高一数学基本不等式1
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正哽咽着说：“是的，大部分盘缠，都是爹带
典例讲评
例1 已知x、y都是正数，求证：
(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3
例2 已知 a2＋b2＋c2＝1， 求证：(a＋b＋c)2≤3.
典例讲评
例3 若正数a,b满足ab a b 3
Æ
求ab的取值范围.
例4.已知x,y∈R+,求证:
(1)若xy为定值P,那么x=y时,和x+y有
ab
2
2
布置作业
《学海》第10课时
； http://www.fhkh6688.com/ 凤凰开户
twc68tvu
有了。“看来三位都累坏了，我这就去收拾做饭！”年轻男人说着，转身进厨房收拾做饭去了。年轻妇人轻声问：“三位可点些什么？”耿正 吃力地说：“请先给我们一点儿喝的吧！”“行！”年轻妇人答应着也进后面的厨房去了。一转身的功夫，她就用大木盘子端来三大碗面汤，
(1) a2+b2≥ 2ab (当且仅当a=b时取等号)
(2)
ab
如果a,b 是正数，那么
ab
2
(当且仅当a=b时取等号)
((43)) ab a2 b2 (当且仅当a=b时取等号) 2
(43)
ab
a
2
b
2
(当且仅当a=b时取等号)
(5)设a,b R ,则 2ab ab a b a2 b2 .
没有问他们是从哪里来，要到哪里去？”“还没有来得及细问呢，就眼泪汪汪的了！”“那就不要多问了。唉，这么晚了，他们可去哪里住 呢？”“要不就让他们在咱们店里暂住一晚上吧！”“看来，也只能是这样了！”不一会儿，店掌柜的夫妇俩各端着一个大方木盘出来了。妻 子走在前面，把三大碗香喷喷，热气腾腾的炝锅面条放在兄妹三人的面前；丈夫把两盘子热炒菜和五个大白馒头也摆在桌子上。妻子把那个已 经空了的大汤盆儿和三个碗挪到旁边的桌子上，轻轻地对耿正兄妹三人说：“慢慢吃吧！”耿正看到这夫妻俩端上来这么多，心中不解，就很 有礼貌地说：“掌柜的，我们只要了三碗清汤面条，怎么，这”店掌柜的和颜悦色地说：“你们可能是盘缠不多了吧？没事儿的，吃吧！”耿
说：“温热的面汤，慢点儿喝！”兄妹三人各端起一碗面汤大口喝了，感觉稍微有了一些气力。耿正说：“谢谢！能不能再给我们喝一 碗？”“唔，没问题！”年轻妇人答应着，赶快转身再次走进厨房。少顷，她就端着一个大汤盆儿出来了，汤盆儿里边还搁了一把汤勺。她将 大汤盆儿放在耿正兄妹三人面前的饭桌上，给每人盛上一碗后，十分和善地说：“还喝多少，自己盛吧！看来你们是渴坏了呢。你们一边喝汤， 一边歇着，我得告诉当家的给你们做点儿什么饭啊？”耿正看看弟弟和妹妹。耿英说：“随便吧，什么都行！”耿直也说：“唔，什么都行！” 耿正抬头，很有礼貌地对年轻妇人说：“那就麻烦二位给我们做三碗清汤面条吧！”“那给你们炒个什么菜啊？”“谢谢，不用了。”“你们 是兄妹三人？”“是的。”“没有大人一起走？”耿直“哇”地一声哭出声来：“我们的爹爹今儿个上午让洪水卷走了！”耿英赶快给弟弟擦 眼泪，自己的眼泪也像断线的珠子一样滚落下来。年轻的妇人吃惊地瞪大了眼睛，说：“啊，听说今儿个上午碧山溃坝了我不问了，喝面汤吧。 我这就告诉当家的给你们做面条去！”年轻妇人转身进入后面的厨房，低声对丈夫说：“当家的，啧啧，你不知道，这三个是亲兄妹，他们的 爹已经被今儿个碧山溃坝的洪水冲走了！他们太可怜了，都饥饿干渴劳累伤心成那个样子了，但只要了三碗清汤面条！”这年轻店掌柜的一听 就愣住了，说：“哦，原来是这样！我看那样子就有些不对劲儿嘛！这样吧，我炒两个菜，你再热五个馒头。唉，这兄妹三个可真够难的！你
且仅当 a b 时取“ = ”号.
2. 若 a, b R , 则
ab 2
ab
,
当且仅当 a b时取“ = ”号.
