参考答案

概率论与数理统计练习册参考答案第1章概率论的基本概念基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且（4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2)123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4)123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5)123123A A A A A A +9、（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）正确（5）正确（6）正确（7）正确（8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+=U U U （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤，所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品”则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。

概率练习册1-2章答案

（n 1 ） ! ，而事（2）n 个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为
件 B 为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人
3 (n 3)! 占“一个”座位，有利于事件 B 发生的样本点个数为 A3 3 A3 (n 3)! 6 于是 P ( B ) (n 1)! (n 1)(n 2)
S ( A) P ( A) S ( )
Y
习题 1-4
条件概率
一、填空题：一盒中有新旧两种乒乓球 100 只，其中新球中有 40 只白的和 30 只黄的，旧球中有 20 只白的和 10 只黄的。现从中任取一只，则：（1）取到一只新球的概率是 0.7 ；（2）取到一只黄球的概率是 0.4 ；（3）已知取到的是新球，该球是黄球的概率是
（4）（ A1 ∪ A2 ）∩ A3 表示（5）( A1 ∪ A2 )∩ A3 表示
；；
答案：（1）三次均抽到废品；（2）至少有一次抽到废品；（3）只在第三次才抽到废品；（4）前两次至少抽到一件废品且第三次抽到废品；（5）前两次至少抽到一件正品且第三次抽到废品。 5．设事件 A,B,C 满足 ABC≠ф将下列事件分解为互斥事件和的形式： A∪B∪C 可表示为； A-BC 可表示为；
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 A2 An ) 1 2 3 n 1 n 2 3 4 n n 1 1 n 1
2．市场上某种产品分别有甲、乙、丙三个厂所生产，其产量结构为 2：4：5，已知三个厂的次品率分别为 4%、5%和 3%，求：（1）市场上该种产品总的次品率是多少？（2）若从该市场上任取一件这种产品发现是次品，则该次品最可能是哪个厂生产的？解：设 Ai (i 1,2,3) 分别表示分别有甲、乙、丙三个厂所生产的产品

概率练习册1-2章答案

（n 1 ） ! ，而事（2）n 个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为
件 B 为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人
3 (n 3)! 占“一个”座位，有利于事件 B 发生的样本点个数为 A3 3 A3 (n 3)! 6 于是 P ( B ) (n 1)! (n 1)(n 2)
1 2
P ( A) P ( B ) [ P ( A) P ( AB )] 3 1 5 4 12 6 1 1 15 , P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) , P ( A B C ) , 4 8 16
4.设 P ( A) P ( B ) P (C ) 求 P ( A B C ).
P ( A B ) P ( AB ) 1 P ( AB ) 1 P ( A) P ( B ) P ( A B ) 1 1 1 1 11 3 4 2 12
P( A B ) P( A B) 1 P( A B) P ( A B ) P ( A) P ( B.) P ( A B )
解设 Ai (i 0,1,2, ) 表示箱中有 i 件次品， B 表示顾客买下该箱玻璃杯（1）由全概率公式
一、判断题：（1）若 ABC=ф,则 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) （2） A B ，则 P ( A ) P ( B ) （3）若 AB=ф,则 P ( A B ) 1 P ( A) P ( B ) 二、计算与求解题： 1.已知 P(A)=0.5， P ( A B ) 0.3 ，求 P ( A B ), P ( AB ), P ( A B ). 解： P ( AB ) P ( B ) P ( AB ) 0.3,

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