典例讲评
变式:
1. ab ( a b)2, a,b R 2
2. ( a b)2 a2 b2 , a,b R
2
2
3. a b 2, a,b R＋ ba
都是基本不等式，它们成立的条件不同， 前者a、b可为任意实数，后者要求a、b 都是正数，但二者等号成立的条件相同.
课堂小结
2.基本不等式有多种形式，应用时具有 很大的灵活性，既可直接应用也可变式 应用.一般地，遇到和与积，平方和与积 平方和与和的平方等不等式问题时，常 利用基本不等式处理
课堂小结 3.
最小值2 P ;
(2)若x+y为定值S,那么x=y时,积xy有 最大值 1 S .2
4
典例讲评
例5 已知 lg x lg y 2,
求 11 xy
的最小值 .
典例讲评
例6
已知 x 1 ,
求
y x 4 5 x 1
的最小值 .
课堂小结
1.不等式a2＋b2≥2ab与 a b ab 2
② a2 b2 2ab
的充要条件是 a b
新知探究
4.特别地，如果a＞0，b＞0，我们 用 a 、 b 分别代替a、b ，可得什么 不等式?
a
ab ab (a>0, b>0)
2
当且仅当a＝b时等号成立.
新知探究
基本不等式
1. 若 a,b R , 则 a2 b2 2ab , 当
边长为a和b，你能用a和b表示哪些
面积？这些面积之ห้องสมุดไป่ตู้有什么关系？
S直角三角形＝
ab 2
，
S正方形＝a
2＋
b
2
S正方形 4S直角三角形
a 2 b2 2ab
新知探究
2.从图形分析,上述不等式在什么情况 下取等号？ 当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.
D
A
F GE
C
H
B
新知探究
3.在上面的图形背景中，a，b都是 正数，那么当a，b∈R时，不等式 a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？
一般地，对于任意实数a，b， 有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时 等号成立. D
A
F GE
C
H
B
说明： ① “当且仅当”是充要条件的
表达方式（“当”表示条件是充分
的，“仅当”表示条件是必要的）．
高一数学必修5第三章《不等式》 3.4 基本不等式 第1课时
如图是在北京召开 的第24界国际数学 家大会的会标，会 标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图 设计的，颜色的明 暗使它看上去象一 个风车，代表中国 人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系 或不等关系吗？
1.如果设直角三角形的两条直角边的
典例讲评
例1 已知x、y都是正数，求证：
(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3
例2 已知 a2＋b2＋c2＝1， 求证：(a＋b＋c)2≤3.
典例讲评
例3 若正数a,b满足ab a b 3
Æ
求ab的取值范围.
例4.已知x,y∈R+,求证:
(1)若xy为定值P,那么x=y时,和x+y有
ab
2
2
布置作业
《学海》第10课时
； http://www.fhkh6688.com/ 凤凰开户
twc68tvu
有了。“看来三位都累坏了，我这就去收拾做饭！”年轻男人说着，转身进厨房收拾做饭去了。年轻妇人轻声问：“三位可点些什么？”耿正 吃力地说：“请先给我们一点儿喝的吧！”“行！”年轻妇人答应着也进后面的厨房去了。一转身的功夫，她就用大木盘子端来三大碗面汤，
(1) a2+b2≥ 2ab (当且仅当a=b时取等号)
(2)
ab
如果a,b 是正数，那么
ab
2
(当且仅当a=b时取等号)
((43)) ab a2 b2 (当且仅当a=b时取等号) 2
(43)
ab
a
2
b
2
(当且仅当a=b时取等号)
(5)设a,b R ,则 2ab ab a b a2 b2 .
没有问他们是从哪里来，要到哪里去？”“还没有来得及细问呢，就眼泪汪汪的了！”“那就不要多问了。唉，这么晚了，他们可去哪里住 呢？”“要不就让他们在咱们店里暂住一晚上吧！”“看来，也只能是这样了！”不一会儿，店掌柜的夫妇俩各端着一个大方木盘出来了。妻 子走在前面，把三大碗香喷喷，热气腾腾的炝锅面条放在兄妹三人的面前；丈夫把两盘子热炒菜和五个大白馒头也摆在桌子上。妻子把那个已 经空了的大汤盆儿和三个碗挪到旁边的桌子上，轻轻地对耿正兄妹三人说：“慢慢吃吧！”耿正看到这夫妻俩端上来这么多，心中不解，就很 有礼貌地说：“掌柜的，我们只要了三碗清汤面条，怎么，这”店掌柜的和颜悦色地说：“你们可能是盘缠不多了吧？没事儿的，吃吧！”耿
说：“温热的面汤，慢点儿喝！”兄妹三人各端起一碗面汤大口喝了，感觉稍微有了一些气力。耿正说：“谢谢！能不能再给我们喝一 碗？”“唔，没问题！”年轻妇人答应着，赶快转身再次走进厨房。少顷，她就端着一个大汤盆儿出来了，汤盆儿里边还搁了一把汤勺。她将 大汤盆儿放在耿正兄妹三人面前的饭桌上，给每人盛上一碗后，十分和善地说：“还喝多少，自己盛吧！看来你们是渴坏了呢。你们一边喝汤， 一边歇着，我得告诉当家的给你们做点儿什么饭啊？”耿正看看弟弟和妹妹。耿英说：“随便吧，什么都行！”耿直也说：“唔，什么都行！” 耿正抬头，很有礼貌地对年轻妇人说：“那就麻烦二位给我们做三碗清汤面条吧！”“那给你们炒个什么菜啊？”“谢谢，不用了。”“你们 是兄妹三人？”“是的。”“没有大人一起走？”耿直“哇”地一声哭出声来：“我们的爹爹今儿个上午让洪水卷走了！”耿英赶快给弟弟擦 眼泪，自己的眼泪也像断线的珠子一样滚落下来。年轻的妇人吃惊地瞪大了眼睛，说：“啊，听说今儿个上午碧山溃坝了我不问了，喝面汤吧。 我这就告诉当家的给你们做面条去！”年轻妇人转身进入后面的厨房，低声对丈夫说：“当家的，啧啧，你不知道，这三个是亲兄妹，他们的 爹已经被今儿个碧山溃坝的洪水冲走了！他们太可怜了，都饥饿干渴劳累伤心成那个样子了，但只要了三碗清汤面条！”这年轻店掌柜的一听 就愣住了，说：“哦，原来是这样！我看那样子就有些不对劲儿嘛！这样吧，我炒两个菜，你再热五个馒头。唉，这兄妹三个可真够难的！你
且仅当 a b 时取“ = ”号.
2. 若 a, b R , 则
ab 2
ab
,
当且仅当 a b时取“ = ”号.
典例讲评
变式:
1. ab ( a b)2, a,b R 2
2. ( a b)2 a2 b2 , a,b R
2
2
3. a b 2, a,b R＋ ba
都是基本不等式，它们成立的条件不同， 前者a、b可为任意实数，后者要求a、b 都是正数，但二者等号成立的条件相同.
课堂小结
2.基本不等式有多种形式，应用时具有 很大的灵活性，既可直接应用也可变式 应用.一般地，遇到和与积，平方和与积 平方和与和的平方等不等式问题时，常 利用基本不等式处理
课堂小结 3.
最小值2 P ;
(2)若x+y为定值S,那么x=y时,积xy有 最大值 1 S .2
4
典例讲评
例5 已知 lg x lg y 2,
求 11 xy
的最小值 .
典例讲评
例6
已知 x 1 ,
求
y x 4 5 x 1
的最小值 .
课堂小结
1.不等式a2＋b2≥2ab与 a b ab 2
② a2 b2 2ab
的充要条件是 a b
新知探究
4.特别地，如果a＞0，b＞0，我们 用 a 、 b 分别代替a、b ，可得什么 不等式?
a
ab ab (a>0, b>0)
2
当且仅当a＝b时等号成立.
新知探究
基本不等式
1. 若 a,b R , 则 a2 b2 2ab , 当
边长为a和b，你能用a和b表示哪些
面积？这些面积之ห้องสมุดไป่ตู้有什么关系？
S直角三角形＝
ab 2
，
S正方形＝a
2＋
b
2
S正方形 4S直角三角形
a 2 b2 2ab
新知探究
2.从图形分析,上述不等式在什么情况 下取等号？ 当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.
D
A
F GE
C
H
B
新知探究
3.在上面的图形背景中，a，b都是 正数，那么当a，b∈R时，不等式 a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？
一般地，对于任意实数a，b， 有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时 等号成立. D
A
F GE
C
H
B
说明： ① “当且仅当”是充要条件的
表达方式（“当”表示条件是充分
的，“仅当”表示条件是必要的）．
高一数学必修5第三章《不等式》 3.4 基本不等式 第1课时
如图是在北京召开 的第24界国际数学 家大会的会标，会 标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图 设计的，颜色的明 暗使它看上去象一 个风车，代表中国 人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系 或不等关系吗？
1.如果设直角三角形的两条直角边的